3 Eisenstein 級数の pull-back formula

Basis problem for Hilbert-Siegel modular forms (after J. Kuang)

上智大学理工学部 森山 知則 (Tomonori Moriyama)

0 ^序

本稿はJ. Kuang の論文[K]の解説である。表題のHilbert-Siegel modular form とは，総 実代数体F 上の斜交群Sp(n)の上の正則保型形式のことで, [K]の目的はHilbert-Siegel

modular formのなす線型空間が，適当な条件下でtheta級数で張られることの証明である

(「basis problem」に対する一つの解答)。証明の方針は，Siegel-Weilの公式とEisenstein 級数の Garrett’s pull-back formulaを組み合わせるというもので，すでにSiegel保型形式 のとき(i.e. F = Q のとき)にS. B¨ocherer が用いたものである。従って，アイデアその ものは，B¨ochererの論文[B¨o]を見て頂いたほうがよいであろう。本稿では，むしろ，保 型形式論で頻繁に出てくる事柄 — theta級数, Eisenstein級数，保型的L関数の積分表 示，etc. — の解説に力点を置いてこの論文[K]の紹介をしたい。なお，楕円保型形式 やHilbert保型形式の場合の先行結果は，原論文[K]に引用してあるEichler やHijikata- Pizer-Shemanske etc. の論文を見て頂きたい。

記号は，なるべく，原論文にあるものか原論文との対応がすぐ分かるものを用いるように した。

1 Hilbert-Siegel _保型形式

(1.1) Hilbert-Siegel保型形式 F をd 次の総実代数体とし，O_F をその整数環とする。

F の素点v に対して, v に関するF の完備化をF_v と書く。F の実素点 v_i (1≤i≤d) に 関する埋め込みをF x→x⁽ⁱ⁾ ∈F_vi ∼=Rで表す。また, 有限素点v <∞ に対して,F_v の整数環をOv, 素イデアルを Pv と記し, q_v :=(Ov/Pv)とおく。また, O_F :=

v<∞Ov

とする。

次数n の斜交群G_n= Sp(n)を

Sp(n) := {g ∈GL(2n)gJ ^tg =J}, J =J_n :=

0_n 1_n

−1_n 0_n

で定義する(F 上の代数群と見る)。次数n のSiegel上半空間は H_n:={z ∈M_n(C)|^tz =z,Im(z)>0}

で定義される。すると, G_n,∞:=

v:実素点G_n,Fv ∼= Sp(n,R)^d は，次数nのSiegel上半空間 のd= [F :Q] 個の直積 H^d_n に

gz = ((a_iz_i+b_i)(c_iz+d_i)⁻¹)_1≤i≤d, g = (g_i)_1≤i≤d= (

a_i b_i c_i d_i

)_1≤i≤d, z = (z_i)_1≤i≤d

で作用する。自然数k ≥0に対して，H^d_n 上の正則関数の空間へのG_n,∞ の作用を f|_kg(z) :=

d i=1

det(c_iz_i+d_i)^−kf(gz ) で定める。Sp(n, O_F) を埋め込み

Sp(n, O_F)

a b c d

→(

a⁽ⁱ⁾ b⁽ⁱ⁾ c⁽ⁱ⁾ d⁽ⁱ⁾

)_1≤i≤d∈G_n,∞

を通じて，G_n,∞ の部分群と思う。不連続群Sp(n, O_F)に関する，重さk のHilbert-Siegel 保型形式を

M_k(Sp(n, O_F)) :={f :H^d_n →C|正則関数, f|kγ(z) =f(z), ∀γ ∈Sp(n, O_F)} で定義する。但し，F =Q かつn = 1のとき(i.e. 楕円保型形式)のときは，尖点での正 則性を条件として追加する(この注意は，下のM_k(Γ₀(f), ρ)に対しても有効である)。さら に，イデアルf⊂O_F に対して合同部分群 Γ₀(f)を

Γ₀(f)≡Γⁿ₀(f) :=

a b c d

∈Sp(n, O_F)|c≡ 0 (mod f)

