memiliki permukaan karakteristik. Nyatanya, vector tak nol
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.1) jika mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.1) jika
(8.18)
(8.18)
∑∑
Menggunakan definisi dari eliptisitas pada bentuk ke-definite positif-an dari bentuk Menggunakan definisi dari eliptisitas pada bentuk ke-definite positif-an dari bentuk kuadrat berasosiasi dengan
kuadrat berasosiasi dengan
[[]]
dapat dilihat bahwa (8.18) tidak dapat dipenuhi oleh vectordapat dilihat bahwa (8.18) tidak dapat dipenuhi oleh vector tak noltak nol
. Oleh karena itu, persamaan eliptik orde dua tidak memiliki arah-arah. Oleh karena itu, persamaan eliptik orde dua tidak memiliki arah-arahkarakteristik. Oleh karena itu, tidak memiliki permukaan karakteristik. Sifat ketidak adaan karakteristik. Oleh karena itu, tidak memiliki permukaan karakteristik. Sifat ketidak adaan karakteristik ini biasanya mendefinisikan persamaan diferensial partial linear eliptik dengan karakteristik ini biasanya mendefinisikan persamaan diferensial partial linear eliptik dengan berorde banyak.
Perhatikan persamaan parabolic selanjutnya dalam bentuk (8.17). vector tak nol Perhatikan persamaan parabolic selanjutnya dalam bentuk (8.17). vector tak nol
(
())
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.17)mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.17) jika (8.18jika (8.18) terpenu) terpenuhi. Ke-definhi. Ke-definite positif-ite positif-an dari bentan dari bentuk kuadrauk kuadrat pada (8.18t pada (8.18) mengak) mengakibatkanibatkan
. Oleh karena itu,. Oleh karena itu,(())
adalah satu-satunya arahadalah satu-satunya arah karakteristik dari (8.17). oleh karena itu, hyperplanekarakteristik dari (8.17). oleh karena itu, hyperplane
adalah satu-satunyaadalah satu-satunya permukaan karakteristik dari (8.17).permukaan karakteristik dari (8.17).
Karakteristik dari persamaan hiperbolik dari bentuk (8.16) lebih rumit lagi. Vector tak nol Karakteristik dari persamaan hiperbolik dari bentuk (8.16) lebih rumit lagi. Vector tak nol
(
())
mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.16)mendefinisikan arah yang karakteristik berkaitan dengan (8.16) jikajika
∑∑
Terdapat tak hingga banyaknya arah yang memenuhi persamaan tersebut dan struktur dari Terdapat tak hingga banyaknya arah yang memenuhi persamaan tersebut dan struktur dari permukaan karakteristik lebih rumit lagi dengan kenyataan bahwa koefisien
permukaan karakteristik lebih rumit lagi dengan kenyataan bahwa koefisien
mungkinmungkin fungsi darifungsi dari
. Karena persamaan gelombang kasus khusus dari (8.16), pembaca harus. Karena persamaan gelombang kasus khusus dari (8.16), pembaca harus mengingat kembali diskusi dari karakteristiknya pada Contoh 10 Bahasan 2. Tiap titik di mengingat kembali diskusi dari karakteristiknya pada Contoh 10 Bahasan 2. Tiap titik di
adalah puncak kerucut karakteristik dari persamaan gelombang. Hal tersebut adalahadalah puncak kerucut karakteristik dari persamaan gelombang. Hal tersebut adalah dua kerucut dengan parallel axis kedua kerucut dengan parallel axis ke
-axis dan generatornya membuat sudut-axis dan generatornya membuat sudut
dengandengan
--axis. Ini membagi ruangaxis. Ini membagi ruang
dalam tiga domain (kecuali ketikadalam tiga domain (kecuali ketika
). Untuk persamaan). Untuk persamaan umum (8.16) lain, tiap titik dikoefisien
koefisien
adalah variable, konoid karakteristik tidak terbangun (not generated) olehadalah variable, konoid karakteristik tidak terbangun (not generated) oleh garis lurus, tapi tetap membagiPrinsip Superposisi Prinsip Superposisi
Misalkan
Misalkan
