1. Edit
Pada menu Edit terdapat beberapa pilihan yaitu:
a. Edit Undo, digunakan untuk membatalkan perintah sebelumnya.
b. Edit Cut, digunakan untuk menghapus blok tulisan pada papan editor.
c. Edit copy dan Edit paste merupakan menu yang berfungsi secara simultan. Fungsinya untuk menyalin suatu blok pada papan editor.
d. Edit Find replace digunakan untuk mencari huruf /kata tertentu pada papan editor dan kalau perlu menggantinya.
e. Edit Option digunakan untuk mengisi beberapa metode optimasi dan system literasi
yang diperlukan untuk mendapatkan solusi proses optimisasi.
f. Edit Go To Line, digunakan untuk menggerakan korsorpada baris tertentu pada papan editor.
g. Edit Paste Syimbol, digunakan untuk menggandakan simbol (variable) yang dipakai pada kasus optimasi yang sedang di bahas.
h. Edit select All, digunakan untuk papan editor yang sedang diaktifkan.
i. Edit Clear All, digunakan untuk memebersihkan seluruh isi papan editor yang sedang diaktifkan.
j. Edit Choose-New-Front, digunakan untuk memilih bentuk huruf yang akan digunakan untuk penulisan pada papan editor.
Modul Matematika Materi Program Linear 11
Linear INteractive Discrete Optimizer (LINDO)
1. Reports
Pada menun reports ini terdapat beberapa sub menu seperti berikut.
a. Report Solution, digunakan untuk mendapatkan solusi optimal dari permasalahan program linear yang tersaji pada papan editor data.
b. Report Range, digunakan untuk
menayangkan hasil
penyelesaian analisis sensivitas. Pada analisis sensivitas yang ditayangkan mencakup aspek Allowable Increase dan Allowable Decrease.
c. Report Parametrics, digunakan untuk mengubah dan
menampilkan hasil hanya pada baris kendala tertentu saja.
d. Report Statistics, digunakan untuk mendapatkan laporan kecil pada papan editor report.
e. Report Peruse, digunakan untuk menampilkan sebagian dari model atau jawaban.
f. Report Picture, digunakan untuk menampilkan (display) model dalam bentuk matriks.
g. Report Basis Picture, digunakan untuk menampilkan text format dari nilai basis, dan disajikan sesuai urutan baris dan kolom.
h. Report Table, digunakan untuk menampilkan tabel simplek dari model yang ada.
i. Report Formulation, digunakan untuk menampilkan model pada papan editor data ke papan editor report.
j. Report Show Coloum, digunakan untuk menampilkan koefisien peubah.
Modul Matematika Materi Program Linear 12
1. Window
Pilihan menu window digunakan untuk memilih window yang akan diaktifkan.
Kursor akan aktif pada window yang telah terpilih. Setelah di klik window, maka akan tersaji beberapa alternatif pilihan, antara lain: Window open Command-Window, Window Status-Window, Window Sent to Back, Window Cascade, Window Tile – Window, Window Arang-Icon.
2. Help
Pada menu Help merupakan menu bantuan yang digunakan ketika user tidak memahami cara menggunakan software LINDO, atau ingin mengetahui tentang LINDO.
Selain itu, pada layar halaman utama akan tampak beberapa menu. Pada halaman utama software Lindo terdapat pula kolom kerja (untitled) yang akan diisikan perintah- perintah sesuai kebutuhan.
Modul Matematika Materi Program Linear 13
Modul Matematika Materi Program Linear 14 KEGIATAN BELAJAR
Indikator KD 3.2 Indikator KD 4.2
3.2.1 Mendefinisikan pertidaksamaan linear dua variabel.
3.2.2 Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear yang kontekstual.
3.2.3 Menentukan penyelesaian suatu per-tidaksamaan linear dua variabel.
3.2.4 Menemukan syarat pertidaksamaan memiliki penyelesaian.
3.2.5 Menemukan syarat pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian..
4.2.1 Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan pertidaksamaan linear lainnya.
4.2.2 Menyusun pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu masalah kontekstual.
4.2.3 Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel.
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar berlangsung.
2. Menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah program linear dua variabel.
3. Menjelaskan pertidaksamaan linear dua variabel.
4. Membentuk model matematika dari suatu masalah kontekstual.
5. Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan yang lainnya.
6. Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel baik secara analisis maupun secara geometris.
Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:
a1x a2y b..Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut. a1x1 a2x2 . . . anxn b dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real. Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b1 a21x1 a22x2 . . . a2nxn b2
an1x1 an2x2 . . . amnxn bn
dengan x1, x2, . . ., xn adalah variabel a11, a12, . . ., a1n, a21, a22, . . ., a2n, . . ., amn adalah konstanta real.
Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “ ” diganti dengan “ ” , “ ”, “ ”, “ ”. Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x y 2.
Modul Matematika Materi Program Linear 15 Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dengan x y 3, x 3y 3 0, dan x 0.
JAWAB:
Daerah yang di arsir berikut merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x y 3, x 3y 3 0, dan x 0.
Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari -hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.
Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.
Pada mesin I : 2x 5y 800 ….
Persamaan 1
Pada mesin II : 8x 4y 800 .…
Persamaan 2
Pada mesin III : 10 x 800 .…
Persamaan 3
x, y bilangan asli : x 0, y 0 .…
Persamaan 4
Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan k euntungan adalah f(x, y) 40.000x 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.
Modul Matematika Materi Program Linear
Modul Matematika Materi Program Linear 14 16 DEFINISI MODEL MATEMATIKA:
Model matematika adalah salah satu cara sederhana untuk menterjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan kaidah dalam persamaan, atau pertidaksamaan, atau-pun fungsi.
Pada kelas pembelajaran sebelumnya Anda telah mempelajari SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel), dalam materi kali ini kita akan membahas SPtLDV (Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel). Pada dasarnya, prinsip yang digunakan pada persamaan atau SPLDV juga sama dengan prinsip yang digunakan dalam menyelesaian maasalah pada pertidaksamaan atau SPtLDV, yakni menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel tersebut.
CONTOH SOAL
Di sebuah toko peralatan sekolah terdapat berbagai jenis perlengkapan kebutuhan sekolah. Putri akan berbelanja di toko tersebut dengan uang yang tersedia Rp 250.000,00,-. Harga setiap barang di toko tersebut telah disediakan dalam daftar harga yang terpajang di dekat barang tersebut, sehingga para pembeli dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang cukup mereka beli dengan uang yang dimiliki. Berdasarkan daftar harga barang, jika Putri membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Buatlah model pertidaksamaan harga belanjaan Putri.
Modul Matematika Materi Program Linear 17
Modul Matematika Materi Program Linear 15
Modul Matematika Materi Program Linear 18 PENYELESAIAN:
Putri membeli : 2 seragam sekolah 3 buku
Dari uang yang di bawa Putri berbelanja yakni Rp 250.000,00, ia masih mendapat uang kembalian.
Berapakah harga belanjaan Putri?
RME : Menyelesaikan Masalah
Misalkan : 𝑥 = harga seragam sekolah ; 𝑦 = harga buku 2𝑥 + 3𝑦 < 250.00
Carilah semua kemungkinan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦 yang memenuhi 2𝑥 + 3𝑦 < 250.000
a. Untuk mengisi tabel diatas, berikan penjelasan jika 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 90.000
b. Perkirakanlah berdasarkan realiata di kehidupan sehari-hari mu, berapakah harga paling mahal untuk 1 baju seragam dan harga paling mahal untuk 1 buku yang mungkin dibeli oleh Putri?
Jelaskan.
Setelah kamu mencari semua kemungkinan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦 yang memenuhi 2𝑥 + 3𝑦 < 250.000 kamu akan menemukan bahwa,
RME : Membandingkan, mendiskusikan, dan menyimpulkan
Misalkan 𝑥 = 100.000 dan 𝑦 = 10.000 sedemikian sehingga menjadikan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 <
250.00 adalah bernilai benar, karena 200.000 + 30.000 = 230.000, dan 230.000 < 250.000. Sehingga perkiraan harga belanjaan Putri adalah Rp 230.000.
Catatan : Jika kamu menggunakan grafik daerah penyelesaian, maka kamu dapat memilih titik yang tak berhingga banyaknya yang terdapat pada daerah penyelesaian.
