Menurut teorema 4.1, bentuk persamaan Menurut teorema 4.1, bentuk persamaan
Mempunyai dua kemungkinan yaitu tidak memiliki solusi atau
Mempunyai dua kemungkinan yaitu tidak memiliki solusi atau punya solusi banyak.punya solusi banyak.
Untuk menentukannya kita hitung : Untuk menentukannya kita hitung :
Karena Karena
maka maka menurut menurut teorema teorema 4.2, 4.2, bentukbentuk
Dan
Dan kurva kurva awal awal C C : : x=t, x=t, y=t; y=t; t>0t>0 Memiliki banyak solusi.
5. Masalah Nilai Awal untuk Hukum Konservasi. 5. Masalah Nilai Awal untuk Hukum Konservasi.
Perkembangan dari Shocks Perkembangan dari Shocks
Hukum konservasi adalah order pertama persamaan differensial parsial kuasi linear yang timbul dalam Hukum konservasi adalah order pertama persamaan differensial parsial kuasi linear yang timbul dalam banyak aplikasi fisika (lihat bagian 6
banyak aplikasi fisika (lihat bagian 6 untuk contoh). Mari kita peruntuk contoh). Mari kita perhatikan permasalahan nilai awal berikuthatikan permasalahan nilai awal berikut untuk hukum konservasi,
untuk hukum konservasi,
,,
,, DimanaDimana
dandan
menghasilkan fungsimenghasilkan fungsi
. Berdasarkan akibat 3.1, masalah ini memiliki solusi yang. Berdasarkan akibat 3.1, masalah ini memiliki solusi yang tunggal pada suatu persekitaran dari setiap titik pada garis awaltunggal pada suatu persekitaran dari setiap titik pada garis awal
. Dengan tujuan untuk. Dengan tujuan untuk menemukan solusi kita perhatikan persamaanmenemukan solusi kita perhatikan persamaan differensial biasa yang berhubungan dengan (5.1),differensial biasa yang berhubungan dengan (5.1),
Dua integral pertama yang bebas secara fungsional dari sistim ini adalah Dua integral pertama yang bebas secara fungsional dari sistim ini adalah
,,
Dan kemudian, Dan kemudian,
Adalah suatu integral umum dari (5.1). Dengan tujuan untuk memenuhi kondisi awal (5.2) kita harus Adalah suatu integral umum dari (5.1). Dengan tujuan untuk memenuhi kondisi awal (5.2) kita harus gunakan
gunakan
. Kemudian, untuk. Kemudian, untuk||||
sekecil mungkin, solusi dari (5.1), (5.2) secara implisitsekecil mungkin, solusi dari (5.1), (5.2) secara implisit didefinisikan oleh persamaandidefinisikan oleh persamaan
..Menggunakan teorema fungsi implisit, mudah untuk menunjukkan (lihat soal 5.1) bahwa solusi dari(5.1), Menggunakan teorema fungsi implisit, mudah untuk menunjukkan (lihat soal 5.1) bahwa solusi dari(5.1), (5.2) ada dan didefinisikan secara
(5.2) ada dan didefinisikan secara implisit dengan (5.3) asalkan kondisiimplisit dengan (5.3) asalkan kondisi
dipenuhi.Perhatikan bahwa (5.4) selalu dipenuhi jika
dipenuhi.Perhatikan bahwa (5.4) selalu dipenuhi jika
||||
sekecil mungkin. Berdasarkan solusi darisekecil mungkin. Berdasarkan solusi dari persamaan (5.1) kita artikan suatu fungsi turunanpersamaan (5.1) kita artikan suatu fungsi turunan
. Dari rumus pada soal (5.1) kita lihat bahwa. Dari rumus pada soal (5.1) kita lihat bahwa turunanturunan
dandan
cenderung tak terbatas sebagai sisi kiri dari (5.4) cenderung nol. Kenyataannya ketikacenderung tak terbatas sebagai sisi kiri dari (5.4) cenderung nol. Kenyataannya ketika sisi kiri dari (5.4) menjadi nol, solusi berkembang secara diskontinu dikenal sebagaisisi kiri dari (5.4) menjadi nol, solusi berkembang secara diskontinu dikenal sebagai
..Perkembangan dari shock dikenal sebagi fenomena dalam dinamika gas.Analisis matematika dari shocks Perkembangan dari shock dikenal sebagi fenomena dalam dinamika gas.Analisis matematika dari shocks memerlukan generalisasi dari konsep solusi dari persamaan differensial parsial memungkinkan untuk memerlukan generalisasi dari konsep solusi dari persamaan differensial parsial memungkinkan untuk diskontinu. (Pada dinamika gas, kondisi ini dikenal sebagai kondisi entropy dari peningkatan gas setelah diskontinu. (Pada dinamika gas, kondisi ini dikenal sebagai kondisi entropy dari peningkatan gas setelah melalui garis diskontinu).Dalam buku ini kita tidak melanjutkan lebih jauh ke materi tentang melalui garis diskontinu).Dalam buku ini kita tidak melanjutkan lebih jauh ke materi tentang shock.Sebagai ganti kita mengacu kepada ketertarikan siswa untuk menyelidiki artikel oleh P.D L
shock.Sebagai ganti kita mengacu kepada ketertarikan siswa untuk menyelidiki artikel oleh P.D L ax.ax.
