dimana
dimana
adalah domain terbatas yang normal, danadalah domain terbatas yang normal, dan
adalah konstanta.adalah konstanta. Tunjukkan bahwa Tunjukkan bahwa
.. 2. 2. PersamaanKonduksiKalorPersamaanKonduksiKalor Padabagianini, kitaperolehpersamaandiferensialparsial Padabagianini, kitaperolehpersamaandiferensialparsial yangharusdipenuhiolehsuatufungsi yang menggambarkandengan proses yangharusdipenuhiolehsuatufungsi yang menggambarkandengan proses konduksikalorkonduksikalor disebuahbe
disebuahbenda.Kitakemudiananda.Kitakemudianakanmembicarakakanmembicarakantentangkondisitantentangkondisitambahanharusdipmbahanharusdip enuhidalamme
enuhidalammenentukandistribusisuhnentukandistribusisuhupadabendupadabenda.a. Misalkan
Misalkan
menotasikanbagmenotasikanbagiandalambendiandalambendadanfungsiadanfungsi
dinotasikadinotasika nsebagaisuhu di titiknsebagaisuhu di titik
pada pada benda benda pada pada saatsaat
. . KitaKita asumsikanbahwaasumsikanbahwa
anggota anggota didi
fungsi fungsi yang yang bergantung bergantung padaapadaa variabelvariabel
dandan
denganfungsi denganfungsi yang bergantungpadavariabelyang bergantungpadavariabel
.. ProsesProses konduksikalormenkonduksikalormengikutihukumfisika. Misalkangikutihukumfisika. Misalkan
permukaan muluspermukaan mulus di dandi dan
dinotasikanvektor normal padadinotasikanvektor normal pada
. Jumlah kalor (energi termal). Jumlah kalor (energi termal)
yangyang keluarmenembuskeluarmenembus
ke sisi vektor normalke sisi vektor normal
pada interval waktupada interval waktu
sampaisampai
diberikan diberikan
∫∬∫∬
Pada (2.1)
Pada (2.1)
⁄⁄
dinotasikanturunandinotasikanturunan
terhadap vektor normalterhadap vektor normal
di titik di titik
pada
pada
dan dan pada pada saatsaat
..Fungsi
Fungsi
bernilaipositifdandisebutbernilaipositifdandisebutkonduktivitastermalkonduktivitastermalpadabenda padabenda didi titiktitik
. . KitaKitaasumsikankonduktivitastermal
asumsikankonduktivitastermal
adalahfungsipadaposisiadalahfungsipadaposisi
dantidakbedantidakbe rgantungterhadapvektor normal8 8
benda dikatakan isotropik jika konduktivitas energi tidak bergantung terhadap benda dikatakan isotropik jika konduktivitas energi tidak bergantung terhadap vektor normal
vektor normal
.. MisalkanMisalkan
daerah bagiandaerah bagian
dibatasi permukaan tertutupdibatasi permukaan tertutup
dengan bagiandengan bagian luar normalluar normal
. Perubahan jumlah kalor . Perubahan jumlah kalor pada daerah bagianpada daerah bagian
daridari
sampaisampai
diberikanolehdiberikanoleh∭∭
(dipresentasikanoleh
(dipresentasikanolehAyu Indri AstutiAyu Indri Astuti)) Pada persamaan
Pada persamaan
,,
adalah kalor jenis danadalah kalor jenis dan
adalah kerapatanadalah kerapatan suatu benda pada titiksuatu benda pada titik
. Dengan mengikuti aturan konservasi energi. Dengan mengikuti aturan konservasi energi termal, perubahan kalor padatermal, perubahan kalor pada
harus sama dengan jumlah kalor harus sama dengan jumlah kalor yang masuk keyang masuk ke
melalui batas
melalui batas
pada interval waktupada interval waktu
sampaisampai
, dan jumlah kalor, dan jumlah kalor diberikan olehdiberikan oleh
∫∫ ∬∬
Menyamaka
Menyamakanjumlah njumlah persamaanpersamaan
dandan
, kita peroleh, kita peroleh∭∭
∫ ∬
∫ ∬
Sekarang, Sekarang,∫∫
dan, karenadan, karena
⁄⁄
teorema divergensi diterapkan untuk medan vektorteorema divergensi diterapkan untuk medan vektor
9 9
∬∬∭ ∭
Akibatnya, persamaan
Akibatnya, persamaan
menjadi,menjadi,∫∭
∫∭
∫∭∫∭
atau atau∫∫ ∭∭
Karena integran pada persamaan
Karena integran pada persamaan
adalah kontinu dan karena persamaanadalah kontinu dan karena persamaan
