正準変換と位相空間

正準変換と位相空間

儱儮 正準変換 儨兣兡兮兯六兩兣兡公 兴兲兡兮关兦兯兲六兡兴兩兯兮关儩

先兡六兩公兴兯兮の形式では、力学系が座標q_儱, q_儲, . . .と運動量p_儱, p_儲, . . . で記述され、その時間発展は 先兡六兩公兴兯兮 の方程式

兟

q_i 儽 ∂H

∂p_i , p兟_i 儽 −∂H

∂q_i 儨儱儩

で表される。この「古い変数」 q_i, p_i から「新しい変数」 Q_i, P_i への変換について考える：

Q_i 儽 Q_i儨p, q, t儩, P_i 儽 P_i儨p, q, t儩 儨儲儩

（変換は時間 t に陽に依存する場合もある。）変換後の運動方 程式が 儨儱儩 と同様な形になる場合、 その変換は 正準変換と呼 ぶ。即ち、その場合は

Q兟_i 儽 ∂H⁰

∂P_i , P兟_i 儽 −∂H

∂Q_i 儨儳儩

ただし、H⁰儨P, Q儩 が変換後の 先兡六兩公兴兯兮兩兡兮 である。

正順変換を母関数 儨內入兮入兲兡兴兩兮內 兦兵兮兣兴兩兯兮儩 を使って次のように表 すことができる：

講義ノーと 兎兯儮 儶 式 儨儲儰儩 より、作用 S を座標 q と時間 t の関 数として見なし、次のように表すことができる儺

S 儽 ^Z 兤S 儽 ^Z



 X

i

p_i兤q_i − H兤t



 儨儴儩

変分原理

δS 儽 δ^Z 兤S 儽 δ^Z



 X

i

p_i兤q_i −H兤t



 儽 儰 儨儵儩

儱

から 先兡六兩公兴兯兮 の方程式 儨儱儩 を導くことができる。（講義ノート 兎兯儮 儶 を参照。）ただし、式 儨儵儩 では、全ての q_i と p_i が独立に 変分される。

変換 儨儲儩 の元で 先兡六兩公兴兯兮 の方程式の形が不変であるために、

δ^Z



 X

i

P_i兤Q_i − H⁰兤t



 儽 儰 儨儶儩

が必要である。式 儨儵儩 と 儨儶儩 が等価であるために、非積分関数 の違いはある関数 F の全微分 兤F で表されるはずである。（そ うであれば２つの積分の差は両端における F の値の差にな り、変分の元でゼロになるからである。）即ち、

X

i

p_i兤q_i − H 兤t 儽 ^X

i

P_i兤Q_i − H⁰兤t 儫 兤F

従って、その「母関数」の全微分は次のようになる：

兤F 儽 ^X

i

p_i兤q_i − ^X

i

P_i兤Q_i 儫 儨H⁰ − H儩 兤t 儨儷儩 従って、この形式では F が「古い座標」q_i と「新しい座標」 Q_i の関数で表されていることが分かる 儨F 儽 F儨q, Q儩儩儮 式 儨儷儩 か ら、「古い変数」と「新しい変数」との間の関係式が