Dengan tujuan untuk melihat dan menghitung nilai dari solusi yang didefinisikan secara implisit oleh Dengan tujuan untuk melihat dan menghitung nilai dari solusi yang didefinisikan secara implisit oleh (5.3) dan pada waktu yang sama meningkatkan pemahaman kita tentang perkembangan shock. Mari (5.3) dan pada waktu yang sama meningkatkan pemahaman kita tentang perkembangan shock. Mari kita perhatikan titik
kita perhatikan titik
pada sumbu aksispada sumbu aksis
dandan
. Maka himpunan dari titik-titik. Maka himpunan dari titik-titik
memenuhi pasangan dari persamaan memenuhi pasangan dari persamaan
,,
,,Juga memenuhi persamaan (5.3).ini berarti bahwa garis lurus pada ruang
Juga memenuhi persamaan (5.3).ini berarti bahwa garis lurus pada ruang
didefinisikan dengandidefinisikan denganpasangan dari persamaan (5.3) berada pada permukaan yang didefinisikan oleh persamaan (5.3). ini pasangan dari persamaan (5.3) berada pada permukaan yang didefinisikan oleh persamaan (5.3). ini memenuhi bahwa sepanjang garis
pada bidang
pada bidang
melewati titikmelewati titik
, solusi, solusi
dari masalah nilai awal (5.1), (5.2) adalah konstan dandari masalah nilai awal (5.1), (5.2) adalah konstan dan sama dengansama dengan
(lihat gambar 5.1). Dalam permasalahan fisika variabel(lihat gambar 5.1). Dalam permasalahan fisika variabel
menunjukkan waktumenunjukkan waktu dan kita biasanya kemudian tertarik reaksi dari solusi (setelah pasangan awaldan kita biasanya kemudian tertarik reaksi dari solusi (setelah pasangan awal
). Jika tidak ada dua). Jika tidak ada duagaris pada (5.6) yang berpotongan pada setengah bidang
garis pada (5.6) yang berpotongan pada setengah bidang
kita simpulkan bahwa solusi ada sebagaikita simpulkan bahwa solusi ada sebagai suatu fungsi turunansuatu fungsi turunan
. Jika dua garis pada (5.6) berpotongan ketika. Jika dua garis pada (5.6) berpotongan ketika
, maka pada titik, maka pada titik perpotongan kita memiliki sebuah ketidakserasian karena solusi tidak bisa sama dengan dua nilai perpotongan kita memiliki sebuah ketidakserasian karena solusi tidak bisa sama dengan dua nilai berbeda. Sebagai contoh, misalkanberbeda. Sebagai contoh, misalkan
dandan
adalah dua titik pada garis awaladalah dua titik pada garis awal
, misalkan, misalkan
dan andaikan bahwadan andaikan bahwa
. Maka garis-garis. Maka garis-garis
Berpotongan pada titik
Berpotongan pada titik
dimanadimana
(lihat gambar 5.2). pada titik
(lihat gambar 5.2). pada titik
kita memiliki sebuah ketidakserasian karenakita memiliki sebuah ketidakserasian karena
dandan
tidaktidak sama dengansama dengan
dandan
pada waktu yang sana. Jadi, solusi tidak ada sebagai fungsi turunan untukpada waktu yang sana. Jadi, solusi tidak ada sebagai fungsi turunan untuk
dan Shock berkembang.dan Shock berkembang. Garis-garis padaGaris-garis pada
sering disebutsering disebut
untuk masalah nilai awaluntuk masalah nilai awal
. (lihat. (lihat Bab V, bagian 4.)Bab V, bagian 4.)
