Jadi,
adalah integral pertama dari (4.9).adalah integral pertama dari (4.9). Jadi,Jadi,
adalah solusi.adalah solusi. ApakahApakah
dandan
adalah solusi yang bebas linearadalah solusi yang bebas linear secara fungsional?secara fungsional?
Jadi,
Jadi,
dandan
adalah solusi yang bebas linearadalah solusi yang bebas linear secara fungsional.secara fungsional.
Karena
Karena
tidak bergantung padatidak bergantung pada uu, maka integral umum dari persamaan, maka integral umum dari persamaan diferensial parsial (4.7) diferensial parsial (4.7)
(4.12) (4.12)
dimanadimana F F adalah fungsiadalah fungsi
dengan variabel tunggal. Kondisi awal (4.8) menentukandengan variabel tunggal. Kondisi awal (4.8) menentukan F F . Dengan. Dengan mensubstitusikanmensubstitusikan
dandan
ke (4.9), makake (4.9), maka
(4.13) (4.13)
Sehingga, Sehingga,
(4.14) (4.14)
Jadi, solusi tunggal dari (4.7) dan (4.8) adalah
Kasus berikutnya dimana kurva awal
Kasus berikutnya dimana kurva awal C C diberikan oleh (4.1) adalah karakteristik yangdiberikan oleh (4.1) adalah karakteristik yang bersesuaian dengan persamaan diferensial parsial (4.2) pada titik
bersesuaian dengan persamaan diferensial parsial (4.2) pada titik
(())
.. Maka vektor normalMaka vektor normal
harus memenuhi persamaan karakteristik dari (4.2)harus memenuhi persamaan karakteristik dari (4.2) di di
, yaitu, yaitu
atau atau (4.15) (4.15)
Teorema 4.2 Teorema 4.2Misalkan kurva awal C adalah karakteristik sehubungan dengan (4.2) di
Misalkan kurva awal C adalah karakteristik sehubungan dengan (4.2) di
dandan (4.16) (4.16)
DimanaDimana
adalah nilai umum dari rasio di (4.15). maka tidak ada solusi untuk nilai awal masalahadalah nilai umum dari rasio di (4.15). maka tidak ada solusi untuk nilai awal masalah (4.2),(4.3) di semua persekitaran dari titik(4.2),(4.3) di semua persekitaran dari titik
.. Teorema 4.3 Teorema 4.3 Misalkan kondisi Misalkan kondisi (4.17) (4.17)
Terpenuhi untuk semua t
Terpenuhi untuk semua t
(atau setidaknya untuk semua t di persekitaran(atau setidaknya untuk semua t di persekitaran
). Maka). Maka persekitaran daripersekitaran dari
masalah nilai awal dari (4.2),(4.3) mempunyai solusimasalah nilai awal dari (4.2),(4.3) mempunyai solusi yang tak berhingga.5.
5. Masalah Umum Cauchy. Teorema Cauchy-Kovalevsky dan Ketunggalan TeoremaMasalah Umum Cauchy. Teorema Cauchy-Kovalevsky dan Ketunggalan Teorema Holmgren
Holmgren
Masalah Umum Cauchy Masalah Umum Cauchy
Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial parsial berorder Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial parsial berorder m,m, (5.1)
(5.1)
∑∑ ||||
dimana koefisien
dimana koefisien
dandan
pada ruas kanan merupakan fungsi daripada ruas kanan merupakan fungsi dari
. Diberikan. Diberikan S adalah permukaan mulus diS adalah permukaan mulus di
dandan
menotasikan unit vector normal kemenotasikan unit vector normal ke S S didi x. x. Misalkan nilai u pada S dan semua turunan berarahnya pada arah n dan berorder lebih dari Misalkan nilai u pada S dan semua turunan berarahnya pada arah n dan berorder lebih dari m-1m-1 diberikan sebagai berikut.diberikan sebagai berikut. (5.2)
(5.2)
|| || ||
Dimana
Dimana
adalah fungsi yang terdefinisi di S. Dengan menemukan solusi u padaadalah fungsi yang terdefinisi di S. Dengan menemukan solusi u pada persamaan (5.1) yang terdefinisi pada domainpersamaan (5.1) yang terdefinisi pada domain yang memuat S dan memenuhi persamaan (5.2)yang memuat S dan memenuhi persamaan (5.2) pada S.
pada S.
