中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学
高等数学 A
7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分
7.2.7 Stokes 公式
7.2 曲线曲面积分
7.2.7 Stokes 公式
斯托克斯 (Stokes) 公 式
Stokes 公式 应用习例 11-15
沿闭曲面的曲面积分为零的条件 应用习例 16-17
斯托克斯公式
斯托克斯 (1819-1903)
英国数学物理学家 . 他是 19 世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一 , 其
主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法 , 在 1845 年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847 年先于
柯西提出了一致收敛的概念 . 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式 . 他一生的工作先后分 五卷 出版 .
将 Green 公式推广至空间，即 Stokes 公式给出 了沿空间曲线 的第二型线积分与 上所张开的曲 面的面积分之间的关系。
( 作为该曲面的边界曲线也可记为 )
曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定 ( 右手法则 ):
当右手四指依的绕行方向时，大拇 指所指的方向与上法向量的指向相 同，这时称是有向曲面的正向边 界曲线 .
n
四、 Stokes 公式
定理 2.
; )
1
( 设光滑曲面 的边界是按段光滑的连续曲线 则
且有一阶连续偏导
上连续 连同
在
;
, )
( )
, , ( ), ,
, ( ),
, , ( ) 2
( P x y z Q x y z R x y z
y dxdy P
x dzdx Q
x R z
dydz P z
Q y
R
Rdz Qdy
Pdx
其中的侧与的方向按右手法则确定 .
cos cos cos
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P
y z z x x y dS
或
(3) Stokes 公式的实质 : 表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系 .
(4) Σ当 是 xoy 面的平面闭区域时,
Stokes 公式 特殊情形 Green 公式
也称 Stokes 公式为空间的 Green 公式 .
(5) Stokes 公式理论上很重要 ,
用它来计算曲线积分并不很方便 .
应用 Stokes 公式：可将Ⅱ型空间曲线积分化为二种 情况计算（ⅰ）化为Ⅱ型曲面积分（ P296 例 5)
（ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（ P296 例 6)
应用步骤： (i) 选定∑（被 Γ 所围的部分）并由 Γ 的方向指明∑ 的侧向
(ii) 利用 Stokes 公式时， 将Ⅱ型空间曲线积分化为
哪一种曲面积分，一般以计算较简便的为宜。
n
注意 :
(1) 便于记忆 , Stokes 公式可用行列式表示为
( , , )
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz
x y z
P Q R
i j k
dydz dzdx dxdy
x y z
P Q R
(2) Stokes 公式的另一形式
dS R
Q P
z y
Rdz x Qdy
Pdx
cos cos cos
} cos ,
cos ,
{cos n
其中
(cos ,cos ,cos )
i j k
x y z dS
P Q R
( , , ) ( , , ) ( , , )
i j k
x y z
P x y z Q x y z R x y z
的的的
注意： 利用 Stokes 公式时， 将Ⅱ型空间曲线积 分化为两种曲面积分之前，要先看
{ , , }
2
i j k
y z x z x y
x y z
P R
Q R P Q
P Q R
的的的 的的的
的 的的的 ,
,
{0,0,1}
{0,0,1} { , , } Stokes
i j k
x y z
P Q R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz
x y z
P Q R
dydz dzdx dxdy dxdy
则利用公式将空间第二类封闭曲线积分化为第一型曲面积分 例如： 若
则有
0
{ , , }
cos cos cos
i j k
y z x z x y
x y z
P R
Q R P Q
P Q R
Pdx Qdy Rdz dS
x y z
P Q R
i j k i j k
n dS ndxdy
x y z x y z
P Q R P Q R
的的的的的的的的的 的 的的 的的的
的的
化为 I- 型曲面 积分
Stokes 公式应用习例
. : 2 2 2 2 方向为由x轴正向看去是逆时针的
R z
x
R z
y C x
11. 2 ,
c ydx zdy xdz
例算 计
12. ( y z dx) (z x dy) (x y dz) ,
例算 计
) 0 ,
0 1 (
2 2
2
a b
b z a
x
a y
x 为椭圆
若从 x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向 .
o x
y z
o x
y z
a
a b
2 2 2
13. I y dx z dy x dz,
例算 计), 0
2 (
2
2 2
2 2
z
Rx y
x
R z
y 为曲线 x
其中
若从 z 轴正向看去，取逆时针方向 .
例 14. 利用斯托克斯公式计算积分 y x z y x zd d d
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角 形的整个边界 , 若从向量 (1,1,1) 正向看去 , 取 逆时针方向 .
x z
o
y
z
x
y
1
1 o 1
y
D
xz
x o y
n
解 1
o x
y z
. : 2 2 2 2 方向为由x轴正向看去是逆时针的
R z
x
R z
y C x
11. 2 ,
c ydx zdy xdz
例算 计
(1,1, 2) 2
i j k
x y z
y z x
的上侧, 为
取 x z R n {1,0,1}, 2 cos 1
, 0 cos
2 ,
cos 1
c 2ydx zdy xdz
1,1, 2 (
1 ,0, 1 )2 2 dS
dS
2 1
2
2 2 2
1
R .
2 2
R2
注意 :
(1) 截面圆的半径为 . 2
) 2 2 (
1 2 2
R R
R
o x
y z
(2) 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说，
积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜 . (3) 积分曲面∑是选平面还是选球面被平面割下的那一 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜 .
(4) 再次体现 Stokes 公式计算曲线积分并不方便 .
R t z R
R t y
R t x R
C
2 cos 2
2sin 2 cos 2
的参数方程为 : 曲线
(5) 也可化为参数方程直接计算 . 解 2
2 0 从
t
c 2ydx zdy xdz
t dt t
R t
R t
R t
R t
R )
4
cos sin
4 sin 2
2 cos 2
2
cos 2
( sin
2 2
2 2
2 2 0
2
2
2 . 2
R2
o x
y z
a
a b
12. ( y z dx) (z x dy) (x y dz) ,
例算 计
) 0 ,
0 1 (
2 2
2
a b
b z a
x
a y
x 为椭圆
若从 x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向 .
{ 2, 2, 2}
i j k
x y z
y z z x x y
因此,将它化为型曲面积分I- , 解
{ ,0,1}b n a
: b ( )
z b x
a 上侧
0
2
{ 2, 2, 2}
2 ( 1)
2( 1) 2( 1) 2 ( )
Dxy
i j k
I n dS
x y z
y z zx x y n
dxdy dx
dxdy b
a
b b
a a a b
a dy
a
或者
) cos 1
( sin cos :
t b
z
t a
y
t a
x 的参数方程为
曲线 t从0 2
原式
02 [asint b(1 cost)](asint)dt
02 [b(1 cost) acost]acostdt
2
0 (acost asin t)bsintdt ).
(
2 a a b
解
, 如图所示
2 2
2 的上侧
为
取 z R x y
x z
o
y
} 1 , ,
{ 2 2 2 2 2 2
y x
R
y y
x R
n x
2 2 2
13. I y dx z dy x dz,
例算 计), 0
2 (
2
2 2
2 2
z
Rx y
x
R z
y 为曲线 x
其中
若从 z 轴正向看去，取逆时针方向 .
2 2 2
( 2 , 2 , 2 )
i j k
z x y
x y z
y z x
( 2 , 2 , 2 ) 0 dS ( 2 , 2 , 2 )
I z x y n dS z x y ndxdy
三换
2 2 2
2 2 2
2 1 (xz x R x y dxdy)
R x y y y
2 2
2 2 2
2 2 2
2 1
x y Rx
x dxd
R y x
x R y y
一投二代对称性
dxdy x
Rx y
x
2 2
2
2
0 cos 22
cos
2 d R r dr .
4 R3
2 2 2 2 2 2
( 2 , 2 , 2 ) x , y ,1
z x y dxdy
R x y R x y
i j k
x y z
y z x
1, 1, 1
化为 I- 型曲面积分
: z 1 x y ,n {1,1,1} Dxy :
的 的 的 的 的 的 的 的 .
按斯托克斯公式 , 有
(1,1,1) n
例 14. 利用斯托克斯公式计算积分 y x z y x zd d d
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的
整个边界 , 若从向量 (1,1,1) 正向看去 , 取逆时针方
向 .
z
x
y
1
1 o 1
y
D
x解 1
1, 1, 1
0I n dS
dS | |n dxdy3
Dx y dxdy
32
1, 1, 1 (1,1,1)dxdy
例 14. 利用斯托克斯公式计算积分 y x z y x zd d d
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角 形的整个边界 , 若从向量 (1,1,1) 正向看去 , 取 逆时针方向 .
解 2
z
x
y
1
1 o 1
y
D
x化为 II- 型曲面积分 , 记三角形域为 , 取上侧 ,
d d d
y x z y x z
dydz dzdx dxdy
x y z
y z x
d dy z d dz x d dx y
利用对称性
3
Dx y dxdy
32 .解 z
x o y
n
取Σ为平面
2
3
y z x
的上侧被
所围成的部分.} 1 , 1 , 1
{ n
2 2 2 2 2 2
2 2 , 2 2 , 2 2
i j k
x y z
y z z x x y
y z x z x y
2 2 , 2 2 , 2 2 (1,1,1)
I y z x z x y dxdy
4 (x y z dxdy
)
2 )
( 在 上 x y z 3
Dxy2
3
y x
2
1
y x
2 .
9
Dxy
dxdy 6
定理 2. 设空间开区域 G 是单连通区域 ;
: ,
) , , ( ) , , ( ), ,
, (
价 则以下四个条件相互等 连续偏导数
内具有一阶 在G
z y x R z y x Q z
y x P
. 0 )
1
(
Rdz Qdy
Pdx G内任意分段光滑的闭曲线 有
沿
. ,
, )
2 (
的起点和终点有关 只与
与路径无关
内任意分段光滑的曲线 沿
Rdz Qdy
Pdx G
. ,
, )
3
( 在G内恒成立
z P x
R y
R z
Q x
Q y
P
, )
, , ( )
4
( Pdx Qdy Rdz在G内是某一函数 u x y z 的全微分 五、空间曲线积分与路径无关的条件
0
i j k
x y z
P Q R
, )
, ,
(x y z Pdx Qdy Rdz
du
即
则 的原函数
是
若u(x, y,z) Pdx Qdy Rdz ,
) , , (
) , , ( )
, , (
) , , (
2 2 2
1 1 1 2
2 2
1 1
1 y z ( , , ) xx yy zz
x
z y
x Pdx Qdy Rdz u x y z
).
, ,
( )
, ,
(x2 y2 z2 u x1 y1 z1
u
或者
((xx12,,yy12,,zz12)) Pdx Qdy Rdz. ) , ,
( )
, , (
) ,
,
( 2
1 2
1 2
1 1 1
2 1
2 2
xx P x y z dx yy Q x y z dy zz R x y z dz
例 16 验证曲线积分
d d d
( y z x) (z x y) (x y z)
与路径无关，其中 是从点 (1,2,3) 到点 (4,5,6) 的一条光滑曲线弧，并计算其积分值 .
解 P y z, Q z x R, x y
积分与路径无关，有
d d d
( y z x) (z x y) (x y z)
与路径无关，其中 是从点 (1,2,3) 到点 (4,5,6) 的一条光滑曲线弧，并计算其积分值 .
0
i j k
x y z
y z z x x y
1 2 3 ( , , )
4 2 3
( , , ) ( , , ) 4 5 3 4 5 6 ( , , )
4 5 6
1
( 2 3 )
2( 3 4 )
3( 4 5 )
I dx dy dz 63
解：
L
dz xy z
dy zx y
dx yz
x2 2 2
( ,0, ) 2 2 3
(0,0,0) 0 3
B a k k
A
z dz z dz k
积分与路径无 关 ,
因此
z
x y
o
2 2 2
0
i j k
x y z
x yz y zx z xy
解：选（ A ）
