METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Nama Mahasiswa : Ruth Mayasari Simanjuntak
Nomor Pokok : 117021050
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 17 desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
PERNYATAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti-pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013 Penulis,
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk him-punan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan. Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana, alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the methods is proved. The simple projection method, alternating direction method, and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rah-mat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSA-MAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAPERTIDAKSA-MAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Penulis menyampaikan terima kasih kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing-I yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Ma-gister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding-II yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan bimbingan, arahan, dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ibunda dan ayahanda tercinta, yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
Suami tercinta yang telah memberikan doa, kasih sayang, dukungan baik secara moril maupun materi.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Desember 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Ruth Mayasari Simanjuntak, dilahirkan di Tobasari pada tanggal 22 Juli 1983, merupakan anak keempat dari lima bersaudara dari ayah W. Simanjuntak dan ibunda A.Aritonang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 060925 Kabupaten Simalungun pada tahun 1995, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Pembangunan Kabupaten Simalungun pada tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA RK Budi Mulia Pe-matangsiantar pada tahun 2001.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities) 5
2.2 Quasi-Variational Inequalities 7
2.3 Metode Pengali Lagrange 7
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan
Pertidaksamaan) 8
BAB 3 LANDASAN TEORITIS 9
3.1 Pendekatan Optimasi 9
3.2 Kondisi Convex 9
3.3 Kondisi Optimal KKT 10
3.5 Kesimetrian 12 3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point 13
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL 16
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange 16 4.2 Metode PrediksiType Proximalyang Menghubungkan Variabel
Dual 20
4.3 Metode PrediksiType Gradientyang Menghubungkan Variabel
Primal dan Dual 23
4.4 Alternating Direction Method 27
4.5 Metode Proyeksi Sederhana 29
4.6 Metode Ekstragradien 29
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 31
5.1 Kesimpulan 31
5.2 Saran 31
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk him-punan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan. Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana, alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the methods is proved. The simple projection method, alternating direction method, and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimasi adalah tindakan memperoleh hasil terbaik dalam keadaan terten-tu. Permasalahan optimasi sering digunakan untuk mendapatkan suatu solusi yang ideal atau optimal dari permasalahan yang bersifat linier atau nonlinier (Rao, 1984). Pembagian pemograman nonlinier dapat ditentukan dari bentuk fungsi tujuan, dari karakteristik fungsi objektif atau dari keberadaan fungsi-fungsi kendala. Salah satu bentuk persoalan nonlinier programming yaitu
minf(x) s.t
g(x)≥0
dimana f : Rn → R dan g : Rn → Rm adalah fungsi mulus (Luenberger dan
Yinyu, 2008).
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel. Studi tentang pertidaksamaan variasional mengacu pada metodologi optimasi nonlinier, solusi dari persamaan nonlinier dan teori titik tetap. Teori pertidaksamaan variasional telah menyaksikan pertumbuhan eksplosif dalam kemajuan teoritis, perkembang-an algoritma dperkembang-an aplikasi di semua disiplin ilmu murni dperkembang-an ilmu terapperkembang-an. Teori ini sering diterapkan pada masalah equilibrium yang timbul di bidang ekonomi, keuangan, transportasi, elastisitas, optimasi, riset operasi dan analisis struktural (Noor et al., 2003).
Persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektorv∗
∈
Ω0 sedemikian hingga
(w−v∗
)TF(v∗
2
dimana Ω0 adalah himpunan bagian conveks tertutup yang tidak kosong dari Rn,
(.,.) adalah produk dalam diRn, dan F =Rn →Rn adalah fungsi kontinu, ketika
Ω0 =Rn+ itu termasuk masalah nonlinier complementary dan ketika Ω0 =Rn itu
termasuk sistem persamaan linier. Min (2010) menggunakanalternating direction method yang baru untuk mengatasi masalah pertidaksamaan variasional dalam menemukan vektor v∗
tersebut. Dalam tesis ini difokuskan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional yang dinotasikan dengan VI (Variational Inequalities) (F,Ω0) yang memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan,
se-hingga bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut: Ω0 ={v ∈Rn |Av−b, Cv≤d, v ∈X}
dimana C∈Rl×n, d∈Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dari Rn.
Dikatakan bahwa fungsi Ω0 co-coersivepadaXapabila ada sebuah konstanta
µ >0 sedemikian hingga (v−v′
)T(F(v)−f(v′
))≥µkF(v)−f(v′ )k2
,∀v, v′
∈X
dapat dikatakan bahwaco-coersivedengan modulusµmenyiratkan Lipschitz con-tinuity dan kemonotonan.
Sebuahalternating direction methoddapat juga digunakan untuk memecah-kan masalah pertidaksamaan variasional (F,Ω0) dengan memperkenalkan vektor
slack z ke kendala persamaan linier untuk mengubah bentuk persamaan sebagai berikut :
Ω0 ={(v, z)∈Rn×Rl |Av=b, Cv+z =d, v ∈X, z ≥0}
Akan tetapi ini akan meningkatkan besarnya persoalan pertidaksamaan variasio-nal darinken+l, mendorong ke arah perhitungan yang lebih kompleks, terutama ketika ada beberapa kendala persamaan linier di Ω0.
3
dan Suater menggunakan perhitungan yang mahal dalam kasus umum ketika ope-rator projeksi
Pc[v] := arg min
y∈C ky−z k
ini adalah salah satu cara untuk mengatasi masalah optimasi untuk menemukan sebuah projeksi. Selanjutnya, dibuat tidak ada asumsi pada masalah yang lain dari kontinuitas F(·) dan kondisi pada bentuk umum dari ketaksamaan variasi. Digunakan algoritma untuk meminimumkan angka dari operasi projek yang di-lakukan setiap iterasi. Dengan catatan bahwa pada kasus ini ketika F(·) adalah tidak kontinu Lipschitz atau konstanta dari Lipschitz tidak diketahui. Solodov dan Tseng (1996) mengatakan bahwa ini akan menjadi perhitungan yang sangat mahal.
