Untitled - University of Mohaghegh Ardabili Scientific Repository

(1)

(2)

يروﺎﻨﻓ و ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﺖﻧوﺎﻌﻣ

ﯽﺗﺎﻘﯿﻘﺤﺗ حﺮﻃ ﯽﯾﺎﻬﻧ شراﺰﮔ

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ یراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ

:حﺮﻃ يﺮﺠﻣ

رﻮﭘ ﻪﻟاﺪﺒﻋ ﺎﺿرﺪﻤﺤﻣ ﺮﺘﮐد

ﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐو تﺎﯿﺿﺎﯾر هوﺮﮔ مﻮﻠﻋ هﺪﮑﺸﻧاد

هﺪﯾدﺮﮔ اﺮﺟا ﯽﻠﯿﺑدرا ﻖﻘﺤﻣ هﺎﮕﺸﻧاد ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﺖﻧوﺎﻌﻣ هزﻮﺣ ﯽﻟﺎﻣ ﺖﯾﺎﻤﺣ و ﺐﯾﻮﺼﺗ ﺎﺑ حﺮﻃ ﻦﯾا .ﺖﺳا

1396 هﺎﻣ دادﺮﻣ

(3)

:ﻪﺑ ﻢﯾﺪﻘﺗ

مزﻮﺴﻟد ﺮﺴﻤﻫ

و

نﺎﻤﻠﺋا و ﻦﯾﺪﯾآ :ﻢﻧاﺮﺴﭘ

(4)

یرا سﺎﭙ و ﺪﻘ

يﺎﻫ ﺖﯾﺎﻤﺣ ﺮﻃﺎﺧ ﻪﺑ ﯽﻠﯿﺑدرا ﻖﻘﺤﻣ هﺎﮕﺸﻧاد ﯽﺸﻫوﮋﭘ مﺮﺘﺤﻣ ﺖﯾﺮﯾﺪﻣ و ﺖﻧوﺎﻌﻣ زا ﻪﮐ ﻢﻧاد ﯽﻣ مزﻻ دﻮﺧﺮﺑ .ﻢﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ﯽﻧادرﺪﻗ و ﺮﮑﺸﺗ لﺎﻤﮐ ﯽﺸﻫوﮋﭘ حﺮﻃ ﻦﯾا مﺎﺠﻧا رد ﻪﺒﻧﺎﺟ ﻪﻤﻫ

(5)

ﺎﺿرﺪﻤﺤﻣ :مﺎﻧ رﻮﭘ ﻪﻟاﺪﺒﻋ :ﯽﮔداﻮﻧﺎﺧ مﺎﻧ

:ﯽﺳرﺎﻓ ﻪﺑ ﯽﺸﻫوﮋﭘ حﺮﻃ ناﻮﻨﻋ

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ

:ﯽﺴﯿﻠﮕﻧا ﻪﺑ ﯽﺸﻫوﮋﭘ حﺮﻃ ناﻮﻨﻋ

Investigation of stability of diﬀerential equations by series method

ﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و تﺎﯿﺿﺎﯾر :هوﺮﮔ مﻮﻠﻋ :هﺪﮑﺸﻧاد ﯽﻠﯿﺑدرا ﻖﻘﺤﻣ :هﺎﮕﺸﻧاد 40 :تﺎﺤﻔﺻ داﺪﻌﺗ 96/5/3 :حﺮﻃ نﺎﯾﺎﭘ ﺦﯾرﺎﺗ 95/11/3 :حﺮﻃ زﺎﻏآ ﺦﯾرﺎﺗ

ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ،ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ :ﺎﻫهژاوﺪﯿﻠﮐ

هﺪﯿﮑﭼ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ،ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﻠﯿﺳو ﻪﺑ هژوﺮﭘ ﻦﯾا رد ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻪﺑ ﻪﻣادا رد .ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ار ^y^′′ ⁺٢^xy^′ ⁻٢^ny ⁼ ٠ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﯽﻣ ﺚﺤﺑ ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ يﺎﻫ باﻮﺟ درﻮﻣ رد ﺎﺘﯾﺎﻬﻧ .ﻢﯾزادﺮﭘ ﯽﻣ ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﺮﮔﻻ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد .ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ار ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ،ﺎﻬﯾﺮﺳ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ و ﻢﯿﻨﮐ

ث

(6)

ﺐﻟﺎﻄﻣ ﺖﺳﺮﻬﻓ

1 . . . . ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﺶﻫوﮋﭘ ي ﻪﻨﯿﺸﯿﭘ 1

5 . . . ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ^y^′′⁺٢^xy^′⁻٢^ny⁼٠و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ 2 6 . . . نآ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ 1.2 10 . . . ^y^′′⁺٢^xy^′⁻٢^ny⁼٠ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ 2.2 17 . . ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑاﻮﺗ زا يا هدر رد ﺮﮔﻻ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ 3 18 . . . ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﮔﻻ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ يﺎﻫ باﻮﺟ 1.3 22 . . . ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﮔﻻ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ 2.3 25 . . . . ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ 4 26 . . . ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ يﺎﻬﺑاﻮﺟ 1.4 29 . . . ﯽﺳﺪﻨﻫﺮﺑا ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ يراﺪﯾﺎﭘ 2.4 32 . . . . ﻊﺟاﺮﻣ

