１ ⑴ 与式＝２×９－４＝18－４＝14 １ ⑵ 与式＝ｘ＋５＋２ｘ－６＝３ｘ－１ １ ⑶ 与式＝－12ａｂ²×２ｂ
３ａｂ ＝－８ｂ²
１ ⑷ 与式＝ ２²×２＋ 18＝２ ２＋ ３²×２＝２ ２＋３ ２＝５ ２ １ ⑸ 与式＝( ６)²＋(５－２) ６－10＝６＋３ ６－10＝－４＋３ ６ ２ ⑴
２ ⑴ ｘ－２＝Ａとすると，
(ｘ－２)²＋４(ｘ－２)－12＝Ａ²＋４Ａ－12＝Ａ²＋(６－２)Ａ＋６×(－２)＝(Ａ＋６)(Ａ－２) Ａを元に戻して，(ｘ－２＋６)(ｘ－２－２)＝(ｘ＋４)(ｘ－４)
１ ⑵
２ ⑴ 与えられた式を因数分解すると，ｘ²＋９ｘ－36＝(ｘ＋12)(ｘ－３)
この式にｘ＝－13を代入すると，(－13＋12)×(－13－３)＝(－１)×(－16)＝16 １ ⑶
１ ⑶ 関数ｙ＝－ｘ²はｘ²の係数が－１で負なので，このグラフは資料１のよ うに下に開いた放物線となる。したがって，ｘ＝３のときｙは最小値
－３²＝－９をとり，ｘ＝０のときｙは最大値０をとるとわかる。
よって，求めるｙの変域は，－９≦ｙ≦０
１ ⑷
３と２の最小公倍数は６だから，ｘ－４
３ ＋７－ｘ
２ ＝５の両辺に６をかけると，
ｘ－４
３ ×６＋７－ｘ
２ ×６＝５×６ ２(ｘ－４)＋３(７－ｘ)＝30 ２ｘ－８＋21－３ｘ＝30 やや複雑な因数分解の場合，式の一部を別の文字に置きかえるとわかりやすい場合がある。
置きかえた文字を最後に元の文字に戻すのを忘れないようにしよう。
攻略へのアプローチ
式の値を求める問題では，与えられた式をなるべく簡単な形にしてから，数値を代入するこ と。与えられた式が因数分解できるときは，因数分解してから数値を代入した方が計算がらくに なることが多い。
攻略へのアプローチ
関数ｙ＝ａｘ²で，ｘの変域が０を含むとき，ｙの変域を求めるには，次のように考える。
・ａ＞０の場合，ｘ＝０のときｙは最小値０をとり，ｘの絶対値が最大のときｙは最大値をとる。
・ａ＜０の場合，ｘの絶対値が最大のときｙは最小値をとり，ｘ＝０のときｙは最大値０をとる。
攻略へのアプローチ
分数を含む方程式は，式の両辺に分母の最小公倍数をかけて，分母をはらってから計算する。
攻略へのアプローチ
－２ Ｏ
３ ｙ
ｘ
－９
ｙ＝－ｘ² 最大値
最小値
資料１
３
商品Ａの１年間の電気料金をｘ円，商品Ｂの１年間の電気料金をｙ円とするので，店員からの１つ目の 説明より，ｘ＝0.4ｙが成り立つ。また，10 年間使用したときの電気料金の合計は，商品Ａが 10ｘ円，商品 Ｂが 10ｙ円となる。したがって，このときの商品の代金と電気料金の総額は，商品Ａが(131800＋10ｘ)円，
商品Ｂが(92700＋10ｙ)円だから，２つ目の説明より，(92700＋10ｙ)－(131800＋10ｘ)＝36500 が成り立つ。
ｘ＝0.4ｙ……①
(92700＋10ｙ)－(131800＋10ｘ)＝36500……②
②より，10ｙ－10ｘ＝36500－92700＋131800 －10ｘ＋10ｙ＝75600……③
③に①を代入すると，－10×0.4ｙ＋10ｙ＝75600 ６ｙ＝75600 ｙ＝12600
①にｙ＝12600 を代入すると，ｘ＝0.4×12600＝5040