benar untuk daerahbagianbenar untuk daerahbagian
dan pada setiap intervaldan pada setiap interval
, (lihat dalam, (lihat dalam masalahmasalah
), yaitu integran harus sama dengan nol untuk setiap), yaitu integran harus sama dengan nol untuk setiap
didi
dandan untuk setiapuntuk setiap
. Kemudian,. Kemudian,
atau atau
Persamaan
Persamaan
disebut persamaan konduksi panas pada suatu bendadisebut persamaan konduksi panas pada suatu benda isotropik. Disebut juga Persamaan kalor atau persamaan difusi. Jika benda adalah isotropik. Disebut juga Persamaan kalor atau persamaan difusi. Jika benda adalah isotropik homogen, makaisotropik homogen, maka
dandan
adalah konstan dan persamaanadalah konstan dan persamaan
membentuk membentuk
Persamaan
Persamaan
dapat disederhanakan dengan mengubah skala waktu : aturdapat disederhanakan dengan mengubah skala waktu : atur10 10
Kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi
Kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi
menggambarkanmenggambarkan distribusi sudistribusi suhu padhu pada tubua tubuh isotropik h isotropik homogen homogen selama selama interval wainterval waktu yangktu yang ditentukan, maka
ditentukan, maka
memenuhi persamaanmemenuhi persamaan
untuk setiapuntuk setiap
pada bagian dala tubuh
pada bagian dala tubuh
dan untuk setiapdan untuk setiap
pada interval waktu tersebut.pada interval waktu tersebut. Bagaimana pun persamaanBagaimana pun persamaan
mempunyai takhingga banyak solusi. Untuk mempunyai takhingga banyak solusi. Untuk memilih dari solusi yang takhingga ini, solusi khusus yang menggambarkan memilih dari solusi yang takhingga ini, solusi khusus yang menggambarkan distribusi suhu tubuh yang sebenarnya, kondisi tambahan harus dinyatakan distribusi suhu tubuh yang sebenarnya, kondisi tambahan harus dinyatakan dengan jelas.dengan jelas.
Dari pertimbangan fisika, cukup untuk mengharapkan bahwa Dari pertimbangan fisika, cukup untuk mengharapkan bahwa spesifikasidari distribusi suhu pada benda di suatu waktu
spesifikasidari distribusi suhu pada benda di suatu waktu
, bersama dengan, bersama dengan spesifikasi dari distribusi suhu pada batasspesifikasi dari distribusi suhu pada batas
dari benda untuk setiapdari benda untuk setiap
,, secara lengkap menentukan distribusi suhu pada benda untuk setiapsecara lengkap menentukan distribusi suhu pada benda untuk setiap
.. KondisiKondisi
Yang menentukan distribusi suhu pada saat
Yang menentukan distribusi suhu pada saat
yang dikenal sebagai kondisi awal.yang dikenal sebagai kondisi awal. FungsiFungsi
adalah fungsi yang diberikan yang terdefinisi pada penutupadalah fungsi yang diberikan yang terdefinisi pada penutup
dari
dari
. Kondisi. Kondisi
yang menentukan distribusi suhu pada batas
yang menentukan distribusi suhu pada batas
dari benda untuk setiapdari benda untuk setiap
dikenal sebagai kondisi batas. Fungsi
dikenal sebagai kondisi batas. Fungsi
adalah fungsi yang diberikan yangadalah fungsi yang diberikan yang terdefinisi untukterdefinisi untuk
pada bataspada batas
dan untuk setiapdan untuk setiap
. Masalah mencari. Masalah mencari solusi dari persamaan diferensial parsialsolusi dari persamaan diferensial parsial
yang memenuhi kondisi awalyang memenuhi kondisi awal
dan kondisi batasdan kondisi batas
dikenal sebagai masalah nilai awal batas. Dapatdikenal sebagai masalah nilai awal batas. Dapat ditunjukkan dibawah suatu asumsi tambahan, yaitu masalah iniditunjukkan dibawah suatu asumsi tambahan, yaitu masalah ini mempunyai solusimempunyai solusi tunggal
11 11
setiap
setiap