adalah operator diferensial parsial linier ordeadalah operator diferensial parsial linier orde
didi
,, (9.1)(9.1)
∑∑ ||||
dimana
dimana
. Misalkan. Misalkan
dandan
sebarang konstanta, makasebarang konstanta, maka (9.2) (9.2)
dan dan (9.3) (9.3)∑∑ |||| ∑∑ |||| ∑∑ ||||
atau dapat ditulis atau dapat ditulis
(9.4)
(9.4)
Fungsi
Fungsi
dandan
merupakan dua buah fungsi yang cukup terdiferensialkan.merupakan dua buah fungsi yang cukup terdiferensialkan. Dalam aljabar linear, dapat dinyatakan bahwa pada persamaan (9.4)Dalam aljabar linear, dapat dinyatakan bahwa pada persamaan (9.4)
bekerja pada fungsibekerja pada fungsi
sebagai transformasi linear. Lebih
sebagai transformasi linear. Lebih tepatnya , jika tepatnya , jika kita hanya kita hanya mempertimbangkanmempertimbangkan
fungsi dalamfungsi dalam CCmm(), di mana adalah domain di R (), di mana adalah domain di R nn, maka, maka
adalah transformasi linear dari ruang vektor Cadalah transformasi linear dari ruang vektor Cmm ()() ke ke ruang ruang vektor vektor CC00 (). Sebagai konsekuensi dari properti linearitas (9.4) dari P, solusi(). Sebagai konsekuensi dari properti linearitas (9.4) dari P, solusi dari dari persamaan homogen persamaan homogen (9.5) (9.5)
Memiliki ciri superposisi, jika
Memiliki ciri superposisi, jika
dandan
adalah sembarang dua solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang dua solusi dari persamaan diferensial homogen danhomogen dan
dandan
sebarang konstanta, maka kombinasi linearnya,sebarang konstanta, maka kombinasi linearnya,
juga juga merupakan solusi persamaan tersebut. Kombinasi tersebut disebutmerupakan solusi persamaan tersebut. Kombinasi tersebut disebut superposisisuperposisi.. Prinsip superposisi dapat digenerlisasi untuk sebanyak
Prinsip superposisi dapat digenerlisasi untuk sebanyak
solusi yang dibuat kombinasi linearnya,solusi yang dibuat kombinasi linearnya, yaitu jikayaitu jika
merupakan solusi persamaan diferensial (9.5), makamerupakan solusi persamaan diferensial (9.5), maka (9.6)Contoh 9.1 Contoh 9.1
Persamaan Laplace
Persamaan Laplace
memiliki solusimemiliki solusi
dandan
. Berdasarkan. Berdasarkan prinsip superposisi, makaprinsip superposisi, maka
adalah solusi untuk persamaan laplace tersebut. adalah solusi untuk persamaan laplace tersebut.
Untuk bentuk superposisi pada jumlah yang tak terbatas, misalkan
Untuk bentuk superposisi pada jumlah yang tak terbatas, misalkan
merupakan solusimerupakan solusi untukuntuk
dan seterusnya.Misalkan deretdan seterusnya.Misalkan deret
konvergen. Akan ditunjukkan konvergen. Akan ditunjukkan
((∑∑
Perhatikan bahwa Perhatikan bahwa
((∑∑
((
= =
((
((
= =
((
) ) ++
((
) + …) + … = =
= 0 = 0 Kita jugaKita juga dapat membentuk superposisi dapat membentuk superposisi keluarga satu-parameter solusi dari (9.5). keluarga satu-parameter solusi dari (9.5). MisalkanMisalkan untuk setiap nilai
untuk setiap nilai parameter parameter λ pada interval I λ pada interval I di R di R 11, fungsi, fungsi
adalah solusi dari (9.5), yaituadalah solusi dari (9.5), yaitu
= 0 , untuk setiap= 0 , untuk setiap
Lebih lanjut, g fungsi bernilai real yang terdefinisi pada I, Misalkan integral Lebih lanjut, g fungsi bernilai real yang terdefinisi pada I, Misalkan integral
konvergen. Maka fungsi konvergen. Maka fungsi
Juga merupakan solusi untuk (9.5) dengan ketentuan Juga merupakan solusi untuk (9.5) dengan ketentuan
** ++
==
Yaitu asalkan
Yaitu asalkan
dapat ditukar. Kita juga dapat membentuk solusi superposisi untuk (9.5) yangdapat ditukar. Kita juga dapat membentuk solusi superposisi untuk (9.5) yang bergantung pada beberapa parameter.bergantung pada beberapa parameter.