で定義する。このとき, level fで, 指標ρ: (O_F/f)^×→C^× を持つ,重さkのHilbert-Siegel 保型形式の空間は

M_k(Γ₀(f), ρ) := f :H^d_n→C|正則関数, f|_kγ(z) =ρ(det(a))f(z), ∀γ =

a b c d

∈Γ₀(f) で定義される。f ∈M_k(Sp(n, O_F))∪M_k(Γ₀(f), ρ) は，任意のγ ∈Sp(n, O_F) に対して，

f|γ(z) =

ξ∈Symⁿ(F)

c(ξ;γ) exp(2π√

−1 d

i=1

tr(ξ⁽ⁱ⁾z_i)), c(ξ;γ)∈C なるフーリエ展開を持つ。ここで，条件

ξ がtotally positive definiteでなければ，c(ξ;γ) = 0,

が成り立つとき，f は尖点形式と呼ばれる。 M_k(Sp(n, O_F)) (resp. M_k(Γ₀(f), ρ))のうち 尖点形式のなす部分空間をC_k(Sp(n, O_F)) (resp. C_k(Γ₀(f), ρ))で表す。

(1.2)アデール群上の保型形式 話を見通しよく進めるため，Hilbert-Siegel保型形式を次の ようにアデール群Sp(n)_A上の関数として考える。まず，z₀ := (√

−11_n,· · · ,√

−11_n)∈H^d_n, と置く。z₀ の G_n,∞ における固定化部分群は

K_n,∞ = (

a_i b_i

−b_i a_i

)_1≤i≤d|a_i+√

−1b_i ∈U(n) ∼=U(n)^d

であり，G_n,∞ の極大コンパクト部分群である。f ∈ M_k(Sp(n, O_F)) に対して，関数 f: G_n,∞ →C を

f(g) := f|kg(z₀) = d

i=1

det(c_i√

−1 +d_i)^−kf(gz₀ ) で定義する。これは，

f(γgu _∞) = d i=1

det(a_i +√

−1b_i)^kf(g),˜

∀γ ∈Sp(n, O_F), ∀g_∞∈G_n,∞, ∀u_∞= (

a_i b_i

−b_i a_i

)_1≤i≤d∈K_n,∞

を満足する。F のアデール環をA=A_F とし，A =A_∞×A₀ を無限成分A_∞ :=_d

i=1F_vi および有限成分A₀ :=

v<∞F_v への分解とする。アデール群G_n,A = Sp(n)_Aは, 任意の

開コンパクト部分群 K_{f in} ⊂G_n,A0 に対して，

G_n,A =G_n,FG_n,∞K_{f in}

なる分解を持つ(強近似定理からの帰結)。したがって，特にK_{f in} としてK_n,0 ≡ K₀ :=

v<∞Sp(n) _v をとればK₀∩G_n,F = Sp(n, O_F) なので，全単射 Sp(n, O_F)\G_n,∞∼=G_n,F\G_n,A/K₀

を得る。この全単射を通じて f˜ をアデール群 G_n,A 上の関数とみなすことができる。

M_k(Γ₀(f), ρ)についても，K_{f in} を小さく取りなおせば，同様にしてG_n,A 上の関数とみな せる。

より一般に，G_n,F\G_n,A上のsmoothな関数φ :G_n,F\G_n,A →Cが, (i)右K_n,∞×K₀- 有限; (ii) Z(Lie(G_n,∞))-有限；(iii) 緩増大 の３条件を満たすとき，φ(g) をG_n,A 上の保 型形式といい，その全体をA(G_n,F\G_n,A) で表す((i)-(iii)にある用語の説明は略す。[Bo- Ja], [SS5] 等を参照) 。さらに，φ ∈ A(G_n,F\G_n,A)は，そのすべての“constant term”が 消えるとき，尖点形式といい，その全体をA_cusp(G_n,F\G_n,A)で表す。正則保型形式の空 間 M_k(Sp(n, O_F))や M_k(Γ₀(f), ρ)は上の対応f →fによってA(G_n,Q\G_n,A) の部分空間 と思える。また，

C_k(Sp(n, O_F)) =M_k(Sp(n, O_F))∩ Acusp(G_n,F\G_n,A), C_k(Γ₀(f), ρ) =M_k(Γ₀(f), ρ)∩ A_cusp(G_n,F\G_n,A).

