Recently, the generalized exponential basis function (GEBF) meshless method has been introduced

یشهوژپ یملع همانهام

یسدنهم کیناکم

سردم

mme.modares.ac.ir

Please cite this article using:

میمعت ییامن هیاپ عباوت شور زا هدافتسا اب نامز هب هتسباو لئاسم لح هتفای

یبیسم دیشرف رنهاب داوجدّمحم ،

*1

یدعسا اتیزآ ،

2 3

-1 رایشناد

، نارمع یسدنهم ناهفصا ،ناهفصا هاگشناد ،

-2 ،دشرا سانشراک دزی ،دزی هاگشناد ،نارمع یسدنهم

-3 دزی ،دزی هاگشناد ،نارمع یسدنهم ،رایداتسا

* یتسپ دک ،ناهفصا 73441

- 81744

، mossaiby@eng.ui.ac.ir

هلاقم تاعلاطا هدیکچ

لماک یشهوژپ هلاقم :تفایرد دادرخ28 1396

:شریذپ رویرهش21 1396

:تیاس رد هئارا نابآ05

1396 هتشر رثکا رد

هراپ لیسنارفید تلاداعم لح هب زاین یسدنهم یاه .دراد دوجو یا

قد باوج هبساحم قی

ارب ی ا نی دراوم رد زج هب تلاداعم زا هتسد

ناکما صاخ ذپ ری من ی هک ،دشاب ا نی ازفا ثعاب رما شی مها تی شور اه ی ددع ی م ی .دوش پ اب ماگمه تفرشی ژولونکت و ملع رد شور ،ی

یاه

دج یدی ارب ی د تلاداعم لح هراپ لیسنارفی

یا .تسا هدش هئارا شور نیا هلمج زا

یم اه شور هب ناوت نودب یاه

ی .درک هراشا هکبش ک

ی زا نیا

شور لاس رد هک اه اه

ی خا ری هعسوت هتفای نودب شور ،تسا اپ عباوت هکبش

هی امن میمعت یی هتفای م ی دشاب ا رد . نی تروص هب لوهجم عبات شور

کرت بی طخ ی ت زا امن عباو یی رظن رد هتفرگ م ی دوش طخ لئاسم رد . ی

ارض بی تروص هب ی م هبساحم ی دنوش هک مرف هکبش طاقن رد هلداعم نگمه هب

دوش هدروآرب قیقد تروص ارب .

ی یطخریغ لئاسم لح یزرم طیارش و لیسنارفید هلداعم ،

ور زا هدافتسا اب نتوین درکی

- ورتناک

،چی طخ ی لح و یزاس

م ی لاقم نیا رد .دنوش هتسباو یطخریغ و یطخ لئاسم شور ییاراک یسررب روظنم هب .تسا هدش هداد هعسوت نامز هب هتسباو لئاسم هب شور نیا ه

هرهب اب تادماج کیناکم رد نامز هب باوج اب یداهشیپ شور زا لصاح جیاتن هسیاقم .تسا هدش یسررب شور نیا زا یریگ

زا ناشن یلیلحت یاه

زا رتمک یاطخ( بسانم تقد .دراد هدش هئارا شور )دصرد1

:ناگژاو دیلک هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت شور شور یددع یاه

شور هکبش نودب یاه یطخریغ و یطخ لئاسم

نامز شیامیپ

Solving time-dependent problems using the generalized exponential basis functions method

Farshid Mossaiby^1*, Mohammad Javad Bahonar², Azita Asadi²

1- Civil Engineering Department, University of Isfahan, Isfahan, Iran.

2- Civil Engineering Department, Yazd University, Yazd, Iran

* Zip Code: 81744-73441 Isfahan, Iran, mossaiby@eng.ui.ac.ir

ARTICLE INFORMATION ABSTRACT

Original Research Paper Received 18 June 2017 Accepted 12 September 2017 Available Online 27 October 2017

Partial differential equations are needed in most of the engineering fields. Analytical solutions to these equations cannot be derived except in some very special cases, making numerical methods more important. Alongside advances in science and technology, new methods have been proposed for solution of partial differential equations, such as meshless methods. Recently, the generalized exponential basis function (GEBF) meshless method has been introduced. In this method the unknown function is approximated as a linear combination of exponential basis functions. In linear problems, the unknown coefficients are calculated such that the homogenous form of main differential equation is satisfied in all points of the grid. In order to solve nonlinear equations, Newton-Kantorovich scheme is first used to linearize them. The linearized equations are then solved iteratively to obtain the result. In this paper, time dependent problems in solid mechanics have been investigated. In order to examine performance of the proposed method, linear and non-linear problems in solid mechanics are considered and the results are compared with analytical solutions. The results show good accuracy (less than 1 percentage error) of the presented method.

Keywords:

generalized exponential basis function numerical methods

meshless methods linear and non-linear problems time marching

-1 همدقم

پ اب تفرشی سدنهم مولع هلمج زا مولع نوزفازور

،ی سدنهم لئاسم ی

زور هب زور

پ هدیچی رت م ی دندرگ شور . اه ی ددع ی هنیمز رد دنمناوت رایسب یرازبا لح

نیا

دنتسه لئاسم .