Misalkan
Misalkan
,,
merupakan keluarga satu-parameter untuk solusi (9.5), dan anggapmerupakan keluarga satu-parameter untuk solusi (9.5), dan anggap superposisi darisuperposisi dari
Yang merupakan solusi untuk (9.5) juga bergantung pada parameter h. Andaikan limit Yang merupakan solusi untuk (9.5) juga bergantung pada parameter h. Andaikan limit
ada. ada. Maka Maka fungsifungsi
juga solu
juga solusi untuk (9.5si untuk (9.5) asalkan) asalkan
Saat valid, semua metode superposisi memungkinkan kita untuk menambah koleksi solusi dari Saat valid, semua metode superposisi memungkinkan kita untuk menambah koleksi solusi dari persamaan homogen ke sebuah koleksi solusi yang lebih besar. Kita akan melihat banyak contoh persamaan homogen ke sebuah koleksi solusi yang lebih besar. Kita akan melihat banyak contoh mengenai hal ini di bab selanjutnya.
mengenai hal ini di bab selanjutnya.
Ini menunjukkan bahwa prinsip superposisi berlaku untuk persamaan diferensial parsial yang Ini menunjukkan bahwa prinsip superposisi berlaku untuk persamaan diferensial parsial yang linear dan tidak valid untuk persamaan diferensial parsial yang tidak linear.
linear dan tidak valid untuk persamaan diferensial parsial yang tidak linear.
Soal 9.1 Soal 9.1 Misalkan
Tunjukkan bahwa fungsi
Tunjukkan bahwa fungsi
dandan
merupakan solusi persamaanmerupakan solusi persamaan homogenhomogen
dimanadimana
++
bukan merupakan solusi.bukan merupakan solusi. Jawab : Jawab : →→
,,
→→
,,
Jadi,Jadi,
dandan
solusi.solusi. Untuk Untuk
++ →→
,,
Jadi,Pertanyaan-Pertanyaan: Pertanyaan-Pertanyaan:
Mengapa kita tidak boleh mengasumsikan bahwa a,b,c tidak boleh hilangMengapa kita tidak boleh mengasumsikan bahwa a,b,c tidak boleh hilang secara bersamaan?
secara bersamaan?
Karena di Teorema (7.1) sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang Karena di Teorema (7.1) sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang hilang secara simultan secara bersama-sama. Pada klasifikasi bentuk hilang secara simultan secara bersama-sama. Pada klasifikasi bentuk kanonik orde pertamapun sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang kanonik orde pertamapun sudah dijelaskan bahwa a,b,c tidak boleh hilang secara bersamaan.
secara bersamaan.
Menurut pendapat kami, jika a,b,c hilang secara bersama-sama maka Menurut pendapat kami, jika a,b,c hilang secara bersama-sama maka hasilnya akan tidak ada atau nol. Dan
hasilnya akan tidak ada atau nol. Dan pengerjaan tidak dapat dilakukan.pengerjaan tidak dapat dilakukan. Mengapa Jacobian tidak boleh sama dengan nol?Mengapa Jacobian tidak boleh sama dengan nol?
