Dimana
Dimana
konstan. Dapat disimpulkan bahwa untuk u(r,konstan. Dapat disimpulkan bahwa untuk u(r,θθ) dari bentuk (2.9) untuk) dari bentuk (2.9) untuk memenuhi persamaan Laplace, fungsi R danmemenuhi persamaan Laplace, fungsi R dan φφ harus memenuhi persamaan diferensialharus memenuhi persamaan diferensial biasa (2.11) dan (2.12). Persamaan 2.11 dikenal sebagai persamaan Euler dan memiliki biasa (2.11) dan (2.12). Persamaan 2.11 dikenal sebagai persamaan Euler dan memiliki dua solusi bebas linear.
dua solusi bebas linear.
√ √ √ √
(2.13)(2.13) Dua solusi bebas linear dari (2.12) adalahDua solusi bebas linear dari (2.12) adalah
√ √ √ √
(2.14)(2.14) tidak dapat diasumsikan bahwa, untuk setiap nilai μ dan untuk fungsi (2.tidak dapat diasumsikan bahwa, untuk setiap nilai μ dan untuk fungsi (2.13) dan (2.14)13) dan (2.14)
bentuk berikut
bentuk berikut
(2.15)(2.15)terdefinisi sebagai sebuah fungsi harmonik di
terdefinisi sebagai sebuah fungsi harmonik di setiap domainsetiap domain dari Rdari R22. Hal ini hanya. Hal ini hanya berlaku jika (2.15) adalah fu
berlaku jika (2.15) adalah fungsi yang ‘well defined’ ngsi yang ‘well defined’ (C(C22) di) di .. Ini berarti bahwa agar (2.15) untuk mene
Ini berarti bahwa agar (2.15) untuk menentukan fungsi ‘nilai tunggal’ dintukan fungsi ‘nilai tunggal’ di
, fungsi, fungsi
harus periodik dengan periode
harus periodik dengan periode
(misalkan) dan harus memenuhi kondisi berikut(misalkan) dan harus memenuhi kondisi berikut
(2.16)(2.16) JikaJika adalah domain yang berisi kurva mengelilingi titik asal, fungsi angular adalah domain yang berisi kurva mengelilingi titik asal, fungsi angular yang dapatyang dapat digunakan dalam (2.15) untuk menentukan fungsi harmonik di
digunakan dalam (2.15) untuk menentukan fungsi harmonik di adalahadalah
(2.17)(2.17) Fungsi radial yang sesuaiFungsi radial yang sesuai
(2.18)(2.18)
(2.19) (2.19) Jika
Jika tidak mengandung titik asal Rtidak mengandung titik asal R22, semua fungsi di (2.19) harmonik di, semua fungsi di (2.19) harmonik di . Jika. Jika mengandung titik asal, hanya fungsi pada baris pertama adalah harmonik di
mengandung titik asal, hanya fungsi pada baris pertama adalah harmonik di ..
Misalkan
38 38 u(r,
u(r,θθ) =) = θθ (2.20)(2.20)
Pada koordinat segiempat, fungsi harmonik (2.20) adalah Pada koordinat segiempat, fungsi harmonik (2.20) adalah
(2.21)(2.21)
(2.22) (2.22)
Menerapkan metode pemisahan variabel untuk mendapatkan fungsi harmonik dalam Menerapkan metode pemisahan variabel untuk mendapatkan fungsi harmonik dalam domain dari R
domain dari R33. Dalam hal ini dicari fungsi harmonik u(r,. Dalam hal ini dicari fungsi harmonik u(r,θθ,,φφ) dari bentuk) dari bentuk u(r,
u(r,θθ,,φφ) = R(r)Y() = R(r)Y(θθ,,φφ) ) (2.23)(2.23) Dengan mensubstitusi (2.23) ke persamaan laplace, diperoleh
Dengan mensubstitusi (2.23) ke persamaan laplace, diperoleh
(2.24)(2.24)
(2.25)(2.25) Dua solusi bebas linear dari (2.24) adalahDua solusi bebas linear dari (2.24) adalah
Dimana
Dimana αα1 dan1 dan αα2 adalah akar dari persamaan2 adalah akar dari persamaan
– –
Persamaan (2.25) memiliki solusi nontrivial hanya ketika
Persamaan (2.25) memiliki solusi nontrivial hanya ketika μμ sama dengan salah satu darisama dengan salah satu dari nilai
nilai
μ
μnn= n(n1), = n(n1), n=0,1,2,…n=0,1,2,… Untuk setiap
Untuk setiap μμnn, ada 2n+1 solusi bebas linear dari (2.25), disimbolkan dengan, ada 2n+1 solusi bebas linear dari (2.25), disimbolkan dengan Solusi ini disebut harmonik Laplace bola, dimana
Solusi ini disebut harmonik Laplace bola, dimana μμ==μμnn, maka fungsi radial nya, maka fungsi radial nya rrnn, r, r-n-1-n-1; n=0,1,2,…; n=0,1,2,…
dan fungsi harmonik (2.23) adalah dan fungsi harmonik (2.23) adalah
39 39 3.