دشر نوزفازور هنایار اه تابساحم تعرس و تردق و نآ

اه هب

سدنهم کمک نا

پ هب و هدمآ تفرشی ا نی ازسب کمک ملع یی

م ی

،دنک هنوگ هب ا ی

اهرازفا مرن هک ی

ددع لح ی اهرازبا زا ی ندشنادج ی هفرح سدنهم ی دبت لی

هدش .تسا

-1-1 شور یددع یاه شور

اه ی ددع ی ددعتم ی نونکات عادبا هدش ا هلمج زا .تسا نی

شور اه

م ی ناوت شور هب اه ی دودحم لضافت

،1

شور اه ی ازجا ی دودحم شور ،2

اه ی

زرم ناملا

3ی شور ، اه ی هکبش نودب غ و4

هری ره .درک هراشا کی

شور زا اه ی

اهدربراک قوف ی

و دشر لاح رد ناققحم مه زونه و دنراد ار دوخ صوصخم

شور عادبا و لماکت اه

ی دج دی .دنتسه

1 Finite difference method (FDM)

2 Finite element method (FEM)

3 Boundary element method (BEM)

4 Meshfree method

شور-2-1 هکبش نودب یاه

یکی رتمهم زا نی شور یاه ددع لح

،ی م دودحم ازجا شور ی

دشاب . دوجو اب

هنیمز مه زونه دودحم ازجا شور نوزفازور تفرشیپ نیا هک دنراد دوجو ییاه

نآ لح هدهع زا شور یمنرب یبوخ هب اه

یم لاثم ناونع هب هک دیآ هب ناوت

درک هراشا دودحمان هنماد اب لئاسم ای و هاتوک جوم لوط اب جوم راشتنا [

]1 . اب

تساک هب هجوت ی

ییاه جا شور رد هک ن ،دش هدهاشم دودحم از

زای هب کی شور

دج دی یتساک نیا ندرک فرط رب یارب اه

یم ساسحا دش

ا زا . نی هتسد ور ا ی زا

شور شور مان هب اه اه

ی عادبا هکبش نودب دش

. یکی شور زا اه ی هکبش نودب

لوا هی ارب ی لوا نی گ راب ناقانم و دلوگنی ه ناونع تحت1

کیمانیدوردی تارذ

راومه دش هئارا2

[ ]2 ل . ناراکمه و یکسربی ه

کیمانیدوردی تارذ هدش راومه

ار

د رد کیمانی درک هدافتسا تادماج دن

[ ]3 . یم شور نیا تلااکشا هلمج زا ناوت

هک دومن هراشا اهزرم رد قیقدریغ باوج هب ارب

ی لوا نی س طسوت راب لگیوی

[ ]4

سررب دروم ی ط .تفرگ رارق ی

لاس ه ا ههد و شور اه اه ی دج دی عونتم و ی عادبا

دش

،ه اراک هب زور هب زور یی

دش هدوزفا هکبش نودب شور تسا ه

و رامش هزورما

ا نی شور ب زا زواجتم اه تسی

م شور ی دشاب ره هک کی اراد ی ازم ای اعم و بی و

اهدربراک ی هب صوصخم دنتسه

.

هیاپ عباوت شور-3-1 هتفای میمعت ییامن

پ اب تفرشی شور اه ی شور ،هکبش نودب اه

ی دج هکبش نودب دی

طسوت

ققحم نا درگ عادبا هدی هعسوت و هتفای دنا . یکی شور زا اه ی هدش هداد هعسوت

اپ عباوت شور هی

امن

3یی م ی دشاب لوا هک نی ناراکمه و دنمورب طسوت راب [

]5

ا .دش هئارا هدی لصا ی ا نی شور

، د تلاداعم هاگتسد لح لیسنارفی

اب زا هدافتسا

اپ عباوت هی امن یی م ی دشاب . سم [ ناراکمه و یبی زین ]6

اپ عباوت شور هی

امن یی

معت می هتفای نیا زا ییامن هیاپ عباوت شور هب تبسن شور نیا .دنداد هئارا ار4

لیسنارفید تلاداعم یطخریغ و یطخ عاونا یارب هک تسا رادروخرب تیزم یم و تسا هدافتسا لباق نیا رد .درک هدافتسا زین تباثریغ بیارض زا ناوت

رد شور نیا ،تادماج کیناکم رد نامز هب هتسباو لئاسم لح یارب شهوژپ ن اکیتمتم رازفا مر تسا هدش هداد هعسوت5

[ ].7

شور-2 ییامن هیاپ عباوت

-2 -1 یفرعم

همادا رد اپ عباوت شور هصلاخ تروص هب هی

ییامن ارب ی ئزج تاقتشم اب لئاسم ی

ضوت6

حی م هداد ی دوش . هنماد اب یدعب هس ای یدعبود هلأسم کی رگا زرم اب وΩ

Γ = ∂Ω هلداعم تروص هب :دوش هتفرگ رظن رد(1)

(1) 𝐋_Ω𝐮 = 𝐟_Ω Ω رد

𝐋_Γ𝐮 = 𝐟_Γ Γ یور

نآ رد هک غتم رادرب𝐮

اهری و 𝐋_Ω و 𝐟Ω

ترت هب بی رگلمع د یلیسنارفی طخ

ی و

عبات س م ور هلداعم تسار ت ی

هنماد تساΩ نچمه . نی 𝐋_Γ و 𝐟Γ

رگلمع زرم ی و

ور هلداعم تسار تمس عبات ی

زرم تساΓ کرت زرم اب لئاسم رد . یبی

د هلشیری

7

و نامیون

، 8

طیارش زرم ی تروص هطبار فرعم(2) ی م ی ددرگ :

1 Gingold and Monaghan

2 Smoothed-particle hydrodynamics

3 Exponential basis functions (EBF)

4 Generalized exponential basis functions (GEBF)

5 Wolfram Mathematica

6 Partial differential equation (PDE)

7 Dirichlet

8 Neumann

𝐋_Γ={^{𝐋𝐷 Γ𝐷}یور (2)

𝐋_𝑁 Γ_𝑁یور^{, 𝐟Γ =}{^{𝐟𝐷 Γ𝐷}یور 𝐟_𝑁 Γ_𝑁یور

نآ رد هک 𝐋_𝐷 و 𝐋_𝑁 ترت هب بی امن رگنای یاهرگلمع د

هلشیری ن و نامیو .دنتسه

نچمه نی Γ_𝐷 و Γ_𝑁 امن هدنی تمسق اه ی د هلشیری ن و نامیو Γزرم هدوب و 𝐟_𝐷 و

𝐟_𝑁 ترت هب بی ور ی نآ رعت اه فی م ی ددرگ .

نگمه شخب ود هب هلداعم باوج یصوصخ و9

یم هیزجت10

:دوش

(3) 𝐮 = 𝐮^ℎ+ 𝐮^𝑝

هک نآ رد 𝐮^ℎ و 𝐮^𝑝 تروص هب هطبار رعت(4) فی م ی دندرگ :

(4) 𝐋_Ω𝐮^ℎ= 𝟎

𝐋_Ω𝐮^𝑝= 𝐟_Ω

ندوب یطخ هب هجوت اب 𝐋_Γ

یم هجیتن :دوش

(5) 𝐋_Γ𝐮 = 𝐋_Γ(𝐮^ℎ+ 𝐮^𝑝) = 𝐋_Γ𝐮^ℎ+ 𝐋_Γ𝐮^𝑝= 𝐟_Γ

روظنم هب لومرف تلوهس

،یدنب 𝐟_Ω= 𝟎 رظن رد یم هتفرگ دوش هک هجیتن رد

یم ناوت 𝐮^𝑝= 𝟎 تفرگ رظن رد .