(7)

1 ﻞﺼﻓ

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﺶﻫوﮋﭘ ي ﻪﻨﯿﺸﯿﭘ

(8)

ﺎﻫهوﺮﮔ يور يﺎﻫﯽﺘﺨﯾﺮﻤﻫ يراﺪﯾﺎﭘ درﻮﻣ رد (1960)¹مﻻوا لاﻮﺳ ﮏﯾ زا ﯽﻌﺑﺎﺗ تﻻدﺎﻌﻣ يراﺪﯾﺎﭘ يﻪﻟﺎﺴﻣ :ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ مﻻوا لاﻮﺳ .ﺖﺳا ﻪﺘﻓﺮﮔ تﺄﺸﻧ ياﺮﺑ ﺎﯾآ .ﺪﺷﺎﺑ ﮏﯾﺮﺘﻣ هوﺮﮔ ﮏﯾ^(G٢, d) و هوﺮﮔ ﮏﯾ^(G١, .) ﻪﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ^h^:^G١−→ G_٢ ﺖﺷﺎﮕﻧ

d (

h(xy), h(x)h(y) )

< δﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد^{x, y}^∈^G١ﺮﻫ ياﺮﺑ ﺮﮔا ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ دﺮﮐ اﺪﯿﭘ ﯽﯾ^{δ >}٠ناﻮﺗﯽﻣ^{ε >}٠

؟ ^d⁽^{h(x), H(x)}⁾ ^{< ε} ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ^x ^∈ ^G١ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ ^H ^: ^G١ −→ G_٢ ﯽﺘﺨﯾﺮﻤﻫ هﺎﮕﻧآ نآ ﻪﺑ ﮏﯾدﺰﻧ ﯽﺘﺨﯾﺮﻤﻫ ﮏﯾ ﻊﻗﻮﻣ ﻪﭼ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺘﺨﯾﺮﻤﻫ ﮏﯾ ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ﻞﮑﺷ ﻪﺑ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﮏﯾ ﺮﮔا ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ

2زﺮﯾﺎﻫ ﻂﺳﻮﺗ ﺪﻨﺘﺴﻫ خﺎﻧﺎﺑ يﺎﻫﺎﻀﻓ^G٢و^G١ﻪﮐ ﯽﺘﻗو ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ﯽﻌﻤﺟ يﺎﻫﺖﺷﺎﮕﻧ ياﺮﺑ ﻪﻟﺎﺴﻣ ﻦﯾا .دراد دﻮﺟو .ﺖﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ( 1978)³ سﺎﯿﺳار ﻂﺳﻮﺗ زﺮﯾﺎﻫ يﻪﺠﯿﺘﻧ و ﺪﺷ ﻞﺣ (1941) .ﺪﺷﺎﺑ زﺎﺑ يهزﺎﺑ ﮏﯾÎ ^⊂^Rو (^K⁼^Cﺎﯾ^K⁼^R)^Kيﺮﻟﺎﮑﺳا ناﺪﯿﻣ يور راﺪﻣﺮﻧ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ^X ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ رﺎﺑⁿ ،^y ^:Î ^→^X ﺖﺷﺎﮕﻧ و هدﻮﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ^g^:Î ^→ ^X وâ٠, a_١, . . . , an:I → Kﻊﺑاﻮﺗ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ يﺮﺑاﺮﺑﺎﻧ زا ﺮﮔا^{.ε >}٠و ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾﺬﭘﻖﺘﺸﻣ

∥a_n(t)y⁽ⁿ⁾(t) +a_n₋_١(t)y⁽ⁿ⁻^١⁾(t) +. . .+a_١(t)y^′(t) +a_٠(t)y(t) +g(t)∥⩽ε, t∈I

t∈I ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ يرﻮﻃﻪﺑ ﺖﺳا دﻮﺟﻮﻣ ^y٠:I →X ﺮﯾﺬﭘﻖﺘﺸﻣ رﺎﺑⁿﺖﺷﺎﮕﻧ ﮏﯾ ﻪﮐ ﻢﯾﺮﯿﮕﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ

an(t)y_٠⁽ⁿ⁾(t) +a_n₋_١(t)y_٠⁽ⁿ⁻^١⁾(t) +. . .+a_١(t)y_٠^′(t) +a_٠(t)y_٠(t) +g(t) =٠

يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻢﯿﯾﻮﮔﯽﻣ ترﻮﺻ ﻦﯾا رد ،^lim^ϵ^→٠K(ϵ) =٠و^∥^y(t)⁻^y٠(t)∥⩽K(ε)و

an(t)y⁽ⁿ⁾(t) +a_n₋_١(t)y⁽ⁿ⁻^١⁾(t) +. . .+a_١(t)y^′(t) +a_٠(t)y(t) +g(t) =٠

.ﺖﺳا مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ياراد ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻧاﺪﯿﺿﺎﯾر ﻦﯿﻟوا (1993) ⁴ازﻮﻠﺑوا ﻪﮐ ﺪﺳرﯽﻣ ﺮﻈﻧ ﻪﺑ

.ﺖﺳا هدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار ﯽﻄﺧ

1Ulam 2hyers 3Rassias 4Obloza

(9)

ﻪﮐ ﺪﻧداد نﺎﺸﻧ و ﺪﻧدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار^y^′^{(t) =}^y(t)ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ (1998)²رژ و¹ﺎﻨﯿﺴﻟآ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﮏﯾ هﺎﮕﻧآ ،^|y^′^(t)⁻^{y(t)| ≤}^ϵﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد^t^∈Î ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ،^y^:Î ^→^Rﺮﯾﺬﭘﻖﺘﺸﻣ ﺖﺷﺎﮕﻧ ياﺮﺑ ﺮﮔا .^|^y(t)⁻^g(t)^{| ≤}^٣^ϵو^g^′^{(t) =}^g(t) ،^t^∈Î ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ دراد دﻮﺟو^g^:Î ^→^Rﺮﯾﺬﭘﻖﺘﺸﻣ و ﯽﺳﺎﻫﺎﮐﺎﺗ ﻂﺳﻮﺗ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و (2002) ارﻮﯿﻣ و (2001) ﺶﻧارﺎﮑﻤﻫ و ³ارﻮﯿﻣ ﻂﺳﻮﺗ رژ و ﺎﻨﯿﺴﻟآ زا ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻦﯾا

y^′(t) = λy(t) ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﺎﺑ ﺎﻬﻧآ ﺖﻘﯿﻘﺣ رد .ﺖﺳا هﺪﺷ هداد ﻢﯿﻤﻌﺗ (2002) ⁴ ﺶﻧارﺎﮑﻤﻫ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ار مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ (2003) نارﺎﮑﻤﻫ و ارﻮﯿﻣ ﻦﯾا ﺮﺑ هوﻼﻋ .ﺪﻨﺘﺷاد رﺎﮐوﺮﺳ يﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ار مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ يﻪﻟﺎﺴﻣ لﺎﺳ نﺎﻤﻫ رد ﺎﻬﻧآ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و هداد ﻢﯿﻤﻌﺗ ⁿ يﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﯽﻄﺧ نارﺎﮑﻤﻫ و ﯽﺳﺎﻫﺎﮐﺎﺗ .ﺪﻧاهدﺮﮐ ﺖﺑﺎﺛ ،ﺖﺳا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﮏﯾ^g(t)نآ رد ﻪﮐ^y^′^{(t) +}^{g(t)y(t) =}٠ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﮓﻧﻮﺟ .ﺪﻧاهدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار ^y^′⁺^p(t)y ⁺^{q(t) =} ٠ يﻪﻟدﺎﻌﻣ يراﺪﯾﺎﭘ (2006)⁵ﮓﻧﻮﺟ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و (2004) ﻦﯾا و هدﺮﮐ ﺖﺑﺎﺛ ^ty^′^{(t) +}^{αy(t) +}^βt^r^x٠ = ٠ يﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ار ﻪﺘﻓﺎﯾﻢﯿﻤﻌﺗ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ (2005)

6ﮓﻧاو .ﺖﺳا هدﺮﺑ رﺎﮑﺑ ^t^٢^y^′′^{(t) +}^αty^′^{(t) +}^{βy(t) =} ٠يﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ رد ار ﻪﺠﯿﺘﻧ

p(x)y^′+q(x)y+r(x) =٠ﻦﮕﻤﻫﺮﯿﻏ لوا ﻪﺒﺗﺮﻣ ﯽﻄﺧ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﺰﯿﻧ (2008) .ﺖﺳا هدﺮﮐ ﯽﺳرﺮﺑ ار ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻦﮕﻤﻫﺮﯿﻏ رﺪﻧاﮋﻟ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻣﻮﻤﻋ باﻮﺟ ،ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ (2007) ﮓﻧﻮﺟ ار نآ و هدروآ ﺖﺳﺪﺑ ، ^{p >} ٠ نآ رد ﻪﮐ ار⁽١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻٢^xy^′^{(x) +}^p(p⁺١^{)y(x) =}^∑^∞m=٠amx^m