Permukaan S disebut permukaan awal dan kondisi (5.2) disebut kondisi awal. Fungsi Permukaan S disebut permukaan awal dan kondisi (5.2) disebut kondisi awal. Fungsi
yang terdefinisi pada S disebut data awal.yang terdefinisi pada S disebut data awal.Teorema Cauchy-Kovalevsky mensyaratkan semua fungsi yang muncul pada pernyataan Teorema Cauchy-Kovalevsky mensyaratkan semua fungsi yang muncul pada pernyataan masalah serta permukaan awal S haruslah analitik. Permukaan S di R
masalah serta permukaan awal S haruslah analitik. Permukaan S di Rnn dikatakan analitik jika Sdikatakan analitik jika S ketinggian permukaan pada fungsi analitik, yakni jika digamabarkan dengan persamaan berikut: ketinggian permukaan pada fungsi analitik, yakni jika digamabarkan dengan persamaan berikut:
dimana F adalah fungsi analitik dengan gradien tidak nol. dimana F adalah fungsi analitik dengan gradien tidak nol.
Teorema 5.1 (Teorema Cauchy-Kovalevsky) Teorema 5.1 (Teorema Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan
Misalkan
adalah titik pada permukaan awal S. Koefisienadalah titik pada permukaan awal S. Koefisien
,f pada ruas kanan, data,f pada ruas kanan, data awalawal
dan permukaan awal S semuanya analitik di persekitarandan permukaan awal S semuanya analitik di persekitaran
. Selanjutnya. Selanjutnya permukaan awalpermukaan awal S tidak S tidak karakteristik karakteristik didi
berhubungan dengan persamaan (5.1) yaitu:berhubungan dengan persamaan (5.1) yaitu: (5.3)(5.3)
∑∑ ||||
Maka masalah Cauchy (5.10)-(5.2) memiliki solusi u(x) yang terdefinisi dan analitik di Maka masalah Cauchy (5.10)-(5.2) memiliki solusi u(x) yang terdefinisi dan analitik di persekitaran
persekitaran
, dan solusinya tunggal di kelas fungsi analitik., dan solusinya tunggal di kelas fungsi analitik. Teorema ini memiliki dua pernyataan yaitu:1.
1. Ada solusi analitik di persekitaran diAda solusi analitik di persekitaran di
2.
2. Solusinya tunggal di kelas fungsi analitik Solusinya tunggal di kelas fungsi analitik
Dengan kata lain pernyataan ini menjelaskan bahwa ada fungsi u yang terdefinisi dan analitik Dengan kata lain pernyataan ini menjelaskan bahwa ada fungsi u yang terdefinisi dan analitik di persekitaran U dari
di persekitaran U dari
dan setiap titik dan setiap titik
, u memenuhi persamaan (5.1) dan di setiap titik x, u memenuhi persamaan (5.1) dan di setiap titik x bagian S mengandung U, u memenuhi kondisi awal (5.2).bagian S mengandung U, u memenuhi kondisi awal (5.2).
Pernyataan ketunggalan tersebut menyatakan bahwa dua solusi analitik pada persamaan Pernyataan ketunggalan tersebut menyatakan bahwa dua solusi analitik pada persamaan (2.7)
(2.7)
(2.8)
(2.8)
harus tepat berada di persekitaran x
harus tepat berada di persekitaran x00. Pernyataan ketunggalan ini masih berlaku jika adanya. Pernyataan ketunggalan ini masih berlaku jika adanya kemungkinan lebih dari satu solusi problem Cauchy, dimana solusinya belum tentu analitik. kemungkinan lebih dari satu solusi problem Cauchy, dimana solusinya belum tentu analitik. Sebagai contoh misalkan ada dua
Sebagai contoh misalkan ada dua atau lebih solusi atau lebih solusi yang berbeda yang berbeda dalam kelas fungsi dimana dalam kelas fungsi dimana CCmm ada dalam persekitaran x
ada dalam persekitaran x00 ..