Persoalan pertidaksamaan variasional banyak diterapkan dalam Matema-tika. Termasuk salah satunya adalah model equilibrium dalam ekonomi yang melibatkan definisi dan kendala anggaran. Banyak metode yang diusulkan dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi ini seperti publikasi ilmiah oleh Noor pada tahun 2002 yang mengusulkan metode type projection untuk pertidak-samaan variasional yang umum dan pada tahun 2003 Noor mengusulkan beberapa metode projeksi yang baru untuk mengatasi persoalan tersebut. Min mengusulkan sebuah metode alternating direction untuk mengatasi persoalan pertidaksamaan variational yang monoton, pada metode ini dia hanya mengatasi persamaan linier dan diterapkan pada projeksi orthogonal kemudian pada tahun 2010 dia kem-bangkan kembali dengan mengusulkan metode alternating direction untuk me-ngatasi persoalan pertidaksamaan variasional co-coersive yang memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan. Berdasarkan hal tersebut maka dalam tesis ini akan dianalisa metode-metode penyelesaian persoalan ketaksamaan variasi untuk menemukan fungsi pokok dari F.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikanv adalah sebuah vektor danF(v∗) adalah sebuah fungsi pokok pa-da pertipa-daksamaan variasional. Seperti apa nilai pa-dari vektorv∗
sehingga (v−v∗ )T
dikali dengan fungsi pokok F(v∗
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisa metode penyelesaian dari per-tidaksamaan variasional dengan kendala persamaan dan perper-tidaksamaan untuk menentukan nilai dari vektorv∗
pada (1.1).
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities)
Dalam Matematika, pertidaksamaan variasional adalah sebuah pertidaksa-maan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai variabel tertentu, termasuk himpunan konveks. Teori Matematika pertidaksamaan varia-sional diformulasikan untuk merumuskan berbagai masalah equilibrium, masalah analisis kualitatif dalam hal keberadaan dan keunikan solusi, stabilitas dan analisis sensitivitas, dan algoritma dengan analisis konvergensi yang menyertainya untuk keperluan komputasi. Dalam pertidaksamaan variasional berisi kasus khusus ten-tang masalah-masalah dalam pemograman Matematika yaitu sistem persamaan nonlinier, masalah optimasi, complementary problem, dan juga berkaitan dengan masalah titik tetap (Nagurney, 2002).
Ambil Ω0 ⊂ Rn adalah sebuah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dariRn dan F adalah pemetaan dariRn keRn. Min (2010)
menge-mukakan persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektor
v∗
∈Ω0 sedemikian hingga
(w−v∗
)TF(v∗
)≥0,∀v ∈Ω0 (2.1)
Pertidaksamaan variasional (F,Ω0) meliputi program linier dengan pengaturan
F = c, vektor konstan, dan Ω0 = {v ∈ Rn : Av = b, v ≥ 0}. Ada beberapa
metode untuk pertidaksamaan variasional (F,Ω0) (Min, 2009). Diantara metode
ini, metode jenis proyeksi yang menarik, sederhana, dan efisiensi. Terutama ketika daerah layak Ω0 memiliki beberapa struktur khusus (misalnya, Ω0 adalah orthant
nonnegatif). Bentukalternating direction methoduntuk pertidaksamaan variasio-nal nonlinier co-coersiveadalah
6
dimana A ∈ Rm ×n, b ∈ Rm dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
sederhana dari Rn. Dikatakan pemetaan F adalah monoton jika
(F(v)−F(v∗
), v−v∗
)≥0,∀v, v∗
∈Rn (2.3)
Pertidaksamaan variasional (F,Ω0) adalah monoton ketika pemetaanF juga
mono-ton. Dikatakan strictlymonoton pada Ω0 jika
(v−v∗
)T(F(v)−F(v∗
))>0,∀v, v∗
∈S, v 6=v∗
(2.4) Dikatakan monoton kuat padaQjika terdapat konstancsm >0 sedemikian hingga
(v−v∗
)(F(v)−F(v∗
))≥csmkv−v∗
k2,∀v, v∈Ω0 (2.5)
Secara umum, Noor (2002) juga mengatakan jikaF adalah pseudomonoton untuk semuav,v ∈Rn jika
{F(v∗
),(v−v∗
)} ≥0⇒ {F(v),(v−v∗
)} ≥0 (2.6) Solodov dan Suater (1999) mengatakan dalam kasus ini ketikaF(·) adalah mono-ton kuat dan/atau daerah layak Ω0 memiliki beberapa stuktur spesial (contohnya
Ω0 adalah nonnegatif orthant atau secara umum sebuah kotak) ada beberapa
metode yang efisien dapat digunakan untuk mengatasi kasus-kasus spesial dari pertidaksamaan variasional.
Berdasarkan vektor pengali lagrangian y∈Rm ke kendala persamaan linier Ax = b dan vektor pengali lagrangian yang lain z ∈ Rl ke kendala persamaan
linier Cx ≤ d, bentuk eqivalen dari persoalan pertidaksamaan variasional (f, S) dapat ditekankan sebagai berikut, dinotasikan oleh (Q, W): Menentukan vektor
w∗
7
2.2 Quasi-Variational Inequalities
Dengan mempertimbangkan suatu permainan dua orang bilinear dengan kendala yang digabungkan ditentukan oleh sebuah konveks, himpunan tertutup
K ∈ Q1 ×Q2 ∈ Rn×Rn. Dengan memperbaiki titik x = (x1, x2) ∈ K, dibuat
menjadi dua bagian K1(x) = {x1 ∈ Rn | (x1, x2) ∈ K} dan K2(x) = {x2 ∈ Rn |
(x1, x2)∈K} melalui titik tersebut dan mempertimbangkan permainan
x1∗ ∈Argmin{(A1x1, x2∗) + (l1, x1)|x1 ∈K1(x∗)}, (2.7)
x2
∗
∈Argmin{(x1
∗
, A2x2) + (l2, x2)|x2 ∈K2(x
∗
)} (2.8) dimana x∗
= (x1∗, x2∗). Dengan memperkenalkan vektor l = (l1, l2) dan matriks
AT dengan entri a
11 = 0, a12 = A−1T, a21 = A2T, a22 = 0, dimana T adalah
transpose, masalah tersebut dapat digambarkan setara dengan pertidaksamaan variasional sebagai berikut:
(ATx∗
, x−x∗
) + (l, x−x∗
)≥0,∀x∈K(x∗
) (2.9)
dimana K(x∗
) =K1(x∗)×K2(x∗).
