32 Akan dibuktikan Akan dibuktikan
Jadi terbukti bahwa Jadi terbukti bahwa
Akan dibuktikan
Akan dibuktikan
Jadi terbukti bahwa Jadi terbukti bahwa
Akan dibuktikan
Akan dibuktikan
Karena f dan g analitik maka u
Karena f dan g analitik maka u22haruslah sama denganharuslah sama dengan
Sehingga didapat Sehingga didapat
Jadi terbukti Jadi terbukti
LapLace’s Equation LapLace’s Equation33 33 Bab ini dikhususkan mempelajari persamaan Laplace. Persamaan ini mempunyai
Bab ini dikhususkan mempelajari persamaan Laplace. Persamaan ini mempunyai ketertarikan yang sangat besar oleh matematikawan, insinyur, dan i
ketertarikan yang sangat besar oleh matematikawan, insinyur, dan i lmuwan, karenalmuwan, karena
persamaan ini bangkit dalam pembelajaran banyak fenomena fisika. Dalam subbab 1, persamaan ini bangkit dalam pembelajaran banyak fenomena fisika. Dalam subbab 1, fungsi harmonik didefinisikan sebagai solusi
fungsi harmonik didefinisikan sebagai solusi persamaan Laplace yang turunan keduanyapersamaan Laplace yang turunan keduanya kontinu. Dalam subbab 2 dan 3, banyak fungsi harmonik yang diperoleh dengan
kontinu. Dalam subbab 2 dan 3, banyak fungsi harmonik yang diperoleh dengan
menggunakan metode pemisahan variabel, pergantian variabel dan invers yang bekerja menggunakan metode pemisahan variabel, pergantian variabel dan invers yang bekerja pada lingkaran dan bola. Pada subbab 4, masalah nilai batas yang berkaitan dengan pada lingkaran dan bola. Pada subbab 4, masalah nilai batas yang berkaitan dengan persamaan Laplace dijelaskan dan diilustrasikan dengan contoh fisika. Pada bab 5, ... persamaan Laplace dijelaskan dan diilustrasikan dengan contoh fisika. Pada bab 5, ... 1.
1. Fungsi Fungsi HarmonikHarmonik Persamaan Laplace Persamaan Laplace
Merupakan persamaan diferensial parsial dari elliptic type
Merupakan persamaan diferensial parsial dari elliptic type yang sangatyang sangat
sederhana dan sangat penting. sederhana dan sangat penting. Definisi 1.1
Definisi 1.1 Misal
Misal
merupakan domain dimerupakan domain di
. Sebuah fungsi. Sebuah fungsi
yang memenuhiyang memenuhi persamaan Laplace dipersamaan Laplace di
disebutdisebut fungsi harmonikfungsi harmonik didi
..Fungsi harmonik didefinisikan sebagai fungsi kontinu yang memenuhi Fungsi harmonik didefinisikan sebagai fungsi kontinu yang memenuhi persamaan Laplace.
persamaan Laplace. Teorema 1.1
Teorema 1.1 Misal
Misal
adalah solusi dari persamaan Laplace yang kontinu di domainadalah solusi dari persamaan Laplace yang kontinu di domain
. Maka. Maka
analitik di analitik di
.. Problems 1.1 Problems 1.1Buktikan bahwa semua fungsi linear Buktikan bahwa semua fungsi linear
Adalah harmonik di
Adalah harmonik di
..
34 34
Karena fungsi linear
Karena fungsi linear
kontinu dikontinu di
dan dapat didiferensialkan dua kali sertadan dapat didiferensialkan dua kali serta
memenuhi
memenuhi persamaan persamaan Laplace, Laplace, jadijadi
adalah fungsi harmonik diadalah fungsi harmonik di
.. Problems 1.2 (a)Problems 1.2 (a) Tunjukkan bahwa
Tunjukkan bahwa
dandan
harmonik diharmonik di
..
••
2.2. Beberapa Beberapa Fungsi Fungsi Harmonik Harmonik Dasar Dasar Metode Metode Pemisahan Pemisahan VariabelVariabel
Telah Dibahas pada bab VI bahwa potensial elektrostatis pada sebarang titik Telah Dibahas pada bab VI bahwa potensial elektrostatis pada sebarang titik
, berkaitan dengan sebuah, berkaitan dengan sebuah unit chargeunit charge pada titik asal dipada titik asal di
,, adalah sebanding denganadalah sebanding dengan
dengandengan
merupakan jarakmerupakan jarak
dari titik asal. Ini dikenal di Fisika dimana potensial berkaitan dengandari titik asal. Ini dikenal di Fisika dimana potensial berkaitan dengan sebarang distribusi darisebarang distribusi dari chargescharges yang memenuhi persamaan Laplace padayang memenuhi persamaan Laplace pada sebarang titik di
sebarang titik di space free from chargespace free from charge..
adalah sebuah fungsi harmonik di
adalah sebuah fungsi harmonik di
kecuali di titik asalnya.kecuali di titik asalnya.Fungsi (2.1) dibedakan oleh simetrinya pada titik asal, ini hanya bergantung Fungsi (2.1) dibedakan oleh simetrinya pada titik asal, ini hanya bergantung pada jarak radial
pada jarak radial
dari titik asal dan tidak bergantung pada variabel sudutdari titik asal dan tidak bergantung pada variabel sudut
dandan35 35
36 36
adalah operator Laplace diadalah operator Laplace di
yang berkaitan dengan koordinat bola (koordinat polaryang berkaitan dengan koordinat bola (koordinat polar di di
).). Di Di
,,
Di Di
dengandengan
,,
DimanaDimana
adalah operator diferensial parsial orde adalah operator diferensial parsial orde kedua yang hanya berkenaankedua yang hanya berkenaan dengan variabel sudut.dengan variabel sudut.
