•
JIka
maka:
•
det(A)
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
23
–
a
13
a
22
a
13
–
a
11
a
23
a
32
- a
12
a
21
a
33
atau
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
23 31
22 21
12 11
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2 2 0 1 1 1 2 3 B
Tentukan determinan matriks
Jawab :
1 2 2 0 1 1 1 2 3 det B ) 1 )( 1 )( 2 ( ) 2 )( 0 )( 3 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 1 )( 1 ( ) 2 )( 0 )( 2 ( ) 1 )( 1 )( 3 ( 2
0
2
2
0
3
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
•
M
ijdisebut
Minor-
ij
yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
nn n n n na
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
:
:
:
...
...
2 1 2 22 21 1 12 11
2
1
0
1
2
1
0
1
2
A
131 2
maka
1
0 1
C
ijdinamakan
kofaktor -
ij
yaitu (-1)
i+jM
ij
Contoh :
maka
= (
–
1)
3.2
=
–
2
2 0
1 1 11 2
12
C
2 1 0
1 2 1
0 1 2
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-
i
det (A) =
a
i1
C
i1
+
a
i2
C
i2
+ . . . +
a
in
C
in
=
•
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-
j
det (A) =
a
1j
C
1j
+
a
2j
C
2j
+ . . . +
a
nj
C
nj
=
1
n
ij ij j
a c
1
n
ij ij i
a c
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (
A
)
dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris
ke-3
2
1
0
1
2
1
0
1
2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
3
3 3 31 31 32 32 33 33 1
det( )
j jj
A
a c
a c
a c
a c
3 1 4
31 31
1 0
( 1)
( 1)
1 (1)(1) (0)(2)
1 0 1
2 1
c
M
3 2 5
32 32
2 0
( 1)
( 1)
1 (2)(1) (0)(1)
1(2 0)
2
1 1
c
M
3 3 6
33 33
2 1
( 1)
( 1)
1 (2)(2) (1)(1)
4 1 3
1 2
c
M
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)
0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
•
Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (A
t)
•
Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran
sama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
•
Jika A mempunyai invers maka :
)
det(
1
)
det(
1A
Misalkan
A
n x ndan
C
ijadalah kofaktor
aij
,
maka
Matriks
C
dinamakan
matriks kofaktor
A.
Transpos dari matriks ini dinamakan
adjoin
A,
notasi
adj
(A)
11 12 1 21 22 2
1 2
...
...
:
:
:
...
n nn n nn
a
a
a
a
a
a
a a
a
A
11 12 1
21 22 1
1 2
n n
n n nn
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
TC
A
adj
(
)
•
Misalkan A memiliki invers maka :
•
Langkah-langkah mencari invers dengan matriks
adjoin :
•
Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor
•
Tentukan kofaktor dari A
•
Tentukan Matriks Kofaktor A
•
Tentukan Matriks Adj(A)
1
1
( )
det( )
A
adj A
A
Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.
Solusi:
1
0
2
2
1 3
4
1
8
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c
c
c
C
c
c
c
c
c
c
11
1 3
1
8
(( 1)(8) (3)(1))
8 3
11
c
122 3
4 8
((2)(8) (3)(4))
(16 12)
4
c
13
2
1
4
1
((2)(1) ( 1)(4))
(2 4) 6
c
21 0 2 1 8 ((0)(8) (2)(1)) (0 2) 2c
22 1 2 4 8 ((1)(8) (2)(4)) 0 c 23 1 0 4 1 ((1)(1) (0)(4)) (1 0) 1
c
31
0 2 1 3
((0)(3) (2)( 1)) (0 2) 2
c 32 1 2 2 3 ((1)(3) (2)(2)) 1(3 4) 1
c
33
1 0 2 1
((1)( 1) (0)(2)) ( 1 0) 1
c
•
Matriks Kofaktor
Matriks Adjoin (adj(A))
•
Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
11
2
2
( )
4
0
1
6
1
1
adj A
1
0
2
1 3
2
3
2
1
det( )
2
1 3
1
0
2
1
8
4
8
4
1
4
1
8
1 ( 1)(8)
(3)(1)
0
2 (2)(1)
( 1)(4)
( 8 3)
2(2
4)
11 12
1
A
11
4
6
2
0
1
2
1
1
C
•
Invers Matriks A
1
11
2
2
11
2
2
1
1
( )
4
0
1
4
0
1
det( )
1
6
1
1
6
1
1
A
adj A
A
1
11
2
2
4
0
1
6
1
1
A
Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris
4 2 0 3 2 1 1 2 3 -A 4 2 0 1 2 3 3 2 1 ~ 2 1 b b
• Contoh : OBE 2
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
• Contoh : OBE 3
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain.
3 1 1 2 7 1 2 0 4 0 4 4 A 1
1 -1 0 -1
1
~ 0 2 1 7
4
2 -1 1 3
b
Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼
3
1
1
2
7
1
2
0
1
0
1
1
A
1 31 -1 0 -1
2
~ 0 2 1 7
0 1 1 5
b
b
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena
pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris
ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)
dinamakan satu utama.
Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada
baris ke-3 adalah nol.
1
1
1 3
0
0
2
1
0
0
0
0
1.
Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan
satu utama
).
2.
Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat
1 utama yang lebih ke kanan
.
3.
Jika ada
baris nol
(baris yang semua unsurnya nol),
maka ia
diletakkan pada baris paling bawah
.
4.
Pada
kolom yang memuat unsur 1 utama
, maka
unsur yang lainnya adalah nol
.
Matriks dinamakan
esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan
esilon baris tereduksi jika
•
Tentukan matriks esilon baris tereduksi
dari:
•
Solusi
1 -1 0 -1 0 -2 2 8 3 1 -1 2
A
1 3
1 -1 0 -1 ~ 3 0 -2 2 8
0 4 -1 5
b b
1 -1 0 -1 0 -2 2 8 3 1 -1 2
2
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -4 2
0 4 -1 5
b 2 3
1 -1 0 -1 ~ 4 0 1 -1 -4
0 0 3 21
2 1
1 0 0 2 ~ 0 1 0 3 0 0 1 7
b b
3
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -4 3
0 0 1 7
b 3 2
1 -1 0 -1 ~ 0 1 0 3
0 0 1 7
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena
Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 7
Tentukan determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor
2
1
1
1
2
1
1
1
2
C
3
2 0
0
1
0
4
4
1
D
2
0
0
0
4
3
0
1
2
A
1
0
5
2
1
7
3
1
1
B
1
0
2
2
1 3
4
1
8
E
4
1
8
2
1 3
1
0
2
F
1
0
2
3
1 3
4
1
8
G
1
0
2
6
1 3
4
1
8
•
Tentukan invers dari matriks berikut dengan
menggunakan matriks adjoin:
2
2
1
1
3
0
5
4
3
A
1
2
2
2
3
2
1
5
3
B
1
0
2
2
1 3
4
1
8
C
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut:
1.
2.
2 5 1 1
1 3 0 1 2 3 4 2
3
5
2
2
2
3
4
3
1
2
1
1