である。混乱の恐れがないときには, ˜f(g) (g ∈G_n,A)を単にf(g)と記す。M_k(Sp(n, O_F)) は，A(G_n,F\G_n,A)のなかで,

•φ(gu_{f in}u_∞) = d i=1

det(a_i+√

−1b_i)^kφ(g),

∀g ∈G_n,A,∀u_{f in} ∈K_n,0,∀u_∞ = (

a_i b_i

−b_i a_i

)_1≤i≤d∈K_n,∞;

•φ(g; (X_A⁻

i)_1≤i≤d) = 0, ∀X_A⁻

i =

A_i −√

−1A_i

−√

−1A_i −A_i

(A_i ∈Sym(n)_R),

なるものとして特徴付けられる。ここで,２つ目の式は(X_A⁻_i)_1≤i≤d∈Lie(G_n,∞)を左不変微 分作用素とみなしてφ(g)に作用しているものとする。最後に，φ₁(g), φ₂(g)∈ A(G_n,F\G_n,A) の間のPetersson内積を，

φ₁, φ₂ =

Gn,F\Gn,A

φ₁(g)φ₂(g)dg

で(積分が絶対収束するときに) 定める。

2 Siegel-Weil の公式

この節では，保型形式の２つの主要な構成法であるtheta級数とEisenstein級数を導入し，

これらの間の関係を与えるSiegel-Weilの公式について説明する。

記号 τ :F\A→C⁽¹⁾ を τ(x) =e(tr(x)) なる指標とする。ただし，e:Q\A_Q →C⁽¹⁾ を e(t_∞) = exp(2π√

−1t_∞)で特徴付けられる指標とし，tr :A=A_Q⊗QF →A_Q をトレー ス写像とする。

(2.1) Weil表現 Q∈Sym(m)_F を m次対称行列とする。V :=M_m,1(F) に, (v₁, v₂)_Q =

tv₁Qv₂, v_i ∈V によって内積を入れる。一方, W₁ :=M_1,2n(F) に, Sp(n)_F を右掛算で作 用させる。Sp(n)_F は，W₁ 上のsymplectic form w₁, w₁ :=w₁J_n^tw₁ (w₁, w₁ ∈W₁) を保 つ。W =V ⊗W₁ ∼=M_m,n は，symplectic form

w₁⊗v, w₁⊗v :=w₁, w₁ (v, v)_Q, v, v ∈V, w₁, w₁ ∈W₁ を持つ。W に付随するsymplectic群をSp(mn) = Sp(W) であらわす。

O(Q)h→[W v⊗w₁ →h⁻¹·v⊗w₁ ∈W]∈Sp(mn) Sp(n)g →[W v⊗w₁ →v ⊗w₁·g ∈W]∈Sp(mn)

でもって, 直交群O(Q)およびsymplectic群Sp(n)を, 大きなsymplectic 群Sp(mn) の部 分群と見る。O(Q) と Sp(n) はsymplectic群Sp(mn)の中で互いの commutantである。

M_m,n(A) 上のSchwartz-Bruhat関数の空間をS(M_m,n(A))で表す。このとき, Weil表現 (oscillator 表現とも言う)と言われる Sp(nm)_Aの射影(ユニタリ）表現

W : Sp(mn)_A →Aut(S(M_m,n(A)))/C⁽¹⁾

が存在する。さらに，この射影表現は，m が偶数のとき，Sp(nm)_A の部分群O(Q)_A ·

Sp(n)_A の上で線型表現にすることができる([Sai])。この線型表現（これも，同じ記号W

で表すことにする)は, Sp(n)_A 上では次の(i)-(iii)で, O(Q)_A 上では(iv) で与えられる:

(i) [W(

a

ta⁻¹

)ϕ](x) =deta,(−1)^m/2detQ |det(a)|^m/2ϕ(xa), a∈GL(n)_A;

(ii) [W(

1_n b

1_n

)ϕ](x) = τ(1

2tr(^txQxb))ϕ(x), b = ^tb ∈Sym(n)_A; (iii) [W(

1_n

−1_n

)ϕ](x) =

Mm,n(A)

φ(y)τ(tr(^txQy))dy, (iv) [W(h)ϕ](x) =ϕ(h⁻¹x), ∀h∈O(Q)_A.