Ketika A−1T dan A2T adalah operator differensial dan K ∈ Q1 ×Q2 ⊆
H1
×H2
, dimana H1
dan H2
adalah Hilbert spaces, permasalahan (2.3.1) disebut quasi-variational inequality (Sofonea, 2009).
2.3 Metode Pengali Lagrange
Permasalahan-permasalahan non linier yang tidak dalam bentuk standar diselesaikan dengan mengubahnya ke dalam bentuk standar. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka perlu dibentuk fungsi pengali Lagrange. Fungsi pengali Lagrangedidefinisikan sebagai:
L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ...λn) =f(X)−
m
X
i=1
λigi(X)
dimana λi = (i = 1,2, ..., m) adalah tetapan-tetapan yang disebut pengali La-grange (LaLa-grange multipliers). Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:
∂L
8
∂L
∂xi = 0, (i= 1,2, ..., m)
Metode pengali Lagrange ini ekuivalen dengan menggunakan persamaan kendala untuk menghilangkan beberapa variabel x tertentu dari fungsi objektif dan kemudian menyelesaikan persoalan maksimasi tanpa kendala dalam variabel-variabel xtersisa.
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan Per-tidaksamaan)
Pandang sebuah persoalan dengan kendala persamaan maxf(x)
s.t
gi(x) =bi, i= 1, ..., m hj(x) =dj, j = 1, ..., p
Ax=b Cx≤d
f,g, dan h dianggap berbentuk konveks dan dapat diturunkan dua kali secara kontinu. A adalah matriks p×n pada p < n dan C adalah matriks l×n. Jika kita memiliki sebuah program dengan kendala≥dapat di ubah menjadi≤dengan mengalikan -1, begitu juga mengubah meminimumkan menjadi memaximumkan. Daerah layak tidak hanya termasuk kendala persamaan linier melainkan kendala pertidaksamaan linier, contohnya sebagai berikut :
S ={x∈Rn |Ax−b, Cx≤d, x∈X}
Dimana C ∈ Rl×n, d ∈ Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
BAB 3
LANDASAN TEORITIS
Penentuan nilai optimal dalam persoalan pertidaksamaan vaiasional dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan optimasi, kondisi konvex, kondisi op-timal KKT, fungsi kesimetrian, kesimetrian, dan mereduksi masalahsaddle-point.
3.1 Pendekatan Optimasi
Dari beberapa kasus equilibri dapat ditemukan dengan melibatkan masalah optimasi. Dalam penelitian ini dipertimbangkan masalah optimasi dengan dua kendala yaitu kendala persaman dan pertidaksamaan seperti yang diungkapkan oleh Luenberger dan Yinyu (2008) sebagai berikut:
minf(x) s.t
h(x) = 0, g(x)≤0 dimana
h(x) = (h1(x), ..., hm(x))T
g(x) = (g1(x), ..., gj(x))T
3.2 Kondisi Convex
10
3.3 Kondisi Optimal KKT
Kondisi KKT adalah kondisi yang diperlukan bagi penyelesaian permasa-lahan optimasi linier. Jaminan akan diperoleh solusi optimal jika kondisi KKT dipenuhi.
Misalkan bahwa daerah layak Ω0 dari pertidaksamaan variasional (F,Ω0)
digambarkan dengan pasangan persamaan dan pertidaksamaan Ω0 ={v :g(v)≤0, h(v) = 0}
Dan beberapa kualifikasi kendala yang dipegang. Kemudian pertidaksamaan va-riasional (F,Ω0) adalah ekivalen ke kondisi KKT:
0 =f(v) +∇g(v)Tλ+∇h(v)Tµ
0≤λ⊥g(v)≤00−h(v)
Untuk memperoleh kondisi KKT itu sukses, menyadari bahwa jika v adalah so-lusi untuk pertidaksamaan variasional maka harus memecahkan masalah optimasi konveks dan sebaliknya
min
v v Tf(v∗
) s.t
v ∈Ω0
jika tidak, akan ada sebuah titik w dengan vTf(v∗
) < (v∗ )Tf(v∗
) yang berarti (w−v∗)Tf(v∗)<0
3.4 Fungsi Simmetri
11
Dalam tulisan ini, ada persyaratan bahwag(v, w) menjadi konveks bersama-sama di v dan w dan disamping itu, menggunakan fungsi dari simetri tentang diagonal dari persegi Ω0×Ω0, yakni keberagaman v=w.
Definisi 1. Sebuah fungsi g(v,w) dariRn×Rn kedalamRm dikatakan
men-jadi simetri pada Rn×Rn jika memenuhi kondisi
g(v, w) =g(w, v),∀w, v ∈Ω0 (3.1)
Contoh fungsi simetri termasuk fungsi yang menghasilkan keterbatasan ang-garan secara utama pada model ekonomi equilibrium. Yang memiliki bentuk
g(v, w) = (v, w) ataug(v, w) = (Av, w) dimanaAadalah matriks simetri. Karak-teristik fungsi simetri yang membedakan (3.1) dengan w diperoleh
∇wTg(v, w) =∇vTg(w, v),∀w, v∈Ω0 (3.2)
dimana ∇wTg(v, w) dan ∇vTg(w, v) adalah matriks m×n yang barisnya adalah
vektor∇wgi(v, w) dan ∇vgi(w, v), i= 1,2, ..., m.
