واﺣﺪ اروﻣﯿﻪ ٢٩ و ٣٠ ﻣﺘﺮوﯾﺪ اﻓﺮاز و ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺳﺎزی زﯾﺮ ﻣﺪوﻟﯽ

(1)

ﯽﺿﺎﯾر ﻪﺘﻓﺮﺸﯿﭘ مﻮﻠﻋ رد ﻖﯿﻘﺤﺗ ﯽﻠﻣ ﺲﻧاﺮﻔﻨﮐ ﻦﯿﻟوا طﻮﺴﺒﻣ هﺪﯿﮑﭼ”

“ﻪﯿﻣورا ﺪﺣاو - ﯽﻣﻼﺳا دازآ هﺎﮕﺸﻧاد - ١٣٩٣ ﻦﻤﻬﺑ٣٠ و ٢٩

ﯽﻟوﺪﻣ ﺮﯾز یزﺎﺳ ﻪﻨﯿﻬﺑ و زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ

یﻮﺳﻮﻣ یﺪﻤﺣا اﺮﻫز ،^∗ﯽﺘﻟود ﺮﯿﺷدرا

ناﺮﯾا ،ناﺮﻬﺗ ،ﺮﺗﻮﯿﭙﻣﺎﮐ مﻮﻠﻋ هوﺮﮔ ،ﺪﻫﺎﺷ هﺎﮕﺸﻧاد [email protected] [email protected]

یﺎﻫﻢﺘﺴﯿﺳ .ﺖﺳا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﻪﺒﺗر ﻊﺑﺎﺗ نآ ﻪﮐ ﺪﺷ حﺮﻄﻣ زﺪﻧﻮﻣدا ﻂﺳﻮﺗ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯿﻟوا .هﺪﯿﮑﭼ یزﺎﺳﻪﻨﯿﻬﺑ رد ﺎﻫ ﻪﮑﺒﺸﻣ ور ﻦﯾا زا ﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾﺬﭘ ﻊﯾزﻮﺗ یﺎﻫﻪﮑﺒﺸﻣ یور ﺰﯿﻧ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز ﺪﯾوﺮﺘﻣ هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﮏﯾ یﺎﻫزاﺮﻓا یور ﺮﺑ ﻪﮐ یﺪﯾوﺮﺘﻣ .ﺪﻧراد ناواﺮﻓ دﺮﺑرﺎﮐ ﯽﺗﺎﯿﺒﯿﮐﺮﺗ ﮏﯾ ﻞﻘﺘﺴﻣ یﺎﻫﻪﻋﻮﻤﺠﻣ رﺎﺘﺴﺑ یهداﻮﻧﺎﺧ ﻢﯿﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﯾا رد .دﻮﺷﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ زاﺮﻓا ﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﯽﻣ ﻪﺋارا یزاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾ لﺎﺣ ﻦﯾا ﺎﺑ .ﺪﺷﺎﺑﯽﻤﻧ ﻪﮑﺒﺸﻣ ﺎﻣوﺰﻟ هاﻮﺨﻟد ﺪﯾوﺮﺘﻣ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﯾﺬﭘﻊﯾزﻮﺗ یﺎﻫﻪﮑﺒﺸﻣ نآ یﺎﻫ رﺎﺘﺴﺑ هداﻮﻧﺎﺧ

ﻪﻣﺪﻘﻣ

.١

.ﺪﻨﺘﺴﻫ یاﻪﯾﺎﭘ و ﯽﺳﺎﺳا ﯽﺗﺎﯿﺒﯿﮐﺮﺗ یزﺎﺳﻪﻨﯿﻬﺑ ﻞﺋﺎﺴﻣ زا ﯽﺧﺮﺑ یاﺮﺑ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز ﻊﺑاﻮﺗ و ﺎﻫﺪﯾوﺮﺘﻣ ﻦﯿﻣﺎﺗ یﺎﻫ هﺮﯿﺠﻧز ،ﻦﯿﺷﺎﻣ یﺮﯿﮔدﺎﯾ ،ﺮﯾوﺎﺼﺗ شزادﺮﭘ رد ﯽﻧاواﺮﻓ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ ﯽﻟوﺪﻣ ﺮﯾز یزﺎﺳ ﻪﻨﯿﻬﺑ

