母平均 差 検定 問題 1 解答
1 母集団A, 母集団B 母集団分布 正規分布N(µ1, σ12), N(µ2, σ22) . 以下 母平均 差 仮説検定 (2標本 Z検定) .
(1) 母集団 A , 標本平均x1 = 103, 母分散 σ12 = 152, 標本 n1 = 10, 母集団B , 標本平均x2 = 101, 母分散 σ22 = 152, 標本 n2 = 10,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.05 検定 . [解]: 検定統計量
Z = X1−X2
√σ21 n1 + σn22
2
. 帰無仮説 H0 成 立 上 Z 標準正規分布 N(0,1) 従 . 対 立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , 標準正規分布 両側5% 点 z0.05= 1.96 使 ,
R ={x∈R| |x|>1.96}
設定 . 与 数値 , 検定統計量 実現値 z z = x1−x2
√σ21 n1 +σn22
2
= 103−101
√
152 10 +15102
= 0.298.
z ̸∈R , 帰無仮説 H0 棄却 .
(2) 母集団 A , 標本平均x1 = 15, 母分散σ12 = 52, 標本 n1 = 10, 母集団B , 標本平均x2 = 20, 母分散σ22 = 52, 標本 n2 = 10,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.05 検定 . [解]: 検定統計量
Z = X1−X2
√σ21 n1 + σn22
2
. 帰無仮説 H0 成 立 上 Z 標準正規分布 N(0,1) 従 . 対 立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , 標準正規分布 両側5% 点 z0.05= 1.96 使 ,
R ={x∈R| |x|>1.96}
設定 . 与 数値 , 検定統計量 実現値 z z = x1 −x2
√σ12 n1 +σn22
2
= 15−20
√
52 10+ 5102
=−2.24.
z ∈R , 帰無仮説 H0 棄却 , 対立仮説H1 採択 .
(3) 母集団 A , 標本平均x1 = 64, 母分散σ12 = 182, 標本 n1 = 70, 母集団B , 標本平均x2 = 68, 母分散σ22 = 182, 標本 n2 = 85,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.01 検定 . [解]: 検定統計量
Z = X1−X2
√σ21 n1 + σn22
2
. 帰無仮説 H0 成 立 上 Z 標準正規分布 N(0,1) 従 . 対 立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , 標準正規分布 両側1% 点 z0.01= 2.58 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.58}
設定 . 与 数値 , 検定統計量 実現値 z z = x1−x2
√σ21 n1 + σn22
2
= 64−68
√
182 70 + 18852
=−1.38.
z ̸∈R , 帰無仮説 H0 棄却 .
(4) 母集団 A , 標本平均x1 = 237, 母分散 σ12 = 302, 標本 n1 = 25, 母集団B , 標本平均x2 = 213, 母分散 σ22 = 252, 標本 n2 = 30,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.01 検定 . [解]: 検定統計量
Z = X1−X2
√σ21 n1 + σn22
2
. 帰無仮説 H0 成 立 上 Z 標準正規分布 N(0,1) 従 . 対 立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , 標準正規分布 両側1% 点 z0.01= 2.58 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.58}
設定 . 与 数値 , 検定統計量 実現値 z z = x1−x2
√σ21 n1 + σn22
2
= 237−213
√
302 25 + 25302
= 3.18.
z ∈R , 帰無仮説 H0 棄却 , 対立仮説H1 採択 .
(5) 母集団 A , 標本平均x1 = 145, 母分散 σ12 = 402, 標本 n1 = 245, 母集団B , 標本平均x2 = 155, 母分散 σ22 = 452, 標本 n2 = 200,
,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.01 検定 . [解]: 検定統計量
Z = X1−X2
√σ21 n1 + σn22
2
. 帰無仮説 H0 成 立 上 Z 標準正規分布 N(0,1) 従 . 対 立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , 標準正規分布 両側1% 点 z0.01= 2.58 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.58}
設定 . 与 数値 , 検定統計量 実現値 z z = x1−x2
√σ21 n1 + σn22
2
= 145−155
√
402 245 + 452002
=−2.45.
z ̸∈R , 帰無仮説 H0 棄却 .
2 母集団A, 母集団B 母集団分布 正規分布N(µ1, σ12), N(µ2, σ22) . 以下 母平均 差 仮説検定 (2標本 t検定) . A B 母分散 等
(σ12 =σ22) 仮定 .