ただし，(i)における, はF のHilbert symbolである。ここで，Sp(n)_Aが，

a

ta⁻¹

(a ∈ GL(n)_A),

1_n b 1_n

(b ∈ Sym(n)_A) 及び，

−1_n 1_n

で生成されることから，

(i)-(iii)で Sp(n)_A の作用が決定されることに注意する。また，W(gh) = W(hg) (h ∈

O(Q)_A, g ∈Sp(n)_A) であることはすぐ分かる。なお，元の射影表現は，m の偶奇によら

ず，Sp(nm)_Aの二重被覆群の上で線型化される。このことは大切だが，以下では直接に は用いないので詳しい説明は略す(例えば, [Rao]を参照, [SS4],[SS8]にも解説がある)。 (2.2) theta積分 以下，対称行列Qは,サイズm は偶数で,すべての実素点で正定値である と仮定する。任意のSchwartz-Bruhat関数ϕ∈ S(M_m,n(A)) に対して，theta積分を

ϑ_ϕ(g) :=

O(Q)F\O(Q)A

ξ∈Mm,n(F)

[W(gh)ϕ](ξ)dh

で定める。Q に対する上の仮定から，O(Q)_F\O(Q)_A はコンパクトであるのでこの積分 は収束する。ϑ_ϕ(g)は，G_n,A上の保型形式であることも示せる。したがって，

S(M_m,n(A))ϕ→ϑ_ϕ(g)∈ A(G_n,Q\G_n,A)

なるG_n,A-intertwiner (正確には，(Lie(G_n,∞), K_n,∞)×G_n,A0-intertwiner )を得る。theta 積分 ϑ_ϕ(g) をtheta級数と結びつけるために，ϕは，ϕ(x) =

vϕ_v(x_v) とdecomposable で，各実素点v_i においては,

ϕ(x_vi) = exp(−πtr(^tx_viQ⁽ⁱ⁾x_vi))

であるとする。ϕ∈ S(M_m,n(A))にたいして，

K_Q,ϕ:={h∈O(Q)_A|ϕ(h⁻¹x) = ϕ(x), ∀x∈M_mn(A)}

と置くと,O(Q)_A∞ ⊂K_Q,ϕである。このとき，theta積分ϑ_ϕ(g)は適当なlevelで重さm/2 の正則保型形式であることを言いたい。これは，例えば，次のようにして分かる。まず，

O(Q)_A = s j=1

O(Q)_Fh_jK_Q,ϕ

の代表元h_j をh_j ∈O(Q)_A0 と取っておく(剰余類の個数は有限個である)。すると，上述 のtheta 積分は，

ϑ_ϕ(g) :=

s j=1

c_j

ξ∈Mm,n(F)

[W(g)ϕ](h⁻¹_j ξ) 但し c_j := vol(O(Q)_F\O(Q)_Fh_jK_Q,ϕ) となる。いま，

1 = s

j=1

c_j = s

j=1

1

K_Q,ϕ∩h⁻¹_j O(Q)_Fh_j ·vol(K_Q,ϕ) なので，

c_j = 1

K_Q,ϕ∩h⁻¹_j O(Q)_Fh_j ^s

l=1

1

K_Q,ϕ∩h⁻¹_l O(Q)_Fh_l ∈Q_>0 となる。Siegel上半空間の直積の点z = (z_i)∈H^dに対して，

g_z :=

1_n x 0_n 1_n

y^1/2 0_n 0_n y^−1/2

= (

1_n x_i 0_n 1_n

y_i^1/2 0_n 0_n y_i^−1/2

)∈G_n,∞

とおく。ここで，y_i^1/2 は(y_i^1/2)² = y_iで特徴付けられる正定値n次対称行列である。各 1 ≤ j ≤ sに対して，

ξ∈Mm,n(F)[W(g)ϕ](h⁻¹_j ξ) に(1.2) 節のやり方で対応するH^d_n上の 関数は,

d i=1

det(y_i^−1/2)^m/2×

ξ∈Mm,n(F)

