2022 年 6 月 27 日 問 11.2. lim f(x) = ∑ f(k)(a) k! (x

基礎ゼミ I 問題11 2022年 6月27日

(1), (2), ...の小問は別の人が解いて発表しても構いませんが、(a), (b), ...の小問は同じ人が発表してください。

次ページにヒントを書きました。参照ください。

問11.1. 2< e <3を知っているとして、e^xにMaclaurinの定理を用いることにより、eが無理数であることを 示せ。

問11.2. lim

n→∞sin(2πn!e) = 0を示せ。

問11.3. [Cauchyの剰余項]教科書p.67 Taylorの定理と同じ条件のもと、点xと点aの間にある点cが存在して f(x) =

n−1

∑

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+Rn(x), Rn(x) = f⁽ⁿ⁾(c)

(n−1)!(x−c)ⁿ⁻¹(x−a) が成り立つことを示せ。

問11.4. [Newtonの一般化された二項定理]f(x) = (1 +x)^α,α∈R,にMaclaurinの定理を適用し、

(1 +x)^α= 1 +αx+α(α−1)

2! x²+· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 2)

(n−1)! xⁿ⁻¹+R_n(x) =

n∑−1 k=0

(α k )

x^k+R_n(x) を導け。ただし剰余項Rn(x)はCauchyの剰余項(cf.問11.3)で述べよ。

問11.5. (1 +x)^α=

∑∞ k=0

(α k )

x^k,|x|<1,が成り立つこと、すなわち、問11.4で求めたCauchyの剰余項Rn(x) に対して、lim

n→∞Rn(x) = 0, |x|<1,となることを示せ。

問11.6. f(x) =





e^−1/x x >0

0 x≦0

とする。^*1 x >0でf⁽ⁿ⁾(x) = p_n−1(x)

x²ⁿ e^−1x とn−1次の多項式p_n−1(x) を用いて表せることを示せ。更に、これを用いて、f⁽ⁿ⁾(0) = 0および lim

x→+0f⁽ⁿ⁾(x) = 0を示せ。

問11.7. f(x) =x³−3にNewton法を適用し、√³

3の近似値を求める数列{x_n}^{を導け。また、}x₁= 1として 数列{x_n}^を第4項まで具体的に計算せよ。

問11.8. Cauchyの平均値の定理を用いて、0< a < b <1のとき、p > q >0ならば b^p−a^p b^q−a^q <p

q ^を示せ。

問11.9. 次の極限値を求めよ。ただし、l’Hoptalの定理を用いるときは、不定形であることを明記せよ。(a >0 は定数。)

(1) (a) lim

x→0

( 1 tanx−1

x )

(b) lim

x→+0x⁻²e^−1x (2) lim

x→∞

{ax−(logx)²}

(3) (a) lim

x→1x^tanπ2x (b) lim

x→0(1 + sinx)^cotx (4) lim

x→0

( 1 sin²x− 1

x² )

(5) (a) lim

x→π/2−0

log(_π

2 −x)

tanx (b) lim

x→∞x^ae^−(logx)2 (6) lim

x→+0

(1 x

)sinx

(7) (a) lim

x→∞logxlog (

1 + 1 x

)

(b) lim

x→π/2

(

xtanx−π 2secx

)

(8) lim

x→∞

(π

2 −Tan⁻¹x )¹_x

問 11.10. f(x) =x², [0,1]をn等分する分割∆_nに対し、微積の教科書p.253の[積分可能性]のs_∆n,S_∆nを 具体的に述べ、lim

n→∞s∆_n, lim

n→∞S∆_nを求め、

∫ 1 0

x²dxを計算せよ。

*1この問題の結果から、f(x) =e⁻

|x|1 は、帰納的にf⁽ⁿ⁾(0) = 0, (n= 0,1,2, . . .)とおくことにより、全ての階数の導関数が連続にな る。また、この関数のMaclaurin展開式は

∑∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ= 0 + 0·x+ 0·x²+· · ·= 0となり、原点以外では、元の関数と一致 しない。自然に現れる関数のMaclaurin級数は,通常は収束半径内ではもとの関数に一致するが、このようにそうではない関数も人工 的に作ることができる。なぜ、このようなことになるのかは、3年次で勉強する複素関数論(解析学I, II)で明らかになる。また、この 問題の形の関数を利用して,「1の分解」というものが作られ、幾何学(多様体論)をはじめ様々に応用される.

ヒント

問11.2 Maclaurinの定理よりe= 1 + 1 +1

2 +· · ·+ 1

n!+ 1

(n+ 1)!e^θ (0< θ <1) となるので、

sin(2πn!e) = sin {

2π

∑n k=1

n!

k! + 2π e^θ n+ 1

}

= sin 2πe^θ n+ 1. ここで、n!

k! =n(n−1)· · ·(k+ 1)は自然数であることに注意。

問11.3 教科書p.68,ℓ.2でφ(t) =f(x)−

n∑−1 k=0

f^(k)(t)

k! (x−t)^k−K(x−t), Kはφ(a) = 0となるように定める、

とすると、p.68 の証明と同様に示せます。

問11.6 自然数kに対して lim

t→∞t^ke^−t= 0がわかれば、 lim

h→+0

1

h^ke^−1/h= 0が、特に、 lim

h→+0

p_n−1(h)

h²ⁿ⁺¹ e^−1/h = 0が 従う。

[問11.9(2) の解答例です。(この問は発表できません。)]

問11.9 (2) 解答例: (l’Hopitalの定理の使い方の参考にしてください。)

xlim→∞{ax−(logx)²} = lim

x→∞ax {

1−(logx x^1/2

)2}

で、lim

x→∞

logx x^{1/2 は}

∞

∞ ^{の不定形なので}l’Hopitalの定理 より

xlim→∞

(logx)^′ (x^1/2)^′ = lim

x→∞

1 x 1

2x^−1/2 = lim

x→∞

√2 x= 0.

よって、lim

x→∞{ax−(logx)²}= lim

x→∞ax {

1−(logx x^1/2

)2}

=∞. //

追加の ヒントです。

問11.9 (1) (b)t= 1

x^とおく。x→+0よりt→ ∞^に注意。

(6), (8)は対数をとって考えよ。注意: cotx= 1

tanx, secx= 1

cosx^です。