Misalkan w=v dalam (3.2) maka hasilnya
∇wTg(v, v) =∇vTg(w, v),∀v ∈Ω0 (3.3)
Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai berikut
Sifat 1. Untuk gradien dari fungsi vektor simetri g(v,w) menghubungkan v dan w, matriks batasannya ke diagonal persegi Ω0×Ω0 adalah sama.
Sesuai dengan definisi dari fungsi yang terdifferensialkang(v,w), maka
g(v+h, w+h) =g(v, w) +∇vTg(v, w)h+∇wTg(v, w)k, ω(v, w, h, k) (3.4)
dimana ω(v, w, h, k)/(|h|2+
|k|2)1/2
→ 0 ketika |h|2+
|k|2
→ 0. Ambil w=v dan h=k. Kemudian, dari (3.2) dan (3.3), diperoleh
12
dimana ω(v, h)/|h| → 0 karena |h| → 0. Menjadi kasus yang spesial dari (3.4), formula (3.5) berarti bahwa batasan dari gradien∇wTg(v, w) ke diagonal Ω0×Ω0
gradien ∇Tg(v, v) dari g(v, v), yakni:
2∇wTg(v, w)|v=w =∇Tg(v, v),∀v ∈Ω0 (3.6)
Sifat 2. Operator 2∇wg(v, w)|v=w potensial dan sama ke batasan gradien
dari fungsi simetri g(v,w) ke diagonal persegi, yakni2∇wTg(v, w)|v=w =∇Tg(v, v)
Berdasarkan penjelasan diatas, jika g1(x1, x2) dan g2(x1, x2) adalah sama
maka G(v,w)=G(w,v). Sehingga dapat dikatakan bahwa kedua pasangan kendala simetri.
3.5 Kesimetrian
Kendala yang digabungkan dalam masalah pertidaksamaan variasional mung-kin tidak simmetri. Sebagai contoh, mungmung-kin antisimmetri dan lainnya yang memenuhi kondisi g(v, w) = −g(w, v)∀v, w ∈ Ω0. Akan ditunjukkan bahwa
kendala yang digabungkan tidak akan memiliki akibat dari penyelesaian masa-lah pertidaksamaan variasional. Berdasarkan sepasang masamasa-lah berikut
(F(v∗
), w−v∗
)≥0,∀w∈Ω0
dan
(F(v∗
), w−v∗
)≥0, g(v∗
, w)≤0,∀w∈Ω0
dimana g(v, w) adalah fungsi antisimmetri. Fungsi seperti selalu hilang pada diagonal Ω0 ×Ω0, karena pengaturan v = w di g(v, v) = −g(v, v) dimana hasil
g(v, v) = 0. Berdasarkan perpotongan dari dua himpunan : Ω0∩{w|g(v∗, w)60}.
Ini selalu kosong dan merupakan himpunan bagian dari Ω0. Karenav∗adalah titik
minimum dari (F(v∗
), w−v∗
) pada Ω0 (solusi untuk masalah pertama), ini
13
Dalam kasus umum, ketika g(v, w) tidak simmetri ataupun tidak antisim-metri, kendala pada pertidaksamaan variasional dapat disimetrikan. Faktanya, definisi dua subkelas fungsi vektor yang simmetri dan antisimmetri :
g(v, w)−g(w, v) = 0,∀w, v ∈Ω0 (3.7)
g(v, w) +g(w, v) = 0,∀w, v ∈Ω0 (3.8)
Transpose dari matriks didefinisikan sebagai gT(v, w) = g(w, v). Dalam hal ini, kondisi simmetri (3.1) dan antisimetri (3.2) memiliki bentuk
Φ(v, w) = ΦT(v, w),Φ(v, w) =−ΦT(v, w)
Dengan menggunakan relasi yang jelas
Φ(v, w) = (ΦT(v, w)T) dan (Φ1(v, w) + Φ2(v, w))T = Φ1T(v, w) + Φ2T(v, w), ini
mudah untuk melihat fungsi real Φ(v, w) dapat diuraikan sebagai berikut :
g(v, w) =s(v, w) +k(v, w) (3.9) dimana s(v, w)dan k(v, w)adalah fungsi simmetri dan antisimmetri. Ambil v∗ adalah solusi dari masalah
(F(v∗
), w−v∗
)≥0, s(v∗
, w)≤0, w ∈Ω0 (3.10)
Solusi dari masalah ketaksamaan variasi (VI) memiliki sebuah interior neighbor-hood, sebagai contoh ketika g(v∗, v∗) <0 dan w
∈ Ω0, maka solusi (3.4) adalah
solusi dari (1.1).
