§2 微分可能多様体．特に球面について

2017೥౓ɾزԿֶং࿦ԋٛ 2017೥4݄21೔

§2 微分可能多様体．特に球面について

m

次元球面

S

^m

15. m࣍ݩٿ໘S^m ⊂ R^m+1ʹ͓͍ͯɼʰଟ༷ମͷجૅʱ47ϖʔδͷྫ4ͷΑ͏ʹɼཱମࣹ

ӨΛ༻͍ͨC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥT ={ (U,φ),(V,ψ) }Λߟ͑Δɽ͢ͳΘͪɼU =S^m\ {p+1}, V = S^m\ {p₋1}, p_±1 = (0, . . . ,0,±1)ʢෳ߸ಉॱʣͰ͋ͬͯɼہॴ࠲ඪܥ φ:U → R^m, ψ:V →R^m͸࣍ࣜͰ༩͑ΒΕΔʢͨͩ͠ɼx^′ͱ͍͏ه߸͸R^m_{ͷݩΛද͍ͯ͠Δʣɿ}

φ(x^′,x_m+1)= 1

1−x_m+1x^′, ψ(x^′,x_m+1)= 1 1+x_m+1x^′.

49_ϖʔδͷࣜ(6.13)ʹ͋ΔΑ͏ʹɼ࠲ඪม׵ψ◦φ⁻¹: φ(U∩V)→ψ(U∩V)͸ (ψ◦φ⁻¹)(y)= 1

∥y∥²y, y ∈φ(U∩V)=R^m\ {o}

ͱͳΔɽ͜ͷ࠲ඪม׵ͷࣜΛٻΊΔܭࢉͷৄࡉΛઆ໌ͤΑɽ͞Βʹ͜ͷ݁࿦ʹΑΕ͹ɼϕ Ϋτϧ yͱ(ψ◦φ⁻¹)(y)͸ฏߦͰɼ·ͨͦΕΒͷ಺ੵ͸1ͱͳΔͷ͕ͩɼͦͷ͜ͱΛܭࢉ

ʹΑΒͣʹॳ౳زԿతߟ࡯ʹΑͬͯઆ໌ͤΑɽ 16. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊6.2ʣ

m࣍ݩٿ໘S^mʹ͓͍ͯɼલ໰ͷT ͱ͸ผʹɼ൒ٿ͔ΒͷࣹӨΛ༻͍ͨC^∞ ڃ࠲ඪۙ

๣ܥS Λߟ͑Δʢ43ϖʔδྫ2ʣɽS ͱT ͕ಉ஋ͳC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥͰ͋Δ͜ͱΛূ

໌͍ͨ͠ɽ

ʰଟ༷ମͷجૅʱʹ͋Δͱ͓Γ

S ={ (U₁⁺,φ⁺₁),(U₁⁻,φ⁻₁), . . . ,(U_m⁺,φ⁺_m),(U_m⁻,φ⁻_m),(U_m+1⁺ ,φ⁺_m+1),(U_m+1⁻ ,φ⁻_m+1) }, ͱ͍͏ه߸Λ༻͍Δɽ্هͷࣄฑͷূ໌ͷҰ෦ͱͯ͠ɼi=1,. . .,m,m+1ʹର͠ɼ࠲ඪม

׵φ◦(φ⁺_i)⁻¹: φ⁺_i(U_i⁺∩U)→φ(U_i⁺∩U)^͕C^∞ڃඍ෼ಉ૬ࣸ૾Ͱ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽʦi=1,

. . .,mͱi=m+1Ͱ෼͚ͯߟ͑Δඞཁ͕͋Δɽʧ

17. ࣍Λূ໌ͤΑɽ͜ͷ͜ͱΛࢦͯ͠ɼm࣍ݩٿ໘S^m͸R^m+1_ͷm࣍ݩC^∞ڃ部分多様体

(submanifold)_Ͱ͋Δͱ͔C^∞ڃ超曲面(hypersurface)Ͱ͋Δͱ͔͍͏ʢʰଟ༷ମͷجૅʱఆ

ٛ12.III_ʣɽ

S^mͷ೚ҙͷ఺pʹର͠ɼpΛؚΉR^m+1_{ͷ࠲ඪۙ๣}(U,φ)=(U;x1, . . . ,xm,xm+1)Ͱ͋ͬ

ͯ^*ɼ͕࣍੒ΓཱͭΑ͏ͳ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɿ

(i) (U,φ)^͸R^m+1_ͷC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ʹͳ͍ͬͯΔʢ54ϖʔδʹड़΂ΒΕ͍ͯΔͱ͓Γ ͷҙຯͰʣɽ

(ii) U∩S^m={q∈U | x_m+1(q)=0}^Ͱ͋Δɽ

*φͷୈ1_{੒෼ɼʜʜɼୈ}m੒෼ɼୈm+1_{੒෼Λ༩͑Δؔ਺}U→R_ΛͦΕͧΕx1,. . .,xm,xm+1ͱͯ͠ɼ͜͏͍͏

ॻ͖ํΛ͢Δ͜ͱ͕͋Δɽʰଟ༷ମͷجૅʱ38ϖʔδͷʮ஫ҙʯ΋ࢀরɽ

極座標の局所座標系としての取り扱い

18. _Ґ૬ۭؒR²\ {o}ʹ͍ͭͯߟ͑Δɽ͜ΕΛR²ͷ։෦෼ଟ༷ମͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

͢ͳΘͪɼR²_ʹ͸ࣗ໌ͳC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥ{ (R²,id) }͕͋ͬͯɼ͜ΕΛR²\ {o}ʹ੍ݶ

