数学演習 IIA - Exercise in Topology

Exercise in Mathematics IIA 数学演習 IIA

Exercise in Topology 位相演習

平場 誠示 (Seiji HIRABA) 作成

はじめに

『位相』は難しい！ ！苦手！ ！嫌い！ ！ と言う人が殆どではないかと思う。

言葉や定義がやたら沢山あり、似たような言葉に、似たような定義、さらに、定義と同値な命題 がいくつも！ ？しかも, 教科書によって定義が違ってたりもする。

問題を解くのもチンプンカンプン！ ！意味すら分らない。例え意味が分ったとしても、一体何を すれば良いのやら？？？

大事なのは、本質を見抜いて、流れを理解すること。そうすれば、証明や問題はその流れの中 で、ちょっとしたキーワードと共に、自分で見通せるようになる。

細かい違いを覚えようとするのではなく、何故、そんな定義が必要なのか？その違いから、どう いうことが分かるのか？もし自分で定義しようとしたら、どう考えるか？などを自問自答しなが ら、読み進めば、自ずと答えが見えてくるであろう。

目 次

1

位相（Topology)

2

2

近傍系

(Neighborhoods Systems) 3

3

連続写像

(Continuous Mappings) 5

4

部分空間, 直積空間

(Subspaces, Product Spaces) 5

後期の内容（数学演習 IIB ）

連結性

(Connectivity)

コンパクト性

(Compactness)

分離公理 （

Separating Axioms)

距離空間

(Metric Spaces)

以下の問で, 「定義や命題を述べよ」という問題については, できるだけ, 言葉のみと論理記号

（＋単語）のみの両方で述べよ. また, 命題についてはその証明（の概略）も述べよ.

例えば, 位相空間での連続写像とは, 開集合の引き戻し（逆像）が開集合となること.

f : (X,OX)→(Y,OY)

が連続

⇐⇒ f⁻¹(OY)⊂ OX, i.e., ^∀V ⊂Y: open,f⁻¹(V)⊂X: open.

1 位相（ Topology)

「位相」とは何か？簡単に説明すると, 近さを測るための構造である.

現代においては, 距離を用いて, 統一的に近さ・遠さを知ることができる. しかし, 例えば, 原始 時代を考えれば, 当然, 統一的な距離という概念があったとは考えられない. では近い・遠いをどう 表せば良いのか. （日本では戦国時代に, 殿様の掌の長さを基準にしていたという話があるが, こ れは一種の距離と言えるだろう.）

原始的に考えれば, 例えば, 体に触れるものは「非常に近い」, 手を伸ばして届く範囲にあるも のは「かなり近い」、足を伸ばして届くものは「まあまあ近い」、一歩踏み出して届くものは, 「近 い」、目に見える範囲にあるものは「普通」それ以外は「遠い」と定義することができるだろう. こ の概念が「近傍系」と呼ばれるものであり, 更に抽象化したものが「位相」と呼ばれるものである.

問

1.1

次の言葉の英語と定義を述べよ.

位相、位相空間、開集合、離散位相、密着位相（自明な位相）、相対位相、部分（位相）空間、

閉集合

位相 (topology)とはある集合の部分集合の集まり（部分集合族）で,全体集合と空集合を含み,和につ いて閉じていて,交わりについては,有限個であれば閉じているものをいう.（尚,和についてはいくら多くて も構わない. 無限個であっても良くて,しかも,その個数の濃度は可算無限はおろか連続無限,さらにそれより 多くても構わない.）全体集合と位相を組み合わせたものを位相空間 (topological space)といい,位相の各 元を開集合(open set)という. 言い換えれば,位相とは開集合の全体をいう. また開集合の補集合を閉集合 (closed set)という.

(S,O): top. sp. ⇐⇒^def S: a set,O ⊂2^S: S の位相,即ちSのある部分集合族で次を満たす.  (i)∅, S∈ O. (ii)Aλ∈ O(λ∈Λ)⇒∪

λ∈ΛAλ∈ O. (iii)^∀n≥2, B1, . . . , Bn∈ O ⇒∩n

i=1Bi∈ O.