Teorema 5.2 (Teorema Ketunggalan Holmgren) Teorema 5.2 (Teorema Ketunggalan Holmgren)
Asumsikan Teorema Cauchy-Kovalevsky terpenuhi., lalu ada 2 solusi Cauchy pada persamaan Asumsikan Teorema Cauchy-Kovalevsky terpenuhi., lalu ada 2 solusi Cauchy pada persamaan (5.1)-(5.2)
(5.1)-(5.2) yang yang terdefinisi dan ada terdefinisi dan ada pada kelas pada kelas ss
pada persekitaranpada persekitaran
, haruslah tepat sama, haruslah tepat sama di persekitarandi persekitaran
.. 6.6. Bentuk Kanonik dari Persamaan Diferensial Orde PertamaBentuk Kanonik dari Persamaan Diferensial Orde Pertama
Pertimbangkan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde pertama dalam dua Pertimbangkan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde pertama dalam dua variabel bebas:
variabel bebas: (6.1)
(6.1) Dimana koefisien-koefisienDimana koefisien-koefisien
didefinisikan di beberapa daerah asaldidefinisikan di beberapa daerah asal daridari
. Kita. Kitaandaikan bahwa
andaikan bahwa
dandan
didi
dan tidak nol secara simultan pada sebarang titik daridan tidak nol secara simultan pada sebarang titik dari . Kita. Kita akan menunjukkan bahwa di sebuah persekitaranakan menunjukkan bahwa di sebuah persekitaran
pada sebarang titik pada sebarang titik
padapada , kita, kita dapat mengenalkan koordinat- koordinat barudapat mengenalkan koordinat- koordinat baru
dandan
dalam dalam istilah istilah yang yang mana mana persamaanpersamaan diferensial parsial (6.1) mengambil bentuk sederhanadiferensial parsial (6.1) mengambil bentuk sederhana (6.2)
Sehingga, dalam koordinat-koordinat yang baru, persamaan diferensial parsial (6.1) Sehingga, dalam koordinat-koordinat yang baru, persamaan diferensial parsial (6.1) menjadi sebuah persamaan diferensial biasa dengan
menjadi sebuah persamaan diferensial biasa dengan
sebagai variabel bebas dansebagai variabel bebas dan
sebagaisebagai sebuah parameter yang mungkin dipandang sebagai sebuah konstanta. Persamaan (6.2) disebut sebuah parameter yang mungkin dipandang sebagai sebuah konstanta. Persamaan (6.2) disebut bentuk kanonik (alternatif) dari persamaan (6.1). Kita juga katakan bahwa dibentuk kanonik (alternatif) dari persamaan (6.1). Kita juga katakan bahwa di
, koordinat-, koordinat-koordinat persamaan dalam bentuk kanonik (alternatif). Seringkali bentuk kanonik (6.2) dapat koordinat persamaan dalam bentuk kanonik (alternatif). Seringkali bentuk kanonik (6.2) dapat secara mudah terintegralkan dan, setelah mengembalikan pada koordinat-koordinat awal yaitu secara mudah terintegralkan dan, setelah mengembalikan pada koordinat-koordinat awal yaitu
dan
dan
, solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.1) dapat dihasilkan. Contoh 6.1, solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.1) dapat dihasilkan. Contoh 6.1 mengilustrasikan tahap- tahap ini.mengilustrasikan tahap- tahap ini.