یارب لک تلاح ی لومرف هدنناوخ ،یدنب

م ی دناوت هب عبنم [ ]5 م عجار ه یامن تروص لح نگمه تمسق .د هطبار

رد(6)

م هتفرگ رظن ی

دوش : 𝐮^ℎ≈ 𝐮̂=∑ψ_𝑖^ℎ𝑐_𝑖^ℎ (6)

𝑚^ℎ

𝑖=1

= 𝚿^ℎ𝐜^ℎ

ترابع نیا رد هک 𝑚^ℎ

هیاپ دادعت ،اه 𝚿^ℎ هیاپ عباوت لماش و ییامن

𝐜^ℎ رادرب

ارض بی م نآ هب طوبرم ی

دشاب . ارب هنومن ناونع هب ی

دعب ود لئاسم ی

مرف زا

exp(𝛼_𝑖𝑥 + 𝛽_𝑖𝑦) ارب

ی اپ عباوت هی ییامن م هدافتسا ی دوش هک 𝛼_𝑖, 𝛽_𝑖 یدادعا

طلتخم م ی دنشاب . اپ عباوت لئاسم رد هی

،ییامن 𝚿^ℎ هنوگ هب ا ی م باختنا ی ددرگ

هک نگمه مرف د تلاداعم

لیسنارفی ار هدروآرب اج زا .دنک ینیزگی ( هلداعم رد )6

( )4 یم هبساحم دوش

: 𝐋_Ω𝐮̂^ℎ= 𝐋_Ω𝚿^ℎ𝐜^ℎ= 𝐇𝚿^ℎ𝐜^ℎ= 𝟎 (7)

کی ندروآ تسدب یارب غ باوج

ری دب

11یهی دیاب مرتد نانی رتام سی اب ربارب𝐇

دشاب رفص : det 𝐇 = 0 (8)

هلداعم ( )7 هلداعم ناونع هب هصخشم

فرعم ی م ی دوش ساسا شقن و ی

شور رد

اپ عباوت هی ییامن ا افی م ی دنک هلداعم زا هدافتسا اب . (

)7 م ی ناوت 𝛼_𝑖 ار رب بسح

𝛽𝑖

و ای ب لا تسدب سکع دروآ

. رکذ هب مزلا تروص رد اهنت لبق هلداعم هک تسا

ی

عم ربت هک تسا 𝐋_Ω کی رگلمع طخ ی ارض اب بی .دشاب تباث

هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت شور -3 -3 -1 یفرعم اپ عباوت شور رد هی

امن یی معت می هتفای یتساک تسا هدش یعس عباوت شور یاه

هدرتسگ نآ لئاسم لح هنماد و فرطرب ییامن هیاپ .ددرگ رت

هب لاثم ناونع

ارض اب لئاسم لح بی

غتم ری یطخریغ لئاسم و یطخ زا سپ(

هب یزاس کمک

ن شور نتوی - وورتناک

12چی [ ]8 ) لباق شور نیا اب لح

.تسا رد ،همادا ادتبا

لومرف یدنب نیا ارب شور ی طخ لئاسم ی ضوت حی هداد و هدش لامعا اب سپس

کی رارکت شور لح شور ،ی غ لئاسم

یطخری ب نای دش دهاوخ .

-3 -2 یطخ لئاسم ( هلداعم نتفرگ رظن رد اب )4

و رقت بی عبات ندز ساسارب𝐮

کی کرت بی طخ ی

زا اپ عباوت هلداعم ،هی یم تسدب(9)

دیآ :

9 Homogeneous

10 Particular

11 Non-trivial

12 Newton-Kantorovich

(9) 𝐮 = 𝐮^ℎ+ 𝐮^𝑝≈ 𝐮̂ = 𝐮̂^ℎ+ 𝐮̂^𝑝

= ∑ 𝛙𝑖𝑐𝑖 𝑚

𝑖=1

= ∑ 𝛙𝑖(c_𝑖^𝑝+ c_𝑖^ℎ

𝑚

𝑖=1

)

نآ رد هک اپ عباوت دادعت اب ربارب𝑚

هی م ی دشاب رتام مرف رد .

،یسی ار لبق هلداعم

م ی ناوت ا هب نی :تشون لکش 𝐮 = 𝐮̂ = 𝚿𝐜 = 𝚿(𝐜^ℎ+ 𝐜^𝑝) (10)

تمسق یصوصخ هلداعم عجرم رد هدش هداد حرش شور زا هدافتسا اب [

]5 لباق

ا رد .تسا لح اجنی

کی طاقن زا هعومجم 𝐱_Ω,𝑗

هک 𝑗 = 1, . . . , 𝑛Ω

ور ی هنماد Ω

م باختنا ی ددرگ ( هلداعم سپس . ور )4

ی ا نی م لامعا طاقن زا هعومجم ی

:ددرگ 𝐋_Ω𝐮̂^p|_𝐱 (11)

Ω,𝑗= 𝐋_Ω𝚿|_𝐱

Ω,𝑗𝐜^𝑝= 𝐟_Ω|_𝐱

Ω,𝑗

هلداعم ( ) 11 رتام مرف رد یسی ا هب نی امن لکش شی م هداد ی دوش :

(12) 𝐐𝐜^𝑝= 𝐡

رطس رتام زا ما𝑗 سی یاه و𝐐 ا هب𝐡 نی رعت تروص فی م ی دنوش :

(13) (𝐐)𝑗= 𝐋Ω𝚿| _Ω,𝑗

(𝐡)𝑗= 𝐟Ω|x_Ω,𝑗

( هلداعم زا ارض )12

بی 𝐜^𝑝 ا هب نی م هبساحم تروص ی

ددرگ : 𝐜^𝑝= 𝐐⁺𝐡 (14)

سوکعم هدنهد ناشن + تملاع نآ رد هک هتفای میمعت

روم - زورنپ م1

ی دشاب

[ ].9 رادقم 𝒖̂^𝑝 هلداعم زا ( ) 14 ا هب نی م هبساحم تروص ی

ددرگ : 𝐮 (15)

̂^𝑝= 𝚿𝐜^𝑝= 𝚿𝐐⁺𝐡

( هلداعم لامعا اب رد )4

𝐱_Ω,𝑗 : 𝐋_Ω𝐮̂^ℎ|_𝐱 (16)

Ω,𝑗= 𝐋_Ω𝚿|_𝐱

Ω,𝑗𝐜^ℎ= 𝟎

رتام مرف رد هک یسی

:زا تسا ترابع 𝐐𝐜^ℎ= 𝟎 (17)

ارب ی کی غ باوج ری دب

،یهی 𝐜^ℎ اب دی اضف وضع ی

2چوپ رتام سی .دشاب𝐐 𝐜^ℎ∈ null(𝐐) (18)

𝐜^ℎ رگا لبق هلداعم اه ی

م ،دنک عانقا ار ی

ناوت کرت تروص هب ار نآ هب بی

طخ ی

اپ عباوت زا هی اضف رد یی مان هب 𝐭_𝑖 :تشون 𝐜^ℎ=∑𝐭_𝑖𝑑_𝑖= 𝐓𝐝 (19)

𝑏

𝑖=1

نآ رد هک 𝑑_𝑖 ارض بی ،صخشمان اپ دادعت𝑏

هی یاه و اضف رتام𝐓 یسی تسا هک

نوتس اه ی 𝐭_𝑖 نآ اه تسا . اب ( هلداعم لامعا ( هلداعم رد )19

:)7 𝐮 (20)