Tujuannya agar persamaan yang di olah kedalam bentuk kanonik dapat di Tujuannya agar persamaan yang di olah kedalam bentuk kanonik dapat di balik atau dikembalikan seperti persamaan awal. Membuat persamaan balik atau dikembalikan seperti persamaan awal. Membuat persamaan menjadi bentuk kanonik agar lebih mudah di selesaikan dibanding jika menjadi bentuk kanonik agar lebih mudah di selesaikan dibanding jika persamaan masih dalam bentuk persamaan diferensial
1 1
BAB VI BAB VI
PERSAMAAN-PERS
PERSAMAAN-PERSAMAAN FISIKA AMAAN FISIKA MATEMATIKAMATEMATIKA
Pada Bab ini kita akan membicarakan tiga dari banyaknya Pada Bab ini kita akan membicarakan tiga dari banyaknya persamaan-persamaan diferensial parsial orde dua yang paling pentingyang adadalam persamaan diferensial parsial orde dua yang paling pentingyang adadalam fisikamatematika:persamaankalor/panas, persamaan Laplace, fisikamatematika:persamaankalor/panas, persamaan Laplace, danpersamaangelombang. Pada bagian 1 kita akan mengingat kembali danpersamaangelombang. Pada bagian 1 kita akan mengingat kembali pernyataanteorema divergensidankitamemperolehdua integral identitas yang pernyataanteorema divergensidankitamemperolehdua integral identitas yang berguna yang dikenalsebagaiIdentitas Green. Pada bagian 2, kita memperoleh berguna yang dikenalsebagaiIdentitas Green. Pada bagian 2, kita memperoleh persamaan konduksi kalor/panas dan menggambarkan berbagai macam masalah persamaan konduksi kalor/panas dan menggambarkan berbagai macam masalah nilai batas awal yang dikaitkan dengannya. Pada bagian 3, kita nilai batas awal yang dikaitkan dengannya. Pada bagian 3, kita memaparkanfenomena yang berkaitan dengan fisika, dikenal sebagai fenomena memaparkanfenomena yang berkaitan dengan fisika, dikenal sebagai fenomena keadaan tetap,
keadaan tetap, yang diatur dalam persamaan Laplace’s. Pada bagian 4yang diatur dalam persamaan Laplace’s. Pada bagian 4, kita akan, kita akan memaparka
memaparkan tentang fenomena fisika n tentang fenomena fisika untuk satu, dua, dan untuk satu, dua, dan tiga dimensi persamaantiga dimensi persamaan gelombang. Terakhir, pada bagian 5 kita mendefinisikan apaitumasalah gelombang. Terakhir, pada bagian 5 kita mendefinisikan apaitumasalah well- well- posed
posed yang dikaitkandenganpersamaandiferensialparsial,dan diberikan contohyang dikaitkandenganpersamaandiferensialparsial,dan diberikan contoh yang
yang well-posed well-posed dan yang tidak.dan yang tidak.
1.
1. Teorema Divergensi dan Identitas GreenTeorema Divergensi dan Identitas Green
Teorema divergensi adalah salah satuteorema yang paling berguna dalam Teorema divergensi adalah salah satuteorema yang paling berguna dalam persamaan diferensial parsial. Teorema Divergence ini biasanya dipelajari di persamaan diferensial parsial. Teorema Divergence ini biasanya dipelajari di Kalkulus lanjutan. Pada bab ini kita mengingat kembalipernyataan teorema Kalkulus lanjutan. Pada bab ini kita mengingat kembalipernyataan teorema Divergensi dan mencoba untuk mengaplikasikannya.