Contoh 5.1
Contoh 5.1solusi dari masalah nilai awalsolusi dari masalah nilai awal
,,
,,Ada dan secara implisit didefinisikan oleh Ada dan secara implisit didefinisikan oleh
Asalkan kondisi Asalkan kondisi
,,Dipenuhi. Dalam kasus ini persamaan (5.9)
Dipenuhi. Dalam kasus ini persamaan (5.9) dengan mudah dapat diselesaikan untukdengan mudah dapat diselesaikan untuk
,,
..Jelas solusi terpecahkan dan shock berkembang ketika
Jelas solusi terpecahkan dan shock berkembang ketika
. Pada titik. Pada titik
dari sumbudari sumbu
,,
,, dan solusinya konstan dan sama dengandan solusinya konstan dan sama dengan
sepanjang garissepanjang garis
Melewati titik
6. Aplikasi pada Arus Lalu Lintas dan Dinamika Gas 6. Aplikasi pada Arus Lalu Lintas dan Dinamika Gas
Disini ditampilkan dua buah aplikasi pada analisis mengenai MNA untuk hukum kekekalan.Hukum Disini ditampilkan dua buah aplikasi pada analisis mengenai MNA untuk hukum kekekalan.Hukum kekekalan muncul dalam banyak topik di bidang fisika dan dalam topik mengenai fluida tidak ental yang kekekalan muncul dalam banyak topik di bidang fisika dan dalam topik mengenai fluida tidak ental yang dapat dipadatkan.Aplikasi pertama yang berkaitan dengan hukum kekekalan adalah topik mengenai arus dapat dipadatkan.Aplikasi pertama yang berkaitan dengan hukum kekekalan adalah topik mengenai arus lalu lintas pada sebuah jalan raya.Aplikasi kedua berkaitan
lalu lintas pada sebuah jalan raya.Aplikasi kedua berkaitan dengan aliran bergantung waktu satu dimensidengan aliran bergantung waktu satu dimensi pada fluida yang dapat dipadatkan dibawah asumsi tekanan
pada fluida yang dapat dipadatkan dibawah asumsi tekanan yang konstan.yang konstan.
Arus Lalu Lintas pada Jalan Raya Arus Lalu Lintas pada Jalan Raya
Model arus lalu l
Model arus lalu lintas yang didintas yang didiskusikan saat ini iskusikan saat ini didasarkan didasarkan pada asumsi bahpada asumsi bahwa pergerakan sebuahwa pergerakan sebuah mobil dapat dianalogikan dengan arus pada fluida yang kontinyu. Dimisalkan sumbu
mobil dapat dianalogikan dengan arus pada fluida yang kontinyu. Dimisalkan sumbu
adalah jalan rayaadalah jalan rayadan arus lalu lintas pada arah yang positif. dan arus lalu lintas pada arah yang positif. Misal
Misal
adalah kepadatan (mobil per satuan jarak) pada posisi ke-adalah kepadatan (mobil per satuan jarak) pada posisi ke-
di jalan raya dalam waktudi jalan raya dalam waktu
. Dan. Dan
adalah kecepatan(adalah kecepatan(raterate) arus (mobil per satuan waktu) dimana arus mobil melewati) arus (mobil per satuan waktu) dimana arus mobil melewati
pada waktu
pada waktu
..Dapat diturunkan sebuah hubungan antara
Dapat diturunkan sebuah hubungan antara
dandan
dibawah asumsi bahwa mobil tidak akan masuk ataudibawah asumsi bahwa mobil tidak akan masuk atau keluar dari jalan raya dankeluar dari jalan raya dan
adalah fungsiadalah fungsi
daridari
.. MisalkanMisalkan
adalah ruas dari sebuah jalan raya. Jumlah total mobil pada ruas jalan ini didefinisikanadalah ruas dari sebuah jalan raya. Jumlah total mobil pada ruas jalan ini didefinisikan sebagaisebagai
∫∫
dan perubahan waktu dari perubahan jumlah mobil pada ruas jalan ini adalah dan perubahan waktu dari perubahan jumlah mobil pada ruas jalan ini adalah
∫∫
∫∫
Perubahan ini sama dengan Perubahan ini sama dengan
dimana ini dapat mengukur waktu mobil ketika masuk ruas jalan pada
dimana ini dapat mengukur waktu mobil ketika masuk ruas jalan pada