̂^ℎ= 𝚿𝐓𝐝

ارش لامعا روظنم هب طی

زرم ی کی ور طاقن زا هعومجم ی

تروص هب زرم 𝐱_Γ,𝑗

هک 𝑗 = 1, . . . , 𝑛_Γ م باختنا

ی ددرگ ( هلداعم زا . ):5

𝐋_Γ𝐮̂^ℎ|_𝐱 (21)

Γ,𝑗= 𝐟_Γ|_𝐱

Γ,𝑗− 𝐋_Γ𝐮^𝑝|_𝐱

Γ,𝑗

کرت اب بی ( هلداعم ود ) 15

( و م ار لبق هلداعم )20 ی

ناوت ا هب نی :تشون تروص 𝐋_Γ𝚿|_𝐱 (22)

Γ,𝑗𝐓𝐝 = 𝐟_Γ|_𝐱

Γ,𝑗− 𝐋_Γ𝚿|_𝐱

Γ,𝑗𝐜^𝑝

رد تن هجی رادرب :اب تسا ربارب𝐝 𝐝 = (𝐏𝐓)⁺(𝐠 − 𝐏𝐜^𝑝) (23)

لبق هلداعم رد ماj

نی زا رطس و𝐏 :اب تسا ربارب𝐠

(24) (𝐏)𝑗= 𝐋Γ𝚿|𝐱_Γ,𝑗

(𝐠)_𝑗= 𝐟_Γ|_𝐱Γ,𝑗

رد تسا رکذ هب مزلا دنب لومرف

ی ا نی اپ عبات عون ره شور هی

رد لباق𝚿

هدافتسا یم بوسحم گرزب یتیزم دوخ رما نیا هک تسا دوش

. قیقحت نیا رد

اپ عباوت زا هی امن یی هدافتسا تسا هدش ا هب هجوت اب . هکنی

ا رد نی د شور رگی

ن یزای ن تسی د هلداعم نگمه مرف ات لیسنارفی

هدروآرب م ،دوش ی زا ناوت

تمسق اه ی قح یقی موهوم و ی عباوت ییامن هیاپ هدافتسا

درک ه تابساحم و ار

1 Moore-Penrose

2 Null space

دادعا اب اهنت قح

یقی ا داد ماجن رب . یا لاثم دروم رد اپ عباوت هی امن یی دعب هس ی

:رلاکسا

(25) 𝜓 = exp(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧)    

 𝛼 = 𝑎 + i𝑏,  𝛽 = 𝑐 + i𝑑 , 𝛾 = 𝑒 + i𝑓  𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℝ

قح تمسق یقی موهوم و هب ی تروص هلداعم دوب دهاوخ(26)

:

(26) 𝜓₁= ℜ(𝜓) = exp(𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑒𝑧)cos(𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧)

𝜓₂= ℑ(𝜓) = exp(𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑒𝑧)sin(𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧)

هبساحم اب تن رد و(𝐝

هجی 𝐜^𝑝 و ) 𝐜^ℎ لوهجم عبات هاوخلد ناکم ره رد𝐮

ی زا

م تسد هب هنماد ی

دیآ .

-3 -3 یطخریغ لئاسم

غ لئاسم لح روظنم هب ری

طخ ی اپ عباوت شور هب هی

امن یی معت می

،هتفای زا شور

ن نتوی - ورتناک چی [ ]8 م هدافتسا ی ددرگ . طخ تلاداعم ی

نامه زا هدافتسا اب هدش

طخ شور ی رارکت تروص هب دش هراشا نآ هب لبق هلحرم رد هک ی

لح

م ی دنوش . رد ا اجنی کی لداعم ه لک تروص هب یطخریغ ی

رظن رد یم هتفرگ دوش :

(27) 𝐍_Ω𝐮 = 𝐟_Ω Ω رد

𝐍_Γ𝐮 = 𝐟_Γ Γ_𝑁یور

نآ رد هک 𝐍_Ω و 𝐍_Γ ترت هب بی هدنهد ناشن رگلمع

غ یطخری ور ی زرم و هنماد

م ی دشاب ارب . ی اب لبق تلاداعم عانقا دی

قاب هدنامی تروص هب هک هلداعم

(28)

رعت فی م ی

،ددرگ :دوش رفص اب ربارب زرم و هنماد رد

(28) 𝐫_Ω= 𝐍_Ω𝐮 − 𝐟_Ω

𝐫Γ= 𝐍Γ𝐮 − 𝐟Γ

غت نتفرگ اب ریی

3 تا زا هلداعم یم هجیتن(28)

دوش :

(29) δ𝐫_Ω= δ(𝐍_Ω𝐮 − 𝐟_Ω) = δ(𝐍Ω𝐮) = 𝐋̅_Ωδ𝐮

δ𝐫_Γ= δ(𝐍_Γ𝐮 − 𝐟_Γ) = δ(𝐍_Γ𝐮) = 𝐋̅_Γδ𝐮

نآ رد هک 𝐋̅_Ω و 𝐋̅_Γ رف تاقتشم

4هش مان هدی م ی و دنوش ترت هب بی اب ربارب رگلمع

طخ ی م زرم و هنماد رد هدش ی

دنشاب قاب رادقم . هدنامی لوهجم عبات و ا ،𝐮

نی

هنوگ رقت بی م هدز ی دوش : 𝐮^(𝑘+1)= 𝐮^(𝑘)+ δ𝐮^(𝑘) (30)

و (31) 𝐫_Ω^(𝑘+1)= 𝐫_Ω^(𝑘)+ δ𝐫_Ω^(𝑘)

𝐫Γ(𝑘+1)= 𝐫Γ(𝑘)+ δ𝐫Γ(𝑘)

ا ضرف اب هکنی رد 𝑘 + 1 قاب رادقم ماگ هدنامی

:دشاب رفص

(32) δ𝐫_Ω^(𝑘)= −𝐫_Ω^(𝑘)

δ𝐫_Γ^(𝑘)= −𝐫_Γ^(𝑘)

اربانب و نی :

(33) 𝐋̅^(𝑘)Ωδ𝐮^(𝑘)= −𝐫Ω(𝑘)

𝐋̅^(𝑘)Γδ𝐮^(𝑘)= −𝐫Γ(𝑘)

لااب یاهرگلمع گتسب

ی هلحرم رد لوهجم عبات هب لااب تلاداعم .دراد ما𝑘

طخ تلاداعم ی

م ی دنشاب شور زا هدافتسا اب و اه

ی رد هدش هئارا لبق تمسق

م ی ناوت رادقم رادقم و هبساحم ار𝛿𝐮 لصا هلداعم رد ار𝐮

ی ناسرزورب ی :درک

δ𝐮̂ = δ𝐮̂^ℎ+ δ𝐮̂^𝑐= 𝚿δ𝐜 = 𝚿(δ𝐜^ℎ+ δ𝐜^𝑝) (34)