RME : Memahami Konteks
RME : Menjelaskan Masalah
Modul Matematika Materi Program Linear 19 SPtLDV (Sistem Pertidaksamaaan Linear Dua Variabel) adalah pertidaksamaan yang berbentuk:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0
Dimana:
𝑎, 𝑏 : koefisien (𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅) 𝑐 : konstanta (𝑐 ∈ 𝑅)
𝑥, 𝑦 : variabel (𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅)
Modul Matematika Materi Program Linear 20 KEGIATAN BELAJAR
Indikator KD 3.2 Indikator KD 4.2
3.2.6 Mendefinisikan program linear dua variabel.
3.2.7 Mendefinisikan daerah penyelesaian suatu masalah program linear dua variabel.
3.2.8 Mendefinisi fungsi tujuan suatu masalah program linear dua variabel.
4.2.4 Membentuk model matematika suatu masalah program linear dua variabel.
4.2.5 Menyelesaikan masalah program linear dua variabel.
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menjelaskan definisi program linear dua variabel.
2. Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear dua variabel.
3. Menjelaskan definisi daerah penyelesaian.
4. Menjelaskan fungsi tujuan.
Modul Matematika Materi Program Linear 21 Program Linear erat kaitannya dengan masalah kehidupan sehari-hari. Setiap orang mempunyai tujuan masing-masing. Namun, ketika ingin mencapai tujuan tersebut pasti setiap orang juga mempunyai kendalanya masing-masing. Misalnya, petani yang ingin memanen hasil ladang sebanyak-banyaknya, akan tetapi tekendala oleh faktor cuaca yang buruk bahkan adanya serangan hama yang terkadang tidak mudah untuk diatasi.
CONTOH SOAL
Disebuah wilayah terdapat sekelompok tani transmigran yang mendapatkan 10 hektar tannah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Kareana keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagaian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1.550 jam/orang, pupuk pun juga terbatas, tak lebih dari 460 kg, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula, bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam/orang tenaga dan 5 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam/orang tenaga dan 3 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi perhektar atau 20 kuintal jagung perhektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 40.000,00 sedangkan dari 1 kuintal jagung Rp 30.000,00 dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual.
Masalah bagi para petani ialah bagaimana rencana produksi yang memaksimumkan pendpatan total?
Artinya, berapa hektar tanah yang harus ditanami padi dan berapa hektar tanah yang harus di tanami jagung?
Modul Matematika Materi Program Linear 22 PENYELESAIAN:
RME : Memahami Konteks
Diketahui : 1 hektar = 50 kuintal padi = 0,02 hektar
Begitu pula untuk 1 kuintal jagung = 0,05 hektar RME : Menjelaskan Masalah
Catatan:
1. Satuan jam-orang adlah banyak orang kali banyak jam bekerja. Anggaplah bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama.
2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah.
3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.
RME : Menyelesaikan Masalah
Misalkan : 𝑥 : banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani 𝑦 : banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani Untuk memperoleh pendapatan terbesa, pikirkanlah keterbatasan berikut:
a. Banyak hektar yang diperlukan tidak lebih dari 10 hektar b. Ketersedian waktu tidak lebih 1.550 jam-orang
c. Jumlah pupuk untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kg
d. Pendapatan yang diharapkan Rp 40.000,00 untuk 1 kuintal padi dan Rp 30.000,00 untuk 1 kuintal jagung.
RME : Membandingkan dan Mendiskusikan
Model matematika dari SPtLDV
0,02𝑥 + 0,05𝑦 ≤ 10 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 1000 → kendala lahan 10𝑥 + 8𝑦 ≤ 1550 atau 10𝑥 + 8𝑦 ≤ 1550 → kendala tenaga
5𝑥 + 3𝑦 ≤ 460 5𝑥 + 3𝑦 ≤ 460 → kendala pupuk
Modul Matematika Materi Program Linear 23 𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
RME : Menyimpulkan
Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini kelompok tani hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturut-turut Rp 40.000,00 dan Rp 30.000,00. Rumusan ini disebut fungsi tujuan ; sebut 𝑍(𝑥, 𝑦). Secara matematika dituliskan sebagai berikut:
𝑍(𝑥, 𝑦) = 40𝑥 + 30𝑦 (dalam satuan ribuan rupiah).
