dan pada C, solusi harus memenuhi nilai dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
, dari, dari
yang memuat kurva C yang diberikan olehyang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memilikiDari persamaan di atas, kita memiliki
dan pada kurva C, dan pada kurva C,
Karena
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya, selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1.
1. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫∫∫
PilihPilih
, periksa apakah, periksa apakah
merupakan solusi?merupakan solusi? TurunkanTurunkan
terhadapterhadap
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
merupakan solusi.merupakan solusi. 2.2. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫∫∫
PilihPilih
, , periksa periksa apakahapakah
merupakan solusi?merupakan solusi? Turunkan terhadapTurunkan terhadap
sehingga didapatsehingga didapat
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Lakukan pengecekan apakah
Lakukan pengecekan apakah
dandan
bebas secara fungsional atau tidak. Carabebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung
, bila hasilnya bukan nol, maka, bila hasilnya bukan nol, maka
dandan
bebas secara fungsional.bebas secara fungsional.
NilainyaNilainya
asalkanasalkan
. Jadi,. Jadi,
dandan
bebas secarabebas secara fungsional.fungsional.
Untuk mencari integral permukaan dari
Untuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitungyang memuat C, kita hitung
dandan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas Selesaikan persamaan di atas
Jadi, solusinya adalah Jadi, solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh R kecuali di
(c)
(c)
pada kurva awal C:pada kurva awal C:⁄⁄
(d)
(d) Jawaban:
Jawaban:
pada kurva awal C :pada kurva awal C :
Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Kurva C diberikan sebagai berikut
Kurva C diberikan sebagai berikut
dan pada C, solusi harus memenuhi nilai dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
, dari, dari
yang memuat kurva C yang diberikan olehyang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memiliki Dari persamaan di atas, kita memiliki
dan pada kurva C, dan pada kurva C,
Karena
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya, selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1.
1. Pilih persamaanPilih persamaan
∫
∫∫∫
PilihPilih
, periksa apakah, periksa apakah
merupakan solusi?merupakan solusi? TurunkanTurunkan
terhadapterhadapSubstitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
merupakan solusi.merupakan solusi. 2.2. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫
PilihPilih
, , periksa periksa apakahapakah
merupakan solusi?merupakan solusi? Turunkan terhadapTurunkan terhadap
sehingga didapatsehingga didapat
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
, , merupakan merupakan solusi.solusi. Lakukan pengecekan apakahLakukan pengecekan apakah
dandan
bebas secara fungsional atau tidak. Carabebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung
NilainyaNilainya
asalkanasalkan
. Jadi,. Jadi,
dandan
bebas secara fungsional.bebas secara fungsional. Untuk mencari integral permukaan dariUntuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitungyang memuat C, kita hitung
dandan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Bila persamaan di atas diselesaikan, maka akan didapatkan solusinya adalah Bila persamaan di atas diselesaikan, maka akan didapatkan solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh yang terdefinisi di seluruh
.. (e)(e)
pada kurva awal C :pada kurva awal C :
(f)
(f) Jawaban:
Jawaban:
pada kurva awal C:pada kurva awal C:
Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Pertama nyatakan kondisi awal dari soal di atas pada bentuk parametrik. Kurva C diberikan sebagai berikut
Kurva C diberikan sebagai berikut
dan pada C, solusi harus memenuhi nilai dan pada C, solusi harus memenuhi nilai
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
, dari, dari
yang memuat kurva C yang diberikan olehyang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memiliki Dari persamaan di atas, kita memiliki
dan pada kurva C, dan pada kurva C,
Karena
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya, selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1.
1. Pilih persamaanPilih persamaan
∫
∫∫∫
PilihPilih
, periksa apakah, periksa apakah
merupakan solusi?merupakan solusi? TurunkanTurunkan
terhadapterhadap
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,
Jadi,
merupakan solusi.merupakan solusi. 2.2. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫∫∫
PilihPilih
, , periksa periksa apakahapakah
merupakan solusi?merupakan solusi? Turunkan terhadapTurunkan terhadap
sehingga didapatsehingga didapat
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
, , merupakan merupakan solusi.solusi. Lakukan pengecekan apakahLakukan pengecekan apakah
dandan
bebas secara fungsional atau tidak. Carabebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung
, bila hasilnya bukan nol, maka, bila hasilnya bukan nol, maka
dandan
bebas secara fungsional.bebas secara fungsional.