-3 -4 شور یزاس هدایپ

اضف هبساحم ی

چوپ رتام سی ارض هبساحم و𝐐 بی

ارب ی تمسق اه ی و نگمه

صاخ رتمهم زا باوج نی

تمسق اه ی ا نی م شور ی دشاب ا . نی ب تمسق نیرتشی

رد ار نامز م رب

ی دریگ و اربانب نی اب دی تقد هب هدایپ یزاس شور .دوش اه

ی

زاوم تابساحم

5ی م مه ی دناوت ارب ی لوت دی رتام سی رق هدافتسا دروم𝐐 را

گ دری

[ ].7

3 Variation

4 Fréchet derivative

5 Parallel computation

هب هجوت اب اضف و سوکعم ،دش هتفگ لبق شخب رد هچنآ ی

رتام چوپ سی رد𝐐

ارف دنی ن دروم لح زای رتهب .تسا نی ارب شور ی ا هبساحم نی زا هدافتسا ود

زجت هی اهرادقم ی درفنم م1

ی دشاب : 𝐐 = 𝐔𝚺𝐕^∗ (35)

نآ رد هک سیرتام اه ی و𝐔 درف هب رصحنم𝐕 هدوب

و رتام𝚺 یسی رطق تسا ی

داقم لماش هک ری

کت نی 𝜎_𝑘 م ی دشاب :

(36) (𝚺)_𝑘𝑘= 𝜎_𝑘  𝑘 یورعمجنودب

نچمه نی ونلااب سی جودزم هداهنارت∗ رتام2

سی م ی دشاب سوکعم . میمعت هتفای

روم - تروص هب زورنپ هلداعم

رعت(37) فی م ی ددرگ : 𝐐⁺= 𝐕𝚺⁺𝐔^∗ (37)

رتام نآ رد هک سی

رطق ی 𝚺⁺ تروص هب هلداعم رعت(38) فی م ی ددرگ : (𝚺⁺)_𝑘𝑘= {^𝜎𝑘 (38)

−1 𝜎_𝑘≠ 0 0 𝜎_𝑘= 0

س ت نو اه یی زا داقم لماش𝐕 ری کت نی رادقم هک ی تخاس رد ،دنراد رفص اب ربارب

رتام سی 𝐐⁺ رثا ی اربانب .دنرادن نی

رجت رادقم هبساحم اب هی

داقم ری کت نی

رتام سی رتام مه𝐐 سی رتام مه و سوکعم سی

اضف ی م تسد هب چوپ ی

دیآ .

-3 -5 هب ماگ لحارم هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت شور هب لح ماگ

اپ عباوت شور هب لح لحارم هی

امن هتفای میمعت یی ارب هصلاخ تروص هب

ی کی

طخ لاثم ی :زا تسا ترابع

) 1 لوت دی رتام سی ( هلداعم زا هدافتسا اب𝐐 )13

) 2 زجت هبساحم هی

داقم ری کت نی رتام سی 𝐐

) 3 هبساحم 𝐜^𝑝 ( هلداعم زا )14

) 4 هبساحم 𝐜^ℎ ( هلداعم زا هب )19

کمک هبساحم ( هلداعم زا𝐝 )23

) 5 اهن باوج هبساحم یی

𝐮

ز تروص هب لحارم یطخریغ لئاسم دراوم رد ری

دوب دهاوخ :

) 1 طخ ی ارش و هلأسم ندرک طی

زرم ی ( هلداعم زا هدافتسا اب )29

)2 لوا سدح نتفرگ رظن رد هی

ارب ی 𝐜^ℎ و 𝐜^𝑝

؛ داقم هچنانچ ری

لوا هی بسانم ی رد

ن تسد

،تسی زا دوش هدافتسا𝟎

)3 ( هلداعم لح )33

ندروآ تسدب و 𝛿𝐜^ℎ

و 𝛿𝐜^𝑝 شور زا هدافتسا اب ی

ارب هک ی

لئاسم یطخ دش هئارا

)4 هب یناسر زور داقم ری ( هلداعم(𝐜 زا هدافتسا اب )30

𝛿𝐜^ℎ و 𝛿𝐜^𝑝 هدش هبساحم

لبق هلحرم زا )

) 5 ارگمه هچنانچ لصاح یی

،دشن هرامش زا دوش رارکت هرابود3

4 شور- نامز شیامیپ یاه

3

هتسسگ نامز رد هلأسم یزاس یکی

ساسح زا رت نی ارف یاهدنی .تسا هلأسم لح

هک تشاد هجوت دیاب د ود

هاگدی ارب لح ی هلأسم اه ی دوجوم نامز هب هتسباو

هک تسا کی د هاگدی عس ی دبت و نامز فذح رب لی

د هلداعم لیسنارفی رادقم

لوا هی - م زرم رادق ی هعومجم هب ا

ی زرم رادقم تلاداعم زا ی

م ی دنک د و هاگدی

دعب ی قتسم لح می م نامز رد تلاداعم ی

دشاب عقاو رد هک کی

هاگتسد

ربج تلاداعم ی

اج نیزگی د تلاداعم لیسنارفی م هلأسم رب مکاح ی

دوش .

ارب ی اپ عباوت شور زا هدافتسا اب نامز هب هتسباو لئاسم لح هی

امن یی

معت می

،هتفای ا هب هجوت اب هکنی ا نی شور کی م هکبش نودب شور ی

دشاب لح زا

قتسم می نامز ی م هدافتسا ی دوش دب . نی ارب روظنم ی ن لئاسم لح زای

پ هب شیامی

م هلأسم نامز رد ی

دشاب ترابع هب . ی د رگی ارب ی هلأسم لح

، مز نا اب دی

1 Singular Value Decomposition (SVD)

2 Conjugate-transpose

3 Time marching

هتسسگ زاس ی ارب .دوش ی هتسسگ زاس ی نامز کی نامز ماگ ی باختنا کچوک

م ی دوش : Δ𝑡^𝑛= 𝑡^𝑛+1− 𝑡^𝑛 (39)

نآ رد هک هدنهد ناشن𝑛

هلحرم و Δ𝑡^𝑛 نامز ماگ هدنهد ناشن ی

.تسا

پ لئاسم شیامی م نامز ی دناوت نمض تروص ود هب

4ی رص و

5حی .ددرگ لح

رص شور حی شور ی ارب دوجوم تاعلاطا زا نآ رد هک تسا ی

هلأسم لح

م هدافتسا ی دوش نمض شور و ی

شور ی دوجومان و دوجوم تاعلاطا زا هک تسا

ارب ی م هدافتسا هلأسم لح ی

دوش شور . اه ی پ شیامی ماگ تروص هب نامز هب

ماگ

تسه دن نامز ماگ ره رد و ی

هلأسم لک ناکم دعب رد

م لح ی ددرگ باختنا .