[W(g_zh_j)ϕ](ξ)

= d i=1

det(y^−1/2)^m/2×

ξ∈Mm,n(F)

τ(1 2

d i=1

tr(^tξ⁽ⁱ⁾Q⁽ⁱ⁾ξ⁽ⁱ⁾x_i))[W(

y^1/2 0_n 0_n y^−1/2

h_j)ϕ](ξ)

=

ξ∈Mm,n(F)

ϕ(h⁻¹_j ξy^1/2)τ(1

2tr(^tξQξx))

=

ξ∈Mm,n(F)

ϕ_{f in}(h⁻¹_j ξ_{f in}) exp(π√

−1 d

i=1

tr(^tξ⁽ⁱ⁾Q⁽ⁱ⁾ξ⁽ⁱ⁾z_i)).

従って, たとえば全ての有限素点vで ϕ_v を M_m,n(Ov) の定義関数に取れば,これは，

θ(z, Q, L_j) =

ξ∈Lj

exp(π√

−1 d

i=1

tr(^tξ⁽ⁱ⁾Q⁽ⁱ⁾ξ⁽ⁱ⁾z_i)), L_j ≡h_j·M_m,n(O_F) :=

v<∞

h_j,vM_m,n(O_v)∩M_m,n(F)

なるtheta級数に等しい。

注意 theta積分ϑ_ϕ(g)は，Θ(gh) :=

ξ∈Mm,n(F)[W(gh)ϕ](ξ) とO(V)_A 上の定数関数の 積をO(V)_F\O(V)_A上で積分したものと見ることができる。より一般に, O(V)_A 上の保

型形式とΘ(gh) との積の積分を考えることにより，Sp(n)_A 上の保型形式が構成される。

保型形式のこのような構成法を，theta lifting という。

(2.3) Eisenstein級数G_n,A上のEisenstein級数を定義しよう。まず，G_n の放物部分群 P_n,r (0≤r < n)を，r = 0のときは，

P_n,0 :=

a ab 0_n ^ta⁻¹

|a∈GL(n), b ∈Sym(n)

; で，0< r < n に対しては，

P_n,r :=

⎛

⎜⎜

⎜⎝ A₁

a b

tA⁻¹₁

c d

⎞

⎟⎟

⎟⎠·

⎛

⎜⎜

⎜⎝

1_n−r ∗ ∗ ∗

1_r ∗ 1_n−r

∗ 1_r

⎞

⎟⎟

⎟⎠|A₁ ∈GL(n−r),

a b c d

∈G_r

で定義する。放物部分群P_n,rは，しばしば，r = 0 のときSiegel型，0 < r < n のとき Klingen型(ないしはJacobi型)と呼ばれる。各s ∈Cについて，Siegel型放物部分群P_n,0,A からの誘導表現I_P^Gn,A

n,0,A(s) が

I_P^G_n,0,A^n,A (s) := { :G_n,A→C|smooth , (

a ∗

0_n ^ta⁻¹

g) =|det(a)|^s(g),

∀

a ∗

0_n ^ta⁻¹

∈P_n,0,A}, [g₁·](g) := (gg₁), g, g₁ ∈G_n,A

で定義される(正確には，右K_n,∞-有限性を課す。以後この種の注意は繰り返さない)。こ

の表現I_P^G_n,0,A^n,A (s)を 退化主系列表現 と呼ぶ。s = m/2 のとき, 退化主系列表現の元 ∈

I_P^Gn,A

n,0,A(m/2)に対して，Eisenstein級数E(g;)を

E(g;) =

γ∈Pn,0,F\Gn,F

(γg), g ∈G_n,A,

で定義する([SS13, Yamauchi, Kon-no]も参照)。これは，m >2n+ 2で絶対収束し，G_n,A 上の保型形式を定める。この意味で退化主系列表現の空間I_P^Gn,A