(Lihat pada bab IX). Fungsi ini menyatakan distribusi(Lihat pada bab IX). Fungsi ini menyatakan distribusi suhusebelumnya pada bendauntuk setiapsuhusebelumnya pada bendauntuk setiap
.. Kondisi persamaanKondisi persamaan
tidak hanya kondisi batas, yang bersama-samatidak hanya kondisi batas, yang bersama-sama dengan kondisi awaldengan kondisi awal
, menentukan sebuah solusi tunggal dari persamaan, menentukan sebuah solusi tunggal dari persamaan kalor. Terlebih dalam menentukan suhu pada batas dari tubuh, seseorang kalor. Terlebih dalam menentukan suhu pada batas dari tubuh, seseorangmungkinberharapuntukmenentukankalorfluks yang
mungkinberharapuntukmenentukankalorfluks yang
melaluibatas.Inime
melaluibatas.Inimengarahkepadangarahkepadakondisibataskondisibatas
Dimana
Dimana
⁄⁄
mennotasikan turunan berarah darimennotasikan turunan berarah dari
pada vektor normalpada vektor normal
terhadapterhadap
. . FungsiFungsi
adalahfungsi adalahfungsi yangyang diberikanterdefinisiuntukdiberikanterdefinisiuntuk
padapada
dan untuk dan untuk
. Pada kasusbatas. Pada kasusbatas yang terisolasi,yang terisolasi,
Kondisi batas lain dapat dispesifikasikan. PengetahuanKondisi batas lain dapat dispesifikasikan. Pengetahuan tentang suhu pada medium di sekitar benda dandari kalorfluksmelaluibatas tentang suhu pada medium di sekitar benda dandari kalorfluksmelaluibatas mengarah kepada kondisimengarah kepada kondisi
Fungsi
Fungsi
dandan
diberikan dan terdefinisidiberikan dan terdefinisi
padapada
, dan, dan
diberikan danterdefinisidiberikan danterdefinisi
padapada
dandan
..Sekarang misalkan kita pertimbangkan lempengan dari ketebalan konstan Sekarang misalkan kita pertimbangkan lempengan dari ketebalan konstan dengan dua permukaan bidang yang terisolasi. Jika distribusi suhu awal tidak dengan dua permukaan bidang yang terisolasi. Jika distribusi suhu awal tidak berbedamelalui ketebalan lempengan, maka setiap waktu berikutnya suhu pada berbedamelalui ketebalan lempengan, maka setiap waktu berikutnya suhu pada lempengan tidak berbedamelalui ketebalannya,dan jika kita memilih sistem lempengan tidak berbedamelalui ketebalannya,dan jika kita memilih sistem koordinat dengan
sumbu-koordinat dengan sumbu-
tegak lurus dengan lempengan, suhu padategak lurus dengan lempengan, suhu pada lempenganalempenganadalah fungsi dalah fungsi yang hanya bergantung padayang hanya bergantung pada
dandan
. Persamaan kalor. Persamaan kalor (2.8) untuk lempengan menjadi12 12
Akhirnya, mari kita mempertimbangkan silinderbatang dengan permukaan Akhirnya, mari kita mempertimbangkan silinderbatang dengan permukaan silindernya terisolasi dan suhu awal yang konstan di setiap bagian yang silindernya terisolasi dan suhu awal yang konstan di setiap bagian yang bersebranga
bersebrangan. Jika kita n. Jika kita memilih sistem koordinat dengan garis tengah pada batangmemilih sistem koordinat dengan garis tengah pada batang sepanjang
sumbu-sepanjang sumbu-
, maka suhu tidak berbedaatas bagian yang bersebrangan dan, maka suhu tidak berbedaatas bagian yang bersebrangan dan hanya akan menjadi fungsi darihanya akan menjadi fungsi dari
dandan
saja. Persamaan kalor untuk silinder inisaja. Persamaan kalor untuk silinder ini
Pada penutupan bab ini, disebutkan bahwa persamaan (2.6) dan (2.8) Pada penutupan bab ini, disebutkan bahwa persamaan (2.6) dan (2.8) jugaterdapa
jugaterdapat pada materi difusi darifluidamelat pada materi difusi darifluidamelalui porous medium dalui porous medium dandipelajaridarindipelajaridari proses difusi lain yang memuat cairan dan
proses difusi lain yang memuat cairan dan gas.gas.