dikurangi dengan waktu mobildikurangi dengan waktu mobil ketika keluar padaketika keluar pada
. Sehingga. Sehingga∫∫
atau atau∫∫
∫∫
(6.1) (6.1)∫∫
Karena integral pada (6.1) dan karena (6.1) ada pada setiap
Karena integral pada (6.1) dan karena (6.1) ada pada setiap
maka jelas integralnya dapat hilang,maka jelas integralnya dapat hilang, sehinggasehingga
Selajutnya, akan diperkenalkan asumsi tambahan yaitu validitas yang didukung oleh pertimbangan Selajutnya, akan diperkenalkan asumsi tambahan yaitu validitas yang didukung oleh pertimbangan teoritik sebagaimana data hasil eksperimen. Mengacu pada asumsi ini, kecepatan arus
teoritik sebagaimana data hasil eksperimen. Mengacu pada asumsi ini, kecepatan arus
yangyangbergantung pada
bergantung pada
dandan
dapat dipandang hanya dengan melihatdapat dipandang hanya dengan melihat
, yaitu, yaitu(())
atau secara sederhana atau secara sederhana (6.3)
(6.3)
untuk beberapa fungsi
untuk beberapa fungsi G.G. Asumsi ini terlihat beralasan karena kepadatan kendaraan di sekitarAsumsi ini terlihat beralasan karena kepadatan kendaraan di sekitar kendaraan tertentu juga mengontrol kecepatan (
kendaraan tertentu juga mengontrol kecepatan (speed speed ) dari kendaraan tersebut. Hubungan antaras) dari kendaraan tersebut. Hubungan antaras
dan
dan
bergantung pada banyak faktor seperti karakteristik jalan, kondisi cuaca, batas kbergantung pada banyak faktor seperti karakteristik jalan, kondisi cuaca, batas k ecepatan, dan lainecepatan, dan lain sebagainya. Salah satu hubungan antarasebagainya. Salah satu hubungan antara
dandan
adalahadalah(6.4)
dimana
dimana
merupakan kepadatan maksimum (mobil per satuan jarak ketika lalu lintas sangat padat,merupakan kepadatan maksimum (mobil per satuan jarak ketika lalu lintas sangat padat, hingga diibaratkan bumper bertemu bumper) danhingga diibaratkan bumper bertemu bumper) dan
adalah rata-rata kecepatan bebas dimana kecepatanadalah rata-rata kecepatan bebas dimana kecepatan bebas adalah kecepatan dari sebuah kendaraan ketika kendaraan itu bergerak bebas dari interfensi bebas adalah kecepatan dari sebuah kendaraan ketika kendaraan itu bergerak bebas dari interfensi (pengaruh) kendaraan lain. Pada umumnya,(pengaruh) kendaraan lain. Pada umumnya,
dapat didekati oleh batas kecepatan dari sebuah jalandapat didekati oleh batas kecepatan dari sebuah jalan raya. Ingat, berdasarkan persamaan (6.4)raya. Ingat, berdasarkan persamaan (6.4)
jikajika
atauatau
..Akan disubstitusikan (6.4) ke persamaan (6.2), yaitu sebagai berikut: Akan disubstitusikan (6.4) ke persamaan (6.2), yaitu sebagai berikut:
** ++
(6.5) (6.5)
Persamaan (6.5) dapat disederhanakan dengan membagi dengan
Persamaan (6.5) dapat disederhanakan dengan membagi dengan
pada kedua ruas dan didefinisiskanpada kedua ruas dan didefinisiskan bahwabahwa
untuk memperolehuntuk memperoleh (6.6)(6.6)
Persamaan (6.6) merupakan salah satu contoh hukum kekekalan. Jika diberikan kepadatan normal awal Persamaan (6.6) merupakan salah satu contoh hukum kekekalan. Jika diberikan kepadatan normal awal (6.7)
(6.7)
maka, berdasarkan bagian 5, solusi MNA dari (6.6) dan (6.7) terdefinisi secara implisit, untuk
maka, berdasarkan bagian 5, solusi MNA dari (6.6) dan (6.7) terdefinisi secara implisit, untuk
yangyangcukup kecil dengan persamaan cukup kecil dengan persamaan (6.8)
(6.8)
(())
Jika
Jika
adalah fungsiadalah fungsi
maka solusi ada dan berbentuk fumgsimaka solusi ada dan berbentuk fumgsi
serta terdefinisi secara implisit olehserta terdefinisi secara implisit oleh (6.8) jika kondisi(6.9)