رﺎﮑﺑ ،دﻮﺷ هدز ﺐﯾﺮﻘﺗ رﺪﻧاﮋﻟ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ يﻪﻠﯿﺳو ﻪﺑ ﺮﻔﺻ ﯽﮕﯾﺎﺴﻤﻫ رد ﺪﻧاﻮﺗﯽﻣ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﺮﻫ ﻪﮑﻨﯾا تﺎﺒﺛا رد رﺎﮑﺑ ﺎﺑ ﻞﺴﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ار مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ (2007) ﮓﻧﻮﺟ و ⁷ﻢﯿﮐ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا هدﺮﺑ ﺮﮔﻻ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ (2011 ،ﮓﻧﻮﺟ) ﻪﻟﺎﻘﻣ رد .ﺪﻧاهداد ﻢﯿﻤﻌﺗ ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ شور ندﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﯽﺳرﺮﺑ ﺖﺳا ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾⁿ ﻪﮐ ﯽﺘﻗو ^xy^′′^{(x) + (}١⁻^x)y^′^{(x) +}^{ny(x) =}٠

1Alsina 2Ger 3Miura 4Takahasi 5Jung 6Wang 7Kim

3

(10)

ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﮔﻻ ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ،(2016 ،نارﺎﮑﻤﻫ و رﻮﭘ ﻪﻟاﺪﺒﻋ) ﻪﻟﺎﻘﻣ رد

xy^′′+ (١⁺^ν⁻^x)y^′⁺^λy⁼٠

.ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ ﺮﯿﻏ ﺖﺒﺜﻣ دﺪﻋ^ν و^{λ >}٠نآ رد ﻪﮐ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ

(11)

2 ﻞﺼﻓ

و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ^y

^′′

⁺ ^٢ ^xy

^′

⁻ ^٢ ^ny ⁼ ^٠

(12)

نآ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ 1.2

ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻦﮕﻤﻫﺎﻧ ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻣﻮﻤﻋ باﻮﺟ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا رد

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

a_mx^m (1.2)

ﻪﺘﻓﺮﮔﺮﺑ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا ﺐﻟﺎﻄﻣ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﮐذ ﻪﺑ مزﻻ .ﺖﺳا ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾⁿ رد ﻪﮐ ﻢﯾروآ ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ار .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ (2009 ،ﻢﯿﮐ و ﮓﻧﻮﺟ) ي ﻪﻟﺎﻘﻣ زا ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ رد هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺷﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻊﺑﺎﺗ ،ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ .1.1.2 ﻒﯾﺮﻌﺗ

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =}٠ (2.2) .ﺪﻨﮐ قﺪﺻ

m⩾٢ياﺮﺑ و^c٠=c_١=٠ﻢﯿﻫدﯽﻣ راﺮﻗ

cm =











m−٢

∑٢ i=٠

(٢^i)!

m! a_٢_i

m−∏٢

j=٢ⁱ⁺٢ j=٢^k,k∈N

(j^٢−n^٢) m=٢^{k, k}^∈^N^,

m−٣

∑٢ i=٠

(٢ⁱ⁺١^)!

m! a_٢i+١

m∏−٢

j=٢ⁱ⁺٣ j=٢^k+١^,k∈N

(j^٢−n^٢) m=٢^k⁺١^{, k}^∈^N,

(3.2)

رد ^.^∏^mj=m⁻^٢(j^٢−n^٢) =١ﻢﯿﻨﮐﯽﻣ دادراﺮﻗ و ﺪﻧا هﺪﺷ هداد (1.2) يﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﻪﮐ ﺪﻨﺘﺴﻫ ﯽﯾﺎﻫنﺎﻤﻫ ﺎﻫ ^a^m ﻪﮐ ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ^m^{∈ {}٠^,١^,٢^{, ...}^}ﺮﻫ ياﺮﺑ ترﻮﺻنآ

(m+٢^)(m⁺١^)c^m+٢−(m^٢−n^٢)c_m =a_m. (4.2) ﺖﺑﺎﺛ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ اﺮﮕﻤﻫ^∑^∞^m=٠amx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ، ^{ρ >}^١ﻪﮐ ^x ^∈^{(−ρ, ρ)} ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﮔا .(آ) .2.1.2 ﻢﻟ يﻪﻄﺑار رد ﺎﻫ ^c^m ﻪﮐ ^|^∑^∞m=٢c_mx^m|⩽ _١^C_−|^١_x_| ﻢﯾراد ،^x^∈⁽⁻١^,١⁾ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ دراد دﻮﺟو^C١

(13)

.ﺪﻧاهﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ (3.2)

