BAB II LANDASAN TEORI
F. Menghitung Volume Bangun Ruang Sisi Datar
2. Satuan Volume
Untuk menghitung volume bangun ruang sisi datar, terdapat istilah satuan volume. Salah satu contoh satuan volume adalah kubus satuan. Jika kubus satuan panjang rusuknya 1 cm, maka volume kubus satuan = 1 cm x
28
1 cm x 1 cm = 1 cm3. Jika satuan volume m3, artinya panjang rusuk satuan adalah 1 m. Satuan volume selain kubik adalah liter. 1000 dm3= 1 liter. 3. Volume Prisma dan Limas
Dalam Travers (1987) disebutkan Postulat 21, yang berbunyi volume paralelepipedum siku-siku adalah hasil kali dari tinggi dan luas alas dari bangun tersebut, yaitu V = Ah dengan V adalah volume bangun ruang, A adalah luas alas bangun ruang, dan h adalah tinggi bangun ruang.
Dalam Suwarsono (2002) disebutkan Prinsip Cavalieri. Prinsip Cavalieri: Jika dua bangun ruang mempunyai tinggi yang sama, dan jika bidang-bidang yang sejajar dengan alas dan berjarak sama dari alas selalu membuat irisan pada kedua bangun ruang itu yang luasnya sama, maka kedua bangun ruang itu mempunyai volum yang sama.
Teorema 14.13, Volume setiap prisma adalah hasil kali dari tinggi prisma dan luas alas prisma.
Gambar 2.1 Prisma untuk Teorema 14.13
Diketahui sebuah prisma dan sebuah paralelepipedum, yang masing-masing memiliki tinggi h dan luas alas A dan keduanya terletak pada bidang E. Untuk membuktikan volume sebuah prisma adalah hasil kali tinggi prisma dan luas alas prisma digunakan Postulat 21, Teorema
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14.8, dan Prinsip Cavalieri. Postulat 21 menyatakan volume paralelepipedum adalah hasil kali dari tinggi dan luas alas, yaitu V = Ah. Berdasarkan Teorema Irisan Melintang Prisma (Teorema 14.8) yang berbunyi semua irisan melintang dari sebuah prisma memiliki luas yang sama dan dengan Prinsip Cavalieri dapat disimpulkan prisma dan paralelepipedum tersebut memiliki volume (V) yang sama. Berdasarkan Postulat 21, volume paralelepipedum adalah Ah, maka volume prisma yang lain juga Ah. Jadi, untuk setiap prisma V = Ah.
Prinsip Cavalieri juga berlaku pada Teorema Irisan Melintang Limas yang memenuhi untuk menentukan volume limas. Pertama, akan dibuktikan bahwa dua limas dengan tinggi dan luas alas yang sama memiliki volume yang sama.
Dalam Travers (1987) Teorema 14.14 menyatakan jika dua limas memiliki tinggi yang sama dan luas alas yang sama, maka kedua limas memiliki volume yang sama.
Gambar 2.2 Limas untuk Pembuktian Teorema 14.14 Diketahui dua limas seperti pada gambar di atas yang masing-masing memiliki tinggi h dan luas alas A. Akan dibuktikan bahwa kedua limas memiliki volume yang sama. Berdasarkan Teorema Irisan Melintang
30
Limas (Teorem tinggi yang sa irisan melintang sama.”, maka yang sama. Jadi
Untuk teorema berikut Volume dari li
dan luas alas li = ℎ
Diketahui h, dan alas AB dan alas dan at Teorema 14.15 limas segitiga, yang diketahui
30
orema 14.12) yang menyatakan, “Diberikan dua sama, jika alas kedua limas memiliki luas ya ntang dengan jarak yang sama dari alas juga mem
ka irisan melintang kedua limas pada gamba Jadi, dengan Prinsip Cavalieri, volume kedua li uk memperoleh rumus volume limas, deng rikut. Dalam Travers (1987) Teorema 14.15 i limas segitiga adalah satu per tiga hasil kali da s limas = ℎ .
Gambar 2.3 Limas dan Prisma
ketahui sebuah limas segitiga dengan puncak E, vol ABC dengan luas A; sebuah prisma segitiga de n atas ABC dan DEF, dengan luas keduanya A. P 14.15 adalah dengan membagi prisma segitiga i
ga, salah satu dari ketiga limas segitiga sesua hui.
