, 제 2 교시 수 학 영 역

5 지선다형

1.

¹⁾두 행렬 

 

^{ }  , 

 

^{ }  에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은?

[2점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

²⁾ ^



 ^



의 값은?

[2점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

^{3 )}

lim

→    

  ^ 

의 값은?

[2점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

^{4 )} 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 의 성분 중 의 개수는?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2016학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시 수 학 영 역

성명 수험번호 3

1

‘A’형

수 학 영 역

2 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5.

⁵⁾ 함수   ^   에 대하여 ′의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

6.

⁶⁾ 두 사건 , 에 대하여 P _{  }



 P _{  }



 일 때, P ∩의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





7.

^{7) 첫째항의} 이 아닌 등비수열



^



^{에 대하여}

_ _ _ _^ 일 때, 첫째항 _의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





8.

^{8 )} 함수   의 그래프가 그림과 같다.

lim

→    

 

lim

→  

의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

9.

^{9 )} 모표준편차가 인 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출하 여 구한 표본평균을 ^라 하자.   일 때, 의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 학 영 역

‘A’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

10.

¹⁰⁾ 수열



_



에 대하여 곡선   ^    _은 축과 만 나고, 곡선   ^   _은 축과 만나지 않는다.

lim

→∞^

_ 의 값은?

[3점][2016학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





11.

¹¹⁾ 에 대한 로그부등식 log_   ≤ log_



^

  



를 만족시키는 모든 정수 의 개수가 일 때, 자연수 의 값 은?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

12.

¹²⁾ 어느 쌀 모으기 행사에 참여한 각 학 생이 기부한 쌀의 무게는 평균이  kg, 표준편차가  kg인 정규분포를 따른다 고 한다. 이 행사에 참여한 학생 중 임의 로 1명을 선택할 때, 이 학생이 기부한 쌀의 무게가  kg 이상이고  kg 이하

일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[3점][2016학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

[13~14] 자연수 에 대하여 좌표가    인 점을 P라 하 고, 함수   ^의 그래프 위의 점 중 좌표가 이고 제 사분면에 있는 점을 Q라 하자. 번과 번의 두 물음에 답하 시오.

13.

¹³⁾   일 때, 선분 PQ와 곡선    및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점][2016학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





14.

¹⁴⁾ 점 R  에 대하여 삼각형 PRQ의 넓이를 _, 선분 PQ의 길이를 _이라 할 때,

lim

→∞_

_^ 의 값은?

[4점][2016학년도 수능]

① _



 ② _



 ③  ④ _



 ⑤ _





 P ≤≤ 

 

 

 

 

수 학 영 역

4 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

15.

¹⁵⁾ 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD의 대각선 BD의 등분점을 점 B에서 가까운 순서대로 각각 P_, P_, P_, P_라 하고, 선분 BP_, P_P_, P_D를 각각 대각선으로 하는 정사 각형과 선분 P_P_, P_P_를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후,

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 _이라 하자.

그림 _에서 선분 P_P_을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 A와 가장 가까운 점을 Q_, 점 C와 가장 가까운 점을 Q_ 라 하자. 선분 AQ_을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 CQ_를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 개의 정사각 형 안에 그림 _을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 _라 하자.

그림 _에서 선분 AQ_을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 CQ_를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 _에서 그림 _를 얻 는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하 여 얻은 그림을 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 _에 색칠되어 있 는 부분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

→∞

_의 값은?

[4점][2016학년도 수능]

① _



   ② _



   ③ _



  

④ _



   ⑤ _



  

16.

¹⁶⁾ 어느 금융상품에 초기자산 _을 투자하고 년이 지난 시점 에서의 기대자산 가 다음과 같이 주어진다고 한다.

_{ }



_

^  ^ (단, _ ,  ≥ 이고, 는 상수이다.) 이 금융상품에 초기자산 _을 투자하고 년이 지난 시점에서 의 기대자산은 초기자산의 배이다. 이 금융상품에 초기자산 _ 을 투자하고 년이 지난 시점에서의 기대자산이 초기자산의  배일 때, 실수 의 값은? (단, _ )

[4점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

17.

¹⁷⁾ 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 , , , , 의 모든 순서쌍     의 개수는?

[4점][2016학년도 수능]

(가) , , , ,  중에서 의 개수는 이다.

(나)           

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 학 영 역

‘A’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

18.

¹⁸⁾ 두 이차정사각행렬 , 가

 ^, 

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은? (단, 는 단위행렬이다.)

[4점][2016학년도 수능]

ㄱ. ^ ㄴ. ^{ }^ ㄷ. ^^

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19.

¹⁹⁾ 모든 항이 양수인 수열



_



^은 _ _ 이고,

__{  }



^{ 라 할 때,}

_{  } _{  }

_^

   _  ≥ 

를 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정이다.