明らかに,全部分集合族2^S: 離散位相 (discrete top.) や空集合と全体集合のみ{∅, S}: 密着（自明な）

位相indiscrete (trivial) top. は位相である. が,これらは位相としては,極端過ぎて,余り役には立たない. 相対位相 (relative top.) とは,部分集合における位相で,全体に入っている位相をその部分集合に制限 したものをいう. 即ち, (S,O) top. sp. として,A⊂S の相対位相OA=O ∩A={U∩A;U ∈ O}. このと き, (A,OA)をS の部分（位相）空間sub-topological spaceという.

今後, 特に断らない限り, (S,

O)

を位相空間

top. sp.

とし,

A, B ⊂ S

においては, 相対位相

OA,OB

が入っているものとして考える.

問

1.2

ユークリッド空間

Rⁿ

における開集合の定義を述べ, その全体が位相であることを確かめ よ. また, 距離、距離空間の定義を述べ, 距離空間における開集合の定義を述べ, 距離位相を説明 せよ.

Euclid 空簡における開集合とは全ての点が内点,即ち,任意の点に対し,その集合に含まれる開近傍が存 在するときをいう.但し,空集合も開集合とする. （要は境界を含まないので,どんなに境界に近い点でも,そ の集合に含まれる近傍が取れるときをいう.）

 U ⊂Rⁿ: open ⇐⇒^{def ∀}x∈U,^∃δ >0;Bδ(x)⊂U. 但し,Bδ(x) ={y∈Rⁿ;|x−y|< δ}.

その全体が位相となることは,容易に確かめられる.

距離metricとは, 2点間の関数＝2変数関数で,非負性と０値同一性,対称性,三角不等式を満たすもの をいう,距離の入った空間を距離空間metric sp. という. S: a setに対し,

 d=d(x, y) :S×S→R+; [d(x, y) = 0 ⇐⇒ x=y], d(x, y) =d(y, x), d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y).

距離空間における開集合は上と同様に,全ての点が内点であるときをいう. 但し,このときの近傍は与えられ た距離によって決まる. 即ち,Bδ(x) ={y∈Rⁿ;d(x, y)< δ}. この距離によって決まる近傍を用いて定義さ れる開集合の全体が位相となるので,これを距離位相metric topologyという.

問

1.3

閉集合の定義を述べ, その全体の満たす性質を述べ, 説明（証明）せよ.

閉集合closed setとは,捕集合が開集合のときをいう. A: closed ⇐⇒^def A^c: open.

この閉集合の全体は,空集合と全体集合を含み,交わりについて閉じており,和については有限個なら閉じ ているものをいう.

問

1.4

内部、内点、閉包、触点の定義を述べ, それらに関する命題を述べ, 証明せよ.

内部interior=その集合に含まれる最大の開集合=その集合に含まれる開集合全体の和;A^o.

・S^o=S,A^o⊂A, (A∩B)^o=A^o∩B^o, (A^o)^o=A^o.

内点 int. pt=内部の点,即ち,その集合に含まれる開近傍（=その点を含む開集合）が存在するときを いう.

x∈A: Aの内点 ⇐⇒^def x∈^∃U⊂A,U はopen.

閉包closure: その集合を含む最小の閉集合=その集合を含む閉集合の共通部分;A

・∅=∅,A⊂A,A∪B=A∪B,A=A. （クラトフスキーKuratowskiの公理系）

・k: 2^S→2^S がKuratowskiの公理系を満たす,即ち,k(∅) =∅,A⊂k(A),k(A∪B) =k(A)∪k(B), k(k(A)) =k(A) (A, B⊂S) を満たすとき,C ={A⊂S;k(A) =A}は閉集合の全体と同じ性質を満たし, 従って,位相O=C^{cを定める}. さらにこの位相のもと,k(A) =A.