نامز ماگ هزادنا ی

ارش یطی .دش دهاوخ ثحب نآ دروم رد همادا رد هک دراد

شور اه ی فلتخم ی ارب ی لح پ شیامی عون هب هجوت اب هک دراد دوجو نامز رد

م هدش هدافتسا شور هلأسم ی

دناوت تبا رد ثحب همادا رد .دشاب توافتم اد

هب

ضوت حی مهم زا دروم دنچ هب سپس و هتخادرپ دودحم لضافت شور رت

نی

شور اه ی م هراشا دوجوم ی

دوش [ ].10

-4 -1 شیپ لضافت

6ور سپ ،

7ور یزکرم و

8

زا دودحم لضافت ر رظن

یضای هب لکش 𝑓(𝑥 + 𝑏) − 𝑓(𝑥 + 𝑎) رعت

فی

م ی ددرگ رب قوف ترابع هچنانچ . 𝑏 − 𝑎

سقت می دودحم تمسق جراخ ،ددرگ

9

کشت لی م ی ددرگ لصا مرف هس . ی

پ شی

،ور سپ زکرم و ور ی ارب ی دودحم لضافت

.تسا دوجوم کی

پ لضافت شی ور تروص هب هلداعم رعت(40) فی م ی دوش :

𝛥_𝑓,ℎ[𝑓](𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) (40)

پ لضافت رد س

ور اج هب ی داقم زا هدافتسا ری

𝑥 + ℎ و داقم زا𝑥 ری و𝑥 𝑥 − ℎ

م هدافتسا ی دوش : 𝛥_𝑏,ℎ[𝑓](𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ℎ)  (41)

اهن رد و تی زکرم لضافت ی

ا هب هک نی رعت تروص فی م ی دوش : 𝛥_𝑐,ℎ[𝑓](𝑥) = 𝑓(𝑥 +1 (42)

2ℎ) − 𝑓(𝑥 −1 2ℎ)

-4 -2 شور حیرص یاه

پ شور زا هدافتسا شی

ور هتسسگ رد نامز یزاس 𝑡_𝑛

زکرم شور و ی

هبترم لوا

د ر هتسسگ ناکم یزاس 𝑥_𝑗

هلداعم هب رجنم م(43)

ی دوش : 𝑢_𝑗^𝑛+1− 𝑢_𝑗^𝑛 (43)

Δ𝑡 =𝑢_𝑗+1^𝑛 − 2𝑢_𝑗^𝑛+ 𝑢_𝑗−1^𝑛 Δ𝑥²

ا هک نی کی رص شور حی ارب ی هلأسم لح کی دعب ی م امرگ ی دشاب .

ا رد نی م شور ی ناوت 𝑢_𝑗^𝑛+1 داقم زا ار ری د رگی نآ رادقم هک تسا دوجوم اه

:درک هبساحم 𝑢_𝑗^𝑛+1= (1 − 2𝑟)𝑢_𝑗^𝑛+ 𝑟𝑢_𝑗−1^𝑛 + 𝑟𝑢_𝑗+1^𝑛 (44)

رد هک هطبار 𝑟 = Δ𝑡/Δ𝑥²(44)

.تسا ا کمک هب سپ نی

نتسناد و شور

رد تاصخشم هلحرم

م𝑛 ی ناوت نامز رد رظانتم تاصخشم 𝑛 + 1

تسد هب ار

دروآ [ ].11

نیا ددع رظن زا شور ی

اپ رادی ا ارگمه طرش و تس یارب یی

نآ 𝑟 ≤ 1/2

م ی دشاب [ ]12 لکش رد . امن1

یی زا نیا م هدهاشم شور ی

دوش .

-4 -3 شور ینمض یاه

ارب هچنانچ ی سپ شور زا لح ارب ور

ی هتسسگ نامز رد یزاس 𝑡_𝑛+1

شور زا و

4 Implicit

5 Explicit

6 Forward

7 Backward

8 Central

9 Difference quotient

Fig. 1 The explicit method stencil.

لکش حیرص شور یامن1

زکرم ی ارب ود هبترم ی

هتسسگ ناکم یزاس 𝑥_𝑗

هدافتسا

،دوش هلداعم (45)

م لصاح ی ددرگ : 𝑢_𝑗^𝑛+1− 𝑢_𝑗^𝑛 (45)

Δ𝑡 =𝑢_𝑗+1^𝑛+1− 2𝑢_𝑗^𝑛+1+ 𝑢_𝑗−1^𝑛+1 Δ𝑥²

ا هک نی کی نمض شور ی ارب ی هلأسم لح کی

دعب ی م امرگ ی دشاب . ا رد نی

م شور ی ناوت 𝑢_𝑗^𝑛+1 طخ تلاداعم هاگتسد لح زا ار ی

:درک هبساحم

(1+2𝑟)𝑢_𝑗^𝑛+1− 𝑟𝑢_𝑗−1^𝑛+1− 𝑟𝑢_𝑗+1^𝑛+1= 𝑢_𝑗^𝑛 (46)

ا نی مه شور هشی ددع رظن زا ی اپ رادی تسا ارگمه و

، شور هب تبسن اما اه

ی

رص حی ددع رظن زا ی ب تابساحم هب یرتشی

ن زای ز دراد اری نامز ماگ ره رد ی

اب دی

هلداعم هاگتسد لح هب تبسن دومن مادقا

[ ]11 طخ نامز هب تبسن اهاطخ . ی

و

م مود هجرد ناکم هب تبسن ی

دشاب . 𝛥𝑢 = 𝑂(Δ𝑡) + 𝑂(Δ𝑥²) (47)

لکش رد امن2 یی زا نیا شور ینمض م هدهاشم ی دوش .

هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت شور اب نامز هب هتسباو لئاسم لح-5 ا رد شخب نی م هتخادرپ لاثم دنچ لح هب ی

دوش ره رد . فرعم زا دعب لاثم ی

ارف ،لاثم تاعلاطا و عون دنی

سسگ ت ه زاس ی کشت و طاقن باختنا و لی

فرط

ضوت راصتخا هب هلداعم پچ و تسار حی

لئاسم دروم رد .تسا هدش هداد

،هدش لح یطخریغ یتارییغت لکش ادتبا

تلاداعم مآ تسدب رد سپس و هد

ارف دنی دش لامعا لح ه

دنا عسوت دک هک تسا رکذ هب مزلا . هدش هداد ه

هب رداق

لح طخ لئاسم عون ود ره ی

غ و یطخری سو هب اهدک .تسا هلی

مرن رازفا

تمتم اکی هخسن هداد هعسوت11 .تسا هدش

هلداعم عاونا لماش هدش لح لئاسم اه

ی د لیسنارفی دننام نامز هب هتسباو

هلداعم ،امرگ هلداعم راشتنا

جوم یدعبود و یدعب کی م

ی دشاب ا رد . نی شخب

دش یعس ه لاثم اه یی ش باختنا و هک د یاراد لحت باوج یلی ناوتب ات دنشاب

لصا باوج اب ار هدمآ تسدب باوج ی

اقم هسی درک تسدب باوج دراوم ریاس رد .