n,0,A(m/2)をEisenstein kernel の空間と呼ぶこともある。

さて，m≡0 (mod 4), det(Q)∈(F^×)² を仮定する。ϕ ∈ S(M_m,n(A))に対して，G_n,A 上の関数_ϕ(g)を

_ϕ(g) := [W(g)ϕ](0_m,n), g ∈G_n,A で定めると，これは退化主系列表現I_P^Gn,A

n,0,A(m/2)の空間に属すことが容易に確かめられる。

従って，E_n,ϕ(g)≡E_ϕ(g) =E(g;_ϕ) と書くことにすると，

S(M_m,n(A))ϕ→E_ϕ(g)∈ A(G_n,F\G_n,A) はG_n,A-intertwinerである。

例 F =Qとし, I_P^Gn,A

n,0,A(m/2) の元として,

(u_{f in}u_∞) = det(a+√

−1b)^m/2, ∀u_{f in} ∈K_n,0, ∀u_∞=

a b

−b a

∈K_n,∞

で特徴づけられるものをとる。z=x+√

−1y ∈H_n に対して, E(

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

, ) =

γ∈Pn,0,Q\Gn,Q

(γ

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

)

=

γ∈Pn,0,Z\Gn,Z

(γ

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

)

を考える。γ =

a b c d

∈G_n,0,Zとおくと, γ

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

は

(Imγz )^1/2 ∗ 0_n (Imγz )^−1/2

(Imγz )^1/2(cx+d)y^−1/2 −(Imγz )^1/2cy^1/2 (Imγz )^1/2cy^1/2 (Imγz )^1/2(cx+d)y^−1/2

とP_n,∞·K_n,∞ の形に分解できるので,  (γ

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

)

= det(Imγz )^m/4×det

(Imγz )^1/2(cx+d)y^−1/2+√

−1(Imγz )^1/2cy^1/2)_−m/2

= det(cz+d)^−m/2det(y)^m/4.

これより, E(g, )に対応するSiegel上半空間の関数は，

det(y^−1/2)^m/2E(

y^1/2 xy^−1/2 0_n y^−1/2

, ) =

γ∈Pn,0,Z\Gn,Z

det(cz+d)^−m/2 となる。これはH_n 上の重さm/2のSiegel-Eisenstein級数である。

(2.4) Siegel-Weilの公式以上の準備の下で，Siegel-Weilの公式を述べることができる。

定理 1. m >2n+ 2 で，m≡ 0 (mod 4) であるとする。Q∈ Sym(m)_F を，全ての実素 点で正定値(totally positive definite)であり，det(Q)∈(F^×)² であるとする。このとき，

E_ϕ(g) =ϑ_ϕ(g), ∀ϕ∈ S(M_m,n(A)).

証明は，両辺のフーリエ係数を比較することで得られる(両辺の生成する表現の局所成 分についての情報も用いる）。詳しい解説は，[SS4, Ikeda]を参照。また，条件m >2n+ 2 をはずした場合や２次形式Qについての条件を緩めたときにも，複素パラメータ付きの実

解析的Eisenstein級数を持ち出すなどして定式化することができる。詳しくは，S. Kudla,

S. Rallis, T. Ikeda, A. Ichinoらの論文を参照。

3 Eisenstein _級数の pull-back formula

前節で定義したEisenstein級数E_n,ϕ(g)の部分群G_n1,A×G_n2,Aへの制限を記述するGarrett のpull-back formula [G]について説明する。ここで, 尖点形式のstandard L関数の特殊 値が現れる。