30
n dua limas dengan s yang sama, maka emiliki luas yang bar memiliki luas dua limas juga sama.
ngan pembuktian 14.15 menyatakan, li dari tinggi limas
= ℎ
, volume V, tinggi a dengan tinggi h A. Pembuktian dari a itu menjadi tiga suai dengan limas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2.4 Pembuktian Teorema 14.15
Limas 1 dan 2 dengan alas ADF dan FCA dengan puncak E. Karena segitiga ADF dan segitiga FCA adalah dua segitiga yang dibentuk dari segiempat ACFD yang dibagi oleh garis diagonal AF, segitiga ADF dan segitiga FCA terletak pada bidang yang sama dan kongruen. Karena itu, limas 1 dan 2 memiliki alas dan tinggi yang sama, jadi berdasarkan Teorema 14.14 keduanya memiliki volume yang sama. Untuk limas 1 dan 3 yang memiliki alas DEF dan ABC. Diketahui segitiga DEF sama dan kongruen dengan segitiga ABC, dan diketahui tinggi (h) dari puncak A ke bidang segitiga DEF sama dengan tinggi dari puncak E ke bidang segitiga ABC. Jadi, limas 1 dan 3 memiliki volume yang sama. Berdasarkan sifat transitif, semua limas (1, 2, dan 3) memiliki volume yang sama V. Berdasarkan Teorema 14.13, volume prisma adalah Ah. Jadi, 3V = Ah, dan
= ℎ.
Teorema selanjutnya menyatakan rumus yang dapat digunakan untuk semua jenis limas. Dalam Travers (1987), Teorema 14.16 menyatakan,” Volume suatu limas adalah satu per tiga hasil kali tinggi limas dan luas alas limas = ℎ .
32
Gambar 2.5 Limas untuk Pembuktian Teorema 14.16
Diketahui limas segitiga dengan tinggi h dan luas alas A; limas lainnya dengan tinggi h dan luas alas A pada bidang yang sama. Berdasarkan Teorema Irisan Melintang Limas (Teorema 14.12), irisan melintang limas dengan tinggi yang sama memiliki luas yang sama. Oleh karena itu, berdasarkan Prinsip Cavalieri (Postulat 22), kedua limas memiliki volume yang sama. Karena = ℎ untuk limas segitiga menurut Teorema 14.15, berlaku juga = ℎuntuk limas yang lainnya.
G. Materi Volume Bangun Ruang Sisi Datar di SMP 1. Volume Kubus
Gambar 2.6 Kubus dengan Berbagai Ukuran
Gambar diatas menunjukkan bentuk-bentuk kubus dengan ukuran berbeda. Kubus pada gambar (a) merupakan kubus satuan. Untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
membuat kubus 2 × 2 × 2 = 8 satuan, sedang 3 × 3 × 3 = 27 kubus dapat di tersebut seban = × × = × × = 2. Volume Balok (a) Gam Gamba kubus satuan. seperti pada 4 × 2 × 2 = 16 sedangkan unt 6 2 2 = 24 balok diperole balok tersebut. = × × = × ×
kubus satuan pada gambar (b), diperlukan 2 × 2 × 2 = 8 dangkan untuk membuat kubus pada gambar
3 × 3 × 3 = 27 kubus satuan. Dengan demikian, volume t ditentukan dengan cara mengalikan panjan banyak tiga kali, sehingga
= × ×
= × × =
lok
(b) ( ambar 2.7 Balok dengan Berbagai Ukuran
bar diatas menunjukkan pembentukan berba uan. Gambar (a) adalah kubus satuan. Untuk
da gambar (b), diperlukan 4 × 2 × 2 = 16 untuk membuat balok seperti pada gambar 6 2 2 = 24 kubus satuan. Hal ini menunjukkan bahw oleh dengan cara mengalikan ukuran panjang, but.
= × ×
= × ×
2 × 2 × 2 = 8 kubus bar (c), diperlukan 3 × 3 × 3 = 27 ume atau isi suatu njang rusuk kubus
= × ×
= × × =
(c) an
rbagai balok dari uk membuat balok 4 × 2 × 2 = 16 kubus satuan, bar (c) diperlukan
6 2 2 = 24 hwa volume suatu
g, lebar dan tinggi
= × ×