3. Mengganti Mengganti Variabel Variabel Untuk Untuk Menghasilkan Menghasilkan Fungsi Fungsi Harmonik Harmonik Baru InveBaru Invers rs TerhadapTerhadap Lingkaran dan Bola
Lingkaran dan Bola
Pada bagian sebelumnya kita memperoleh koleksi fungsi harmonik
Pada bagian sebelumnya kita memperoleh koleksi fungsi harmonik dengan metodedengan metode
pemisahan variabel. Dengan prinsip superposisi semua kombinasi linear dar
pemisahan variabel. Dengan prinsip superposisi semua kombinasi linear dar i fungsii fungsi
ini juga harmonik. Dalam bagian ini dijelaskan cara untuk memperoleh fungsi ini juga harmonik. Dalam bagian ini dijelaskan cara untuk memperoleh fungsi harmonik baru dari satu yang diketahui dengan merubah variabel.
harmonik baru dari satu yang diketahui dengan merubah variabel. Pertama-tama kita pertimbangkan fungsi harmonik di R
Pertama-tama kita pertimbangkan fungsi harmonik di R22. Diberikan. Diberikan dandan ’ adalah’ adalah domain di R
domain di R22, misalkan ada pemetaan satu-satu dari, misalkan ada pemetaan satu-satu dari keke ’ diberikan oleh :’ diberikan oleh : x’ =
x’ = x’(x,y)x’(x,y) y’=y’(x,y),y’=y’(x,y), (3.1)(3.1)
dengan pemetaan invers dari
dengan pemetaan invers dari ’ ke ’ ke diberikan oleh :diberikan oleh : x=x(x’,y’)
x=x(x’,y’) y=y(x’,y’)y=y(x’,y’) (3.2)(3.2)
Kita asumsikan fung
Kita asumsikan fungsi x’(x,y) dan y’(x,y) ada di Csi x’(x,y) dan y’(x,y) ada di C22((), sedangkan fungsi x(x’,y’) dan), sedangkan fungsi x(x’,y’) dan y(x’,y’) ada di C
y(x’,y’) ada di C22((’).’).
Diberikan u(x,y) adalah fungsi yang terdefinisi di
Diberikan u(x,y) adalah fungsi yang terdefinisi di dan u(x’,y’) adalah fungsi yangdan u(x’,y’) adalah fungsi yang terdefinisi di
terdefinisi di ’ dengan rumus :’ dengan rumus :
u(x’,y’) = u(x(x’,y’) , y(x’,y’))
u(x’,y’) = u(x(x’,y’) , y(x’,y’)) (3.3)(3.3)
pemetaan (3.1), (3.2) dapat dikatakan sebagai transformasi koordinat atau pemetaan (3.1), (3.2) dapat dikatakan sebagai transformasi koordinat atau perubahan variabel. perubahan variabel. Transformasi Dasar : Transformasi Dasar : 1. Translasi 1. Translasi x’ = x x x’ = x x00,, y’ = y yy’ = y y00;; x = x’ – x = x’ – xx00,, y = y’ –y = y’ – yy00,, dimana (x
dimana (x00, y, y00) adalah titik yang ditetapkan di R) adalah titik yang ditetapkan di R22.. 2. Rotasi
2. Rotasi x’ = (cos α
x’ = (cos α)x + (sin)x + (sin αα)y,)y, y’ =y’ = -(sin-(sin αα)x + (cos)x + (cos αα)y;)y; x = (cos
x = (cos α)x’ –α)x’ – (sin(sin α)y’,α)y’, y = (siny = (sin α)x’ (cos α)y’,α)x’ (cos α)y’, dimana
40 40 3. Refleksi : refleksi garis lurus di R
3. Refleksi : refleksi garis lurus di R22
contoh : contoh :
x’ =
x’ = x, x, y’ =y’ = -y;-y; x = x = x’, x’, y =y = --y’y’ merupakan refleksi terhadap sumbu-x merupakan refleksi terhadap sumbu-x
x’ =
x’ = --x, x, y’ y’ = y= y;; x = -x = -x’, x’, y = y = y’,y’, merupakan refleksi terhadap sumbu-y merupakan refleksi terhadap sumbu-y dan
dan x’ =
x’ = y, y, y’ =y’ = x;x; x = x = y’, y’, y = y = x’,x’, merupakan refleksi terhadap garis x = y. merupakan refleksi terhadap garis x = y. 4. Transformasi yang dilatasi
4. Transformasi yang dilatasi x’
x’ = = λx, λx, y’ y’ = = λλy; y; x x = (1/= (1/ λ)x’, λ)x’, y y = = (1/(1/ λ)y’,λ)y’, dimana
dimana λλ adalah konstanta yang tak nol.adalah konstanta yang tak nol. Contoh 3.2
Contoh 3.2
Dengan rotasi bentuk (2.19) menjadi Dengan rotasi bentuk (2.19) menjadi
Fungsi pada baris pertama harmonik di R
Fungsi pada baris pertama harmonik di R22. Dimana, fungsi pada baris kedua juga. Dimana, fungsi pada baris kedua juga harmonik di R
harmonik di R22kecuali di titik (0,0).kecuali di titik (0,0).