͢Δ͜ͱʹΑΓಘΒΕΔS ={ (R²\ {o},id) }͸R²\ {o}ͷC^∞ _{ڃ࠲ඪۙ๣ܥΛ༩͑Δ}

͔Βɼ͜ΕʹΑΓR²\ {o}^ΛC^∞ڃଟ༷ମͱΈͳ͢ɽ

͜͜Ͱ͸΋͏ҰͭͷC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥΛ༩͍͑ͨɽR²\ {o}^Λ࣍ͷ4ͭͷ։ू߹U_±,V_± ʹΑͬͯඃ෴͢ΔɿU_± = { (x,y)∈R² | x≷ 0},V_± = { (x,y)∈R²| y ≷ 0}^{ʢෳ߸ಉॱʣɽ}

ࣸ૾φ_±,ψ_±Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔʢx =(x,y)^ͱॻ͘ʣɿ

φ₊:U₊→(0,∞)×(−π/2,π/2), φ₊(x)=(∥x∥,arcsin₊(y/∥x∥)) φ₋:U₋→(0,∞)×(π/2,3π/2), φ₋(x)=(∥x∥,arcsin₋(y/∥x∥)) ψ+:V+→(0,∞)×(0,π), ψ+(x)=(∥x∥,arccos+(x/∥x∥)) ψ₋:V₋→(0,∞)×(−π,0), ψ₋(x)=(∥x∥,arccos₋(x/∥x∥)).

ͨͩ͠arcsin_±,arccos_{±͸ͦΕͧΕɼ۠ؒ}(−1,1)্Ͱఆٛ͞Εͨద੾ͳ۠ؒΛऴҬͱ͢Δ sin,cosͷٯؔ਺Ͱ͋Δʢ͜ΕΒͷؔ਺͕C^∞ڃͰ͋Δ͜ͱ͸ೝΊͯΑ͍ʣɽ

(1) T = { (U₊,φ₊),(U₋,φ₋),(V₊,ψ₊),(V₋,ψ₋) }΋Ґ૬ۭؒR²\ {o}ͷC^∞ _{ڃ࠲ඪۙ๣}

ܥΛ༩͑Δ͜ͱΛࣔͤɽ

(2) S ͱT ͸R²\ {o}^ͷಉ஋ͳC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥͰ͋Δ͜ͱΛࣔͤɽ

19. Ұൠʹɼ࠲ඪۙ๣(U,φ)^ͱ(U,˜ φ˜) ^ʹର͠ɼU ⊂ U˜ ͔ͭφ˜|U = φͰ͋Δͱ͖ɼ࠲ඪۙ๣

(U,˜ φ˜)^͸(U,φ)ͷ֦ுͰ͋Δͱ͍͏͜ͱʹ͢Δɽલ໰ͷ࠲ඪۙ๣(U+,φ+)^{ʹର͠ɼͦͷ֦}

ுͱͳ͍ͬͯΔΑ͏ͳҐ૬ۭؒR²\ {o}^{্ͷ࠲ඪۙ๣}(U˜+,φ˜+)^Ͱ͋ͬͯɼo∈U˜+Ͱ͋Δ Α͏ͳ΋ͷ͸ଘࡏ͠ͳ͍͜ͱΛূ໌ͤΑɽ

微分可能多様体についての基本事項 20. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊6.1_{ɽੵଟ༷ମʣ}

1≤r ≤ ∞ͱ͢ΔɽM_Λm_࣍ݩC^r_{ڃଟ༷ମɼ}N_Λn_࣍ݩC^r_{ڃଟ༷ମͱ͠ɼ֤ʑͷ}C^r ڃ࠲ඪۙ๣ܥΛS = { (U_α,φ_α) }α∈A,T = { (V_β,ψ_β) }_β∈B^{ͱ͢Δɽ͢Δͱੵۭؒ}M×N ͸

{ (U_α×V_β,φ_α×ψ_β) }_{(α,β)∈A×B}

ͱ͍͏࠲ඪۙ๣ܥʹΑͬͯm+n_࣍ݩC^r ڃଟ༷ମʹͳΔɽ͜ͷ͜ͱΛূ໌ͤΑɽʢφ_α×ψ_β ͱ͍͏ࣸ૾ͷఆٛ΋આ໌͢Δ͜ͱɽʣ

21. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊6.4+αɽಉ஋Ͱͳ͍࠲ඪۙ๣ܥͷྫʣ

φ:R→R_Λφ(x)=x³ͱఆٛ͢Δͱɼ(R,φ)^͸R_{ͷ࠲ඪۙ๣ʹͳΔɽ}(R,φ)^͚͔ͩΒͳ Δ࠲ඪۙ๣ܥT ={ (R,φ) }^͸R_ʹC^∞ڃଟ༷ମͷߏ଄ΛఆΊΔɽ·ͨS ={ (R,id) }^Λ R_ͷ௨ৗͷC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥͱ͢Δɽ

(1) T ͱS ͱ͸ಉ஋ͳ࠲ඪۙ๣ܥͰ͸ͳ͍ɽͦͷ͜ͱΛࣔͤɽ

(2) R_Λ2_{ͭͷ࠲ඪۙ๣ܥ}T,S ͷ֤ʑʹΑͬͯC^∞ڃଟ༷ମͱΈͳͨ͠΋ͷΛɼͦΕ

ͧΕ(R,T),(R,S)ͱॻ͘ɽ(R,T)ͱ(R,S)͕ޓ͍ʹC^∞ ڃඍ෼ಉ૬Ͱ͋Δ͜ͱΛ

ূ໌ͤΑɽ