Untuk menyelesaikan masalah ketaksamaan variasi (1.1), harus diselesaikan terlebih dahulu masalah kesimetrian
(F(v∗
), w−v∗
), g(v∗
, w) +gT(v∗
, w)≤0,∀w∈Ω0
3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point
Masalah (1.1) dapat dilihat dengan meminimumkan fungsi linear f(w) = (F(v∗), w
−v∗) pada himpunan Ω =
{w ∈ Ω0 | g(v∗, w) ≤ 0}. Definisi fungsi
LagrangeL(v∗
, w, p) = (F(v∗
), w−v∗
) + (p, g(v∗
, w)) ∀w∈Ω0, ∀p≥0, dimana
v∗
14
Karena v∗
adalah minimum dari f(w) pada Ω0, pasangan (v∗, p∗)adalah saddle
point dari L(v∗
, w, p) yang memenuhi sistem pertidaksamaan (F(v∗
Sistem ini dapat direpresentasikan dengan suatu cara yang berbeda yakni
v∗
Diasumsikan bahwa g(v, w) berbeda jika dikaitkan dengan w untuk setiap v, di-tuliskan kembali sebagai berikut :
(F(v∗ Dengan menggunakan operator projection, sistem pertidaksamaan variasi dapat direpresentasikan ke bentuk persamaan operator sebagai berikut :
v∗
dimanaπ+ (...) dan πΩ0 adalah operator yang memproyeksikan vektor ke dalam
orthant positif R+n dan himpunan Ω0 secara berturut-turut dan α > 0 adalah
parameterstep-length. Sistem (3.3) dapat ditransformasikan sebagai berikut. Per-tidaksamaan pertama pada sistem ini direpresentasikan sebagai
(F(v∗
Selanjutnya, dapat ditransformasikan kembali seperti berikut (p∗ Dan akhirnya (3.3) dapat direpresentasikan yakni
15
BAB 4
PEMBAHASAN DAN HASIL
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan variational (VI) diperlukan beberapa metode. Akan dianalisa metometode yang diajukan oleh Antipin (2000) de-ngan Min (2010). Adapun metode-metode yang dikemukakan oleh Antipin adalah sebagai berikut:
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange
Untuk menyelesaikan sistem (3.2) akan digunakan metode iterasi yang seder-hana, yakni
vn+1 ∈Argmin{1
2|w−v
n
|2 +α((F(vn), w−vn) + (pn, g(vn, w)))|w∈Ω0}
pn+1
=π+(pn+αg(vn+1, vn+1))
(4.1) Dalam optimasi, situasi ini sangat memungkinkan untuk memodifikasi fungsi
Lagrange. Dengan mempertimbangkan bahwa metode modifikasi fungsiLagrange
sebagai aplikasi dari pertidaksamaan variasional dengan kendala yang digabungkan, maka :
vn+1
∈Argmin{1
2| w−v
n
|2+αM(vn+1
, w, pn)|w∈Ω0},
pn+1 =π+(pn+αg(vn+1, vn+1)), α >0
(4.2)
dimana M(v, w, p) = (F(v), w−v) + 1
2α|π+(p+αg(v, w))|
2
− 1 2α|p|
2
terdefinisi untuk semua v, w,∈Rn×Rn dan p ≤ 0. Disini,vn, pn adalah taksiran sekarang
dan vn+1
, pn+1
adalah solusi yang diinginkan. Persamaan (4.2) dengan variabel
vn+1
, yang muncul dikiri dan kanan. Pernyataan persamaan (4.2) sebagai perti-daksamaan variasional menghasilkan
(vn+1−vn+α(F(vn+1) +∇wTg(vn+1, vn+1)π+(pn+αg(vn+1, vn+1)),
w−vn+1
)≤ 0,∀w∈Ω0,
(pn+1 −pn−αg(vn+1, vn+1), p−pn+1)≤0,∀p≤0.
17
Bandingkan pertidaksamaan variasional ini dengan masalah awal (1.1), sangat penting untuk diketahui bahwa masalah awal dengan pasangan kendala yang di-gantikan oleh barisan masalah, yang terdiri dari sistem pertidaksamaan variasio-nal yang biasa (tanpa pasangan kendala) sehingga diperoleh teknik penyelesaian yang beragam.
Sebelum membuktikan kekonvergenan dari metode (4.2) ke penyelesaian ma-salah equilibrium, ada catatan penting yang harus diperhatikan yaitu kondisi dari teorema mengharuskan bahwag(v, w) menjadi konveks hanya di diagonal Ω0×Ω0
dan tidak diharuskan konveks di w untuk setiap v. Namun, metode (4.2) men-ganggap meminimalisasi fungsi umumM(vn+1, w, pn) padawuntuk setiapv, dan
fungsi ini melibatkan g(v, w).
Kemudian akan ditunjukkan setiap fungsi yang gradiennya memenuhi kon-disi Lipschitzbisa dibuat konveks. Andaikan gradien darif(x) memenuhi kondisi Lipschitz, yakni (∇f(x+h)− ∇f(x), h)≤L|h|2
pada beberapa himpunan atau
−L|h|2
≤(∇f(x+h)− ∇f(x), h)≤L|h|2
Pertidaksamaan yang disebelah kiri pada bentuk diatas menghasilkan ((∇f(x+h) +LI(x+h)−(∇f(x) +LI(x), h)≥0.
artinya bahwa untuk semuaα≥L, fungsi fα(x) =f(x) + (1/2)α|x|2 adalah
kon-veks di beberapa himpunanx. Begitu juga untuk pertidaksamaan yang disebelah kanan pada bentuk diatas dapat ditunjukkan bahwa fα(x) = f(x)−(1/2)α|x|2
adalah konkav di beberapa himpunan untuk semua α ≥ L. Dengan kata lain, regularisasi fungsi nonkonveks membuat konveks untuk nilai yang cukup besar dari parameter.