_{  }_{  }_이므로 주어진 식으로부터

_{   }

_{  }

_^

 _  ≥ 

이다. 양변을 _으로 나누면

_

_{  }

 _{  }

_

 

이다. _ _

_{  }

이라 하면 _ 이고

_ _{  }   ≥ 

이다. 수열



_



의 일반항을 구하면

_ 가 ×    ≥ 

이므로

_ 가 ×   ^  ≥ 

이다. 따라서 _ 이고,  ≥ 일 때

___{  }

 나 ×  ^ 이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,

  의 값은?

[4점][2016학년도 수능]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

수 학 영 역

6 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

20.

²⁰⁾ 두 다항함수 , 가 모든 실수 에 대하여         

를 만족시킨다. 함수   에 대하여



_{ }^{  }′  

일 때, 의 값은?

[4점][2016학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

21.

²¹⁾ 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 에 대하여



′

의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값은?

[4점][2016학년도 수능]

(가) 함수  는    에서만 미분가능하지 않다.

(나) 방정식   은 닫힌구간     에서 적어도 하 나의 실근을 갖는다.

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





22.

²²⁾ 등차수열



_



^대하여 _ _ 일 때, 수열



_



^{의 공차를} 구하시오.

[3점][2016학년도 수능]

23.

²³⁾

lim

→∞^

 × ^ 

의 값을 구하시오.

[3점][2016학년도 수능]

수 학 영 역

‘A’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

24.

²⁴⁾ , 에 대한 연립일차방정식



^{   }  

  

^ 

 

^

가   ,    이외의 해를 갖도록 하는 상수 의 값을 구하 시오.

[3점][2016학년도 수능]

25.

²⁵⁾ 이산확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

     합계

P  

 

 

 

E 의 값을 구하시오.

[3점][2016학년도 수능]

26.

²⁶⁾ 어느 회사의 직원은 모두 명이고, 각 직원은 두 개의 부서 A, B 중 한 부서에 속해 있다. 이 회사의 A부서는 명, B 부서는 명의 직원으로 구성되어 있다. 이 회사의 A부서에 속해 있는 직원의 가 여성이다. 이 회사 여성 직원의 

가 B부서에 속해 있다. 이 회사의 직원 명 중에서 임의로 선 택한 한 명이 B부서에 속해 있을 때, 이 직원이 여성일 확률은

이다. 의 값을 구하시오.

[4점][2016학년도 수능]

27.

²⁷⁾ 두 함수

 



^{  }^  ^{ ≤ }         

에 대하여 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도 록 하는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오.

[4점][2016학년도 수능]

수 학 영 역

8 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

28.

²⁸⁾ 두 다항함수 , 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)   ^   (나)

lim

→  

  

 

곡선    위의 점   에서의 접선의 방정식이

    일 때, ^ ^의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이 다.)

[4점][2016학년도 수능]

29.

²⁹⁾ 이차함수 가   이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가)







   







   (나)







  









의 값을 구하시오.

[4점][2016학년도 수능]

30.

³⁰⁾ _{ ≥ }



 인 실수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자.

다음 조건을 만족시키는 두 실수 , 의 순서쌍  를 좌표 평면에 나타낸 영역을 라 하자.

(가)   이고   이다.

(나) 함수   의 그래프와 직선     가 한 점에서만 만난다.

영역 에 속하는 점  에 대하여  ^ ^의 최솟값은

 × 

이다.   의 값을 구하시오.

(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016학년도 수능]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수 학 영 역

‘A’형 9

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2016학년도 수능기출 A형 해설지

1 ⑤ 2 ④ 3 ③ 4 ② 5 ④

6 ① 7 ① 8 ② 9 ⑤ 10 ⑤

11 ① 12 ③ 13 ③ 14 ⑤ 15 ②

16 ② 17 ④ 18 ③ 19 ④ 20 ①

21 ⑤ 22 7 23 3 24 6 25 11 26 30 27 21 28 97 29 45 30 222

1) ⑤

[출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있는가?



 

^{ }  

 

^{ }  



^  ^



따라서 행렬 의 모든 성분의 합은

         2) ④

[출제의도] 지수의 법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

^



 ^



^^



^^



 ^ ^      

3) ③

[출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가?

lim

→    

  ^ 



lim

→ 

^    ^    4) ②

[출제의도] 그래프와 행렬 사이의 관계를 알고 있는가?

주어진 그래프의 변의 개수가 이므로 연결관계를 나타내는 행렬의 성분 중

의 개수는

 ×   

5) ④

[출제의도] 미분계수를 구할 수 있는가?

 ^   에서 ′  ^ 이므로

′   × ^   

6) ①

[출제의도] 확률의 관계식에서 확률의 값을 구할 수 있는가?

P_{ } P P∩

 

이므로

P∩_{ }



× P_{ }



× 

 



7) ①

[출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구할 수 있는가?

8) ②

[출제의도] 그래프를 이용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는가?

lim

→    

  

lim

→  

  이므로

lim

→     

lim

→         9) ⑤

[출제의도] 모표준편차를 이용하여 표본표준편차를 구할 수 있는가?





^



_{ }

^

  ^

  

^  

∴   

10) ⑤

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

이차방정식 ^    _ 의 판별식을 _이라 하면

_  ^ _≥ 에서

_≤ 

  ^

또 이차방정식 ^   _ 의 판별식을 _이라 하면

_ ^ _ 에서

_ 

^

즉 

^

 _≤ 

 ^

^

^

 ^

_

≤ ^

 ^

lim

→∞^

^



lim

→^

_

≤

lim

→∞^

 ^

lim

→∞^

^



lim

→∞^

 ^

 

이므로

lim

→∞^

_

 



11) ①

[출제의도] 로그부등식의 해를 구할 수 있는가?

진수조건에서

    , 

    

이므로    ··· ㉠

log_  ≤ log_



^

  



^에서

   ≤ 

  , 

 ≤   

∴  ≤    ··· ㉡

㉠, ㉡에서    ≤   이고 모든 정수 의 개수가 이므로

수 학 영 역

10 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

P ≤≤ 

 P



^

  

≤ 

 

≤ 

  



 P  ≤≤ 

 P ≤≤  P ≤≤ 

     

13) ③

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가?

  일 때,

 ^이고 P  Q 이므로 구하고자 하는 넓이 는

_{ }



×  × 





  ^

  

_{  }



^







  



  



^{ }



14) ⑤

[출제의도] 넓이와 길이를 이용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가?

Q



^^

  



^{이므로 PR , QR }^



_{ }



× ^

 × ^

_



^{ }



∴

lim

→∞_

_^



lim

→∞



^{ }



 

lim

→∞



^{  }^



  



15) ②

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 반복되는 도형에서 넓이의 합에 대한 극한값을 구할 수 있는가?

BE  EC   이므로 닮음비는 

이다.

따라서 넓이의 비는



^





^{ }

 이고 도형의 개수는 배씩 늘어나므로 무한등비급수의 공비는



 ×  



또한, 그림 _에서 BD ^이므로

_  ×   



^

^



^{    }

∴

lim

→∞

_{ }

  



  

 

  

16) ②

[출제의도] 실생활에서 주어진 관계식을 이용하여 실수의 값을 구할 수 있는가?

_

 

× ^  ^

  

× ^  ^에서

^^ ^   

^ ^  

^ 이므로 ^ 

∴  

× ^  ^_{ }



× ×    

17) ④

[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

인 것 개를 정하는 경우의 수는

C_  ×

 ×  ··· ㉠

    일 때       을 만족시키는 자연수   의 순서쌍

  의 개수는

  ′ ,   ′ ,   ′ (단, ′ ′ ′는 음이 아닌 정수) 라 하면

′  ′  ′  

′ ′ ′ 

을 만족시키는 순서쌍 ′ ′ ′의 개수와 같으므로

    C__C__C_  ×

 ×  ··· ㉡

㉠, ㉡에서 구하고자 하는 순서쌍의 개수는

 ×  

18) ③

[출제의도] 주어진 관계식을 이용하여 행렬의 연산을 할 수 있는가?

ㄱ. 이고

에서 ^ 이므로 ^

에서 ^ (참)

ㄴ. 에서 ^^ 이므로 ^

^

∴ ^{ }^ (거짓) ㄷ. ㄱ에서 ^이므로

 ^에서 ^이고,

^^^

에서 ^ 또한, ^의 양변에 ^을 곱하면

^^^ ^ ^ 이므로 ^^ (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

19) ④

[출제의도] 수열의 일반항을 구하는 과정을 이해할 수 있는가?

_ 이고 _ _{  }  ≥ 이다.

수열



^



의 일반항을 구해보면

_ _{  } 

수 학 영 역

‘A’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

에서

_ _  ×

_ _  ×

⋮

_ _{  } 

이므로 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 더하면

_ _     ···  

∴ _ _     ···  

       ···  

       ···  

  × 

 

 (가)_{   }

따라서 _ _

_{  } 이므로

_

_{  }

  

에서

_

_

  × 

_

_

  × 

⋮

_{  }

_

  

이고 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 곱하면

_

_

  ×^× ^× ··· ×  ^×

∴ _ (가) × ^ 따라서 _ 이고  ≥ 일 때

___{  }

  ×  ^  ×  ^

 ^  ×  ^

 (나) ^    ×  ^

∴  ,   ^   

∴      ×

     

20) ①

[출제의도] 조건을 만족시키는 다항함수에 대하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

        

이므로 다항함수 의 그래프는 원점에 대칭이고,  이다.

 _{  }^{  } _{  }^{  } ···  _로 놓으면

′  _{  }^  _{  }^{  } ···  _ 이므로 ′  ′를 만족시킨다.



^′ ′

21) ⑤

[출제의도] 조건에 맞는 삼차함수를 찾아 

′

의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있 는가?

조건 (가)에 의하여   

또한, 조건 (가), (나)에 의하여 함수   의 그래프는 닫힌 구간

  에서 축과 접하게 된다.

따라서

     ^ ≠   ≤  ≤ 

라고 하면

′    ^     

이므로



′

 ^

^ 

   

 그런데,  ≤  ≤ 이므로

  일 때 최솟값   



  일 때 최댓값 _{ }





∴ _{  }



× 

 



22) 

[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?

등차수열



_



^{의 공차를} 라 하면

_ _   

∴    23) 

[출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가?

lim

→∞^

 ×^ 



lim

→∞



^{  }



^





^



^{ }

24) 

[출제의도] 행렬로 표현된 연립일차방정식을 만족시키는 상수 값을 구할 수 있는가?



^{   }  

  

^

 

^{ } 

 

^



^{   }  

  

^ 

 

^

이       이외의 해를 가지므로

 ×    ×    에서   

25) 

[출제의도] 이산확률변수에서 기댓값을 구할 수 있는가?

E_{   × }



  × 

  × 

      

∴ E  E   ×     

수 학 영 역

12 ‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

A 부서 B 부서

남자 

여자  

(단위 : 명)

여성 직원의 수를 이라 하면 B 부서에 속해있는 여성 직원의 수는

이므로     에서   

임으로 택한 직원이 B 부서인 사건을 , 여성직원이 사건을 라 하면

P_{ } P P∩

 









 









 

 



따라서   

이므로    × 

 

27) 

[출제의도] 두 함수의 곱이 연속함수가 될 조건을 구할 수 있는가?

(ⅰ) 함수 가   에서 연속일 때

lim

→  



lim

→  

    

lim

→  



lim

→  

^  ^  이므로

^    , ^    

   

∴     또는   

(ⅱ) 함수 가   에서 불연속일 때

lim

→



lim

→

           

∴    

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 의 값의 곱은

  × ×  

28) 

[출제의도] 함수의 극한과 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 구할 수 있는가?

조건 (나)에서  → 일 때, (분모)→이므로 (분자)→이어야 하므로

 

조건 (가)에서   를 대입하면

  이므로

  에서   또 조건 (나)에서

lim

→  

   

 ′ ′   조건 (가)의 양변을 에 대하여 미분하면

′  ^ ^′

  를 대입하면

′   × ′

′  ×  ′   ′  

에서 ′    따라서 접선의 방정식은

       ,       이므로

^ ^  ^ ^ 

29) 

[출제의도] 정적분의 의미를 이해하여 함숫값을 구할 수 있는가?

 이므로

 ^  ≠ 라 하자.

조건 (가)에 의하여



_^  ,



_^    이므로 구간   에서 ≤ 이다.

또한, 조건 (나)에 의하여



_^{ }



_^{}

이므로 구간   에서 ≥ 이다.

따라서  이므로

     

∴    

즉,  ^ 이므로



_^{ }







^ ^







 

     

   

∴   

따라서  ^ 이므로

  × ^  ×      

30) 

[출제의도] 상용로그의 가수를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 최솟값을 구할 수 있는가?

 ≥ 인 정수에 대하여

^≤  ≤ ^{  }일 때, 함수   의 그래프는 그림과 같다.

따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 (ⅰ)  ≥ 인 정수일 때,

 ≤  ×^ ,  × ^{  }   

∴  ^   ≤    ^{  }

따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍

 가 나타내는 영역은 그림과 같다.

이때,  ^ ^은 점   과 점   사이의 거리의 제곱이다.

따라서    일 때, 점   에서 직선    ^  까지의 거리의 제곱이 최소이므로

수 학 영 역

‘A’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━



^



^^{ }^ ^

^{ }×   



^{ }_





  × 



(ⅱ)    일 때,



    ≥ , 

    

 

  ≤    



따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍

 가 나타내는 영역은 그림과 같다.

따라서  ^ ^의 값은 점   에서 위의 점  까지의 거리의 제곱이므로



^   ^ ^ ^

보다 크게 된다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 최솟값은  × 

이므로   의 값은

    