採点基準 数学（文科・理科）

1/4

t 1 2

最終 １月京大本番レベル模試 （2018 年 1 月 26 日実施)

採点基準 数学（文科・理科）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（150点満点）

第1問（30点満点）

 点Pにおける接線の方程式を求め，点A,Bの座標を求めて4点

 AOBの面積をtで表して4点

 Tと，Kとx軸で囲まれた図形の面積をそれぞれtで表して5点

 tで表した面積の関係式を整理して，f(t) 5t⁴ 4t³ 2t1のようにおき，f(t)が に おいて単調増加であることを示して9点

 f

         

,f

         

3 2

5 3 ^{をそれぞれ計算して，}f

         

 ,f

         



3 2

0 0

5 3 ^{を示して6点(各3点)}

 証明の結論を述べて2点

第2問（30点満点）

(1)（配点20点）

 cosaを求めて2点

 a_n1，a_n1をそれぞれa_nとcosnaを用いて表して10点(各5点)

 sin ,cosa aを消去して，a_n1, ,a_n a_n1の漸化式を導いて4点

 a₁,a₂をそれぞれ求めて2点

 証明の結論を述べて2点 (2)（配点10点）

 (1)で求めた漸化式から，a_nとa_n2を10で割った余りが等しくなることを示して6点

 答えに4点

第3問（30点満点）

 G_nとG_n1の関係式をn回目に出た目で場合分けして求めて4点

 n回中5の目が出る回数をl，6の目が出る回数をmのように表し，G_n 2n4をl m n, , の 関係に言い換えて8点

 条件を満たすl m, の組を求めて8点

 確率を求める式が立式できて5点

 答えに5点

2/4 第4問（30点満点）

 Pの座標を求めて4点

 2点A,Bが直線yxに関して対称であるための条件を述べて4点

 2点A,Bのx座標をそれぞれa b, としたとき，OPABとなるa b, の条件式を導いて4点

 線分ABの中点が直線OP上にあるためのa b, の条件式を導いて5点

 正しくaの条件を求めて9点

 証明できて4点

第5問（30点満点）

(1)（配点10点）

 PE ,PF

 

をそれぞれPA ,PB PC

,

  

で表して6点(各3点)

 PM



をPQ



で表し，結論を述べて4点 (2)（配点20点）

 問題文の条件より，PC PDかつPC

 (

PC



PD

)  0

  

となることを導いて10点

 PQ

,

EF

 

をそれぞれPA ,PC PD

,

  

で表して4点

 証明できて6点

3/4

【理科】（200点満点）

第1問（30点満点）

 y1 2,のときのp x, の値を求めて4点(各2点)

 y3のとき，y² y1y1を導いて6点

 y3のとき，y1p^a,y² y1p^b,ab x,1a bを満たす整数a b, が存在 することを述べて 6点

 y3のとき，条件を満たすp x y, , が存在しないことを述べて12点

 答えに2点

第2問（35点満点）

 f x_n( )がe^x

, 

e^x

,

e^x

, 

e^xのいずれかとなる状態推移を表して6点

 e^x

, 

e^x

,

e^x

, 

e^xとなるそれぞれの確率を設定し，漸化式を導いて13点



e

^xとなる確率だけで表した漸化式を求めて6点

 nが偶数，奇数の場合に分けて

e

^xとなる確率を考えて6点

 答えに4点

第3問（35点満点）

(1)（配点10点）

 a b g, , がいずれもaと異なることを示して6点

 a b g, , のどの2つも異なることを示して4点 (2)（配点25点）

 P,Q,Rが三角形の3頂点をなすことを示して3点

 三角形PQRが点aを重心とする正三角形であることを示して6点

 三角形PQRの外接円の半径を求めて13点

 答えに3点

第4問（30点満点）

(1)（配点10点）

 PE ,PF

 

をそれぞれPA ,PB PC

,

  

で表して6点(各3点)

 PM



をPQ



で表し，結論を述べて4点 (2)（配点20点）

 問題文の条件より，PC PDかつPC

 (

PC



PD

)  0

  

となることを導いて10点

 PQ

,

EF

 

をそれぞれPA ,PC PD

,

  

で表して4点

 証明できて6点

4/4 第5問（35点満点）

(1)（配点20点）

 x

        

1

3 ^に対して log

x  x  x

 

  

 

 

 

2 1 3

2 1 1 3 1を示せばよいことを導いて4点

 f x( ) log x

x x

   



     

   

   

 

   

3 1 1

3 1 1 3 ^{のようにおいたとき，}f x( )がx 1

3^{で減少関数である} ことを示して4点

 log

x x

 



  

 

 

 

1 3

1 3 1^{を示して4点}

 g x( ) log x

x x

   



     

   

   

 

   

1 2 1

1 2 1 3 ^{のようにおいたとき，}g x( )がx 1

3^{で減少関数である} ことを示して4点

 log

x   x



  

 

 

 

2 1

2 1 1 ^{を示して4点}

(2)（配点15点）

 (1)で示した不等式から ^x  ^x

x x

x x

x

x x

e

 

 

 





 

       

1 1

3 2

1 1

3 2

1 1 1

3 ^{を導いて3点}

 上記のxにx1 2, ,,n1を代入した式を具体的に書き出して8点

 辺々乗じることで証明できて4点

第6問（35点満点）

(1)（配点8点）

 平面ztによる断面Jを不等式で表して4点

 正しく図示できて4点 (2)（配点27点）

 AOB aとおいたとき，tcos² aを導いて4点

 Jの面積をS t( )としたとき，S t( )をaで表して9点

 置換積分を行い，体積を求める定積分の式が立てられて9点

 途中の計算と答えに5点