Teorema 1. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1)adalah tidak kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v, w)menjadi fungsi vektor si-metri yang berbeda dengan menghubungkan w ke setiap v, yang memiliki batasan
g(v, w) |v=w ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, Ω ⊆ Rn menjadi
him-punan konveks tertutup, dan α > 0. Kemudian, barisan vn dibentuk oleh
per-samaan(4.2) konvergen secara monoton dalam norm menjadi solusi equilibrium dalam masalah (1.1), vn→v∗
∈Ω∗
18
Bukti. Misalkan w=v∗
(dalam 4.3) dan dimasukkan ke dalam persamaan (4.2) sehingga diperoleh
(vn+1
−vn+αF(vn+1
) +α∇wTg(vn+1, vn+1)pn+1, v∗−vn+1)≥0
Pertidaksamaan ini dapat ditransformasikan sebagai berikut : (vn+1
ketikag(v, v) adalah konveks, maka pertidaksamaan itu dapat ditransformasikan sebagai berikut : Penjumlahan (4.6) dan (4.7) diperoleh
(vn+1−v∗ karena F(v) adalah operator monoton, hasil penjumlahan dari (4.9) dan (4.10) yakni
(vn+1−vn, v∗
−vn+1) + 1(pn+1−pn, p∗
19 Produk skalar dikiri dari pertidaksamaan terakhir dapat diuraikan kedalam jum-lah kuadrat berikut: Penjumlahan (4.12) mulai dari n= 0 sampai n =N menghasilkan
Pertidaksamaan ini menyiratkan lintasan yang dibatasi, yakni dan juga seri konvergennya yakni
∞
Mengingat (4.3) dan (4.4) untuk semuani → ∞dan melewati batas maka diper-oleh
penyelesaian dari masalah tersebut. Penurunan monoton dari|vn−v∗
|+|pn−p∗
20
memastikan bahwa titik batasnya adalah unik, yaknivn→v∗
dan pn →p∗
ketika
n→ ∞. Teorema tersebut terbukti.
4.2 Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel Dual
Metode (4.2) adalah konvergen dikarenakan menggunakan fungsiLagrange. Akan tetapi dalam banyak kasus, fungsi modifikasi Lagrange mengganggu struk-tur penguraian masalah. Contohnya, stukstruk-tur pisahan balok yang memungkinkan untuk menguraikan masalah awal ke bagian masalah itu sendiri, tetapi bisa hi-lang dengan menggunakan fungsi modifikasi Lagrange. Di sisi lain, penggunaan fungsi Lagrange yang biasa bukan mempertahankan modifikasi stuktur pisahan balok dari masalah, karena fungsi Lagrange yang biasa adalah lilitan linier dari fungsi objektif dengan kendala fungsional. Ini berarti bahwa fungsi Lagrange
yang biasa dalam metode berulang memungkinkan seseorang untuk menguraikan masalah optimasi tambahan kedalam serangkaian masalah independen dari uku-ran terkecil di setiap langkah iterasi.
Misalkan (v∗
, p∗
) menjadi aproksimasi sekarang. Kemudian, aproksimasi selanjutnya (vn+1
, pn+1
) yang ditentukan oleh formula :
p−n =π
+(pn+αng(vn, vn)),
vn+1
=Argmin{1
2|w−v
n
|2+αnL(vn+1
, w, p−n)
|w∈Ω}, pn+1
=π+(pn+αng(vn+1, vn+1))
(4.15)
dimana
L(v, w, p) = (F(v), w−v) + (p, g(v, w)).
Panjang αn di (4.1) ditentukan oleh kondisi
0< ǫ ≤αn <√2/|g|, ǫ >0 (4.16) dimana |g|adalah konstanta, dengan kondisi
21
Untuk memverifikasi formula diatas, pertama dipilih sembarang α0 (sama untuk
semua iterasi, misalnya α0 = 1), kemudian melakukan perhitungan untuk dua
iterasi pertama seperti pada (4.1) (yakni menghitung vektor p−n dan vn+1
) dan selanjutnya memverifikasi kondisinya. Jika itu terpenuhi, langkah panjang dite-tapkan sama dengan nilai yang telah ditemukan; jika tidak, parameter berkurang dengan mengalikan angka terkecil dari satuannya, sampai formula yang terakhir terpenuhi.
Metode (4.1) dapat direpresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional seperti berikut :
Akan dibuktikan konvergen monoton dari metode (4.1) ke solusi equilibrium ke masalah (1.1)
Teorema 2. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w) menjadi fungsi vektor simetri berbeda yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w)|v=w ke diagonal
persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω ⊆ Rn menjadi himpunan konveks
tertu-tup. Kemudian, barisan vn dibangun oleh metode (4.1) dengan αn ditentukan
oleh (4.2) atau(4.3) konvergen secara monoton dalam norm ke solusi equilibrium dalam masalah (1.1), yakni vn→v∗
kemudian ditranformasikan sebagai berikut : (vn+1−vn, v∗
Berdasarkan Pertidaksamaan (4.5) dan (4.6). Misalkanp=p∗
22
Misalkan p=pn+1 dalam (4.2.5) maka hasilnya adalah
(p−n
Kemudian menjumlahkan formula (4.9) dan (4.10) sehingga diperoleh (pn+1 daksamaan ini direpresentasikan sebagai
1 karena operator F(v) adalah monoton, maka
(vn+1
Dengan menggunakan identitas, tiga produk skalar pertama kedalam jumlah kuadrat: sehingga (4.13) dapat direpresentasikan sebagai:
23
Akan tetapi jika panjang langkahαndalam (4.1) ditentukan oleh (4.2) diper-oleh
)≥ǫ, pertidaksamaan ini memiliki bentuk dari (4.15). Teo-rema tersebut terbukti.
4.3 Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel Primal dan Dual
Pada bagian sebelumnya, dianalisis yang disebut skema iterasi implisit yakni skema yang sisi kanan dan kiri melibatkan variabel dari pertidaksamaan variasio-nal tambahan yang diselesaikan disetiap iterasi. Sehingga, setiap langkah iterasi harus dipecahkan pertidaksamaan variasional menengah biasa atau sistem dari pertidaksamaan variasional, tetapi tidak dengan pasangan kendala persamaan dan pertidaksamaan. Pertidaksamaan ini menggambarkan masalah yang agak rumit. Dengan alasan ini, muncul pertanyaan apakah situasi ini dapat diseder-hanakan sehingga setiap langkah iterasi melibatkan hanya satu atau dua masa-lah tambahan untuk mengoptimalkan fungsi konveks yang kuat pada himpunan sederhana bukan malah melibatkan pertidaksamaan variasional yang agak rumit. Dan dapat dijawab bahwa situasi tersebut dapat disederhanakan dengan memper-timbangkan salah satu skema iterasi gradien yang tepat dengan langkah prediksi yang menghubungkan kedua variabel primal dan dual. Ambil v0
dan p0
24
Metode (4.31) dapat dipresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional. Dengan definisi dari operator proyeksi, persamaan pertama dan ketiga ditulis sebagai berikut :
(¯pn−pn−αng(vn, vn), p−p¯n)≥0,∀p≥0 (4.32)
dan
(¯pn+1−pn−αng(un, un), p−p¯n+1)≥0,∀p≥0 (4.33) Persamaan yang pertama dan keempat dipresentasikan sebagai berikut :
(¯vn−vn+αn(F(vn) +∇wTg(vn, vn)¯pn), w−v¯n)≥ 0,∀w∈Ω0 (4.34)
dan
(vn+1−vn+αn(F(¯vn) +∇wTg(¯vn,v¯n)¯pn), w−vn+1)≥0,∀w∈Ω0 (4.35)
Akan ditunjukkan bahwa metode (4.31) konvergen secara monoton dalam norm ke solusi equilibrium.