p_i 儽 ∂F

∂q_i , P_i 儽 − ∂F

∂Q_i , H⁰ 儽 H 儫 ∂F

∂t 儨儸儩

母関数を p_i と P_i の関数として表すこともできる。そのために 儨儷儩 を次のように書き換える 儨兌入內入兮兤兲入 変換）：

兤



F 儫^X

i

P_iQ_i



 儽 ^X

i

p_i兤q_i 儫 ^X

i

Q_i兤P_i 儫 儨H⁰ − H儩 兤t 左辺は関数を 儈儨q, P, t儩 で表すと次式が成り立つ：

p_i 儽 ∂儈

∂q_i , Q_i 儽 ∂儈

∂P_i , H⁰ 儽 H 儫 ∂儈

∂t 儨儹儩

儲

同様に、母関数を p_i と Q_i で表すために、式 儨儷儩 を次のように 書き換える：

兤



F − ^X

i

p_iq_i



 儽 −^X

i

q_i兤p_i − ^X

i

P_i兤Q_i 儫 儨H⁰ − H儩 兤t 左辺は関数 儉儨p, Q, t儩 で表すと次式が成り立つ：

q_i 儽 −∂儉

∂p_i , P_i 儽 − ∂儉

∂Q_i , H⁰ 儽 H 儫 ∂儉

∂t 儨儱儰儩

同様に母関数を p_i と P_i で表すこともできる。（式は省略儮儩

変数変換が時間 t に依存しない場合は、先兡六兩公兴兯兮兩兡兮 が不変で あり 儨H⁰ 儽 H儩、即ち H儨p, q, t儩 儽 H儨P, Q, t儩儮

一般に、先兡六兩公兴兯兮 の運動方程式を満たす変数 p儬 q を「正準 共役変数」 儨兣兯兮兪兵內兡兴入 其兡兲兩兡兢公入关儩 と呼ばれている。

正準変換の具体例

儨儱儩 母関数 儈儨q, P儩 儽 ^P_iq_iP_i 儺

式 儨儹儩 から p_i 儽 P_i, Q_i 儽 q_i, H⁰ 儽 H となり、 それは恒等変換 儨兩兤入兮兴兩兴兹 兴兲兡兮关兦兯兲六兡兴兩兯兮儩である。

儨儲儩 母関数 F儨q, Q儩 儽 ^P_iq_iQ_i儺

式 儨儸儩 から p_i 儽 Q_i, P_i 儽 −q_i となる。従って、この変換は「座 標」と「運動量」の名前の入れ替えだけになる。この例から分 かるように、一般の正準変換の元で「座標」と「運動量」の物 理的な意味はあいまいとなり、「正準共役変数」と呼ぶ理由が 分かる。

儳

儨儳儩 母関数 儉儨p, Q儩 儽 −p_xr关兩兮 儂 兣兯关ϕ−p_yr关兩兮 儂 关兩兮ϕ− p_zr兣兯关 儂儮 これは直交座標系 儨x, y, z儻p_x, p_y, p_z儩から極座標系 儨r,儂, ϕ儻p_r, p_儂, p_ϕ儩 への変換を表していることを示す：

式 儨儱儰儩 から x 儽 r 关兩兮 儂 兣兯关ϕ儬 y 儽 r 关兩兮 儂 关兩兮ϕ儬 z 儽 r兣兯关 儂 なの で、確かに極座標への変換である。同様に 儨儱儰儩 から

p_儂 儽 −∂儉

∂儂 儽 p_xr兣兯关 儂 兣兯关ϕ儫p_yr兣兯关 儂 关兩兮ϕ − p_zr关兩兮 儂 p_ϕ 儽 −∂儉

∂ϕ 儽 −p_xr关兩兮 儂 关兩兮ϕ 儫p_yr关兩兮 儂 兣兯关ϕ p_r 儽 −∂儉

∂r 儽 p_x关兩兮 儂 兣兯关ϕ儫 p_y关兩兮 儂 关兩兮ϕ儫p_z 兣兯关 儂

これは正準運動量と一致することを示すために、例えば p_儂 に ついて

p_儂 儽 ∂L

∂儂兟 儽 ∂L

∂x兟

∂x兟

∂儂兟 儫 ∂L

∂y兟

∂y兟

∂儂兟 儫 ∂L

∂z兟

∂z兟

∂儂兟

儽 p_xr 兣兯关 儂 兣兯关ϕ儫p_yr 兣兯关 儂 关兩兮ϕ− p_z r 关兩兮 儂 同様に p_ϕ 儽 ∂L

∂ϕ兟 と p_r 儽 ∂L

∂r兟 も確認できる。

児兯兩关关兯兮 かっことの関係：講義ノーと兎兯儮 儶で定義した児兯兩关关兯兮 かっこが一般の正準変換の元で不変である。即ち、任意の関数 f儨p, q儩 と g儨p, q儩 に対して、

{f儨p, q儩, g儨p, g儩} 儽 {f儨P, Q儩, g儨P, Q儩} 儨儱儱儩 が成り立つことが示せる。（証明のときに上記の母関数の関係 式を使うが、ここで省略する。）従って、新しい変数 Q_i, P_i は 古い変数と同様に次の「基本 児兯兩关关关兯兮 かっこ式」を満たしてい る：

{Q_i, Q_k} 儽 儰, {P_i, P_k} 儽 儰, {P_i, Q_k} 儽 δ_ik .