ρ_٠ < ρﺮﻫ ياﺮﺑ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ اﺮﮕﻤﻫ^∑^∞m=٠amx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ،^ρ^⩽١ﻪﮐ^x^∈^{(−ρ, ρ)}ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﮔا .(ب) زا . ^|^∑^∞^m=٢c_mx^m|⩽C_٢ ﻢﯾراد^x^∈^[⁻^ρ٠, ρ_٠]ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ ،دراد دﻮﺟو^ρ٠ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو^C٢ ﺖﺑﺎﺛ .ﺖﺳاﺮﮕﻤﻫ^∑^∞m=٢c_mx^m يﺮﺳ ،^x^∈⁽⁻^{ρ, ρ)}ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺲﭘ ،ﺖﺳا هاﻮﺨﻟد٠^{< ρ}٠< ρﻪﮐ ﯽﯾﺎﺠﻧآ ﻢﯿﻫدﯽﻣ راﺮﻗ .ﺪﺷﺎﺑ اﺮﮕﻤﻫ^∑^∞m=٠amx^m يﺮﺳ ، ^{ρ >}٠ﻪﮐ ^x^∈⁽⁻^{ρ, ρ)} ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .3.1.2 ﻢﻟ يﻪﻄﺑار رد ﺎﻫ ^c^m ﻪﮐ ،ﺖﺳاﺮﮕﻤﻫ^∑^∞m=٢cmx^m يﺮﺳ ، ^x^∈⁽⁻^ρ١, ρ_١) ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮕﻧآ .^ρ١= min{١^{, ρ}^}

يرﻮﻃ ﻪﺑ ،دراد دﻮﺟو^ρ٠ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو^C ﺖﺑﺎﺛ ، ^ρ٠ < ρ_١ ﻪﮐ ^ρ٠ >٠ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﻧاهﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ (3.2) .^|^∑^∞m=٢c_mx^m|⩽C ،^x^∈^[⁻^ρ٠, ρ_٠]ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﺻﻮﺼﺧ باﻮﺟ ﮏﯾ^∑^∞m=٢c_mx^m يﺮﺳ ﻪﮐ ﺪﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﺮﯾز يﻪﯿﻀﻗ

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

amx^m

.ﺪﻧاهﺪﺷ ﺺﺨﺸﻣ (3.2) يﻪﻄﺑار رد ﺎﻫ ^c^m رد ﻪﮐ ﺖﺳا راﺮﻗ .ﺪﺷﺎﺑ^{ρ >}٠،^∑^∞m=٠amx^m يﺮﺳ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ و ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾⁿﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .4.1.2 ﻪﯿﻀﻗ ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ زا^y^{: (}⁻^ρ١, ρ_١)→C باﻮﺟ ﺮﻫ هﺎﮕﻧآ . ^ρ١= min{١^{, ρ}^} ﻢﯿﻫدﯽﻣ

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

a_mx^m

(3.2) يﻪﻄﺑار رد ﺎﻫ ^c^m و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ ^y^h^(x) ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ ^{y(x) =} ^y^h^{(x) +}^∑^∞^m=٢c_mx^m ترﻮﺻ ﻪﺑ .ﺪﻧاهﺪﺷ هداد .ﻢﯾزادﺮﭘﯽﻣ ﻦﮕﻤﻫ ﻒﺸﯿﺒﭼ يﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺑ ﻪﻣادا رد

∑_∞

m=٠bmx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﺎﺑ ﺪﻧاﻮﺗﯽﻣ ﻪﮐ ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ^y^{: (−ρ, ρ)}^→ ^Cﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .5.1.2 ﻪﯿﻀﻗ

x∈(−ρ, ρ)ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ نﺎﻨﭼ ^{ε >}^٠ﺖﺑﺎﺛ و ،دﻮﺷ هداد ﺶﯾﺎﻤﻧ^{ρ >}^٠ﻞﻗاﺪﺣ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ ﺎﺑ

|(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^y(x)^|^⩽^ε, (5.2) 7

(14)

ﺪﺷﺎﺑ ياﻪﻟﺎﺒﻧد^{^a^m^}ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .^ρ١= min{١^{, ρ}^}ﻢﯿﻫدﯽﻣ راﺮﻗ .ﺖﺳا ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾⁿﻪﮐ ﻪﮐ

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

a_mx^m,

ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد^x^∈⁽⁻^ρ١, ρ_١)ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو ^K ﺖﺑﺎﺛ و

∑∞

m=٠|amx^m|⩽K ∑^∞

m=٠

amx^m .

ﻢﯾراد^x^∈^[⁻^ρ٠, ρ_٠]ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ ،دراد دﻮﺟو^y^h ^{: (}⁻^ρ١, ρ_١)→Cﻒﺸﯿﺒﭼ ﻊﺑﺎﺗ ترﻮﺻ نآ رد

|y(x)−y_h(x)|⩽Cε,

.ﺖﺳا^ρ٠ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺖﺑﺎﺛ ﮏﯾ ^C و^ρ٠< ρ_١ ،^ρ٠>٠ﻪﮐ و ،دﻮﺷ هداد ﺶﯾﺎﻤﻧ^∑^∞m=٠bmx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﻂﺳﻮﺗ ﺪﻧاﻮﺘﺑ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ^y(x)ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .تﺎﺒﺛا

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}ⁿ^٢^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

amx^m,

ﻢﯾراد (5.2) يﻪﻄﺑار زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ^x^∈⁽⁻^{ρ, ρ)} ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺲﭘ

∑∞

m=٠|amx^m|⩽K ∑^∞

m=٠

amx^m ⩽Kε.