2010 Mathematics Subject Classiﬁcation. 90C27; 90C99;

. ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز یزﺎﺳ ﻪﻨﯿﻬﺑ ، زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ،ﯽﺗﺎﯿﺒﯿﮐﺮﺗ یزﺎﺳﻪﻨﯿﻬﺑ .یﺪﯿﻠﮐ نﺎﮔژاو ناﺮﻨﺨﺳ^∗ ١

(2)

یﻮﺳﻮﻣ یﺪﻤﺣا ،ﯽﺘﻟود ٢

یﺎﻫهداﻮﻧﺎﺧ یور ﺮﺑ ﯽﻟوﺪﻣ ﺮﯾز یﺎﻫ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﺮﯿﻈﻧ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز ﻊﺑاﻮﺗ ﯽﻓﺮﻃ زا .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﯽﻣ اراد ... و .ﺪﻧﻮﺷﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ راد ﻢﻤﺘﻣ ﺮﯾﺬﭘ ﻊﯾزﻮﺗ یﺎﻫ ﻪﮑﺒﺸﻣ صﻮﺼﺧ ﻪﺑ ،رادﻢﻤﺘﻣ ﺮﮔا ﺖﺳا^١ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾزf : 2^V −→Rیاﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻊﺑﺎﺗ .١.١ ﻒﯾﺮﻌﺗ

∀A, B ⊆V : f(A) +f(B)≥f(A∪B) +f(A∩B)

ﺖﺳاEیﺎﻫﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز زا یاهداﻮﻧﺎﺧIو ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ یﻪﻋﻮﻤﺠﻣE ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٢.١ ﻒﯾﺮﻌﺗ :ﺪﻨﮐﯽﻣ قﺪﺻ ﺮﯾز ﻂﯾاﺮﺷ رد ﻪﮐ ١)∅ ∈ I,

٢)I₁ ⊆I₂ ∈ I =⇒I₁ ∈ I,

٣)I₁, I₂ ∈ I,|I₁ |<|I₂ |=⇒ ∃e ∈I₂−I₁ :I₁∪ {e} ∈ I

.[٢]ﺪﻨﻣﺎﻧﯽﻣ ﺪﯾوﺮﺘﻣ(E,I)جوز هﺎﮕﻧآ ﻪﮐ(E,I)ﺪﯾوﺮﺘﻣ زا یاﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ یهزاﺪﻧا ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑX ⊆E ﺮﻫ یاﺮﺑ^٢ ﻪﺒﺗر ﻊﺑﺎﺗ

ﯽﻨﻌﯾ ﺖﺳاX ﻞﻣﺎﺷ r : 2^E →Z, r(X) = max{|I| |I ⊆X, I ∈ I}

.ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ ﺎﻬﻧآ زا ﯽﮑﯾ زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﻪﮐ ﺪﻧراد ﯽﻔﻠﺘﺨﻣ عاﻮﻧا ﺎﻫﺪﯾوﺮﺘﻣ

٣ یزاﺮﻓا یﺎﻫﺪﯾوﺮﺘﻣ ri ﯽﻔﻨﻣﺎﻧ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋEi ﺮﻫ یاﺮﺑ و ﺪﺷﺎﺑE زا یزاﺮﻓاP ={E₁,· · · , Em}ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ i= 1, ..., mﺮﻫ یاﺮﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﺖﺳا ﻞﻘﺘﺴﻣF ⊆E یﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ترﻮﺻﻦﯾا رد .ﺖﺳا هﺪﺷ هداد .|F ∩Ei| ≤ri ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد .ﺖﺳا زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾ(E,FI)ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻢﯿﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧFI ﺎﺑ ار ﻞﻘﺘﺴﻣ یﺎﻫﻪﻋﻮﻤﺠﻣ یهداﻮﻧﺎﺧ وδi = 1هﺎﮕﻧآT ∩Ei ̸=∅نآ رد ﻪﮐr(T) =∑^m

i=1δi ﻢﯾرادT ⊆ E ﺮﻫ یاﺮﺑ حﻮﺿﻮﺑ .δi = 0ترﻮﺻﻦﯾا ﺮﯿﻏ رد S ⊆E یﻪﻋﻮﻤﺠﻣ^۴ رﺎﺘﺴﺑ ﺪﺷﺎﺑrﻪﺒﺗر ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾM = (E,F)ﺮﮔا .٣.١ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﯽﺗرﺎﺒﻌﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑS یﻪﻋﻮﻤﺠﻣ یﻪﺒﺗر ﺎﺑ نآ یﻪﺒﺗر ﻪﮐ ﺖﺳاS لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﺑا

closure(S) = {j ∈E :r(S∪ {j}) =r(S)}

ﯽﻠﺻا ﺞﯾﺎﺘﻧ .٢

.ﻢﯿﻫد ﯽﻣ ﻪﺋارا ﺎﻫﺪﯾوﺮﺘﻣ یاﺮﺑ ار ﺮﯾز ﯽﻠﮐ ﻪﺠﯿﺘﻧ اﺪﺘﺑا .ﺖﺴﯿﻧ ﻪﮑﺒﺸﻣ ﺎﻣوﺰﻟ ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾ ﻞﻘﺘﺴﻣ یﺎﻫﻪﻋﻮﻤﺠﻣ رﺎﺘﺴﺑ یهداﻮﻧﺎﺧ .١.٢ ﻪﯿﻀﻗ .دﻮﺷ ﯽﻣ ﻪﮑﺒﺸﻣ ﮏﯾ نآ رﺎﺘﺴﺑ هداﻮﻧﺎﺧ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻢﯿﻫد ﯽﻣ نﺎﺸﻧ و ﻢﯾزﺎﺳ ﯽﻣ صﺎﺧ ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾ لﺎﺣ و|E|=n ﺎﺑ ﯽﻬﺗﺎﻧ و ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ یﻪﻋﻮﻤﺠﻣE ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ رد ﯽﻌﯿﺒﻃ داﺪﻋا زاS = {ri}^mi=1 یﻪﻟﺎﺒﻧد .ﺪﺷﺎﺑE زا یزاﺮﻓاP = {P₁, P₂,· · · , Pm} یﺎﻫﻪﻋﻮﻤﺠﻣ یهداﻮﻧﺎﺧ و هداد نﺎﺸﻧM(P, S)ﺎﺑ ار ﻪﻟﺎﺒﻧد و زاﺮﻓا ﻦﯾا ﺮﯿﻈﻧ ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ

١Submodular

٢Rank function

٣Partition matroid

۴Closure

(3)

٣ ﯽﻟوﺪﻣﺮﯾز یزﺎﺳ ﻪﻨﯿﻬﺑ و زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ

.ﻢﯿﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ FI, FC ﺐﯿﺗﺮﺗﻪﺑ ار رﺎﺘﺴﺑ و ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺖﺑﺎﺛ یﻪﻟﺎﺒﻧد ﺖﺳا ﺮﻈﻧ ﺪﻣ ﺎﺠﻨﯾا رد ﻪﮐ یزاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﺮﯿﻈﻧ ﻪﻟﺎﺒﻧد

ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺲﭘ .ﺖﺳا{1} −i= 1^m FI ={T |T ⊆E , |T ∩Pi| ≤1 ∀i∈ {1,2, ..., m}}

FCl ={closure(X)|X ∈ FI}

ﯽﻨﻌﯾ ﺖﺳا ﻪﮑﺒﺸﻣ زاﺮﻓا ﺪﯾوﺮﺘﻣ ﮏﯾ رﺎﺘﺴﺑ یهداﻮﻧﺎﺧ .٢.٢ ﻪﯿﻀﻗ

∀A, B ∈ FCl=⇒A∪B, A∩B ∈ FCl

یزﺎﺳ ﻪﻨﯿﻬﺑ ﻪﻟﺎﺴﻣ ﮏﯾ باﻮﺟ یﺎﻀﻓ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻣ یﺪﯾوﺮﺘﻣ ﻦﯿﻨﭼ یﺎﻫ رﺎﺘﺴﺑ ی هداﻮﻧﺎﺧ اﺬﻟ .دﻮﺷ حﺮﻄﻣ ﯽﻟوﺪﻣ ﺮﯾز ﻊﺟاﺮﻣ

1. Nemhauser. G, Wolsey. A, ”Integer and Combinatorial Optimization”, Wiley, 1988.

2. Fujishige. S, ”Submodular Functions and Optimization”, North Holland, Ams- terdam. 2005

3. Oxley. J,”Matroid Theory”, (Oxford University Press, Oxford, 1992).

4. Welsh. D. J. A.,” Matroid Theory”, (Academic Press, London, 1976).