基礎物理コースI 第12回小テスト2007/05/25配布, 11:00-12:30, 9-349, 後藤貴行3-335B, 03-3238-3356, [email protected]
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どれも易や さしい問題も ん だ いですが、★は少す こしだけハイレベルです(Questions with a star are challenging)。
1 三次元さ ん じ げ んポテンシャルU
(
x,y,z)
=−gzの中に質量m a s smの質点しつてんがおかれている。1.1 座標ざ ひ ょ う
(
x,y,z)
におかれた質点に 働はたらく力の大おおきさと方向ほ う こ うを求めなさい。Estimate the force.1.2 座標
(
0,0,0)
から、( )
1,1,1 まで、質点しつてんを移動い ど うさせるのに必要ひ つ よ うな仕事を求めなさい。どういう経路け い ろを通って移動い ど うさせるかは、あなたの自由じ ゆ うです。You can define any path as you like.
1.3 座標
( )
1,1,1 で質点を離はなした。質点はどのような運動をするか、運動う ん ど う方程式ほ う て い し きを解いて示しなさい。
2 二次元ポテンシャルU
( )
x,y = 21kx2+ 21ky2の中に質量しつりょうmの質点がおかれている。2.1 座標
( )
x,y におかれた質点しつてんに 働はたらく 力ちからの大おおきさと方向ほ う こ うを求めなさい。2.2 座標
( )
0,0 から、( )
1,0 まで、質点を移動い ど うさせるのに必要ひ つ よ うな仕事し ご とを求めなさい。どういう経路を通って移動させるかは、あなたの自由じ ゆ うです。★余裕よ ゆ うのある人は、二通りふ た と お りの経路け い ろで 計算け い さ んして、一致い っ ちすることを示しなさい。Calculate the work with two different paths, and confirm that both give the same result.
2.3 座標ざ ひ ょ う
( )
1,0 で質点しつてんをそっと離はなした。質点しつてんはどのような運動う ん ど うをするか、運動う ん ど う方程式ほ う て い し きを解と いて示し めしな さい。
3 三次元ポテンシャルU
(
x,y,z)
=−GM x2+ y2 +z2 の中に質量しつりょうmの質点がおかれている。3.1 座標
(
x,y,z)
におかれた質点しつてんに 働はたらく 力ちからの大きさと方向を求めなさい。3.2 座標
(
∞,0,0)
から(
a,0,0)
まで、質点を移動い ど うさせるのに必要ひ つ よ うな仕事し ご とを求も とめなさい（a>0）。3.3 座標
(
a,0,0)
で質点を離はなした。質点の運動う ん ど う方程式ほ う て い し きを書かきなさい。ヒントh i n t─ 質点はx軸上です。
3.4 質点のエネルギー保存則ほ ぞ ん そ くを書きなさい。ヒント ─ E ＝ 運動う ん ど うエネルギー＋位置い ちエネルギー
★質点の速度と座標の関係かんけいをグラフに描きなさい（x
と υの関係をグラフにする）。
4 質点の座標がxr=
(
cosω
t,0,0)
で与あ たえられるとき、速度そ く ど x&rと 加速度か そ く ど x&&rを求も とめなさい。5 質点の座標がxr=
(
Rcosθ
,Rsinθ
,−z0θ )
で与あ たえられるとします。但し、R, z0は定数て い す うですが、θは時間 に依存します。5.1 どういう運動う ん ど うか、θが変化した際の軌跡き せ きを図ずに描えがきなさい。Draw the path of motion.
5.2 速度と加速度を求めなさい。
5.3 エネルギー保存則の式を書きなさい。★★微分方程式を解いてθ =θ
( )
t を求めなさい。基礎物理コースI 第12回小テスト2007/05/25配布, 11:00-12:30, 9-349, 後藤貴行3-335B, 03-3238-3356, [email protected]
-2- 1． fr=−∇U
(
x,y,z) (
= 0,0,+g)
（単位質量あたりに働く力です）
mg
W =− （逆に仕事をされる）, xr =
(
1,1,1+12gt2)
注）説明し忘れましたが、ポテンシャルをmgzと定義するかgzとするかは教科書によって異なります。
同様に、電磁気学の静電ポテンシャルもU =e
φ
か、φ
かどちらの場合もあり得ます。よって、題意を 良く読み取ってどちらの定義になっているか理解することが必要になります。2． fr=
(
−kx,−ky)
, W =12k, mx&&r=
(
−kx,0)
より、xr=(
cos k mt,0)
3． fr GMmxr r3
−
= , W =
∫
∞a− f dx=−(
−GMm(
−1 x) )
a∞ =−GMm a, mx&&=−GMm x2x GMm x
m
E= 21 &2− より、x&= 2E m+2GM x
4． υr=
(
−ωsinωt,0,0)
, ar=(
−ω2cosωt,0,0)
5． らせん（spiral）、
υ
r=(
−Rθ
&sinθ
,Rθ
&cosθ
,−z0θ
&)
( θ
&&θ θ
&θ θ
&&θ θ
&θ θ
&&)
r 0
2
2cos , cos sin ,
sin R R R z
R
a= − − + − −
(
2 02)
22 1
0
θ
m R zθ
&z mg
E=− + + より、 +
(
+θ )
=θ
&+
2 0 2 2 1
0
z R m
z mg E
θ θ
b a dt d
= +
∴ の形になるので、 0 2
(
a bθ )
1 2t b
t− = +
∴
よって、
( ( ) )
b a t t
b − −
=
∴
2 2 0
θ
（但し、(
2 02)
21m R z
a E
= + ,
(
2 02)
21
0
z R m b mgz
= + ）
x
υ
m E 2
![6. $m=k$, . 1 1/2. [5] 1. $N$ [2] [7] [2] $k=1$ , $N$ $k=1$ . $1\leq m\leq N-1$. $1\leq k\leq N-1$.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)