(6.9)
(())
dipenuhi. Jika kondisi ini pernah tidak dipenuhi,
dipenuhi. Jika kondisi ini pernah tidak dipenuhi, shock shock s akan dihasilkan pada kondisi dimana turunans akan dihasilkan pada kondisi dimana turunan dari kepadatan mobil menjadi tak berhingga dan kepadatan menghasilkan
dari kepadatan mobil menjadi tak berhingga dan kepadatan menghasilkan shock shock yang diskontinyu. Jikayang diskontinyu. Jika
kondisi (6.9) dipenuhikondisi (6.9) dipenuhi
. Ini mengarah pada kesimpulan bahwa jika . Ini mengarah pada kesimpulan bahwa jika kepadatan mobilkepadatan mobil awal adalah konstan atau turun pada arah arus lalu lintas makaawal adalah konstan atau turun pada arah arus lalu lintas maka shock shock tidak akan pernah dihasilkan dantidak akan pernah dihasilkan dan arus lalu
arus lalu linta s linta s akan akan berjalan lanberjalan lancar secara car secara kontinyu. kontinyu. Sebaliknya, Sebaliknya, jika ICD jika ICD ((Initial Card Initial Card Density
Density =Kepadatan Mobil Awal) bertambah pada setiap jarak di jalan raya maka akibatnya=Kepadatan Mobil Awal) bertambah pada setiap jarak di jalan raya maka akibatnya shock shock akanakan dihasilkan. Sebagai ilustrasi akan terlihat pada
dihasilkan. Sebagai ilustrasi akan terlihat pada contoh dibawah ini.contoh dibawah ini.
Contoh Contoh
Misalkan ICD didefinisikan oleh fungsi dibawah ini, y
Misalkan ICD didefinisikan oleh fungsi dibawah ini, y aitu:aitu:
{{
Grafik dari fungsi diatas terlihat pada gambar dibawah ini: Grafik dari fungsi diatas terlihat pada gambar dibawah ini:
Turunan dari
Turunan dari
memilikimemiliki shock shock padapada
dan teori yang dimiliki tidak dapat diaplikasikandan teori yang dimiliki tidak dapat diaplikasikan karenakarena
bukan lah anggotabukan lah anggota
. Selanjutnya,. Selanjutnya,
dapat dihaluskan didekatdapat dihaluskan didekat
dandan
dengandengan mengganti setiap sudut pada grafikmengganti setiap sudut pada grafik
dengan kurva belok yang halus.Oleh karena itu, penghalusandengan kurva belok yang halus.Oleh karena itu, penghalusan ini dapat menemui banyak kesulitan saat perhitungan solusi dari masalahini dapat menemui banyak kesulitan saat perhitungan solusi dari masalah
ini.Untungnya, efek yangini.Untungnya, efek yang dihasilkan olehdihasilkan oleh shock shock pada turunan dari data awal adalahpada turunan dari data awal adalah jump jump pada turunan solusi yang melewatipada turunan solusi yang melewati sebuah garis di bidang
sebuah garis di bidang
solusi masih terdefinisi secara implisit untuk sebuahsolusi masih terdefinisi secara implisit untuk sebuah
yang cukup kecil,yang cukup kecil, dengan menggunakan persamaan (6.8).untuk menghitunya akan digunakan informasi bahwa solusinya dengan menggunakan persamaan (6.8).untuk menghitunya akan digunakan informasi bahwa solusinya konstan disepanjang garis pada bidangkonstan disepanjang garis pada bidang
. Karena variabel. Karena variabel
selalu dikalikan oleh kecepatan bebasselalu dikalikan oleh kecepatan bebas
,, maka selanjutnya akan digunakanmaka selanjutnya akan digunakan
untuk menggantikan tempatuntuk menggantikan tempat
Jika
Jika
dandan
sepanjangsepanjang
atau:atau: (6.11)(6.11)
padapada
(6.12)
(6.12)
padapada
Sehingga, diperoleh
Sehingga, diperoleh
disepanjang garisdisepanjang garis
dandan
disepanjang garisdisepanjang garis
.. Karena dua garis ini berpotongan pada titikKarena dua garis ini berpotongan pada titik