Nilainya
Nilainya
asalkanasalkan
. Jadi,. Jadi,
dandan
bebas secara fungsional.bebas secara fungsional. Untuk mencari integral permukaan dariUntuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitungyang memuat C, kita hitung
dandan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas, Selesaikan persamaan di atas,
Jadi, didapatkan solusinya adalah Jadi, didapatkan solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh
yang terdefinisi di seluruh
.. (g)(g)
pada kurva awal C:pada kurva awal C:
Jawaban:Jawaban:
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
Pada bentuk geometri, permasalahannya adalah mencari solusi permukaan
, dari, dari
yang memuat kurva C yang diberikan olehyang memuat kurva C yang diberikan oleh
Dari persamaan di atas, kita memilikiDari persamaan di atas, kita memiliki
dan pada kurva C, dan pada kurva C,
Karena
Karena
, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya,, maka terdapat solusi yang tunggal. Untuk mencari solusinya, selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:selesaikan sistem persamaan yang bersesuaian berikut:
1.
1. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫
∫∫
Pilih
Pilih
, periksa apakah, periksa apakah
merupakan solusi?merupakan solusi? TurunkanTurunkan
terhadapterhadap
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
merupakan solusi.merupakan solusi. 2.2. Pilih persamaanPilih persamaan
∫∫ ∫∫
PilihPilih
, , periksa periksa apakahapakah
merupakan solusi?merupakan solusi? Turunkan terhadap
Substitusi pada
Substitusi pada
dan periksa apakah bernilai nol atau tidak?dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila bernilai nol, maka(Bila bernilai nol, maka
adalah solusi.)adalah solusi.)
Jadi,Jadi,
, , merupakan merupakan solusi.solusi. Lakukan pengecekan apakahLakukan pengecekan apakah
dandan
bebas secara fungsional atau tidak. Carabebas secara fungsional atau tidak. Cara melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung melakukan pengecekan bebas secara fungsional adalah dengan menghitung
, bila hasilnya bukan nol, maka, bila hasilnya bukan nol, maka
dandan
bebas secara fungsional.bebas secara fungsional.
NilainyaNilainya
asalkanasalkan
. Jadi,. Jadi,
dandan
bebas secarabebas secara fungsional.fungsional.
Untuk mencari integral permukaan dari
Untuk mencari integral permukaan dari
yang memuat C, kita hitungyang memuat C, kita hitung
dandan
Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan Lakukan eliminasi t, sehingga kita dapatkan
Integral permukaan yang disyaratkan adalah Integral permukaan yang disyaratkan adalah
Selesaikan persamaan di atas, Selesaikan persamaan di atas,
Jadi, didapatkan solusinya adalah Jadi, didapatkan solusinya adalah
yang terdefinisi di seluruh yang terdefinisi di seluruh
.. 3.2.3.2. Jawab “Mengapa?” dalam pembuktian teorema 3.1.Jawab “Mengapa?” dalam pembuktian teorema 3.1. 3.3.
3.3. Periksa bahwa untuk masalah (3.18), (3.19), kondisi (3.9) selalu memenuhi pada setiapPeriksa bahwa untuk masalah (3.18), (3.19), kondisi (3.9) selalu memenuhi pada setiap titik garis awal y=0.
titik garis awal y=0. Jawaban:
Jawaban:
Akan dibuktikan bahwa kondisi 3.9 selalu dipenuhi pada setiap titik pada garis awal
Akan dibuktikan bahwa kondisi 3.9 selalu dipenuhi pada setiap titik pada garis awal
Dalam bentuk parametrik kurva
Dalam bentuk parametrik kurva
diberikandiberikan
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh
(terbukti)(terbukti) 3.4.3.4. Untuk masing-masing dua masalah nilai awal berikutUntuk masing-masing dua masalah nilai awal berikut
Formulasikan dan buktikan hasil eksistensi dan keunikan analog dengan yang dinyatakan Formulasikan dan buktikan hasil eksistensi dan keunikan analog dengan yang dinyatakan dalam akibat 3.1. dalam akibat 3.1. Jawaban: Jawaban:
……(1)(1)
……(2)(2)Akan dibuktikan dua masalah nilai awal di atas mempunyai penyelesaian dan unik. Akan dibuktikan dua masalah nilai awal di atas mempunyai penyelesaian dan unik. Persamaan (1)
Persamaan (1)
Pada kurva
Pada kurva
yang diberikan dengan persamaan parametrik yang diberikan dengan persamaan parametrik
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh
Jadi,
Jadi,
mempunyai penyelesaian dan unik.mempunyai penyelesaian dan unik. Persamaan (2)Persamaan (2)
……….(2)……….(2) Pada kurvaPada kurva
yang diberikan dengan persamaan parametrik yang diberikan dengan persamaan parametrik
Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh Berdasarkan teorema 3.9 maka diperoleh