よって，１年間の電気料金は，商品Ａが 5040 円，商品Ｂが 12600 円である。
４ ⑴
袋Ａには４個の球が，袋Ｂには６個の球が入っているから，求める取り出し 方は，４×６＝24(通り)
すべての球の取り出し方は，資料２のような樹形図にまとめることができる。
これより，求める取り出し方は，６×４＝24(通り)
⑵①
三平方の定理を利用すると，点(ｘ₁，ｙ₁)と原点との間の 距離は資料３のように， ｘ₁²＋ｙ₁²で求められる。
Ａの球の数字をａ，Ｂの球の数字をｂとして，
攻略へのアプローチ
【店員からの説明】の１つ目から，ｘをｙの式で表すことができる。
また，２つ目から，(商品Ｂの総額)－(商品Ａの総額)＝36500 という式が立てられる。
この連立方程式は，代入法で解くことができる。
攻略へのアプローチ
２つの袋の球の取り出し方は，それぞれの袋の「取り出し方の数」の積で求められる。
攻略へのアプローチ
□
１すべての球の取り出し方は，樹形図をかいて求めることができる。
攻略へのアプローチ
□
２資料２
Ａ Ｂ Ａ Ｂ １ １ ２ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
６ ６
Ａ Ｂ Ａ Ｂ ３ １ ４ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
６ ６
とすると，
ｙ₁ ｙ
(ｘ₁，ｙ₁)
ｘ₁²＋ｙ₁²
資料３
⑵②
点Ｐのｘ座標は１以上４以下の整数，ｙ座標は１以上６以下の整数 である。したがって，原点からの距離が５以上となる点Ｐは，資料４ より，11 通り考えられるから，求める確率は，11
24
５ ⑴
時速 60 ㎞のときの空走距離は12ｍ，制動距離は20ｍである。
よって，求める停止距離は，12＋20＝32(ｍ) ５ ⑵
求める式をｙ＝ａｘとする。ｘ＝30のときｙ＝６だから，ｙ＝ａｘにこれらの値を代入すると，
６＝ａ×30より，ａ＝１
５となる。よって，求める式は，ｙ＝１ ５ｘ ５ ⑶ １次関数(比例)と，関数ｙ＝ａｘ²を組み合わせた問題である。
①
16＝１
180ｘ²より，ｘ²＝2880 ｘ＝± 2880＝± 24²×５＝±24 ５ 明らかにｘ＞０だから，ｘ＝24 ５
よって，求める速さは，時速 24 ５㎞である。
②
時速72㎞のときの空走距離は，ｙ＝１
５×72＝14.4 より，14.4ｍとなる。
また，制動距離は，ｚ＝１
180×72²＝28.8 より，28.8ｍとなる。
よって，求める停止距離は，14.4＋28.8＝43.2(ｍ)
原点との距離が５以上となる点は，原点を中心とする半径５の 円周上か，その外側にある。
攻略へのアプローチ
ｙ
１ ２ ３ ４ ５ ６ｘ ６
Ｏ ５ ４ ３ ２ １
資料４
(停止距離)＝(空走距離)＋(制動距離)である。
攻略へのアプローチ
ｙがｘに比例しているとき，ｙ＝ａｘ(ａは比例定数)が成り立つ。
攻略へのアプローチ
ｚ＝16 とわかるから，ｚ＝１
180ｘ²にｚ＝16 を代入して求める。ｘ＞０であることに注意する。
攻略へのアプローチ
ｘ＝72 とわかるから，ｙ＝１
５ｘ，ｚ＝１
180ｘ²にそれぞれｘ＝72 を代入してｙ，ｚの値を求める。
停止距離はこれらの値の和で求められる。
攻略へのアプローチ