ﻪﺘﺷﻮﻧ ^y^h^{(x) +}^∑^∞m=٢c_mx^m ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺪﻧاﻮﺗﯽﻣ ^y(x) ، ^x ^∈ ⁽⁻^ρ١, ρ_١) ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ، 4.1.2 يﻪﯿﻀﻗ ﻖﺒﻃ يﺎﺟ ﻪﺑ2.1.2ﻢﻟ تﺎﺒﺛا ﺪﻧور رد ﺮﮔا .ﺪﻧاهﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ (3.2) يﻪﻄﺑار رد ﺎﻫ^c^m و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ^y^h ﻪﮐ ،دﻮﺷ

C ﺖﺑﺎﺛ ﺲﭘ .دﺮﮐ هدﺎﻔﺘﺳا ،ﺖﺳا 2.1.2 ﻢﻟ يﻪﺠﯿﺘﻧ ﻪﮐ 3.1.2 ﻢﻟ زا ناﻮﺗﯽﻣ ،ﻢﯿﻫد راﺮﻗ ار ^Kε ، ^M٢ و ^M١

ﻢﯾراد^x^∈^[−ρ٠, ρ_٠]ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮐ ،دراد دﻮﺟو^ρ٠ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو

|y(x)−y_h(x)|= ∑^∞

m=٢

c_mx^m ⩽Cϵ,

.^ρ٠< ρ_١ﻪﮐ لﺎﺜﻣ ﻦﯾا .ﺪﻨﮐﯽﻣ قﺪﺻ 5.1.2 ﻪﯿﻀﻗ ﻂﯾاﺮﺷ مﺎﻤﺗ رد ﻪﮐ ،ﻢﯿﻨﮐﯽﻣ حﺮﻄﻣ ار ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ زا ﯽﻟﺎﺜﻣ ،نﻮﻨﮐا

.ﺖﺳاⁿ⁼١ﺎﺑ (1.2) ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ

(15)

ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ^y^{: (}⁻١^,١⁾^→^Rو ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ ^y^h^(x) ﺮﮔا .6.1.2 لﺎﺜﻣ

y(x) =y_h(x) + ۴۵٠ ۵٠٩^ε

∑∞ m=٠

x^٢^m

١٠^٢^m^, (6.2)

ترﻮﺻ نآ رد .ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ ﺖﺒﺜﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﮏﯾ^εﻪﮐ

(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}^{y(x) =} ^∑^∞

m=٠

amx^m

ﻪﮐ





a_٢_m = ^۴۵٠_۵٠٩⁻^٣٩۶^m_١٠^٢_٢⁺_m+^۶^m+_٢ ^١٠٢ε m∈ {٠^,١^,٢^,^{· · · }}^,

a_٢_m₋_١=٠ ^m^{∈ {}١^,٢^,٣^,^{· · · }.} (7.2) ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ .^|a٢^m|< ^۴۵٠_۵٠٩_١٠^١mεو^a^m^⩽^٠،^m^⩾^١ﺮﻫ ياﺮﺑ و ،^a٠= ^۴۵٠_۵٠٩ ·^١٠٢_١٠٠ε، (7.2) يﻪﻄﺑار ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ﻢﯾراد ،^x^∈⁽⁻١^,١⁾ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

|(١⁻^x^٢^)y^′′^(x)⁻^xy^′^{(x) +}^y(x)^|⁼ ^∑^∞

m=٠

a_mx^m <

∑∞ m=٠|a_m|

< ۴۵٠ ۵٠٩^ε

(١٠٢ ١٠٠⁺١

٩

)=ε. (8.2)

ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ (8.2) يوﺎﺴﻣﺎﻧ ﻖﺒﻃ ،^x^∈⁽⁻١^,١⁾ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و

∑∞

m=٠|a_mx^m|<

∑∞

m=٠|a_m|< ε. (9.2)

ﻢﯾراد ،^x^∈⁽⁻١^,١⁾ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﮕﯾد فﺮﻃ زا

∑^∞

m=٠

a_mx^m =

a_٠+

∑∞ m=١

a_٢_mx^٢^m

⩾a_٠+

∑∞ m=١

a_٢_m

⩾ ۴۵٠ ۵٠٩١٠٢

١٠٠^ϵ⁻۴۵٠ ۵٠٩

∑∞ m=١

١٠١^m^ϵ⁼ ۴۵٠ ۵٠٩^ϵ⁽١٠٢

١٠٠⁻١ ٩⁾

= ۴٠٩

۵٠٩^ε. (10.2)

ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ، ^x^∈⁽⁻^١^,^١⁾ ﺮﻫ ياﺮﺑ (10.2) و (9.2) ﻂﺑاور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻦﯾاﺮﺑﺎﻨﺑ

∑∞

m=٠|a_mx^m|⩽ ۵٠٩ ۴٠٩

∑^∞

m=٠

a_mx^m

. (11.2)

9

(16)