Masalah-Masalah Masalah-Masalah
2.1.
2.1. MisalkanMisalkan
fungsi kontinu pada suatu domainfungsi kontinu pada suatu domain
daridari
dandan andaikan bahwa untuk setiap daerah bagianandaikan bahwa untuk setiap daerah bagian
didi
,,∫∫ ∫∫
Tunjukkanbahwa
Tunjukkanbahwa
pasti nol secara identikdipasti nol secara identikdi
. [Petunjuk: Andaikan. [Petunjuk: Andaikan
positif pada suatu titik
positif pada suatu titik
daridari
. Karena. Karena
kontinu,kontinu,
akan positif pada suatuakan positif pada suatu bola yang berpusat padabola yang berpusat pada
. Pertimbangkan. Pertimbangkan
ketika diambil untuk ketika diambil untuk menjadi bola tersebut.]menjadi bola tersebut.]
Solusi: Andaikan
Solusi: Andaikan
positif, yaitupositif, yaitu
makamaka∫∫
∫∫ ∫∫
13 13
∫∫ ∫∫
inikontradiksideng
inikontradiksidenganpernyataanpanpernyataanpersamaanersamaan
. . Oleh Oleh karenanya, karenanya, haruslahharuslah
..2.2.
2.2. TurunkanpersamaanTurunkanpersamaan
daridari
.. Solusi : DiketahuiSolusi : Diketahui
Misalkan
Misalkan
, maka, maka
Perhatikanbahwa Perhatikanbahwa
substitusikepersasubstitusikepersamaan (2.8) maan (2.8) diperolehdiperoleh
kemudianganti
kemudianganti
, diperoleh, diperoleh14 14
2.3.
2.3. Tulismasalahnilaiawalbatas Tulismasalahnilaiawalbatas yangyang harusdiselesa
harusdiselesaikanuntukmengeikanuntukmengetahuidistribusisuhusetahuidistribusisuhusebelumnyapadasbelumnyapadasilinderbatilinderbat ang yang panjangnya
ang yang panjangnya
dengan permukaan silinder yang terisolasi,dengan permukaan silinder yang terisolasi, diberikandistribusisuhdiberikandistribusisuhuawaldaribatauawaldaribatangpadasaatngpadasaat
dan suhu pada bagiandan suhu pada bagian ujung batang untuk setiapujung batang untuk setiap
..3.
3. Persamaan LaplacePersamaan Laplace
Persamaan Laplace Persamaan Laplace
Berkembang dari studi tentang kelas besar dari fenomena fisika yang diketahui Berkembang dari studi tentang kelas besar dari fenomena fisika yang diketahui sebagai
sebagai fenomena fenomena keadaan keadaan tetaptetap. Fenomena-fenomena ini dikarakterisasi oleh. Fenomena-fenomena ini dikarakterisasi oleh kenyataan bahwa fenomena-fenomena tersebut tidak bergantung pada variabel kenyataan bahwa fenomena-fenomena tersebut tidak bergantung pada variabel waktu
waktu
. Mari kita pertimbangkan kasus fungsi distribusi suhu dalam keadaan. Mari kita pertimbangkan kasus fungsi distribusi suhu dalam keadaan tetap yang homogen dan isotropik. Karena fungsitetap yang homogen dan isotropik. Karena fungsi
tidak bergantung padatidak bergantung pada variabel waktuvariabel waktu
,,
dan persamaan konduksi kalor menjadi persamaandan persamaan konduksi kalor menjadi persamaan laplace (3.1).Jikalaplace (3.1).Jika adalah notasi untuk bagian dalam benda, fungsi temperaturadalah notasi untuk bagian dalam benda, fungsi temperatur keadaan tetap
keadaan tetap
pasti memenuhi persamaan (3.1) pada setiap titik pasti memenuhi persamaan (3.1) pada setiap titik