makamaka shock shock muncul pada titik tersebutmuncul pada titik tersebut seperti yang terlihat pada gambar dibawah ini.Jika
Jika
makamaka
sepanjangsepanjang** ++
atauatau (6.13)(6.13)
sepanjangsepanjang
Perhatikan bahwa garis pada persamaan (6.13) melewati
Perhatikan bahwa garis pada persamaan (6.13) melewati
. Garis. Garis
membagi setengah atas bidang
membagi setengah atas bidang
ke dalam empat bagian, yaitu bagian kirike dalam empat bagian, yaitu bagian kiri
, bagian kanan, bagian kanan
dan dalam bagian segitiga dengandan dalam bagian segitiga dengan
dandan
diperoleh dari persamaan (6.13).diperoleh dari persamaan (6.13). Seperti terlihat pada gambar di bawah ini:Selanjutnya, mengeliminasi
Selanjutnya, mengeliminasi
dari persamaan (6.13) akan diperoleh:dari persamaan (6.13) akan diperoleh: (6.14)(6.14)
Akibatnya, pada bagian
Akibatnya, pada bagian shock shock solusinya memilikisolusinya memiliki jump jump diskontinyu san nilai dari solusi tidak dapatdiskontinyu san nilai dari solusi tidak dapat dihitung dengan menggunakan analisis ini. Gambar di bawah ini menunjukkan grafik dari
dihitung dengan menggunakan analisis ini. Gambar di bawah ini menunjukkan grafik dari
dandan
padapadaempat macam nilai
Kompresibel Aliran Fluida di Bawah Tekanan Konstan Kompresibel Aliran Fluida di Bawah Tekanan Konstan
Mari kita perhatikan aliran yang bergantung pada waktu dari fluida kompresibel berdimensi satu di Mari kita perhatikan aliran yang bergantung pada waktu dari fluida kompresibel berdimensi satu di bawah asumsi
bawah asumsi p p tekanan konstan. Jika u menunjukkan kecapatan tekanan konstan. Jika u menunjukkan kecapatan fluida,fluida, ρ ρkecepatan dankecepatan dan ee energienergi internal per satuan volume, persamaan dasar dinamika gas :
internal per satuan volume, persamaan dasar dinamika gas : (6.15) (6.15)
++
= 0,= 0, (6.16) (6.16)
++
= 0,= 0, (6.17) (6.17)
++
+ (+ (
= 0.= 0.Kita ingin memecahkan persamaan hal ini ke persamaan /
Kita ingin memecahkan persamaan hal ini ke persamaan / kondisi awalkondisi awal
(6.18) (6.18) uu(( x x , 0) =, 0) = f f (( x x )) (6.19) (6.19) ρ ρ(( x x , 0) =, 0) = gg(( x x )) (6.20) (6.20) ee(( x x , 0) =, 0) = hh(( x x )) dimana
dimana f f , , gg dandan hh diberikan fungsidiberikan fungsi
. Menurut bagian 5, solusi dari masalah nilai awal (6.15), (6.18). Menurut bagian 5, solusi dari masalah nilai awal (6.15), (6.18) selalu ada untukselalu ada untuk t t yang cukup kecil dan yang cukup kecil dan didefinisikan secara implisit oleh persamaandidefinisikan secara implisit oleh persamaan (6.21)
Jika
Jika
(( x x ))
0 untuk semua0 untuk semua x x , solusiya ada sebagai fungsi, solusiya ada sebagai fungsi
untuk semuauntuk semua t t
0. Sebaliknya solusi0. Sebaliknya solusi akhirnya berkembang secara diskontinuitas yang dikenal sebagaiakhirnya berkembang secara diskontinuitas yang dikenal sebagai shocksshocks, studi yang melibatkan, studi yang melibatkan generalisasi konsep larutan (see Noh and
generalisasi konsep larutan (see Noh and
for details). Setelahfor details). Setelah uu diketahui, dapat diganti ataudiketahui, dapat diganti atau disubstitusikan ke dalam persamaan (6.16) dan masalah nilai awal (6.16), (6.19) kemudian dapat disubstitusikan ke dalam persamaan (6.16) dan masalah nilai awal (6.16), (6.19) kemudian dapat diselesaikan untuk mendapatkan kepadatandiselesaikan untuk mendapatkan kepadatan ρ ρ. Hal ini berguna untuk mendapatkan formula untuk. Hal ini berguna untuk mendapatkan formula untuk ρ ρ dalam