Divergensi dan mencoba untuk mengaplikasikannya. Misalkan Ω merupakan
Misalkan Ω merupakan domain yang terbatas didomain yang terbatas di
dengandengan kondisisebagkondisisebagaiberikut aiberikut :: (a)
(a) PembatasPembatas
daridari Ω terdiri dariΩ terdiri dari sejumlahpermukaanmulus yangsejumlahpermukaanmulus yang berhingga. (ingat lagi bahwa permukaan mulus adalah permukaanketinggian berhingga. (ingat lagi bahwa permukaan mulus adalah permukaanketinggian dari fungsi didari fungsi di
dengan gradien yang taknol.)dengan gradien yang taknol.) (b)(b) Sebarang Sebarang garis garis lurus lurus yangsejajarkesebarangsumbu-sumbukoordinatyangsejajarkesebarangsumbu-sumbukoordinat memotong
memotong
disejumlahtitik-titik yang berhinggaatau mempunyaiseluruhdisejumlahtitik-titik yang berhinggaatau mempunyaiseluruh interval yang bersamaan2 2
Misalkan
Misalkan
merupakan vektor normal satuanterhadapmerupakan vektor normal satuanterhadap
mengarah langsung ke bagian luar
mengarah langsung ke bagian luar daridari
(lihat gambar 1.1).Misalkan(lihat gambar 1.1).MisalkanGambar 1.1 Gambar 1.1
(())
merupakanmedanvektor yang terdefinisipadapenutup
merupakanmedanvektor yang terdefinisipadapenutup
daridari
sedemikiansedemikian sehingga setiapsehingga setiap komponen-kompokomponen-komponen fungsinen fungsi
berada diberada di
dandan
,, danandaikdanandaikanbahwa integral anbahwa integral daridari
∭∭
adalah konvergen. adalah konvergen.
Berdasarkan
Berdasarkanasumsi-asumsi diatas asumsi-asumsi diatas padapada
dandan
, , teorema teorema divergensi divergensi menyatakanmenyatakan bahwabahwa
3 3
∭∭ ∬(∬( ))
dimana
dimana
adalah bagian dari permukaanadalah bagian dari permukaan
. Integran pada sebelah kiri dari. Integran pada sebelah kiri dari persamaanpersamaan
dikenal sebagai divergensi dari medanvektordikenal sebagai divergensi dari medanvektor
dan dinotasikandan dinotasikan sebagaisebagai
Dimana
Dimana
. Integranpada sebelah kanan dari. Integranpada sebelah kanan dari persamaanpersamaan
adalah komponen dariadalah komponen dari
yang memberi arah dari bagian luaryang memberi arah dari bagian luar untuk batasuntuk batas
. Jika dinotasikan sebagai vektor maka persamaan. Jika dinotasikan sebagai vektor maka persamaan
bisabisa dituliskan sebagaidituliskan sebagai
∭ ∭ ∬ ∬
atau, dalamnotasi yang lebihkompak, atau, dalamnotasi yang lebihkompak,
∫∫ ∫∫
Teoremadivergensimenyatakanbahwajika domain
Teoremadivergensimenyatakanbahwajika domain
danmedanvektordanmedanvektor
memenuhikondisi-kondisi di atas, maka integral atasmemenuhikondisi-kondisi di atas, maka integral atas
daridari divergensi daridivergensi dari
adalah sama dengan integral atas batasadalah sama dengan integral atas batas
daridari
dari komponendari komponen
yang mengarah vektor normal luar yang mengarah vektor normal luar terhadapterhadap
.. KondisiKondisi
dandan
bukan merupakan kondisi yang paling umum padabukan merupakan kondisi yang paling umum pada domaindomain
yang memenuhi teorema divergensi.Kondisi-kondisi yang lebih umumyang memenuhi teorema divergensi.Kondisi-kondisi yang lebih umum dapat ditemukan, contohnya, dalambukuKellog.Domain-domain yang dapat ditemukan, contohnya, dalambukuKellog.Domain-domain yang memenuhikondisiumuminidisebut “normal”.Tentunyasemua domain memenuhikondisiumuminidisebut “normal”.Tentunyasemua domain yangdipertimba4 4 DuapenerapandariteoremadivergensidikenaldenganIdentitas Green.Kita DuapenerapandariteoremadivergensidikenaldenganIdentitas Green.Kita gunakannotasibiasadarikalkulusvektor. gunakannotasibiasadarikalkulusvektor. Jika