padapada ..Persamaan (3.1) memiliki banyak solusi tak terbatas. Untuk menentukan Persamaan (3.1) memiliki banyak solusi tak terbatas. Untuk menentukan solusi khusus yang mendeskripsikan distribusi temperatur yang sebenarnya pada solusi khusus yang mendeskripsikan distribusi temperatur yang sebenarnya pada benda, kondisi tambahan harus dispesifikkan. Kenyataan ini sangat kontras benda, kondisi tambahan harus dispesifikkan. Kenyataan ini sangat kontras dengan persamaan kalor (2.8) yang mendeskripsikan fenomena yang bergantung dengan persamaan kalor (2.8) yang mendeskripsikan fenomena yang bergantung pada waktu, tidak ada kondisi awal yang dibutuhkan untuk menspesifikkan pada waktu, tidak ada kondisi awal yang dibutuhkan untuk menspesifikkan persamaan (3.1). Formula yang tidak bergantung pada waktu pada kondisi terbatas persamaan (3.1). Formula yang tidak bergantung pada waktu pada kondisi terbatas (2.10), (2.11) dan (2.12) adalah
15 15
Masalah mencari solusi dari Persamaan Laplace (3.1) yang memenuhi Masalah mencari solusi dari Persamaan Laplace (3.1) yang memenuhi salah satu dari kondisi batas (3.2), (3.3), atau (3.4) disebut
salah satu dari kondisi batas (3.2), (3.3), atau (3.4) disebut Masalah Masalah Nilai Nilai BatasBatas.. Lebih spe
Lebih spesifiknya, masalah sifiknya, masalah masalah memasalah mencari solusi dari ncari solusi dari (3.1) yang (3.1) yang memenuhimemenuhi kondisi batas (3.2) dikenal sebagai
kondisi batas (3.2) dikenal sebagai Masalah Masalah Dirichlet Dirichlet . Masalah untuk . Masalah untuk menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi batas (3.3) dikenal sebagai
menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi batas (3.3) dikenal sebagai Masalah Masalah Neumann
Neumann. Terakhir, masalah untuk menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi. Terakhir, masalah untuk menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi batas (3.4) dikenal sebagai
batas (3.4) dikenal sebagai Masalah Masalah CampuranCampuran atau Masalah atau Masalah Nilai Nilai Batas KetiBatas Ketigaga.. Masalah-masa
Masalah-masalah ini akan llah ini akan lebih lanjut dipelajari padaebih lanjut dipelajari pada Chapter Chapter VII.VII.
Dalam kasus sebuah lempengan dengan ketebalan yang konstan, Dalam kasus sebuah lempengan dengan ketebalan yang konstan, temperatur keadaan tetap
temperatur keadaan tetap uu adalah fungsi dengan hanya dua variabel danadalah fungsi dengan hanya dua variabel dan memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi.
memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi.
Persamaan Laplace dua dimensi mengatur bentuk dari sebuah selaput Persamaan Laplace dua dimensi mengatur bentuk dari sebuah selaput lentur seperti contoh selaput
lentur seperti contoh selaput drumdrum. Se. Selaput laput tersebut tersebut merupakan merupakan selaput selaput yangyang tahan akan segala jenis perentangan atau penarikan ke segala arah tanpa tahan akan segala jenis perentangan atau penarikan ke segala arah tanpa mengubah bentuk aslinya .Misalkan selaput lentur tersebut menempati daerah mengubah bentuk aslinya .Misalkan selaput lentur tersebut menempati daerah pada bidang
pada bidang (x,y)(x,y) yang dibatasi oleh kurva mulus C, danyang dibatasi oleh kurva mulus C, dan menyatakan interiormenyatakan interior dari daerah tersebut. Sumbu
dari daerah tersebut. Sumbu uu ortogonal ke bidangortogonal ke bidang (x,y)(x,y)(lihat(lihat Gambar 3.1Gambar 3.1)).. Misalkan batas kurva mulus C diparametrikkan oleh persamaan
Misalkan batas kurva mulus C diparametrikkan oleh persamaan
..