Karena fungsi harmonik hanya bergantung pada
Karena fungsi harmonik hanya bergantung pada
didi
, fungsi harmonik, fungsi harmonik
harusharus memenuhi persamaanmemenuhi persamaan
Fungsi
Fungsi
adalah dua solusi untuk persamaan di
adalah dua solusi untuk persamaan di atas yang bebas linear dan solusi atas yang bebas linear dan solusi umumnyaumumnya mengandung seluruh kombinasi linear dari fungsi-fungsi di atas.
mengandung seluruh kombinasi linear dari fungsi-fungsi di atas. Di
Di
, dengan, dengan
fungsi harmonikfungsi harmonik
harus memenuhi persamaanharus memenuhi persamaan
dan dua solusi bebas linear untuk persamaan di atas adalah dan dua solusi bebas linear untuk persamaan di atas adalah
.. Penggunaan metode pemisahan variabel atauPenggunaan metode pemisahan variabel atau fourier method fourier method untuk memperolehuntuk memperoleh fungsi harmonik lainnya. Pada R
fungsi harmonik lainnya. Pada R22, metode ini dimulai dengan mencoba, metode ini dimulai dengan mencoba menemukan fungsi harmonik u(r,
menemukan fungsi harmonik u(r,θθ) yang memiliki bentuk khusus) yang memiliki bentuk khusus u(r,
u(r,θθ) = R(r)) = R(r)ϴϴ((θθ) ) (2.9)(2.9) Asumsikan u(r,
Asumsikan u(r,θθ) adalah hasil perkalian dari fungsi r ) adalah hasil perkalian dari fungsi r dan fungsidan fungsi θθ.. Substitusi (2.9) ke persamaan Laplace di
Substitusi (2.9) ke persamaan Laplace di koordinat polar, diperolehkoordinat polar, diperoleh R”
R”ϴϴ R’R’ϴϴ+ + RRϴϴ” = 0” = 0 Dengan membagi persamaan dengan R
Dengan membagi persamaan dengan Rϴϴdan mengalikan dengan rdan mengalikan dengan r22, diperoleh, diperoleh
(2.10)(2.10)Sisi kiri persamaan 2.10 adalah fungsi dari r dan sisi kanan adalah fungsi dari Sisi kiri persamaan 2.10 adalah fungsi dari r dan sisi kanan adalah fungsi dari
.. Maka 2.10 adalah setara denganMaka 2.10 adalah setara dengan
37 37
Atau dengan pasangan persamaan Atau dengan pasangan persamaan
Dimana
Dimana
konstan. Dapat disimpulkan bahwa untuk u(r,konstan. Dapat disimpulkan bahwa untuk u(r,θθ) dari bentuk (2.9) untuk) dari bentuk (2.9) untuk memenuhi persamaan Laplace, fungsi R danmemenuhi persamaan Laplace, fungsi R dan φφ harus memenuhi persamaan diferensialharus memenuhi persamaan diferensial biasa (2.11) dan (2.12). Persamaan 2.11 dikenal sebagai persamaan Euler dan memiliki biasa (2.11) dan (2.12). Persamaan 2.11 dikenal sebagai persamaan Euler dan memiliki dua solusi bebas linear.
dua solusi bebas linear.
√ √ √ √
(2.13)(2.13) Dua solusi bebas linear dari (2.12) adalahDua solusi bebas linear dari (2.12) adalah
√ √ √ √
(2.14)(2.14) tidak dapat diasumsikan bahwa, untuk setiap nilai μ dan untuk fungsi (2.tidak dapat diasumsikan bahwa, untuk setiap nilai μ dan untuk fungsi (2.13) dan (2.14)13) dan (2.14)
bentuk berikut
bentuk berikut
(2.15)(2.15)terdefinisi sebagai sebuah fungsi harmonik di
terdefinisi sebagai sebuah fungsi harmonik di setiap domainsetiap domain dari Rdari R22. Hal ini hanya. Hal ini hanya berlaku jika (2.15) adalah fu
berlaku jika (2.15) adalah fungsi yang ‘well defined’ ngsi yang ‘well defined’ (C(C22) di) di .. Ini berarti bahwa agar (2.15) untuk mene
Ini berarti bahwa agar (2.15) untuk menentukan fungsi ‘nilai tunggal’ dintukan fungsi ‘nilai tunggal’ di
, fungsi, fungsi
harus periodik dengan periode
harus periodik dengan periode
(misalkan) dan harus memenuhi kondisi berikut(misalkan) dan harus memenuhi kondisi berikut
(2.16)(2.16) JikaJika adalah domain yang berisi kurva mengelilingi titik asal, fungsi angular adalah domain yang berisi kurva mengelilingi titik asal, fungsi angular yang dapatyang dapat digunakan dalam (2.15) untuk menentukan fungsi harmonik di
digunakan dalam (2.15) untuk menentukan fungsi harmonik di adalahadalah