.دراد5.1.2يﻪﯿﻀﻗ رد ار^K ﺶﻘﻧ ^۵٠٩_۴٠٩ ﻪﮐ ﺪﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ ، (11.2) يﻪﻄﺑار ﺖﺷاد ﻢﯿﻫاﻮﺧ ٠^{< ρ}٠<١ﻪﮐ ،^x^∈^[−ρ٠, ρ_٠]ﺮﻫ يازا ﻪﺑ (6.2) يﻪﻄﺑار زا

|y(x)−y_h(x)|= ۴۵٠ ۵٠٩^ε

∑^∞

m=٠

x^٢^m ١٠^٢^m

< ۴۵٠ ۵٠٩^ε

∑∞ m=٠

١٠١^٢^m ^< ٩ ١٠^ε

.n=١و^ρ١=ρ=١ﺮﮔا ،ﺖﺳا5.1.2يﻪﯿﻀﻗ يﻪﺠﯿﺘﻧ ﻞﻣﺎﺷ ﻪﮐ y^′′ +٢^xy^′ ⁻٢^ny ⁼ ٠

ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ 2.2

ﺎﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ (2010 ،ﮓﻧﻮﺟ) ي ﻪﻟﺎﻘﻣ زا ﻪﺘﻓﺮﮔﺮﺑ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا ﺐﻟﺎﻄﻣ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ هرﺎﺷا ﺐﻠﻄﻣ ﻦﯾا ﻪﺑ اﺪﺘﺑا ترﻮﺻ ﻪﺑ ، ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ ار ﻞﻤﮑﻣ يﺎﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ و

(erf)(x) = _√٢ π

∫ _x

٠ e⁻^t^٢dt, (erf c)(x) = _√٢ π

∫ _∞

x

e⁻^t^٢dt=١⁻^(erf^)(x),

ﻢﯿﻨﮐﯽﻣ ﯽﻓﺮﻌﻣ ﻞﻤﮑﻣ يﺎﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ يﻪﻠﯿﺳو ﻪﺑ ار ﺮﯾز ﻊﺑاﻮﺗ ،^m^∈^N٠ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻨﮐﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ

(i⁻^١erf c)(x) = _√٢

πe⁻^x^٢, (i^٠erf c)(x) = (erf c)(x), (i^merf c)(x) =

∫ _∞

x

(i^m⁻^١ef c)(t)dt. (12.2) يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﮐ هﺪﺷ ﺖﺑﺎﺛ (1972 ،رﺎﮑﻤﻫ و ﭻﯾوﻮﻣاﺮﺑآ) رد ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻔﻨﻣﺮﯿﻏ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾ ⁿ ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﺮﯾز ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد

y^′′(x) +٢^xy^′^(x)⁻٢^{ny(x) =}٠^, (13.2)

،ﮓﻧﻮﺟ) رد ﻪﮐ ﺮﯾز ي ﻪﯿﻀﻗ رد .ﺪﺷﺎﺑﯽﻣ ^{y(x) =} ^A(iⁿerf c)(x) +B(iⁿerf c)(−x) ﯽﻣﻮﻤﻋ باﻮﺟ ياراد ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻣﻮﻤﻋ باﻮﺟ ،ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ،ﺖﺳا هﺪﺷ ﺖﺑﺎﺛ (2010

y^′′(x) +٢^xy^′^(x)⁻٢^{ny(x) =} ^∑^∞

m=٠

amx^m, (14.2)

،ﺶﺨﺑ ﻦﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ ^{ρ >} ٠ ، ^∑^∞m=٠a_mx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ نآ رد ﻪﮐ دﻮﺷ ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ .داد ﻢﯿﻫاﻮﺧ نﺎﺸﻧ^N٠ ﺎﺑ ار ﯽﻔﻨﻣﺮﯿﻏ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا مﺎﻤﺗ يﻪﻋﻮﻤﺠﻣ

(17)

دﺪﻋ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ^{ρ >} ٠،^∑^∞m=٠amx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ وⁿ^⩾٠ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .1.2.2 ﻪﯿﻀﻗ ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد گرﺰﺑ ﯽﻓﺎﮐ رﺪﻗ ﻪﺑ ﺢﯿﺤﺻ يﺎﻫ^m ياﺮﺑ ﻪﮐ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو ^µ^⩾٠ﯽﻘﯿﻘﺣ

|a_٢_m|⩽µ^٢m(٢^m⁺٢⁾⁽٢^m⁺١⁾^|^α٢^m+٢| (n=٢^k⁻١^{, k}^∈^N⁾

|a_٢_m+_١|⩽µ^٢m(٢^m⁺٣⁾⁽٢^m⁺٢⁾^|^β٢^m+٣| (n=٢^k⁻٢^{, k}^∈^N⁾ (15.2)

m∈ {٢^,٣^{, . . .}^} ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ

α_٢_m = ^٢₍_٢^m−_m)!^١∑_m₋_٢

k=٠ ⁽٢^k)!

٢^k a_٢_k∏_m₋_١

i=k+١(n−٢^i), β_٢_m+_١= ₍_٢^٢_m+^m−_١^١_)!∑_m₋_٢

k=٠ ⁽٢^k+١^)!