  ∅ ∈ Cは最初の性質から明らか. S ⊂k(S)⊂S より,k(S) =S. また,有限個の和についても, 3番 目の性質から明らか. 交わりについては,まず,A ⊂B ならk(A) ⊂k(B) が成り立つことに注意して（実 際,B=A∪(B ⊂A)とkの和を保つ性質より得られる）,Fλ∈ C ^なら,k(∩

Fλ)⊂k(Fλ) =Fλ. つまり, k(∩

Fλ)⊂∩

Fλ. 逆はkの性質から明らかなので,k(∩

Fλ) =∩

Fλ. 即ち,∩

Fλ∈ C. ^従って,C^{は閉集合全} 体となる. 最後に^∀A⊂S, k(k(A)) =k(A)∈ C^より,k(A)は閉集合.F ∈ C;F ⊃Aなら,F=k(F)⊃k(A) なので,k(A)はAを含む最小の閉集合となる. 故に,k(A) =A.

触点adherent pt: 閉包の点,即ち,外点以外の点なので,^∀U(x): xの開近傍,U(x)∩A̸=∅.

問

1.5

外部、外点、境界点、境界、集積点、導集合、孤立点の定義を述べよ.

外部

exterior:

補集合の内部; ExtA, extA,

A^e= (A^c)^o.

外点

ext. pt:

外部の点, 即ち, その集合の補集合に含まれるその点の開近傍が存在する.

x∈A^e ⇐⇒^def x∈^∃V ⊂A^c; V: open.

境界

boundary,

境界点

boundary pt:

内部でも外部でも無い集合, 内点でも外点でもない点;

∂A=A\A^o.

集積点

accumlate pt: x

が

A\ {x}

の触点, 即ち,

^∀U(x): x

の開近傍,

U(x)\ {x} ∩A̸=∅.

触集合（導集合）

adherence (derived set):

集積点の全体.

孤立点

isolate pt:

その集合の点で, 触集合以外の点

2 近傍系 (Neighborhoods Systems)

問

2.1

近傍, 近傍系の定義を述べ, それの満たす性質を述べ, 証明せよ.

点xの近傍neighborhoodとはその点を内点として含む集合,即ち,xを含むある開集合を含む集合. N(x): xの近傍系=xの近傍全体.

xを含む開集合は近傍である. また開近傍の閉包も近傍である. (しかし,解析などにおいて,『近傍』と言 うときには,『開近傍』を指すことが多く,実際,そう解釈しても問題は無い.)

・近傍系{N(x)}^は次のHausdorffの公理系を満たす:

[1]^∀x∈S, S∈ N(x). U ∈ N(x)⇒x∈U.  全体集合は近傍,点の近傍はその点を含む. [2]U, V ∈ N(x)⇒U∩V ∈ N(x).  有限個の交わりについて閉じている.

[3]U ∈ N(x), U⊂V ⊂S⇒V ∈ N(x).  近傍を含む集合も近傍.

[4]^∀U ∈ N(x),^∃V ∈ N(x);^∀y∈V, U ∈ N(y).  これはV =U^o と取れば明らか.

 各近傍に対し,同じ点の別の近傍が存在し,元の近傍が存在する近傍の各点の近傍となるようにできる. 示すべきは[2]ぐらいで,^∃U(x), V(x): xの開近傍;U(x)⊂U, V(x)⊂V. W(x) =U(x)∩V(x)とおけ ば,xを含む開集合で,W(x)⊂U∩V なので,成り立つ. 他は明らか.

・U

∈ O ⇐⇒ ^∀x∈U,^∃U(x)∈calN(x);U(x)⊂U ⇐⇒ ^∀x∈U, U ∈calN(x).

最初の同値は^∀x∈U が内点であることから明らかで,次の同値は,上の[3]とU(x) =U と取れば良いこ とから明らか.

・Hausdorff の公理系を満たすものが存在すれば, それは近傍系で, それによって定まる位相は一 意的である. 即ち,

h:S→2^2S;h(x)

が

N(x)

の代わりに

Hausdorff

の公理系を満たすなら,

O = {U ⊂S;^∀x∈U,^∃U(x)∈h(x);U(x)⊂U}

= {U ⊂S;^∀x∈U, U ∈h(x)}

によって位相が一意的に定まり, しかもこの位相の下,

h(x) =N(x)

となる. 但し, 空集合も含まれ るとする.

一意性については,h(x) =N(x)が示せれば,U∈ O ⇐⇒ ^∀x∈U, U∈h(x) =N(x)が成り立つので,上 の表現と合わせて明らかである.