Teorema 3. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w)menjadi fungsi vektor simetri yang berbeda dan konveks yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w)|v=w
ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω⊆Rn menjadi himpunan
kon-veks tertutup, dan |pn| ≤ C∀n. Kemudian, barisan vn dibangun oleh metode
(4.31) dengan αn ditentukan oleh (4.32) atau (4.33) konvergen secara monoton dalm norm ke solusi equilibrium pada masalah (1.1), yakni vn → v∗
∈ Ω∗
ketika
n→ ∞
Bukti. Misalkan w=v∗
dalam (4.35) hasilnya (vn+1
−vn, v∗
−vn+1
+αn(F(¯vn), v∗
−vn+1
+αn(∇wTg(¯vn,¯vn)¯pn), v∗−vn+1)≥0
(4.36) Misalkan w=vn+1, maka diperoleh
25
Misalkan w= ¯v pada pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh (F(v∗ Dengan menjumlahkan kedua persamaan terakhir maka hasilnya adalah
(vn+1−vn, v∗−vn+1) + (¯vn−vn, vn+1−v¯n) +αn(F(¯vn)−F(v∗), v∗−¯vn)+ Selanjutnya adalah memisalkan p=p∗
, maka diperoleh Dengan menjumlahkan kedua formula tersebut maka diperoleh
(pn+1 maan ini dapat juga ditulis sebagai
26
Menjumlahkan (4.40) dan (4.44) dan membuat perhitungan kemonotonan dari F(v) diperoleh
Berdasarkan formula (4.32), maka pertidaksamaan terakhir dapat direpresen-tasikan sebagai berikut:
Kemudian, menetapkan jumlah dari pertidaksamaan itu sehingga diperoleh
|vn+1 Jika panjang langkah αn di (4.31) ditentukan oleh (4.32), dan penggabungan dengan (x, y)≤ |x|2+
27
Selain itu, Min (2010) juga mengajukan metode untuk menyelesaikan per-soalan pertidaksamaan variasional yaitu dengan metodealternating direction me-thod. Metode alternating direction methodakan dibahas dibawah ini.
4.4 Alternating Direction Method
Alternating Direction Method adalah alat umum dalam program matema-tika dan optimasi. Metode ini memiliki peranan penting dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional. Selain dalam persoalan pertidaksamaan variasional, juga sangat berperan untuk menyelesaikan beberapa aplikasi pada conveks programming. Pertidaksamaan variasional (F,Ω0) untuk menemukan
v∗
∈Ω0 sedemikian hingga
(w−v∗
)T.F(v∗
)>0,∀w∈Ω0
dengan kendala persamaan Ax=b dan kendala pertidaksamaan Cx≤d, dimana
w=
Bentuk pertidaksamaan variasional (F,Ω0) ekivalen dengan menemukan nol dari
e(v, β) := ee12((v, βv, β))
Selain itu, didefinisikan juga
r(v, β) := r
Oleh karena itu, dari pertidaksamaan kedua, solusi pertidaksamaan variasional
F,Ω0 adalah ekivalen dengan menemukan titik nol dari r(v, β) untuk setiap β >
0. Yaitu v adalah solusi dari pertidaksamaan variasional (F,Ω0) ⇐⇒ e(v, β) =
0⇐⇒r(v, β) = 0,∀β >0.
28
Step 1. Set ¯
xk =PX[xk−ηkαk(e1(vk, βk)−βkCTe3(vk, βk))],
¯
yk =yk−ηkαk[e2(vk, βk)−βkAe1(vk, βk)],
¯
zk=PZ[zk−ηkαk(e3(vk, βk)−βkCe1(vk, βk))]
dimana
αk = 1−βk/(4µ) 1 +β2
k||CTC||
Step 2. Set ¯vk = (¯xk,y¯k,z¯k)T
Step 3. Menetukan iterasi selanjutnyavk+1 = (xk+1, yk+1, zk+1)T via vk+1
=PΩ0[¯v
k
−δtkd(¯vk, βk)]
Step 4. Set k= k+1 dan selanjutnya ke Step 1. (Min, 2010).
Metodealternating direction methoddapat juga digunakan untuk memecah-kan persoalan selain persoalan pertidaksamaan variasional. Karena penggunaan metode ini sederhana asalkan daerah layak nya juga sederhana. Penggunaan algoritma yang diusulkan akan mempermudah dalam menyelesaikan persoalan tersebut. Metode ini dapat menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasio-nal dengan kedua kendala yaitu kendala persamaan dan pertidaksamaan dengan mentransformasikan dari bentuk (1,1,1) menjadi Ω0 = {(x, z) ∈ Rn ×Rl|Ax =
b, Cx+z = d, x ∈ X, z ≥ 0}. Akan tetapi hal ini akan meningkatkan persoalan pertidaksamaan variasional dari n ke n+l dan akan menyebabkan perhitungan yang lebih kompleks, terutama ketika ada banyak kendala pertidaksamaan di Ω0
29
proyeksi (Projection based approach). Sebuah algoritma dalam kategori ini tidak memerlukan perhitungan yang rumit kecuali proyeksi pada himpunan konveks Ω0.