６
ＢＥ ……②
平行線の同位角は等しいから，ＢＥ//ＦＤより，
∠ＡＢＥ＝∠ＡＦＣ ……③
７ ⑴
半径３㎝の半球の体積は，１ ２×(４
３π×３³)＝18π(㎤) また，底面の半径が３㎝，高さが３㎝の円すいの体積は，
１
３×(３²π)×３＝９π(㎤)
よって，求める体積は，18π－９π＝９π(㎤)
７ ⑵
図形の証明問題を解くときは，正確な図をかくことが重要である。
問題に図があるときは，資料５のように，与えられた条件(仮定)を示 す印をかき入れるとよい。
また，三角形の相似を証明する問題は，２組の角がそれぞれ等しい ことを示すものがほとんどである。この問題の場合，長さが等しい弧 に対する円周角は等しいこと，平行線の同位角は等しいことなどを利 用する。
証明の進め方には一定の型があるので，よく練習して慣れておこ う。
攻略へのアプローチ
Ａ
Ｂ
Ｃ Ｄ
Ｅ Ｆ
資料５
立体Ｐは，資料６のように，半径３㎝の半球から，底面の半径が３㎝，高さが３㎝の円すいを 切り取った立体となる。
半径ｒの球の体積Ｖは，Ｖ＝４
３πｒ³で求められる。
また，底面積がＳ，高さがｈのすい体の体積Ｖは，Ｖ＝１
３Ｓｈで求められる。
攻略へのアプローチ
資料６
Ｂ Ｏ
Ａ
３㎝
３㎝
立体Ｐの表面積は，半径３㎝の球の表面積の半分と，底面の半径が３㎝，高さが３㎝の円すい の側面積の和になる。
半径ｒの球の表面積Ｓは，Ｓ＝４πｒ²で求められる。
また，円すいの側面の展開図はおうぎ形であり，その半径は母線の長さに等しく，弧の長さは底 面の円周に等しいことから中心角が求められる。
攻略へのアプローチ
□
１球面部分の面積は，１
２×(４π×３²)＝18π(㎠)
また，△ＯＡＢは直角二等辺三角形だから，ＡＢ＝ ２ＯＢ＝
３ ２(㎝)となる。したがって，底面の半径が３㎝，高さが３㎝
の円すいの展開図は資料７のようになる。このおうぎ形の中心角 をｘ°とする。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しいから，
２π×３ ２× ｘ
360＝２π×３が成り立つ。これより， ２ｘ＝360 ｘ＝360
２＝360× ２
２× ２＝180 ２
したがって，円すいの側面積は，(３ ２)²π×180 ２
360 ＝９ ２π(㎠) となる。
よって，求める表面積は，18π＋９ ２π＝(18＋９ ２)π(㎠)
球面部分の面積は 18π㎠である。
資料７のおうぎ形の半径は３ ２㎝となり，弧の長さは，底面の円周に等しく ２π×３＝６π(㎝)となる。
したがって，このおうぎ形の面積は，１
２×６π×３ ２＝９ ２π(㎠)となる。
よって，求める表面積は，18π＋９ ２π＝(18＋９ ２)π(㎠)
球面部分の面積は 18π㎠である。
円すいの側面積は，π×３ ２×３＝９ ２π(㎠)となるから，求める表面積は，
18π＋９ ２π＝(18＋９ ２)π(㎠)
３㎝
３ ２㎝
ｘ°
資料７
半径ｒ，弧の長さℓのおうぎ形の面積Ｓは，Ｓ＝１
２ℓｒで求められる。
これを利用すると，「攻略へのアプローチ
□
１」よりはるかに計算が簡単になる。攻略へのアプローチ
□
２底面の半径がｒ，母線がℓの円すいの側面積Ｓは，Ｓ＝πℓｒで求められる。
攻略へのアプローチ
