1/4
第 3 回 10 月東大本番レベル模試 （2019 年 10 月 6 日実施)
採点基準 数学（文科・理科）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文科】（80点満点）
第1問（20点満点）
点P,Qのx座標をα β, のように設定し，点Rの座標をα β, で表して4点 重心Gの座標を上記のα β, で表して3点
上記のα β, を解にもつtの2次方程式を立て，0< <t 1に異なる2実数解をもつ条件を示し て7点
領域Eを表す式を導いて2点 面積を表す式の立式と答えに4点
第2問（20点満点）
(1)（配点6点）
背理法で証明する方針を立てて2点 正しく証明できて4点
(2)（配点14点）
,
p rを素数としたとき，nをn=p+2,n= −r 2のように表して2点
素数nがn=6k+1，あるいはn=6k+5（kは整数）とおけることを述べ，それらに場合け をし検討する方針を立てて5点
上記の場合分けでそれぞれ議論し，答えを求めて7点
第3問（20点満点）
(1)（配点6点）
考え方と答えに6点（各2点）
(2)（配点3点）
帰納法で証明する方針を立て，正しく証明できて3点 (3)（配点11点）
nを偶数と奇数の場合に分けて，a2m+1 = −1a2m−1 +
6 1(mは自然数)など漸化式を導いて5点
m , m
a2 −1 a2 をそれぞれmの式で表して4点（各2点）
答えに2点
2/4 第4問（20点満点）
(1)（配点6点）
n=1,n≥2で場合分けし，ak ≤2 (k=2 3, ,⋯⋯, )n となることを述べて3点 正しく証明できて3点
(2)（配点14点）
, ,
a1 =0 2 1に場合分けして考える方針が立てられて2点 ,
a1 =0 2のときの確率をそれぞれ求めて4点(各2点) a1 =1のとき，a a ann
+ + + − <
2 3
2 1
1
3 3 ⋯⋯ 3 2となることを導いて2点 a1 =1のときのpnの漸化式を求めて3点
途中の計算と答えに3点
3/4
【理科】（120点満点）
第1問（20点満点）
(1)（配点6点）
( ) sin sin
f x = x−k kxのように差をとった関数f x( )を設定し，f π ,f( )
> π <
2 0 0となる ことを示して3点( )
f x′ <0を示し，正しく証明できて3点 (2)（配点14点）
lim sin
k
k kα
→+ =
0
0を理由と合わせて示して2点
lim sin
k
α
→+ =
0
0を述べ，これから理由と合わせてlim
k
α
→+0
を求めて3点
はさみうちの原理から lim
k
k
α→+ =
0
0を示して2点
sin sin
lim lim
k k
k k k
α α
α α
→+ 2 = →+ •
0 0
を導いて2点 lim sin
k k
α
→+ 2 0
を求めて1点 sin
k k sin
π α α
α π α
− = •
−
2 2
1 を導いて2点
微分係数の定義から sin lim
k
α π α
→+ =
−
0
1を示し，lim
k k
π α
→+
−
0 2
を求めて2点
第2問（20点満点）
n
回の試行の後で，3 枚とも同色となる確率をpn，左端と右端が異なる色となる確率をqn， 中央のみ異なる色となる確率をrnに分類，設定し，pn +qn +rn =1を述べて4点n, ,n n
p q r の連立漸化式を立式し，初期条件p0 =1,q0 =r0 =0を述べて6点 qnの一般項を求めて6点
途中の計算と答えに4点
第3問（20点満点）
(1)（配点10点）
w= z1
とおき，Cの方程式を
w1 −α = α
とzを消去した式に表して4点 上記の式を変形し，1=wα+wα まで導いて2点
正しく証明できて4点
4/4 (2)（配点10点）
w
= α
0
1
2 が直線OAと曲線CのOではない方の交点をP (0 2α)に対応する複素数であること を述べて2点
< α 1
2 を導いて4点 OST
△ の面積を
α
またはrで表して2点 答えに2点第4問（20点満点）
点Pの座標をパラメータ表示し，Fpを表す式が導けて4点 Fpの通過範囲をEとしたとき，Eを表す式を導けて6点 z= kにおける切断面の面積をkで表して8点
答えに2点
第5問（20点満点）
(1)（配点3点）
考え方と答えに3点 (2)（配点17点）
n n m
− =p
5 3 (pは素数)のように設定したとき，p= 2が必要であることを述べて2点 nが偶数の場合と奇数の場合に分けて，nが奇数の場合のときのnの値を求めて5点
nが偶数の場合に，n=2lとおけ，5l +3l =2a,5l −3l =2b（ただし，a+ =b m）と導き，
これらについて検討する方針が立てられて4点 nが偶数の場合のときのnの値を求めて5点 答えに1点
第6問（20点満点）
(1)（配点4点）
l上の任意の点をPとし，OC CP• =0が成り立つことを述べて2点 答えに2点
(2)（配点16点）
円Dの半径を求めて3点
点Cを通り，lと直交する直線のlとの交点を与えるaの値を求めて4点 lとDが共有点をもつことを示して3点
途中の計算と答えに6点