儴

最後に、変数 p_i と q_i の時間発展も正準変換と見なせること を示す。即ち、古い変数を p_i儨t儩儬 q_i儨t儩 とすると、新しい変数は

P_i 儽 p_i儨t 儫δt儩 儽 p_i儨t儩 儫 兤p_i

兤t δt 儫. . . Q_i 儽 q_i儨t 儫δt儩 儽 q_i儨t儩 儫 兤q_i

兤t δt 儫. . . 儨儱儲儩 ここで、その変換の母関数は次のように表されることを示す：

儈儨q, P儩 儽 ^X

i

q_iP_i 儫H儨q, P儩δt 儨儱儳儩 ただし H は 先兡六兩公兴兯兮兩兡兮 である。　

証明： 儨儹儩 および 先兡六兩公兴兯兮 の方程式 儨儱儩 を使って、

p_i 儽 ∂儈

∂q_i 儽 P_i 儫 ∂H

∂q_iδt 儽 P_i − p兟_i δt Q_i 儽 ∂儈

∂P_i 儽 q_i 儫 ∂H

∂P_iδt 儽 q_i 儫 兟Q_iδt 従って、δt について儱次の項まで取り入れると

P_i 儽 p_i 儫 兟p_iδt , Q_i 儽 q_i 儫 兟q_iδt これは 儨儱儲儩 と一致する。

儵

儲儮 位相空間と 兌兩兯兵其兩公公入 の定理

位相空間：力学系の自由度の数が s である場合は、座標の 数は s 個 儨q_儱, q_儲, . . . q_s儩、運動量の数も s 個 儨p_儱, p_儲, . . . p_s儩 がある。

この 儲s 個の変数からなる空間は「位相空間」儨兰全兡关入 关兰兡兣入儩 と 呼ぶ。（例えば粒子儱個が３次元空間のなかで運動する場合は、

位相空間の次元は６。）

ある時刻で力学系の状態はこの位相空間の儱点で表されてい る。時間が経過するとその点が位相空間の中で移動し、流線の ように振る舞う。

具体例儺 振り子について考える。 たわみをさけるため、重り を質量ゼロの剛体棒（長さ `）で吊るす。兌兡內兲兡兮內入 形式では、

変数が 儨儂,儂儩兟 であり、 兌兡內兲兡兮內兩兡兮 は L 儽 m

儲 `<sup>儲</sup>儂兟 <sup>儲</sup> 儫 mg`兣兯关 儂

充兵公入兲儭兌兡內兲兡兮內入 方程式 儨兎入具兴兯兮 の運動方程式）は

m`<sup>儲</sup> 儂儽<sup>··</sup> −mg`关兩兮 儂 儨儱儴儩

儂 に対する共役運動量は

p_儂 儽 ∂L

∂儂兟 儽 m`^儲儂兟

従って、儂 儽兟 _m`^pΘ₂ を使って、先兡六兩公兴兯兮兩兡兮 が次のようになる：

H 儽 p_儂儂兟 − L 儽 p^儲_儂

儲m`<sup>儲</sup> − mg`兣兯关 儂 ≡ T 儫U 儨儱儵儩

先兡六兩公兴兯兮 の方程式は次のようになる：

儂 儽兟 ∂H

∂p_儂 儽 p_儂 m`^儲 兟

p_儂 儽 ∂H

∂儂 儽 −mg`关兩兮 儂

儶

この 先兡六兩公兴兯兮 の方程式が 儨儱儴儩 と等価である。

全力学的エ ネ ル ギー を E と す る と、H儨p_儂,儂儩 儽 E と な る。（ただし運動エネルギー T > 儰 より E > −mg`儮儩 従って

p^儲_儂 儽 儲m`<sup>儲</sup>儨E 儫mg`兣兯关 儂儩

ここで E < mg`儬 E 儽 mg`儬 E > mg` の場合分けについて考え る。

儨兡儩 E < mg` の場合：

p_儂 儽 ±儲m`<sup>儲</sup>儨E 儫mg`兣兯关 儂儩

1 2

この場合は、儂_儰 儽 兣兯关^−儱−_mg`^E では p_儂 儽 儰 となる。

儨兢儩 E 儽 mg` の場合：

p_儂 儽 ±儲m^儲g`^儳儨儱 儫 兣兯关 儂儩

1 2

この場合は、儂 儽 ±π,±儳π, . . . では p_儂 儽 儰 となる。

儷

儨兣儩 E > mg` の場合：

p_儂 儽 ±儲m`<sup>儲</sup>儨E 儫mg`兣兯关 儂儩

1 2

はゼロを切らない（連続的な回転運動に対応する）。

儸

兌兩兯兵其兩公公入 の定理

位相空間における領域 γ儨p, q儩 の体積について考える。正準 変換 儨p, q儩 → 儨P, Q儩 の元でこの領域の形が変わる 儨γ儨p, q儩 → 儀儨P, Q儩儩 が、体積が不変である。式で表すと、

Z

γ . . .^Z 兤q_儱. . .兤q_s兤p_儱. . .兤p_s 儽 ^Z

儀. . .^Z 兤Q_儱. . .兤Q_s 兤P_儱. . .兤P_s 儨儱儶儩 証明について：教科書に参照。（正準変換の元で 兊兡兣兯兢兩兡兮 行列 式が変わらないことは証明できる。）

時間発展 q_i儨t儩儬 p_i儨t儩 も「正準変換」として見なすことができ る。従って、時間が経過すると共に、位相空間の領域も移動す るが、その領域の中の体積が変わらない。儨兌兩兯兵其兩公公入 の定理。）

儹