(3.1) 両側剰余分解 n =n₁+n₂ (n_i ≥0) とする。埋め込み

ι=ι_n1,n2 :G_n1 ×G_n2 →G_n, ι(g₁, g₂) =

⎛

⎜⎜

⎜⎝

a₁ b₁ a₂ b₂ c₁ d₁

c₂ d₂

⎞

⎟⎟

⎟⎠, g_i :=

a_i b_i c_i d_i

∈G_ni

を通じて, G_n1 ×G_n2 を G_n の部分代数群と見る。以下しばしば，略記法 g^↑₁ :=ι(g₁,1_n2)∈G_n, g₂^↓ :=ι(1_n1, g₂)∈G_n

も用いる。さて，両側剰余P_n,0,F\G_n,F/G_n1,F ×G_n2,F について，次が成立する。

命題 2. (i) G_n,F =_min{n1,n2}

r=0 P_n,0,F ·ζ_r·ι(G_n1,F ×G_n2,F). ここで，

ζ_r :=

1_n 0_n η_r 1_n

, η_r :=

0 η_r

tη_r 0

, η_r :=

0 0 0 1_r

∈M_n1,n2(F) である。

(ii) Ω_r :=P_n,0,F ·ζ_r·ι(G_n1,F ×G_n2,F) と置くと，次の全単射が存在する。

G_r,F ×(P_n1,r,F\G_n1,F)×(P_n1,r,F\G_n1,F)(γ₀, γ₁γ₂)→ζ_r·ι(γ₀^↓γ₁, γ₂)∈P_n,0,F\Ω_r ここで，γ₀ ∈G_rにたいして，γ₀^↓ =ι_n1−r,r(1_n1−r, γ₀)∈G_n1 と見ている。

(3.2) Klingen型Eisenstein級数 この両側剰余分解から，Eisenstein 級数E_n,ϕ(g)の G_n1,A×G_n2,A への引き戻しは，

E_n,ϕ(g₁^↑g₂^↓) =

min{n1,n2} r=0

γ1

γ2

γ0

_ϕ(ζ_r·ι(γ₀^↓γ₁g₁, γ₂g₂))

となる。ここで，(γ₀, γ₁, γ₂)の走る範囲は，上の分解定理の通りである。0≤r ≤min{n₁, n₂}

ごとに

γ1

γ2

γ0

_ϕ(ζ_r·ι(γ₀^↓γ₁g₁, γ₂g₂))

を調べる。ここから先，テスト関数ϕ(x)∈ Sm,n(A)は，ϕ(x₁, x₂) =ϕ₁(x₁)ϕ₂(x₂) (ϕ_i(x_i)∈ Sm,ni(A))というように分解しているとする。

まずr= 0 の項は，

γ1

γ2

_ϕ(ι(γ₁g₁, γ₂g₂)) =E_n1,ϕ1(g₁)E_n2,ϕ2(g₂)

と，G_n1 上のEisenstein級数とG_n2 上のEisenstein級数の積にかける。次に, 0 < r ≤ min{n₁, n₂} のときを考える。そのために, Klingen型Eisenstein級数 を導入する。G_ni,A

上のsmoothかつ右K_ni-有限な関数のうち，つぎの条件

•^(r)(p_ig_i) =|detA_i|^s(r)(g_i), ∀p_i =

⎛

⎜⎜

⎜⎝

A_i ∗ ∗ ∗

1 ∗

tA⁻¹_i

∗ 1

⎞

⎟⎟

⎟⎠∈P_ni,r,A,∀g_i ∈G_ni,A;

•任意のg_i ∈G_ni に対して,G_r,A h→^(r)(h^↓g_i)∈Cは,G_r,A 上の尖点形式である を満たすものの全体を，(ここだけの用語で)P_ni,rに付随した 一般化主系列表現 の空間 とい い,I^Gni(s,A_cusp(G_r,F\G_r,A))で表す。一般化主系列表現の空間の元^(r)に対して，Klingen 型Eisenstein級数を