まず, Hausdoeffの公理系より,Oが位相となることが示せる. さらに,h(x) =N(x)を示すには,位相O

のもとで,集合V の内部V^o を考えたとき,x∈V^o ⇐⇒ V ∈h(x)を示せば良い. 実際,位相O^のもとで, V ∈ N(x) ⇐⇒ x∈V^o なので,上の同値から,題意を得る.

問

2.2

上の証明を厳密にせよ.

開基, 準基, 可算公理

問

2.3

開基、基本近傍系の定義を述べよ. またそれらの例を挙げ, 説明せよ. さらに関連する命題 を述べ, 証明せよ.

点x∈X の近傍系nbd systemとは,xを内点としてもつ集合の集まり全体であったが,その一部で,x の任意の近傍に対し,それに含まれる近傍を必ず元として持つものをxの基本近傍系という. またx∈S を 全て動かしてできるその全体を単に基本近傍系basis for the nbd systemという.

開基basis＝位相の一部で,任意の開集合が,それらのいくつかの和で表せる. B: Open Basis ⇐⇒ B ⊂ O,^{def ∀}U ∈ O,^∃BU⊂ B;U=∪

BU,

        ⇐⇒ ^∀U∈ O,^∀x∈U,^∃V ∈ B;x∈V ⊂U.  (この同値を示せ).

この定義より,O={∪

U;U ⊂ B}^{と表せることに注意}. 実際, (⊂)^{は定義から明らかで},逆は,開集合の和 が開集合であることから明らか.

例: Rにおいて開区間全体,離散位相(S,2^S)において, 1点集合全体は開基となる.

・B ⊂2^S: O.B.⇒X =∪

B, [A, B∈ B, x∈A∩B⇒^∃C∈ B;x∈C⊂A∩B]. 逆に,B^{がこの条件を} 満たすとき,O={∪

U;U ⊂ B}と定義すると,これは位相となり,Bはこの位相の開基となる. また開基による位相は一意的に決まる.

前半は開基の定義とその言い換えを用いれば明らか. 後半については,U=∅^のとき,∪

U=∅^{に注意して},

∅ ∈ O. ^他も,条件を用いれば容易に確かめられる. （→^{これを厳密に証明せよ}.）

問

2.4

第

1

可算公理, 第

2

可算公理、稠密、可分の定義を述べ, さらにそれらに関する命題を述 べ証明せよ.

1st & 2nd axioms of countability

CI: 第1可算公理＝各点の基本近傍系が高々可算個 CII: 第2可算公理＝高々可算個の開基をもつ.

（尚、このCI, CII という記号は、このテキストでの記号で、スタンダードなものではない.）

可分separable＝可算稠密部分をもつ,即ち,ある可算集合があり,その閉包が全体と一致する.

・距離位相はCI を常に満たす. U1/n(x), n≥1.

・CII⇒CI かつ,可分.

点xを含む開基の元全体がxの可算基本近傍系. また,可算開基の元から,任意に1点ずつ固定すれば,そ れが稠密部分.

・距離化可能で,可分な位相空間はCII.

可算稠密部分の各点の可算基本近傍系の全体が可算開基

3 連続写像 (Continuous Mappings)

問

3.1

連続写像、点

x∈X

での連続性の定義を述べ, それらに関する命題を述べて, 証明せよ.

連続＝開集合の引き戻し(逆像)が開集合 （勿論、任意の）

ある点で連続＝写した先の任意の近傍の引き戻しが元の点の近傍

・各点で連続 ⇐⇒ ^連続 ⇐⇒ 閉集合の引き戻しが閉集合 （勿論、任意の）⇐⇒ ^{閉包の像が像の閉包} に含まれる. （勿論、任意の集合に対して）

問

3.2

開写像, 閉写像, 同相写像の定義を述べ, 関連する命題を述べよ.

4 部分空間 , 直積空間 (Subspaces, Product Spaces)

問

4.1

誘導位相の定義とそれに関する命題を述べよ.

位相空間への写像に対し, 開集合の引き戻し全体をその写像による誘導位相

induced top.

とい う. この位相は写像を連続にする最弱位相である.

問

4.2

相対位相, 部分空間の定義を述べよ.

問

4.3

直積位相, 直積空間の定義を述べよ.