Jika
, maka gradien, maka gradien
didefinisikan dengandidefinisikan dengan
dan divergen gradien
dan divergen gradien
didefinisikan dengandidefinisikan dengan
Operator differensial parsial
Operator differensial parsial
dikenal sebagai operator Laplace dan jugadikenal sebagai operator Laplace dan juga disimbolkan oleh disimbolkan oleh
.. Identitas differensial Identitas differensial
.. AndaikanAndaikan
dandan
dan integraldan integral∫∫
konvergen
konvergen. Maka, pengintegralan dari . Maka, pengintegralan dari persamaan (1.9) ataspersamaan (1.9) atas
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
Pengaplikasian teorema divergensi untuk integral pertama (dengan medan vektor Pengaplikasian teorema divergensi untuk integral pertama (dengan medan vektor
) dan penggunaan fakta bahwa) dan penggunaan fakta bahwa
adalah turunan langsungadalah turunan langsung
, maka, makaakan diperoleh identitas Green pertama akan diperoleh identitas Green pertama
5 5
Pertukaran
Pertukaran
dengandengan
(pada persaman 1.9) dan pengurangan kedua(pada persaman 1.9) dan pengurangan kedua persamaannya akan menghasilkanpersamaannya akan menghasilkan
(1.11)
(1.11)
.. JikaJika
dandan
dan integraldan integral∫∫
konvergen, maka pengintegralan persamaan (1.11) atas
konvergen, maka pengintegralan persamaan (1.11) atas
dan pengaplikasiandan pengaplikasian teorema divergensi akan menghasilkan identitas Green keduateorema divergensi akan menghasilkan identitas Green kedua
(1.12)
(1.12)
.. Identitas GreenIdentitas Green iniakandigunainiakandigunakandalammempelakandalammempelajaripersamaan Laplace (Bab jaripersamaan Laplace (Bab VII).VII).
Teoremadivergensidanidentitas Green Teoremadivergensidanidentitas Green benaruntukmedanvektordanfungsi-fungsidarisebarangvariabel-variabelbebas. fungsidarisebarangvariabel-variabelbebas. Masalah-Masalah Masalah-Masalah 1.1.Periksaidentitasdiferensial 1.1.Periksaidentitasdiferensial
.. Solusi : Akan ditunjukkanSolusi : Akan ditunjukkan
Perhatikanpe
Perhatikanpersamaan di rsamaan di sisikirisisikiri
6 6
kemudian, kemudian,
karena karena
maka, terbuktibahwa maka, terbuktibahwa
1.2.1.2. MisalkanMisalkan
berada diberada di
dan didan di
, dimana, dimana
adalah domainadalah domain terbatas yang normal diterbatas yang normal di
, dan andaikan bahwa, dan andaikan bahwa
didi
dimana
dimana
adalah batas dariadalah batas dari
. Tunjukkan bahwa. Tunjukkan bahwa
didi
. [petunjuk: pada. [petunjuk: pada identitas Green pertama aturidentitas Green pertama atur
juga gunakan fakta bahwa jika integraljuga gunakan fakta bahwa jika integral atasatas
dari fungsi kontinu yang nonnegatif sama dengan nol, maka fungsidari fungsi kontinu yang nonnegatif sama dengan nol, maka fungsi teridentifikasi diteridentifikasi di
.. 1.3.1.3. MisalkanMisalkan
berada diberada di
dan didan di
, dimana, dimana
adalah domainadalah domain terbatas yang normal diterbatas yang normal di
, dan andaikan bahwa, dan andaikan bahwa
didi
7 7
Tunjukkanbahwa
Tunjukkanbahwa
konstan dikonstan di
1.4.
1.4. MisalkanMisalkan
menjadi solusi nontrivial darimenjadi solusi nontrivial dari
dimana
dimana