Misalkan koordinat- koordinat yang baru
Misalkan koordinat- koordinat yang baru
dandan
dihubungkan dengan koordinat-dihubungkan dengan koordinat-koordinat awalkoordinat awal
oleh persamaanoleh persamaan (6.3)(6.3) Karena kita hanya tertarik dengan transformasi tak singular yang mulus dari koordinat-Karena kita hanya tertarik dengan transformasi tak singular yang mulus dari koordinat-
koordinatnnya , kita harus menginginkan bahwa fungsi-fungsi
koordinatnnya , kita harus menginginkan bahwa fungsi-fungsi
didi
dandan Jacobiannya tidak sama dengan nol, yaituJacobiannya tidak sama dengan nol, yaitu (6.4)
(6.4)
Jika kondisi (6.4) dipenuhi pada titik
Jika kondisi (6.4) dipenuhi pada titik
daridari , maka kita ketahui bahwa di sebarang, maka kita ketahui bahwa di sebarang persekitaran daripersekitaran dari
kita juga memiliki hubungan invers :kita juga memiliki hubungan invers : (6.5)(6.5)
.. Sekarang dari aturan rantai, kita punyaSekarang dari aturan rantai, kita punya (6.6)
(6.6)
Dan dengan mensubstitusikan (6.5) dan (6.6) ke persamaan (6.1) kita menghasilkan Dan dengan mensubstitusikan (6.5) dan (6.6) ke persamaan (6.1) kita menghasilkan persamaan persamaan (6.7) (6.7)
dimana dimana (6.8) (6.8)
Dari (6.8) kita lihat
Dari (6.8) kita lihat
jikajika
adalah sebuah solusi dari persamaan diferensial ordeadalah sebuah solusi dari persamaan diferensial orde pertamapertama (6.9)
(6.9) Persamaan (6.9) memiliki solusi-solusi tak hingga banyaknya. Kita dapat menemukanPersamaan (6.9) memiliki solusi-solusi tak hingga banyaknya. Kita dapat menemukan
salah satu dari mereka dengan menetapkan nilai awal pada kurva awal nonkarakteristik dan salah satu dari mereka dengan menetapkan nilai awal pada kurva awal nonkarakteristik dan
menyelesaikan hasil masalah nilai awal mengikuti metode yang dijelaskan pada bab III atau sub menyelesaikan hasil masalah nilai awal mengikuti metode yang dijelaskan pada bab III atau sub bab 4 di bab ini. Andaikan untuk contoh bahwa
bab 4 di bab ini. Andaikan untuk contoh bahwa
, kita boleh menetapkan, kita boleh menetapkan (6.10)(6.10)
.. Karena kurva awalKarena kurva awal
adalah bukan karakteristik dengan menghubungkan (6.9) padaadalah bukan karakteristik dengan menghubungkan (6.9) pada
, terdapat sebuah solusi tunggal dari (6.9), (6.10) di sebuah persekitaran, terdapat sebuah solusi tunggal dari (6.9), (6.10) di sebuah persekitaran
daridari
.. [jika[jika
kita sederhanakan ulang peran darikita sederhanakan ulang peran dari
.].] MisalkanMisalkan
adalah solusi dari (6.9) dan (6.10) di sebuah persekitaran padaadalah solusi dari (6.9) dan (6.10) di sebuah persekitaran pada
.. Kita bebas mengambil fungsiKita bebas mengambil fungsi
hanya untuk kondisi (6.4) yaituhanya untuk kondisi (6.4) yaitu
. Dari (6.10) kita. Dari (6.10) kita punyapunya
dan jika kita ambil dan jika kita ambil
kondisi (6.4) dipenuhi pada
kondisi (6.4) dipenuhi pada
. Sedemikian sehingga (dengan kekontinuan) itu jjuga. Sedemikian sehingga (dengan kekontinuan) itu jjuga dipenuhi di sebuah persekitaran didipenuhi di sebuah persekitaran di
. Misalkan. Misalkan
adalah sebuah persekitaran dariadalah sebuah persekitaran dari