جیاتن اب هدمآ د عبانم

رگی هسیاقم تسا هدش .

زا هنومن دنچ لیسنارفید تلاداعم

دربراکرپ تادماج کیناکم رد لودج رد

.تسا هدش هئارا1 هوحن ندروآ تسدب لاداعم

ت د لیسنارفی لودج رد هدش هراشا سب و1

یرای

د رگی ت شاعترا ،زکرمتم راب روبع رد لپ شاعترا دننام دراوم زا ری

ور ی پ ی

هتسوپ و تاحفص شاعترا ،هدرتسگ سب و اه

یرای د تلاداعم دراوم زا لیسنارفی

Fig. 2 The implicit method stencil

لکش ینمض شور یامن2

لودج د هلداعم هنومن دنچ1

لیسنارفی سدنهم لئاسم رد ی

Table 1 Different types of differential equation in engineering problems

هطبار لیسنارفید هلداعم

𝜌𝑐_𝑝𝜕²𝑢

𝜕𝑥²− 𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0 کیسلاک ترارح لاقتنا هلداعم

𝐸𝜕²𝑢

𝜕𝑥²− 𝜌𝜕²𝑢

𝜕𝑡²= 0 یروحمیاضعا ردیلوط شاعترا هلداعم

𝐸𝐼𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥⁴− 𝜌𝜕²𝑢

𝜕𝑡²= 0 یشمخیاضعا ردیبناج شاعترا هلداعم

𝐺𝜕²𝜃

𝜕𝑥²− 𝜌𝜕²𝜃

𝜕𝑡²= 0 یاهناوتسایاهری تیبناج شاعترا

𝐸𝐼𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥⁴+ 𝜌𝐴𝜕²𝑢

𝜕𝑡²− 𝜌𝐼 × (1 + 𝐸

𝑘′𝐺) 𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥²𝜕𝑡²+𝜌²𝐼 𝑘′𝐺

𝜕⁴𝑢

𝜕𝑡⁴= 0

بناج شاعترا هلداعم ی

تارثا باستحا اب

ن یوری شرب ی ا و یسرنی نارود ی

𝜌𝐴𝜕²𝑢

𝜕𝑡²+ 2𝜌𝐴𝜈𝜕²𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑡 −(𝑃 − 𝜌𝐴𝜈²)𝜕²𝑢

𝜕𝑥²+ 𝐸𝐼𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥⁴= 0

بناج شاعترا هلداعم ی

ت ری اب کرحتم

تباث تعرس

𝐸𝐼𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥⁴= −𝛾𝐴 𝑔

𝜕²𝑢

𝜕𝑡²+𝐼𝛾 𝑔

𝜕⁴𝑢

𝜕𝑥²𝜕𝑡²

ا نامم رثا یسرنی شخرچ ی شاعترا رب

بناج ی رد لماک روط هب نامز هب هتسباو [

]13 ب نای سررب هب همادا رد .تسا هدش ی

دنچ

د هلداعم لاثم لیسنارفی

م هتخادرپ ی دوش .

-5 -1 لاثم –1 یروحم هلیم رد ترارح لاقتنا

امرگ هلداعم یکی

د تلاداعم عاونا زا لیسنارفی

ئزج تاقتشم اب ی

مرف هک تسا

لک ی :زا تسا ترابع نآ

𝜕𝑢 (48)

𝜕𝑡 = 𝑐²𝛻²𝑢

ا نی امد هلداعم ی 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) مسج رد ار

ی زا کی نگمه هدام یم ناشن

دهد .

𝑐² رض بی امرگ ذوفن یی و

𝛻²𝑢 سلاپلا نی تسا𝑢 هک تراکد هاگتسد رد ی

هب

تروص هلداعم (49) ب نای م ی :دوش

𝛻²𝑢 =𝜕²𝑢 (49)

𝜕𝑥²+𝜕²𝑢

𝜕𝑦²+𝜕²𝑢

𝜕𝑧²

رد ترارح لاقتنا هلداعم کی

م هلی ترابع ا تسا ز:

𝑐²𝜕²𝑢 (50)

𝜕𝑥²−𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0

ا رد هک نی هلداعم : 𝑐²= 𝑘 (51)

𝜌𝑐_𝑝

نآ رد هک لاگچ𝜌

،ی ( بسح رب kg/m³ ،) 𝑐_𝑝 فرظ تی امرگ یی و هژی ( بسح رب

J/(kg K) و ) گدنناسر𝑘 ی امرگ یی ( بسح رب W/(m K) ) م ی دشاب .

ا نی زا لاثم عجرم [ ]14 فده .تسا هدش باختنا نتفای

امد ی 𝑢(𝑥, 𝑡) رد

کی م هلی سم ی لوط هب 80 cm م ی

،دشاب بناج حطس هک ی

اع نآ قی راک ی ،هدش

اهتنا ود ی م هلی رد یامد 0^∘C امد و تسا هدش هتشاد هگن تباث ی

لوا هی نآ

اب ربارب 100 sin(𝜋𝑥/80)^∘C م

ی دشاب .

ارب ی هطبار تروص هب لیسنارفید هلداعم عورش هتفرگ رظن رد (52)

یم دوش :

𝜕𝑢 (52)

𝜕𝑡= 𝑐²𝜕²𝑢

𝜕𝑥²

سپ تروص هب سپس رد ور

نامز هتسسگ یزاس یم ماجنا ددرگ :

𝜕𝑢^(𝑛+1) (53)

𝜕𝑡 =𝑢^(𝑛+1)− 𝑢^(𝑛)

𝛥𝑡 = 𝑐²𝜕²𝑢^(𝑛+1)

𝜕𝑥²

(54)

−𝑢^(𝑛+1)+ 𝑐²𝛥𝑡𝜕²𝑢^(𝑛+1)

𝜕𝑥² = −𝑢^(𝑛)

−𝑢^(𝑛+1)+ 𝑐²𝛥𝑡𝑢_𝑥𝑥^(𝑛+1)= −𝑢^(𝑛)

j, n+1

j, n j+1, n j-1, n

j, n+1

j, n

j+1, n+1 j-1, n+1

هلداعم رد م لوهجم پچ فرط و مولعم تسار فرط(54)

ی دشاب هلحرم ره رد .