dalam uu (atau dipandang sebagai atau dari segi(atau dipandang sebagai atau dari segi uu). Untuk melakukan hal ini kita perhatikan bahwa). Untuk melakukan hal ini kita perhatikan bahwa
(dalam hal ini), muncul dalam persamaan (6.16) dan dari (6.21) kita peroleh/punya, (dalam hal ini), muncul dalam persamaan (6.16) dan dari (6.21) kita peroleh/punya, (6.22)
(6.22)
Ini menunjukkan bahwa fungsi dari bentuk Ini menunjukkan bahwa fungsi dari bentuk (6.23)
(6.23) ρ =ρ =
mungkin menjadi solusi dari persamaan (6.16) (lihat juga masalah 6.5). Agar (6.23) memenuhi kondisi mungkin menjadi solusi dari persamaan (6.16) (lihat juga masalah 6.5). Agar (6.23) memenuhi kondisi awal (6.19), fungsi
awal (6.19), fungsi GG harus diambil untuk menjadiharus diambil untuk menjadi gg. Itu kini tersisa sebagai latihan (masalah 6.6) untuk. Itu kini tersisa sebagai latihan (masalah 6.6) untuk menunjukkan bahwa
menunjukkan bahwa (6.24)
(6.24) ρ =ρ =
tidak hanya memenuhi kondisi awal (6.19) tetapi juga pdp (6.16) asalkan fungsi
tidak hanya memenuhi kondisi awal (6.19) tetapi juga pdp (6.16) asalkan fungsi f f adalahadalah
. Dalam. Dalam pandangan teorema keunikan kita mengenai solusi dari masalah nilai awal (6.16), (6.19), kita pandangan teorema keunikan kita mengenai solusi dari masalah nilai awal (6.16), (6.19), kita menyimpulkan bahwa solusi dari masalah ini harus diberikan oleh (6.24). Samahalnya dengan, solusi dari menyimpulkan bahwa solusi dari masalah ini harus diberikan oleh (6.24). Samahalnya dengan, solusi dari masalah nilai awal (6.17), (6.20) yang diberikan olehmasalah nilai awal (6.17), (6.20) yang diberikan oleh (6.25)
7. Metode Fungsi Hasil Probabilitas. 7. Metode Fungsi Hasil Probabilitas.
Penggunaannya dalam Masalah Sambungan Jaringan Telepon dan Kontrol Penyakit Tropis Penggunaannya dalam Masalah Sambungan Jaringan Telepon dan Kontrol Penyakit Tropis
Pada bagian ini kita akan membahas penggunaan persamaan diferensial parsial linear orde satu untuk Pada bagian ini kita akan membahas penggunaan persamaan diferensial parsial linear orde satu untuk menyelesaikan masalah probabilitas/kemungkinan, yaitu masalah yan timbul pada penyelidikan proses menyelesaikan masalah probabilitas/kemungkinan, yaitu masalah yan timbul pada penyelidikan proses tertentu seperti proses skolastik.
tertentu seperti proses skolastik.
Masalah Sambungan pada Jaringan Telepon Masalah Sambungan pada Jaringan Telepon
Jaringan telepon yang ideal memiliki jumlah saluran tak terbatas, dan asumsinya awal mula dan akhir Jaringan telepon yang ideal memiliki jumlah saluran tak terbatas, dan asumsinya awal mula dan akhir panggilan berada dalam interval waktu *0, ∞+ berdasarkan hipotesis tertentu yang kita
panggilan berada dalam interval waktu *0, ∞+ berdasarkan hipotesis tertentu yang kita jabarkan jabarkan didi
bawah ini. Diketahui bilangan bulat
non-bawah ini. Diketahui bilangan bulat non-negatif n, yang digunakan dalam waktu t, 0 < t <∞, dengannegatif n, yang digunakan dalam waktu t, 0 < t <∞, dengan probabilitas awal Pn(0), 0 ≤ n < ∞, carilah probabilitas Pn(t).
probabilitas awal Pn(0), 0 ≤ n < ∞, carilah probabilitas Pn(t).
Dalam menyatakan hipotesis yang berkenaan dengan permulaan dan penghentian panggilan telepon Dalam menyatakan hipotesis yang berkenaan dengan permulaan dan penghentian panggilan telepon dalam jaringan, kita gunakan simbol o(h) untuk menunjukan kuantitas yang menghentikan lebih cepat dalam jaringan, kita gunakan simbol o(h) untuk menunjukan kuantitas yang menghentikan lebih cepat