;;
))
((
,,
))
((ss y y y y ss ss I I
x
x
x
x
...(3.5)
...(3.5)
0
0
2 2 2 2 2 2 2 2
y
y
u
u
x
x
u
u
16 16
Misalkan setiap titik di batas selaput dipindahkan sepanjang garis tegak Misalkan setiap titik di batas selaput dipindahkan sepanjang garis tegak lurus bidang
lurus bidang (x,y)(x,y)dan dan batas batas tersebut tersebut terikat terikat di di sepanjang sepanjang kurva kurva .. Kurva
Kurva memproyeksikan memproyeksikan bidangbidang (x,y)(x,y) atas kurva C dan atas kurva C dan diberi persamaandiberi persamaan
Selaput tersebut kemudian mengambil bentuk permukaan yang diberikan Selaput tersebut kemudian mengambil bentuk permukaan yang diberikan oleh persamaan berbentuk
oleh persamaan berbentuk
Sekarang kita membuat asumsi: Sekarang kita membuat asumsi: (a)
(a) Pada saat kita memindahkan selaput dari bidangPada saat kita memindahkan selaput dari bidang (x,y)(x,y) ke bentuk akhirnyake bentuk akhirnya yaitu
yaitu u = u(x, y)u = u(x, y), setiap titik di selaput bergerak hanya pada sepanjang garis, setiap titik di selaput bergerak hanya pada sepanjang garis yang paralel ke sumbu
yang paralel ke sumbu uu.. (b)
(b) Selaput bentuknya hanya berubah sedikSelaput bentuknya hanya berubah sedikit, oleh karena itit, oleh karena itu nilai turunanu nilai turunan dan
dan adalah adalah kecil.kecil.
Dari kedua asumsi (a) dan (b) dapat ditunjukkan bahwa fungsi
Dari kedua asumsi (a) dan (b) dapat ditunjukkan bahwa fungsi u(x, y)u(x, y) haruslah memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi (3.5).Jadi, untuk haruslah memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi (3.5).Jadi, untuk menentukan bentuk akhir dari selaput tersebut kita harus menyelesaikan
menentukan bentuk akhir dari selaput tersebut kita harus menyelesaikan Masalah Masalah Dirichlet Dirichlet ..
..
;;
),
),
((
,,
))
((ss y y y y ss uu ((s)s) ss I I
x
x
x
x
..
~
~
))
,,
((
;;
))
,,
((
uu x x y y x x yy
u
u
x x u u
uu
yy C C ~~ C C ~~
(x, y)
(x, y)
y
y
u
u
x
x
u
u
;;
0
0
2 2 2 2 2 2 2 2C
C
(x, y)
(x, y)
y
y
x
x
u(x, y)
u(x, y) (( ,, ));;
17 17
Gambar 3.1 Gambar 3.1
Persamaan Laplace juga muncul dalam pembelajaran medan gaya yang Persamaan Laplace juga muncul dalam pembelajaran medan gaya yang “dapat diturunkan dari sebuah potensial”. Sebagai contoh misalakan
“dapat diturunkan dari sebuah potensial”. Sebagai contoh misalakan FF adalahadalah medan gaya yang disebabkan dari distribusi muatan listrik di ruangan.
medan gaya yang disebabkan dari distribusi muatan listrik di ruangan. FF(( x, x, y, y, zz)) adalah vektor gaya
adalah vektor gaya yang bertindak sebagai yang bertindak sebagai sebuah unit muatan sebuah unit muatan yang yang ditempditempatkanatkan di titik (
di titik ( x, x, y, y, zz). Dapat ditunjukkan bahwa). Dapat ditunjukkan bahwa FF dapat diturunkan dari sebuah fungsidapat diturunkan dari sebuah fungsi potensial
potensial uu; sebagai contoh, t; sebagai contoh, terdapat fungsierdapat fungsi uu sebagai berikutsebagai berikut
F
F = - grad= - grad uu..
Potensial
Potensial uu memenuhi Pememenuhi Persamaan rsamaan Laplace Laplace di setiap titik di ruadi setiap titik di ruangan yangngan yang bebas dari muatan listrik. Medan gaya gravitasi oleh karena distribusi massa di bebas dari muatan listrik. Medan gaya gravitasi oleh karena distribusi massa di ruangan terseb
ruangan tersebut juga dapat diturunkan daut juga dapat diturunkan dari sebuah potensial dan fungri sebuah potensial dan fungsi si potensialpotensial itu sendiri memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di
itu sendiri memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di ruangan yang bebas dariruangan yang bebas dari massa.
18 18