نامز رد امد عبات رادقم نتشاد اب نامز رد عبات رادقم ،هلداعم هاگتسد لح اب𝑡

𝑛 + 1 ازا هب ی م هبساحم طاقن مامت ی

ددرگ لوط هب هجوت اب . 80 cm

م

،هلی

ا هلأسم هنماد تروص هب ز

[0,80] اتسار رد ی اب هک تسا هدش هتفرگ رظن رد𝑥

لصاوف 0.5 cm هتسسگ رفص اب ربارب اهزرم رد عبات رادقم و تسا هدش یزاس رد

هتفرگ رظن عبات .تسا هدش رقت اب ربارب𝜓

بی ز ری :تسا هدش هتفرگ رظن رد 𝜓(𝛼) = exp (𝛼𝑥/80) (55)

داقم نآ رد هک ری

رد𝛼 هزاب [−5,5] لصاوف اب ا رد .تسا هدش باختنا0.1

اجنی

هداد رادقم اه ی ف یکیزی ارب ی ترابع سم لاگچ زا دنا

ی 8.92 g/cm³ امرگ ،

ی

و 0.093 cal/(g °C)هژی گدنناسر و

ی امرگ 0.95 cal/(cm s °C)یی هک

رد ا نی

تروص : 𝑐²= 1.158 cm²/s (56)

لکش رد .تسا هدش هداد ناشن لوا لاثم لح یلک یامن 3

لحت باوج یلی

هلداعم ترابع(56)

تسا زا : 𝑢(𝑥, 𝑡) = 100sin (𝜋𝑥 (57)

80) exp(−0.001785𝑡)

اپ عباوت شور اب هلأسم هی

امن یی باوج اب و هدش لح یلیلحت

اقم هلداعم هسی

Fig. 3 Solution overview of Example 1

لکش لوا لاثم لح یلک یامن3

)فلا(

)ب(

Fig. 4 Difference between analytical solution and GEBF solution in first and last time steps for Example 1

لکش و نیلوا رد هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت لح اب یلیلحت لح فلاتخا4

لوا لاثم یارب ینامز ماگ نیرخآ لکش رد .تسا هدش

یاطخ4 ازا هب هلأسم لح ی

ماگ نیلوا ( ینامز 𝑡 = 1s و )

( ینامز ماگ نیرخآ 𝑡 = 400s

) .تسا هدش هداد ناشن

نامه م هدهاشم هک روط ی

دوش ب رد اطخ رادقم نیرتشی

دوخ رادقم رتمک

زا دصرد0.1 تسا . لکش رد ییامن هیاپ عباوت شور لح و یلیلحت لح 5

هطقن یارب هتفای میمعت تاصتخم اب یا

𝑥 = 40 cm .تسا هدش هداد شیامن

کش نیا یم ناشن ل نیا لح هب رداق یبوخ رایسب تقد اب یداهنشیپ شور دهد

.تسا هدوب هلأسم -5 -2 لاثم –2 یروشنم ریت یروحم یاضعا رد یلوط شاعترا

د هلداعم لیسنارفی لوط شاعترا ی

اضعا رد ی روحم ی عطقم اب روشنم ی هب

هلداعم تروص تسا(58)

[ ]:13

−𝐴𝛾 (58) 𝑔

𝜕²𝑢

𝜕𝑡²+ 𝐴𝐸𝜕²𝑢

𝜕𝑥²= 0

رد هک نآ

،یلوط ییاجباج𝑢 تسلاا لودم𝐸

، هتیسی حطس𝐴

و عطقم نزو𝛾

ت دحاو ری م ی دشاب ترابع . هلداعم م ار(58)

ی ناوت هب تروص هلداعم ناشن(59)

:داد 𝑐²=𝐸𝑔 (59)

𝛾

𝜕²𝑢

𝜕𝑡² = 𝑐²𝜕²𝑢

𝜕𝑥²,

هلداعم ،جوم هلداعم ا

ی طخ ی هبترم د تلاداعم عون زا و مود لیسنارفی

اب

ئزج تاقتشم ی

م ی دشاب ارب . ی ن جوم هلداعم لح زای

عبات هب ارب𝑓(𝑥)

ی

هباج اج یی لوا

،هی ارب𝑔(𝑥) ی لوا تعرس هی ارش و طی زرم ی یم دشاب ا رد . نی

جوم لاثم ی هباج اب اج یی لوا هی 𝑓(𝑥) = 0.01sin(3𝑥) لوا تعرس و

هی 𝑔(𝑥) =

ارش و0 طی زرم ی اهتنا ود هزاب رد رفص [0,𝜋]

رظن رد یم هتفرگ دوش .

نچمه نی هداد رادقم اه ی ف یکیزی اب تسا ربارب 𝐸 = 10⁵Pa = 10N/cm²

و

𝜌 = 10g/cm³ .

ارب ی سپ شور زا هدافتسا لح رد ور

نامز لد هب لی تیهام

ف یکیزی جوم هدوبن حیحص و

یم ناوت زکرم شور زا ی

درک هدافتسا [

]:15

(60)

𝜕²𝑢^(𝑛+1)

𝜕𝑥² =𝑢^(𝑛+1)− 2𝑢^(𝑛)+ 𝑢^(𝑛−1) Δt²

𝜕²𝑢^(𝑛+1)

𝜕𝑥² Δt²− 𝑢^(𝑛+1)= −2𝑢^(𝑛)+ 𝑢^(𝑛−1) 𝑢_𝑥𝑥^(𝑛+1)𝛥𝑡²− 𝑢^(𝑛+1)= −2𝑢^(𝑛)+ 𝑢^(𝑛−1)

م هدهاشم ی دوش نتشاد اب هک رادقم ،لبق نامز رد و لاح نامز رد𝑢

رد𝑢

دعب نامز ی د هلداعم هاگتسد لح اب لیسنارفی

اپ عباوت شور هب هی

امن یی هب

تسد یم دیآ . هیلوا تعرس نتفرگ رظن رد یارب رعت هب هجوت اب

فی :تعرس 𝑢^′(0)=𝜕𝑢⁽⁰⁾ (61)

𝜕𝑡 =𝑢⁽⁰⁾− 𝑢^(𝑛−1) 𝛥𝑡

هبساحم اب سپس 𝑢^(𝑛−1)

هلداعم هطبار یم تسد هب(62)

دیآ : 𝑢^(𝑛−1)= −𝛥𝑡𝑢^′(0)+ 𝑢⁽⁰⁾ (62)

Fig. 5 Analytical solution and GEBF solution for point 𝑥 = 40 cm لکش هطقن یارب هتفای میمعت ییامن هیاپ عباوت شور لح و یلیلحت لح5 𝑥 = 40 cm

0 20 40 60 80

0.000000 5. 10⁶ 0.000010 0.000015

L cm

uuC

0 100 200 300 400

60 70 80 90 100

t cm

u,uC

u u