٢^k a_٢_k+_١∏_m₋_١

i=k+١[n−(٢ⁱ⁺١^)], (16.2) هﺎﮕﻧآ .ﻢﯾﺮﯿﮔﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ﺖﯾﺎﻬﻧﯽﺑ ار ^١µ ،^µ⁼٠ﺮﮔا و ^ρ٠= min{ρ,^١_µ} ﻢﯾﺮﯿﮔﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد . ^α٢=β_٣ =٠و ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ (14.2) ﻦﮕﻤﻫﺮﯿﻏ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ زا^y^{: (}⁻^ρ٠, ρ_٠)→Cﺪﻨﻧﺎﻣ باﻮﺟ ﺮﻫ

y(x) =y_h(x) +

∑∞ m=٢

a_m₋_٢

m(m−١⁾^x^m⁺

∑∞ m=٢

α_٢_mx^٢^m+

∑∞ m=٢

β_٢_m+_١x^٢^m+^١, (17.2) .ﺖﺳا (13.2) ﻦﮕﻤﻫ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ باﻮﺟ ^y^h^(x) نآ رد ﻪﮐ مﺎﻤﺗ يﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ،^K ^⩾٠ﺮﻫ ياﺮﺑ .٠^{< ρ}^⩽^∞ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﺘﺑﺎﺛ^ρو ﯽﻔﻨﻣﺮﯿﻏ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﮏﯾⁿﻪﻣادا رد

.ﻢﯿﻫدﯽﻣ نﺎﺸﻧ^C^K ﺎﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ﺮﯾز (ب) و (آ) ﯽﮔﮋﯾو ود ﻪﮐ^y^{: (}⁻^{ρ, ρ)}^→^Cﺪﻨﻧﺎﻣ ﻊﺑاﻮﺗ .ﺖﺳا^ρ ﻞﻗاﺪﺣ نآ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ ﻪﮐ دﻮﺷ هداد نﺎﺸﻧ ^∑^∞m=٠b_mx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﻂﺳﻮﺗ^y(x)(آ)

، ^m^∈^N٠ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﻪﮐ ^∑^∞m=٠ |amx^m| ⩽ K |∑_∞

m=٠ amx^m| ، ^x^∈⁽⁻^{ρ, ρ)} ﺮﻫ ياﺮﺑ (ب) .^a^m^{= (m}⁺٢^)(m⁺١^)b^m+٢+٢^(m⁻^n)b^m

هداد يﺮﺳ ﻪﮐ دراد ار ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ عﺎﻌﺷ نﺎﻤﻫ ،(ب) ﺖﻤﺴﻗ رد ^∑^∞^m=٠amx^m ﯽﻧاﻮﺗ يﺮﺳ ﻪﮐ ﺪﺷ ﺮﮐﺬﺘﻣ ﺪﯾﺎﺑ .دراد (آ) رد^∑^∞m=٠b_mx^m يهﺪﺷ نآ ناﻮﺗﯽﻣ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﻨﮐ قﺪﺻ هﺪﺷ هداد ﻂﯾاﺮﺷ ﯽﻀﻌﺑ رد ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﮏﯾ ﺮﮔا ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﺮﯾز يﻪﯿﻀﻗ رد .دز ﻦﯿﻤﺨﺗ (12.2) رد هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻊﺑاﻮﺗ زا ﯽﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ ار

11

Untitled - University of Mohaghegh Ardabili Scientific Repository

يروﺎﻨﻓ و ﯽﺸﻫوﮋﭘ ﺖﻧوﺎﻌﻣ

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد تﻻدﺎﻌﻣ یراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ

رﻮﭘ ﻪﻟاﺪﺒﻋ ﺎﺿرﺪﻤﺤﻣ ﺮﺘﮐد

مزﻮﺴﻟد ﺮﺴﻤﻫ

نﺎﻤﻠﺋا و ﻦﯾﺪﯾآ :ﻢﻧاﺮﺴﭘ

یرا سﺎﭙ و ﺪﻘ

ﺐﻟﺎﻄﻣ ﺖﺳﺮﻬﻓ

1 ﻞﺼﻓ

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﺶﻫوﮋﭘ ي ﻪﻨﯿﺸﯿﭘ

2 ﻞﺼﻓ

و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا-زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ ﯽﺳرﺮﺑ

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ y

+ ٢ xy

− ٢ ny = ٠

نآ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ و ﻒﺸﯿﺒﭼ ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ 1.2

ﻞﯿﺴﻧاﺮﻔﯾد يﻪﻟدﺎﻌﻣ مﻻوا -زﺮﯾﺎﻫ يراﺪﯾﺎﭘ 2.2

ﺎﻬﯾﺮﺳ شور ﻪﺑ ^y

⁺ ^٢ ^xy

⁻ ^٢ ^ny ⁼ ^٠