yang mana
yang mana
terdefinisi dan pada waktu yang bersamaanterdefinisi dan pada waktu yang bersamaan
. Maka. Maka
. Untuk . Untuk jikajika
pada beberapa titik daripada beberapa titik dari
, maka pada titik tersebut (karena, maka pada titik tersebut (karena
juga ) persamaanjuga ) persamaan (6.8) akan membentuk sebuah sistem persamaan linear homogen di(6.8) akan membentuk sebuah sistem persamaan linear homogen di
dandan
dengandengan
secara jelassecara jelas merupakan determinan dari koefisien-koefisiennya. Karenamerupakan determinan dari koefisien-koefisiennya. Karena
,,
dandan
keduanya harus nolkeduanya harus nol padapada titik tersebut, titik tersebut, mengkontradiksi mengkontradiksi pengandaian awal pengandaian awal kita bahwakita bahwa
dandan
tidak nol secaratidak nol secara simultan. Akhirnya, karenasimultan. Akhirnya, karena
dandan
didi
kita dapat membagi persamaan (6.7) olehkita dapat membagi persamaan (6.7) oleh
dan menghasilkan bentuk kanonik yang diinginkan (6.2). dan menghasilkan bentuk kanonik yang diinginkan (6.2).
Itu harus diperluas bahwa fungsi-fungsi
Itu harus diperluas bahwa fungsi-fungsi
dandan
menjelaskan transformasimenjelaskan transformasi dari koordinat-koordinat (6.3) yang mana hasil dari bentuk kanonik (6.2) dapat dipilih secara dari koordinat-koordinat (6.3) yang mana hasil dari bentuk kanonik (6.2) dapat dipilih secara banyak (faktanya takhingga banyaknya) cara. Bagaimanapun, karenabanyak (faktanya takhingga banyaknya) cara. Bagaimanapun, karena
harus memenuhiharus memenuhi persamaan (6.9), tingkatan kurva-kurvapersamaan (6.9), tingkatan kurva-kurva
, selalu kurva karakteristik dari, selalu kurva karakteristik dari persamaan (6.1). sehingga, himpunan pertama dari kurva-kurva koordinat yang baru adalah persamaan (6.1). sehingga, himpunan pertama dari kurva-kurva koordinat yang baru adalah kurva karakteristik dari (6.1). himpunan kedua dari koordinat kurva-kurvakurva karakteristik dari (6.1). himpunan kedua dari koordinat kurva-kurva
boleh diambil menjadi sebarang sebuah keluarga parameter dari kurva-kurva mulus yang mana boleh diambil menjadi sebarang sebuah keluarga parameter dari kurva-kurva mulus yang mana tempat bersinggungan dengan kurva-kurva karakteristik (lihat gambar 6.1). Dalam perbincangan tempat bersinggungan dengan kurva-kurva karakteristik (lihat gambar 6.1). Dalam perbincangan di atas ,himpunan kedua dari koordinat-koordinat kurva-kurva telah dipilih untuk menjadi di atas ,himpunan kedua dari koordinat-koordinat kurva-kurva telah dipilih untuk menjadi himpunan dari garis-garis paralel pada sumbu-y
Gambar 6.1 Gambar 6.1 Contoh 6.1 Contoh 6.1 Perhatikan persamaan Perhatikan persamaan (6.11) (6.11)
Tentukan bentuk kanonik dan solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.11). Tentukan bentuk kanonik dan solusi umum dari persamaan diferensial parsial (6.11).
Penyelesaian Penyelesaian
Dimana
Dimana
,,
,,
,,
, dan, dan
. Kita boleh mengambil. Kita boleh mengambil
.. FungsiFungsi
harus memenuhiharus memenuhi (6.12)(6.12)
dan kita boleh mengambik kondisi awal dan kita boleh mengambik kondisi awal (6.13)
Solusi umum dari
Solusi umum dari