Pada transformasi dasar yang telah kita definisikan di R
Pada transformasi dasar yang telah kita definisikan di R22memiliki analog yang jelasmemiliki analog yang jelas dalam R
dalam R33dan dalam ruang dimendan dalam ruang dimensi yang lebih tinggi. si yang lebih tinggi. Contoh,Contoh, (x
(x22+ y+ y22+ z+ z22))-1/2-1/2 fungsi ini harmonik dalam R
fungsi ini harmonik dalam R33kecuali di titik asal dan dengan translasikecuali di titik asal dan dengan translasi [(x-x
[(x-x00))22+(y-y+(y-y00))22+(z-z+(z-z00))22]]-1/2-1/2 fungsi ini harmonik dalam R
fungsi ini harmonik dalam R33kecuali titik (xkecuali titik (x00, y, y00, z, z00).). Pada notasi vector,
41 41 |
|r-rr-r00||-1-1 (3.8)(3.8)
Dan fungsi ini harmonic di R
Dan fungsi ini harmonic di R33dengan titik awaldengan titik awal rr00.. Kecuali untuk translasi, semua transformasi dasar di R
Kecuali untuk translasi, semua transformasi dasar di Rnndiberikan oleh persamaandiberikan oleh persamaan dengan bentuk
dengan bentuk
xxii== i=1,…,ni=1,…,n (3.9)(3.9)
Atau dalam notasi matriks
Atau dalam notasi matriks x=Ax’x=Ax’ (3.10)(3.10)
Dan A = [a
Dan A = [aijij] adalah matiks non singular nxn dengan invers A] adalah matiks non singular nxn dengan invers A-1-1oleh karena ituoleh karena itu x’=A
x’=A-1-1x x (3.11)(3.11)
Sebuah transformasi pada bentuk (3.10), (3.11) disebut transformasi linear dari Sebuah transformasi pada bentuk (3.10), (3.11) disebut transformasi linear dari koordinat di R
koordinat di Rnndan dan apabila apabila diberikan diberikan sebuah sebuah matriks matriks A.A. Pertanyaan : mana transformasi linear
Pertanyaan : mana transformasi linear dari koordinat yang dapat mempertahankandari koordinat yang dapat mempertahankan keharmonikan
keharmonikan dari dari sebuah sebuah fungsi?fungsi?
Jawaban atas pertanyaan ini diberikan dalam
Jawaban atas pertanyaan ini diberikan dalam teorema berikut.teorema berikut.
Teorema 3.1 Teorema 3.1
Sebuah transformasi linear dari koordinat
Sebuah transformasi linear dari koordinat mempertahankan keharmonikan darimempertahankan keharmonikan dari setiap fungsi harmonik jika dan hanya jika diberikan oleh matriks A dari bentuk setiap fungsi harmonik jika dan hanya jika diberikan oleh matriks A dari bentuk
A=λB
A=λB (3.12)(3.12)
B adalah sebuah matriks orthogonal dan λ positif konstan. B dikatakan orthogonal B adalah sebuah matriks orthogonal dan λ positif konstan. B dikatakan orthogonal jika
jika
(3.12) dapat ditulis dengan
(3.12) dapat ditulis dengan
Dimana I adalah
Dimana I adalah matriks kesmatriks kesatuan dan atuan dan λI mendeλI mendefinisikanfinisikan transformasi kesamaantransformasi kesamaan.. Teorema 3.1 menegaskan bahwa transformasi linear yang
Teorema 3.1 menegaskan bahwa transformasi linear yang mempertahankanmempertahankan
keharmonikan
keharmonikan adalah kadalah komposisi omposisi daridari transformasi kesamaantransformasi kesamaan, rotasi dan refleksi., rotasi dan refleksi. Sekarang beralih ke diskusi
Sekarang beralih ke diskusi lain, transformasi penting lain, transformasi penting dan berguna dan berguna untuk Runtuk R22dikenaldikenal sebagai
42 42 Misalkan S (0,a) menunjukkan batas lingkaran di R
Misalkan S (0,a) menunjukkan batas lingkaran di R22dengan pusat (0,0) dan jari-jari a.dengan pusat (0,0) dan jari-jari a. Dalam koordinat polar, titik (r,θ) dan (r,θ)
Dalam koordinat polar, titik (r,θ) dan (r,θ) dikatakandikatakan inversi sehubungan denganinversi sehubungan dengan S(0,a) jika
S(0,a) jika