Dan juga tidak memerlukan penggunaan turunan untuk mendefinisikan fungsi F. Penggunaan algoritma lebih sederhana dan murah pada proyeksi, tetapi jika infor-masi yang dibentuk kurang lengkap akan membuat lama. Pendekatan ini dipilih karena lebih sederhana dan dapat diaplikasikan ke masalah yang lebih luas.
4.5 Metode Proyeksi Sederhana
Selain Antipin (2000) dan Min (2010), Noor (2002) mengungkapkan metode untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional yaitu metode proyeksi sederhana. Penyelesaian pertidaksamaan variasional (F,Ω0) adalah penyelesaian
dari persamaan yang biasa
FΩnat0,D(v) :=v−ΠΩ0,D(v−D
−1
F(v)) = 0
dimanaD adalah matriksn×n dan ΠΩ0,D adalah proyektor pada Ω0 didefinisikan
oleh D, yakni untuk setiap v ∈ Rn proyeksi Π
Ω0,D adalah penyelesaian masalah
meminimalkan variabel w
min1
2(w−v)
TD(w −v)
s.t w ∈Ω0
Penyelesaian pertidaksamaan variasional bisa juga dihitung sebagai iterasi fixed point yang sederhana. Kekonvergenan dapat diperbaiki dengan memilih matriks D yang cocok, atau dengan menggunakan matriks yang berbeda di setiap iterasi. Barisan matriks yang dibutuhkan agak sulit ditemukan. Untuk menyelesaikan per-soalan pertidaksamaan variasional dengan menggunakan metode proyeksi seder-hana memerlukan algoritma yang sederseder-hana, kekurangan dari metode ini adalah jika kendalnya banyak atau kompleks maka tidak dapat menggunakan metode ini.
4.6 Metode Ekstragradien
30
Step 0. Set k = 0
Step 1.Jika vk adalah anggota dari penyelesaian pertidaksamaan variasional
(F,Ω0), kemudian stop
Step 2. Hitunglah
vk+0,5
= ΠΩ0(v
k
−wF(vk))
vk+1
= ΠΩ0(v
k
−wF(vk+0,5
)) dan kembali ke step 1 (Nagurney, 2002).
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini, penulis menganalisa metode yang digunakan untuk menye-lesaikan persoalan pertidaksamaan variasional dalam menentukan nilai vektorv∗ dengan kendala persamaan dan pertidaksamaan. Adapun metode yang digunakan yang pertama adalah metode yang melibatkan fungsi modifikasi Lagrange, kedua adalah metode prediksi type proximal, pada metode ini memilih step length keli-hatan lebih rumit pada awalnya karena meminimumkan fungsi konveks yang kuat di himpunan yang sederhana beberapa kali, yang ketiga adalah metode prediksi type gradient yang menghubungkan variabel primal dan dual. Dan Kekonverge-nan dari metode tersebut telah dibuktikan. Ketiga metode itu kurang efisien di-gunakan dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena mem-butuhkan waktu yang lama, memmem-butuhkan prediksi yang menghubungkan vari-abel primal dual, dan tidak luas cakupan aplikasinya. Penggunaan metode alter-nating direction method juga mudah digunakan karena menggunakan algoritma, akan tetapi bisa rumit jika ada banyak kendala pertidaksamaan di Ω0. Metode
yang lebih mudah dan sederhana dalam penyelesaian pertidaksamaan variasional adalah metode proyeksi sederhana dan metode ekstragradien karena penggunaan algoritma di setiap penyelesaiannya. Penggunaan algoritma lebih menarik dan cepat. Kelemahan dari algoritma tersebut adalah apabila informasi yang diteri-ma kurang lengkap akan mengakibatkan penyelesaiannya lebih laditeri-ma.
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Antipin. (1994). Saddle Gradient Processes Controlled by Feedback.Avtom. No.3. pp 12-34
Antipin. (2000). Solution Methods for Variational Inequalities with Coupled Con-straints.Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol 40, No.9. pp 1239-1254.
Hariadi V. (2009). Analisa Pemanfaatan Fungsi Penalty Pada Komputasi Penyele-saian Permasalahan Optimisasi Nonlinier.KURSDR Menuju solusi teknologi informasi. Vol 5, No.1.
Luenberger, David G. dan Yinyu, Ye. (2008). Linear and Nonlinier Programming. Third Edition. Springer.
Min, Sun. (2009). A new projection-type alternating direction method for mono-tone variational inequality problems, Journal of the Operations Research So-ciety of Japan . Vol 52, No.1, 1-10 .
Min, Sun. (2010). A new alternating direction method for co-coercive variational inequality problems with linier equality and inequality constraints. Advanced Modeling and Optimization. Vol 12, No.2.
Nagurney, Anna. (2002). Variational Inequalities.University of Massachusetts. Amherst, MA 01003.
Noor, Muhammad Aslam. (2002). Projection Type Methods for General Variation-al InequVariation-alities.Soochow Journal of Mathematics. Vol 28, No.2. pp 171-178. Noor, Muhammad Aslam. Wang, Yiju. dan Xiu, Naihua. (2003). Some new
pro-jection methods for variational inequalities. Applied Mathematics and Com-putation 137. 423-435.
Rao, S.S. (1984). Optimization : Theory and Aplications. Wiley Eastern Limited. Sofonea, Mircea. (2009). Variational inequalities with applications. Advances in
Mechanics and mathematics. Vol. 18.
Solodov, M. V. dan Tseng, Paul. (1996). Modified projection-type methods for monotone variational inequalities. SIAM J Control and Optimization. Vol 34, No.5, pp. 1814-1830