(1) 母集団 A , 標本平均x1 = 13.5, 標本分散 s21 = 12, 標本 n1 = 10, 母集団B , 標本平均x2 = 14.7, 標本分散 s22 = 1.12, 標本 n2 = 10,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.05 検定 . [解]: 検定統計量
T = X1−X2
√(1 n1 +n1
2
) V
,
(
V = n1S12+n2S22 n1+n2−2
)
, 帰無仮説 H0 成 立 上 T 自由度 n1+n2−2 t 分布 tn1+n2−2 従 . 対立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , t 分布 両側5%
点 t18(0.05) = 2.1 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.10} 設定 . ,統計量 V 実現値 v
v = n1s21+n2s22
n1+n2−2 = 10×12+ 10×1.12
10 + 10−2 = 1.23 . 与 数値 , 検定統計量 T 実現値t
t= x1−x2
√(1 n1 +n1
2
) v
= 13.5−14.7
√(1
10 +101 ) 1.23
=−2.42.
t∈R , 帰無仮説H0 棄却 , 対立仮説 H1 採択 .
(2) 母集団 A , 標本平均x1 = 145, 標本分散 s21 = 62, 標本 n1 = 5, 母集団B , 標本平均x2 = 138, 標本分散 s22 = 5.52, 標本 n2 = 5,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.05 検定 . [解]: 検定統計量
T = X1−X2
√(1 n1 +n1
2
) V
,
(
V = n1S12+n2S22 n1+n2−2
)
, 帰無仮説 H0 成 立 上 T 自由度 n1+n2−2 t 分布 tn1+n2−2 従 . 対立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , t 分布 両側5%
点 t8(0.05) = 2.31 使 ,
設定 . ,統計量 V 実現値 v v = n1s21+n2s22
n1+n2−2 = 5×62+ 5×5.52
5 + 5−2 = 41.4 . 与 数値 , 検定統計量 T 実現値t
t = x1−x2
√(1 n1 + n1
2
) v
= 145−138
√(1
5 +15) 41.4
= 1.72.
t̸∈R , 帰無仮説H0 棄却 .
(3) 母集団 A , 標本平均x1 = 74, 標本分散s21 = 112, 標本 n1 = 28, 母集団B , 標本平均x2 = 81, 標本分散s22 = 112, 標本 n2 = 24,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.01 検定 . [解]: 検定統計量
T = X1−X2
√(1 n1 +n1
2
) V
,
(
V = n1S12+n2S22 n1+n2−2
)
, 帰無仮説 H0 成 立 上 T 自由度 n1+n2−2 t 分布 tn1+n2−2 従 . 対立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , t 分布 両側1%
点 t50(0.01) = 2.68 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.68} 設定 . ,統計量 V 実現値 v
v = n1s21+n2s22
n1 +n2−2 = 28×112+ 24×112
28 + 24−2 = 126.0 . 与 数値 , 検定統計量 T 実現値t
t= x1 −x2
√( 1 n1 +n1
2
) v
= 74−81
√(1
28+ 241) 126.0
=−2.24.
t̸∈R , 帰無仮説H0 棄却 .
(4) 母集団 A , 標本平均x1 = 10, 標本分散s21 = 32, 標本 n1 = 12, 母集団B , 標本平均x2 = 20, 標本分散s22 = 42, 標本 n2 = 20,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.01 検定 . [解]: 検定統計量
T = X1−X2
√(1 n1 +n1
2
) V
,
(
V = n1S12+n2S22 n1+n2−2
)
, 帰無仮説 H0 成 立 上 T 自由度 n1+n2−2 t 分布 tn1+n2−2 従 . 対立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , t 分布 両側1%
点 t30(0.01) = 2.75 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.75} 設定 . ,統計量 V 実現値 v
v = n1s21+n2s22
n1+n2−2 = 12×32+ 20×42
12 + 20−2 = 14.3 . 与 数値 , 検定統計量 T 実現値t
t= x1−x2
√(1 n1 +n1
2
) v
= 10−20
√(1
12 +201 ) 14.3
=−7.25.
t∈R , 帰無仮説H0 棄却 , 対立仮説 H1 採択 .
(5) 母集団 A , 標本平均x1 = 68, 標本分散s21 = 102, 標本 n1 = 15, 母集団B , 標本平均x2 = 58, 標本分散 s22 = 92, 標本 n2 = 8,
,
• 帰無仮説 H0 :µ1 =µ2,
• 対立仮説 H1 :µ1 ̸=µ2
有意水準 α= 0.05 検定 . [解]: 検定統計量
T = X1−X2
√(1 n1 +n1
2
) V
,
(
V = n1S12+n2S22 n1+n2−2
)
, 帰無仮説 H0 成 立 上 T 自由度 n1+n2−2 t 分布 tn1+n2−2
従 . 対立仮説 H1 両側検定 行 . 棄却域 R , t 分布 両側5%
点 t21(0.05) = 2.08 使 ,
R ={x∈R| |x|>2.08} 設定 . ,統計量 V 実現値 v
v = n1s21+n2s22
n1+n2 −2 = 15×102+ 8×92
15 + 8−2 = 102.0 . 与 数値 , 検定統計量 T 実現値t
t= x1−x2
√(1 n1 +n1
2
) v
= 68−58
√(1
15+ 18) 102.0
= 2.26.
∈