E(g_i;^(r)) :=

γi∈P_ni,r,F\G_ni,F

^(r)(γ_ig_i)∈ A(G_ni,F\G_ni,A) で定義する(Re(s)0 のとき絶対収束)。ここで，次が成立する：

命題 3. テスト関数 ϕ(x) =

vϕ_v(x_v)を, 各実素点v_iで ϕ_vi(x_vi) = exp(−π^tx_viQ⁽ⁱ⁾x_vi) となっているようにとる。G_n1,A×G_n2,A 上の関数 ^(r)_ϕ (g₁, g₂) を

^(r)_ϕ (g₁, g₂) :=

γ0∈Gr,F

_ϕ(ζ_r·ι(γ₀^↓g₁, g₂))

で定義する。このとき, g₂ を固定するごとに, ^(r)_ϕ (g₁, g₂) はg₁ の関数としてP_n1,r に付随 した一般化主系列表現の空間 I^Gn1(m/2,A_cusp(G_r(F)\G_r(A))) に属す。また, g₁ とg₂を 入れ替えた主張も成立する。

したがって,

γ1∈Pn1,r,F\Gn1,F

γ2∈Pn2,r,F\Gn2,F

^(r)_ϕ (γ₁g₁, γ₂g₂)

はG_n1,A 及びG_n2,A のKlingen型Eisenstein級数の積の有限線型結合で書ける。これをよ り具体的に書く。

(3.3) Explicit pull-back formula (full-modular の場合) Q∈ Sym(m)_F がつぎの条 件1-4を満たすと仮定する:

1. Q はすべての実素点で正定値；

2. det(Q)∈(F^×)²;

3. 各v <∞について，det(^txQ_vx)∈2δ⁻¹_F O_v ∀x∈M_m,n(O_v) ;

4. 各v <∞について，det(^txQ_vy)∈δ_F⁻¹O_v (∀y ∈M_m,n(O_v))ならば，x∈M_m,n(O_v).

テスト関数ϕ(x) =

vϕ_v(x_v) を

(i)v_i|∞ (実素点) では，ϕ_vi(x_i) = exp(−π^tx_iQ⁽ⁱ⁾x_i);

(ii) v <∞ (有限素点)では，ϕ_v(x_v) = ch(M_m,n(Ov))(x_v),

と取る。このとき，^(r)_ϕ (g₁, g₂)は右K_n1,0 ×K_n2,0 不変である(Q についての条件から)。

命題3と岩澤分解によって^(r)_ϕ (g₁, g₂)は ^(r)_ϕ (h^↓₁ν₁, h^↓₂ν₂), h_i ∈ G_r,A, ν_i ∈ K_ni によって 決まる。しかも^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂) ∈ C_k(Sp(r,O_F))⊗C_k(Sp(r,O_F))である。{f_j|1 ≤ j ≤ d_r} (d_r := dim_CC_k(Sp(r,O_F))をC_k(Sp(r,O_F) の直交基底とすると, ^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂) は

^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂) :=

j

^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂), f_j(h₁) _h1∈Gr,A f_j, f_j f_j(h₁)

と展開される。{f_j}はHecke-eigen formであると仮定してよい。内積 ^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂), f_j(·) を計算し,G_r.A上の尖点形式のstandardL-関数の特殊値が現れることを見よう。まず，形 式的な式変形で,

^(r)_ϕ (h^↓₁, h^↓₂), f_j(h₁) _h1∈Gr,A

=

Gr,A

_ϕ(ζ_r·ι(1, h))f_j(h₂h⁻¹)dh, f_j(

a b c d

) :=f_j(

d c b a

) となる。この積分を計算するために, 各素点ごとに次のような等式を証明する:

Gr,Fv

_ϕv(ζ_r·ι(1, h_v))f_j(h₂h⁻¹_v )dh_v =s_v(f_j)f_j(h₂);

_ϕv(g_v) = [W_v(g_v)ϕ_v](0_m,n), g_v ∈G_n,A

但し, W_v :G_n,Fv ×O(Q)_Fv →Aut(S(M_m,n(F_v)))はlocal なWeil表現で， s_v(f_j)∈ C は次で与えられる定数である: