(3.14)(3.14) Dengan pemetaan invers yang diberikan olehDengan pemetaan invers yang diberikan oleh
``
(3.15)(3.15)Pemetaan (3.14) didefinisikan untuk semua titik (r,θ) dalam R
Pemetaan (3.14) didefinisikan untuk semua titik (r,θ) dalam R22kecuali titik (0,0). Petakecuali titik (0,0). Peta dari titik di luar lingkaran S(0,a) ke titik dalam S(0,a) dan sebaliknya, sementara poin dari titik di luar lingkaran S(0,a) ke titik dalam S(0,a) dan sebaliknya, sementara poin yang terletak pada
yang terletak pada lingkaran S(0,a) telah ditetapkan. Sebuah adalah domain yanglingkaran S(0,a) telah ditetapkan. Sebuah adalah domain yang terletak di luar S(0,a) dipetakan ke domain dalam S(0,a).
terletak di luar S(0,a) dipetakan ke domain dalam S(0,a). Misalkan berupa domain dalam R
Misalkan berupa domain dalam R22yang tidak mengandung titik (0,0) dan u(r,θ)yang tidak mengandung titik (0,0) dan u(r,θ) harmonik
harmonik di . Kemudian u(r,θ) fungsi yang diperoleh dari u(r,θ) dengandi . Kemudian u(r,θ) fungsi yang diperoleh dari u(r,θ) dengan mengganti
mengganti r r dengandengan aa22 /r* /r* dan θ dengan θ, adalah harmonik dalam .dan θ dengan θ, adalah harmonik dalam . Inversi sehubungan dengan
Inversi sehubungan dengan bola dalam Rbola dalam R33didefinisikan dengan cara yang sama.didefinisikan dengan cara yang sama. Misalkan S(0,a) adalah permukaan bola dengan pusat (0,0) dan jari-jari a.
Misalkan S(0,a) adalah permukaan bola dengan pusat (0,0) dan jari-jari a. Dalam koordinat bola, titik (r,θ,φ) dan (r,θ,φ) dikatakan
Dalam koordinat bola, titik (r,θ,φ) dan (r,θ,φ) dikatakan Inversi sehubunganInversi sehubungan
dengan
dengan S(0,a) jikaS(0,a) jika
(3.16)(3.16) Misalkan menjadi domain dalam RMisalkan menjadi domain dalam R33yang tidak memuat titik (0,0) dan u(r,θ,φ)yang tidak memuat titik (0,0) dan u(r,θ,φ) fungsi harmonik di . Misalkan menjad
fungsi harmonik di . Misalkan menjadi citra omega berdasarkan i citra omega berdasarkan inversi (3.16)inversi (3.16) dan
dan menentukan menentukan fungsi fungsi u(r,θ,φ) u(r,θ,φ) di di oleh oleh rumusrumus
43 43 Maka u harmonic
Maka u harmonic di yang di yang tergantung pada variabetergantung pada variabel r,θ,φ.l r,θ,φ. Dalam invers, itu sering menggunakan notasi vektor. Jika
Dalam invers, itu sering menggunakan notasi vektor. Jika rr dandan r*r* merupakan vektormerupakan vektor
posisi dari dua titik
posisi dari dua titik Inversi sehubungan denganInversi sehubungan dengan S(0,a) makaS(0,a) maka
|||| ||||
(3.18)(3.18) dan karenanya, dan karenanya,
(3.19)(3.19) sehingga, sehingga,
(3.20)(3.20) Dalam RDalam R22, jika u(, jika u(rr) adalah harmonik dalam domain , maka) adalah harmonik dalam domain , maka
(3.21)(3.21)harmonik
harmonik di . Dalam Rdi . Dalam R33, jika u(, jika u(rr) adalah harmonik dalam domain , maka u) adalah harmonik dalam domain , maka u
(3.22)(3.22)harmonik
harmonik di di ..
4.
4. Masalah Masalah Nilai Nilai Batas Batas yang yang Terkait Terkait dengan dengan Persamaan Persamaan LaplaceLaplace
Persamaan laplace muncul dalam banyak fenomena fisika. Contohnya, jika Persamaan laplace muncul dalam banyak fenomena fisika. Contohnya, jika fungsi u menyatakan distribui temperatur keadaan tetap,
fungsi u menyatakan distribui temperatur keadaan tetap, dalam tubuh isotropikdalam tubuh isotropik
homogen, maka pada setiap titik
homogen, maka pada setiap titik interior untuk tubuh, u harus memenuhiinterior untuk tubuh, u harus memenuhi persamaan Laplace.
persamaan Laplace. Tentu saja, fakta ini saja tidak cukTentu saja, fakta ini saja tidak cukup untuk menentukan uup untuk menentukan u karena ada solusi tak terhingga dari persamaan laplace. Jika kita mempunyai karena ada solusi tak terhingga dari persamaan laplace. Jika kita mempunyai informasi tambahan sehingga distribusi temperatur pada batas
informasi tambahan sehingga distribusi temperatur pada batas tubuh atau flukstubuh atau fluks
panas diseluruh batas, maka u
panas diseluruh batas, maka u harus memenuhi kondisi pada batas disebutharus memenuhi kondisi pada batas disebut kondisi batas. Masalah dalam menentukan fungsi u
kondisi batas. Masalah dalam menentukan fungsi u yang memenuhi persamaanyang memenuhi persamaan
laplace di interior tubuh dan kondisi batas disebut masalah nilai batas. Dalam laplace di interior tubuh dan kondisi batas disebut masalah nilai batas. Dalam sesi ini kita menetapkan tiga dasar masalah nilai batas yang terkait dengan sesi ini kita menetapkan tiga dasar masalah nilai batas yang terkait dengan persamaan laplace.
persamaan laplace.
Masalah Dirichlet atau masalah nilai batas pertama Masalah Dirichlet atau masalah nilai batas pertama
Diberikan omega domain terbatas di
Diberikan omega domain terbatas di
dengan batas mulus didengan batas mulus di
, dan, dan f fungsi yang diberikan terdefinisi dan kontinu dif fungsi yang diberikan terdefinisi dan kontinu di
. Cari fungsi u yang. Cari fungsi u yang terdefinisi dan kontinu di akhir(penutup)terdefinisi dan kontinu di akhir(penutup)
padapada
sehingga u harmonik disehingga u harmonik di
dan u sama dengan f di
dan u sama dengan f di
. Lebih eksplisitnya, cari fungsi u dimana dalam. Lebih eksplisitnya, cari fungsi u dimana dalam
dan dalam
dan dalam
dan memenuhidan memenuhi
(4.1)(4.1)44 44 Persamaan (4.2) disebut kondisi batas dari masalah dan f fungsi yg diberikan Persamaan (4.2) disebut kondisi batas dari masalah dan f fungsi yg diberikan disebut sebagai data batas.
disebut sebagai data batas.
Dalam definisi masalah Dirichlet, kondisi yang kita telah kenakan pada Dalam definisi masalah Dirichlet, kondisi yang kita telah kenakan pada
,,
dan f terlalu ketat. kita melakukan ini dalam rangka untuk membuatdan f terlalu ketat. kita melakukan ini dalam rangka untuk membuat diskusi, setidaknya pada awalnya sesederhana mungkin. Nanti kitadiskusi, setidaknya pada awalnya sesederhana mungkin. Nanti kita akanakan
mempertimbangkan masalah dimana
mempertimbangkan masalah dimana
domain dapat tak terbatas, batasdomain dapat tak terbatas, batas
mungkin memiliki sudut dan fungsi f mungkin diskontinu. Ketika
mungkin memiliki sudut dan fungsi f mungkin diskontinu. Ketika
adalah bagianadalah bagianluar dari daerah dibatasi, maka masalah ini disebut masalah Dirichlet eksterior. luar dari daerah dibatasi, maka masalah ini disebut masalah Dirichlet eksterior.
Itu selalu berguna untuk diingat contoh fisika. diberikan fungsi u Itu selalu berguna untuk diingat contoh fisika. diberikan fungsi u menggambarkan distribusi temperatur steady state dalam tubuh isotropik menggambarkan distribusi temperatur steady state dalam tubuh isotropik homogen interior yang merupakan
homogen interior yang merupakan
domain. Dan biarkan f fungsi yangdomain. Dan biarkan f fungsi yangdiberikan menggambarkan distribusi temperatur pada permukaan tubuh. Dalam diberikan menggambarkan distribusi temperatur pada permukaan tubuh. Dalam rangka untuk mencari u distribusi temperatur kita harus memecahkan masalah rangka untuk mencari u distribusi temperatur kita harus memecahkan masalah Dirichlet.
Dirichlet.
Dimana
Dimana
adalah domain terbatas diadalah domain terbatas di
. Dan c adalah konstanta yang. Dan c adalah konstanta yang diberikan.diberikan.
Dalam masalah ini f (x) = c
Dalam masalah ini f (x) = c. Hal ini jelas bahwa fungsi konstan u(x) = c . Hal ini jelas bahwa fungsi konstan u(x) = c adalahadalah solusi untuk masalah ini. Kami akan lihat nanti dalam bab ini bahwa
solusi untuk masalah ini. Kami akan lihat nanti dalam bab ini bahwa ini adalahini adalah
satu-satunya solusi untuk masalah ini. Dalam hal contoh fisika kita, ini berarti satu-satunya solusi untuk masalah ini. Dalam hal contoh fisika kita, ini berarti bahwa jika permukaan tubuh yang
bahwa jika permukaan tubuh yang terbatas disimpan pada suhu terbatas disimpan pada suhu c konstan, suhuc konstan, suhu steady state di setiap titik di dalam tubuh juga sama dengan c.
steady state di setiap titik di dalam tubuh juga sama dengan c. Masalah Neumann atau masalah nilai batas kedua
Masalah Neumann atau masalah nilai batas kedua Diberikan
Diberikan
menjadi domain terbatas dimenjadi domain terbatas di
dengan batas halusdengan batas halus
, dan, dan biarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normal doomega pada titik x.biarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normal doomega pada titik x. Biarkan f menjadi fungsi terdefinisi dan kontinu pada doomega. Cari fungsi u Biarkan f menjadi fungsi terdefinisi dan kontinu pada doomega. Cari fungsi u didefinisikan dan kontinu di
didefinisikan dan kontinu di
sehingga u harmonik disehingga u harmonik di
dan sedemikian rupadan sedemikian rupa sehingga luar biasa derivatifsehingga luar biasa derivatif
⁄⁄
padapada
sama dengan f.sama dengan f.
(4.3)(4.3)
(4.4)(4.4)Sebuah contoh fisik yang terkait dengan masalah Neumann ini, cari Sebuah contoh fisik yang terkait dengan masalah Neumann ini, cari distribusi temperatur steady state yang stabil
distribusi temperatur steady state yang stabil dalam tubuh isotropik homogendalam tubuh isotropik homogen jika hukum fluks panas di permukaannya dikenal. J
jika hukum fluks panas di permukaannya dikenal. Jika misalnya permukaanika misalnya permukaan
tubuh disekat , fungsi f di kondisi batas Neumann (4.4) adalah nol. tubuh disekat , fungsi f di kondisi batas Neumann (4.4) adalah nol.
Contoh 4.3 Selesaikan masalah Neumann Contoh 4.3 Selesaikan masalah Neumann
Dimana
Dimana
domain terbatas didomain terbatas di
dan jelas di semua fungsi konstandan jelas di semua fungsi konstan45 45 Dimana c adalah setiap konstan, merupakan solusi dari masalah. Dengan Dimana c adalah setiap konstan, merupakan solusi dari masalah. Dengan demikian, masalah ini memiliki takterhingga banyaknya solusi. Dalam hal contoh demikian, masalah ini memiliki takterhingga banyaknya solusi. Dalam hal contoh fisika kita ini berarti bahwa distribusi temperatur steady state dalam tubuh fisika kita ini berarti bahwa distribusi temperatur steady state dalam tubuh dengan permukaan yang disekat adalah konstan. Dalam rangka untuk dengan permukaan yang disekat adalah konstan. Dalam rangka untuk menentukan suhu konstan ini cukup untuk
menentukan suhu konstan ini cukup untuk mengetahui suhu tubuh pada satumengetahui suhu tubuh pada satu titik.
titik.
Kombinasi kondisi batas Dirichlet dan Neumann juga muncul dalam Kombinasi kondisi batas Dirichlet dan Neumann juga muncul dalam masalah konduksi panas dan menyebabkan masalah nilai batas.
masalah konduksi panas dan menyebabkan masalah nilai batas. Masalah Mixed (campuran) atau masalah nilai batas ketiga Masalah Mixed (campuran) atau masalah nilai batas ketiga
Diberikan
Diberikan
menjadi domain terbatas dimenjadi domain terbatas di
dengan batas halusdengan batas halus
, dan, dan biarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normalbiarkan n = n (x) menjadi vektor satuan luar normal
pada x. Biarkanpada x. Biarkan
,,
, dan, dan
menjadi fungsi yang diberikan didefinisikan dan menjadi fungsi yang diberikan didefinisikan dan terus menerus padaterus menerus pada
. Cari u. Cari u fungsi yang ditetapkan dan kontinu dalamfungsi yang ditetapkan dan kontinu dalam
..Tiga tujuan utama dari bab ini adalah sebagai berikut; Tiga tujuan utama dari bab ini adalah sebagai berikut; 1. Untuk menentukan kondisi di
1. Untuk menentukan kondisi di mana masalah nilai batas well-posed, yakni,mana masalah nilai batas well-posed, yakni, masalah memiliki solusi unik yang tergantung terus menerus pada data batas. masalah memiliki solusi unik yang tergantung terus menerus pada data batas. 2. Untuk menggambarkan metode untuk menemukan solusi
2. Untuk menggambarkan metode untuk menemukan solusi dari masalah well-dari masalah
well-posed/ posed/
3. Untuk menentukan sifat umum dari solusi. 3. Untuk menentukan sifat umum dari solusi.
Perlu ditekankan bahwa tidak setiap masalah
Perlu ditekankan bahwa tidak setiap masalah yang kelihatannya masukyang kelihatannya masuk akal well-posed Kita akan lihat misalnya bahwa Neumaan tidak memiliki solusi akal well-posed Kita akan lihat misalnya bahwa Neumaan tidak memiliki solusi kecuali fungsi f adalah sedemikian rupa sehingga terpisahkan selama
kecuali fungsi f adalah sedemikian rupa sehingga terpisahkan selama
samasamadengan nol. Bahkan saat ini kondisi yang diperlukan keberadaan solusi dipenuhi, dengan nol. Bahkan saat ini kondisi yang diperlukan keberadaan solusi dipenuhi, masalahnya mungkin memiliki solusi tak terhingga
masalahnya mungkin memiliki solusi tak terhingga banyaknya seperti dalambanyaknya seperti dalam
kasus dengan masalah contoh 4.3. Sebagai contoh lain, masalah Dirichlet kasus dengan masalah contoh 4.3. Sebagai contoh lain, masalah Dirichlet eksterior dalam dua variabel saling
eksterior dalam dua variabel saling bebas memiliki takterhingga banyaknyabebas memiliki takterhingga banyaknya solusi kecuali kita memaksakan kondisi bahwa
solusi kecuali kita memaksakan kondisi bahwa solusi tersebut harus dibatasi.solusi tersebut harus dibatasi. Setelah kita tahu bahwa masalah
Setelah kita tahu bahwa masalah well-posed kita dapat mencoba untukwell-posed kita dapat mencoba untuk menemukan solusinya. Kecuali bila masalahnya adalah khusus
menemukan solusinya. Kecuali bila masalahnya adalah khusus sederhana, kitasederhana, kita
tidak bisa berharap untuk menemukan rumus sederhana untuk so
tidak bisa berharap untuk menemukan rumus sederhana untuk so lusi. Namun,lusi. Namun,
kami selalu dapat menemukan pendekatan numerik untuk solusi, m
kami selalu dapat menemukan pendekatan numerik untuk solusi, m ungkinungkin
dengan bantuan komputer. dengan bantuan komputer.
Dalam studi masalah batas nilai yang berkaitan dengan persamaan Dalam studi masalah batas nilai yang berkaitan dengan persamaan Laplace ini linearitas operator Laplacian memainkan peran yang sangat penting. Laplace ini linearitas operator Laplacian memainkan peran yang sangat penting. Misalkan misalnya bahwa
Misalkan misalnya bahwa
merupakan solusi dari masalah Dirichletmerupakan solusi dari masalah Dirichlet
Dan
Dan
merupakan solusi dari masalah Dirichletmerupakan solusi dari masalah Dirichlet
Kemudian untuk setiap
Kemudian untuk setiap
dandan
konstan dan kombinasi linearkonstan dan kombinasi linear
merupakan solusi dari masalah Dirichlet merupakan solusi dari masalah Dirichlet
46 46
Secara khusus, jika
Secara khusus, jika
dandan
merupakan solusi dari masalah Dirichlet yangmerupakan solusi dari masalah Dirichlet yang sama maka perbedaansama maka perbedaan
merupakan solusi dari masalah Dirichletmerupakan solusi dari masalah Dirichlet dengan data batas nol.dengan data batas nol.
(4.7)(4.7) Dengan demikian, untuk membuktikan keunikan solusi dari mDengan demikian, untuk membuktikan keunikan solusi dari m asalah Dirichletasalah Dirichlet
(4.1), (4.2)
(4.1), (4.2) itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa satu-satunya solusi untukitu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa satu-satunya solusi untuk (4.7) adalah fungsi yang identik dengan nol.
47 47