Informasi : Penyelesaian pada soal ini, Anda dapat gunakan software LINDO
Modul Matematika Materi Program Linear 24 1. Tuliskan pada program LINDO
MAX 40x + 30y st
2x + 5y <= 1000 10x + 8y <= 1550 5x + 3y <= 460 END
2. Akan keluar tampilan LINDO Solver Status dan Reports Window
3. Hasil dari pengerjaan menggunakan bantuan LINDO pada layer Reports Window.
4. Selamat Mencoba
Tuliskan jawaban LINDO mu:
Modul Matematika Materi Program Linear 25 Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai 𝑥1, 𝑥2 yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan
𝑍(𝑥1,𝑥2) = 𝐶1𝑥1+ 𝐶2𝑥2 dengan kendala :
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2(≤, =, ≥)𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2(≤, =, ≥)𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2(≤, =, ≥)𝑏𝑚 𝑥1≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
DEFINISI 3
Daerah layak/daerah penyelesaian/daerah optimum program linear merupakan himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear.
Modul Matematika Materi Program Linear 26 TES HASIL BELAJAR
Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir. Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persedian bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I di jual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga Rp 100.000,00 per-rangkaian.
Modelkan masalah tersebut ke dalam model matematika dan buatlah kecocokan hasilnya dan cek kevalidan hasilnya menggunakan bantuan software LINDO.
1
Modul Matematika Materi Program Linear 27
Modul Matematika Materi Program Linear 28 2
Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. harga tiap-tiap 1 tablet, Rp 1.500,00 dan RP 2.000,00.
Modelkan masalah tersebut ke dalam model matematika dan buatlah kecocokan hasilnya dan cek kevalidan hasilnya menggunakan bantuan software LINDO.
Modul Matematika Materi Program Linear 29
1. Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah
• ax + by ≥e
• cx + dy ≤ f
2. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan disebut daerah layak.
3. LINDO (Linear INteractive Discrete Optimizer) software ini dapat menyelesaikan permasalahan program linier dengan mudah, cepat dan akurat bahkan mampu menyelesaikan masalah program linier sampai 100 constraints (fungsi kendala) dengan 200. Prinsip kerja yang utama dari program LINDO adalah memasukkan rumus, menyelesaikannya serta menaksir kebenaran dan kelayakan rumus berdasarkan penyelesaiannya. Rumus yang dimaksud di sini adalah dalam bentuk Matematika.
KESIMPULAN
Modul Matematika Materi Program Linear 30
Manullang, S, dkk. 2017. Buku Guru/Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta:
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Manullang, S, dkk. 2017. Buku Siswa/Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta:
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Sugiartha, I. Software LINDO, Staff Gunadarma. Retrieved from sugiartha.staff.gunadarma.ac.id
Wijaya, A. 2012. Pendidikan Matematika Realistik. Yogyakarta: Graha Ilmu
Modul Matematika Materi Program Linear 31
Sheffira Destavania Nelriz merupakan mahasiswa aktif semester VII di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi angkatan 2016. Menempuh pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 09 Kota Jambi pada tahun 2004 dan lulus pada tahun 2010.
Kemudian, melanjutkan ke pendidikan sekolah menengah pertama, SMP Negeri 11 Kota Jambi pada tahun 2010 dan lulus pada tahun 2013. Kemudian, melanjutkan ke sekolah menengah atas, SMA Negeri 4 Kota Jambi jurusan Matematika Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) pada tahun 2013 dan lulus pada tahun 2016.
Juara kelas telah diraih selama bersekolah di tingkat Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama, dan Sekolah Menengah Atas. Pernah mengikuti dan menjadi juara lomba maupun olimpiade pada jenjang sekolah tingkat SMP dan beberapa kali mengikuti kegiatan dan perlombaan seni tari tradisional pada jenjang sekolah tingkat SMP maupun di SMA. Menjadi juara ke-3 dalam pemilihan Gadis IMATIKA FKIP Universitas Jambi pada tahun 2016.
Organisasi yang pernah diikuti selama bersekolah yaitu Seni Tari Tradisional, Pramuka, Organisasi Siswa Intra Sekolah (OSIS), dan Paskibra.
Saat ini, Penulis sedang menyelesaikan Skripsi guna memperoleh gelar Sarjana Pedidikan Matematika. Semoga pendidikan yang ditempuh mendapatkan kelancaran sampai akhir dan mendapat nilai terbaik. Semoga hasil dari pendidikan yang di tempuh dapat bermanfaat dan dapat menjadi seorang pendidik yang sebaik-baiknya. Aamiin Allahumma Aamiin.