Kalkulus 2
Materi Kuliah: Integral
•
Antiturunan (Integral Tak Tentu)
Anti-turunan
Definisi
�
disebut sebagai antiturunan
pada interval
�
jika
�
=
pada
�
, yaitu jika
�
′
=
untuk semua
dalam
�
.
Contoh 1
Carilah antiturunan fungsi
=
pada
−∞, ∞
.
Penyelesaian:
Cari suatu fungsi
�
yang memenuhi
�
′=
untuk semua
∈ ℝ
. Berdasarkan teori differensial, diperoleh
�
=
adalah antiturunan untuk
=
.
Tetapi
�
=
bukanlah satu-satunya antiturunan untuk
=
. Oleh
karena itu
�
=
+
adalah antiturunan untuk
=
Integral Tak Tentu
Keluarga fungsi anti-turunan dari disebut integral tak tentu dari dan dilambangkan dengan
�
Jadi
� = +
dengan konstanta sebarang.
Aturan-aturan Pada Integral Tak Tentu
1. (Aturan pangat) Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali − , maka
� = + ++
2. (Integral tak tentu sin dan cos ) :
sin � = − cos + dan cos � = sin +
3. (Kelinieran integral tak tentu): Jika dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan � adalah konstanta, maka:
• � � = � �
• ± � = � + �
4. (Aturan pangkat yang digeneralisir): Jika adalah suatu fungsi yang terdifferensial dan adalah suatu bilangan rasional yang bukan − , maka:
� = + + +
Contoh
1. Carilah anti-turunan dari = .
2. Dengan menggunakan sifat kelinieran , hitunglah:
a.
+ �b.
− + �c.
+ �3. Hitunglah:
a.
+ + c. + + �Pendahuluan Persamaan Diferensial
Jika
�
′=
, maka
� = �
+
atau
Jika
�
′=
,
maka
��
= �
′� =
�
∗
Sehingga
��
=
� = �
+
Persamaan
∗
merupakan contoh
persamaan diferensial
.
Contoh 1. soal persamaan diferensial:
Carilah persamaan- dari kurva yang melalui titik , dan yang
kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah sama dengan dua kali absis (koordinat- ) titik itu.
Penyelesaian:
Misalkan persamaan kurva tersebut adalah = . Maka berdasarkan yang disyaratkan (tulisan biru) diperoleh:
�
� = atau � = � (masing-masing ruas dikali dengan � )
Integralkan kedua ruas, yaitu � = � , maka diperoleh
+ = +
= + − , atau
Persamaan = + merupakan keluarga kurva yang mempunyai turunan di titik , .
Selanjutnya, dicari anggota keluarga kurva yang melalui titik , . (subtitusi nilai = dan = pada = + , untuk mendapatkan nilai , yaitu = + , diperoleh = .
Jadi persamaan kurva yang dicari adalah = + .
Contoh 2 soal persamaan diferensial
Selesaikan persamaan diferensial
� � =
+
.
Kemudian carilah penyelesaian yang memenuhi = jika = .
Penyelesaian: Persamaan �
� =
+ setara dengan
� = + � . Integralkan kedua ruas
� = + � Diperoleh + = + + atau = + + − atau = + +
dengan = −
atau
= + + #
Untuk menghitung konstanta , digunakan syarat = jika = (subtitusi nilai ini pada persamaan # , diperoleh
= atau = .
Jadi persamaan yang diinginkan adalah
Contoh 3
Percepatan suatu objek yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat diberikan oleh � =
+ − dalam meter per detik kuadrat. Jika kecepatan pada saat = adalah meter per detik, carilah kecepatan detik kemudian.
Penyelesaian:
Misalkan adalah kecepatan (dalam waktu ) Persamaan diferensial untuk soal ini adalah
�
� = + − atau � = + − �
Integralkan kedua ruas,
� = + − �
Diperoleh
= +− − + atau =
− + + $
Selanjutnya subtitusi nilai = dan = pada persamaan $ , diperoleh
= − + atau = Jadi persamaan yang diinginkan adalah =
− + +
Pada saat = , diperoleh kecepatan = meter per detik.
Contoh 4 (masalah benda jatuh)
Percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah kaki per detik kuadrat (asumsikan hambatan udara dapat diabaikan). Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya detik kemudian.
Penyelesaian:
Misalkan adalah kecepatan dalam waktu , adalah jarak dari pusat bumi dan � adalah percepatan dalam waktu .
Maka = �
� adalah positif ( naik) tetapi � = �
� adalah negatif
(tarikan grafitasi).
Berdasarkan yang diketahui �
�
� = − atau � = − �
Integralkan kedua ruas,
� = − �
Diperoleh = − + ^
Subtitusi nilai = dan = pada persamaan ^ , diperoleh:
= − . + atau = .
Jadi persamaan untuk kecepatan adalah
= − +
Sementara = �
� , jadi �
� = − +
atau
� = − + �
Integralkan kedua ruas,
� = − + �
Diperoleh = − + + � ^^
Diketahui = , = , subtitusi nilai ini pada ^^ , diperoleh
= − + + �
atau � = .
Persamaan untuk jarak adalah
= − + +
Pada saat = , diperoleh
= − +
= − kaki per detik Dan
= − + + = kaki
Latihan 1
1. Hitunglah
•
+ �
•
+�
2. Carilah integral tak tentu
sin
+
cos
+
+
�
3. Carilah penyelesaian khusus dan umum untuk persamaan
diferensial berikut:
•
��=
−+ ; =
pada
=
•
��=
− ; =
pada
=
4. Carilah persamaan-
dari kurva yang melalui
,
dengan kemiringan pada sebarang titik adalah tiga kali
koordinat- nya.
5. Berapakah percepatan tetap yang akan menyebabkan
sebuah mobil menambah kecepatannya dari 45 ke 60 mil
per jam dalam waktu 10 detik?
