Pertemuan ke-1. Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Pertemuan Ke-1

Arti Geometri Sistem Linier

Persamaan Linier umum dalam n variabel (peubah) mempunyai bentuk :

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃ x₃ + … + a_nx_n = b

Dengan b, a₁ , a₂ , a₃ , … , a_n adalah konstanta.

Sistem Persamaan Linier (SPL) m x n adalah m persamaan linier dengan n variabel (peubah) yang bentuknya:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃ x₃ + … + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃ x₃ + … + a_2nx_n = b₂ a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃ x₃ + … + a_3nx_n = b₃ :

:

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3 x₃ + … + a_mnx_n = b_m

Cara Penyelesaian SPL

Cara untuk menyelesaikan SPL yang telah

dipelajari adalah dengan menggunakan dua metode, Yaitu :

1. Metode Substitusi 2. Metode Eliminasi

Contoh 1:

Suatu SPL terdiri dari 3 persamaan linier dan 3 Variabel sebagai berikut:

x + y + z = 2 x - y + z = 0

2x + 3y + 6z = 1

Penyelesaian Metode Substitusi

x + y + z = 2 x - y + z = 0

2x + 3y + 6z = 1 x + y + z = 2

x = y - z 2x + 3y + 6z = 1 (y-z) + y + z = 2

2(y-z) + 3y + 6z

= 1

2y = 2 5y + 4z = 1 y = 1 5(1) + 4z = 1 y = 1 4z = -4

y = 1 z = -1

Karena x = y –z Maka :

x = 1 – (-1) x = 2

Solusinya x = 2

y = 1 z = -1

Penyelesaian Metode Eliminasi

x + y + z = 2 x - y + z = 0

2x + 3y + 6z = 1

Peubah y akan dieliminasi dari persamaan pertama dan kedua sebagai berikut:

x + y + z = 2

x - y + z = 0 (+) 2x+ 2z = 2

Peubah y akan dieliminasi dari persamaan pertama dan ketiga sebagai berikut:

x + y + z = 2 (kalikan 3) 3x + 3y + 3z = 6

2x + 3y + 6z = 1 (kalikan 1) 2x + 3y + 6z = 1 (-)

x – 3z = 5 Hasil yang diperoleh:

2x+ 2z = 2 x – 3z = 5

x akan dieliminasi dari kedua Persamaan di atas:

2x + 2z = 2 (kalikan 1) 2x + 2z = 2

x - 3z = 5 (kalikan 2) 2x - 6z = 10 (-) 8z = -8 ―> z = -1

2x + 2z = 2 ―> 2x + 2(-1) = 2 ―> 2x - 2 = 2

―> x = 2

x + y + z = 2 ―> (2) + y + (-1) = 2 ―> y = 1

Solusinya

x = 2, y = 1, z = -1

MATRIKS

 Definisi

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n



















mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A









2 1

2 22

21

1 12

11



Baris ke-i dari A adalah :

• Kolom ke-j dari A adalah :

• Matriks A dapat juga ditulis : A = [a

_ij

]

• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a

₁₁

, a

₂₂

, …, a

_nn

disebut dengan diagonal utama



^a_i1 ^a_{i2 } ^a_in



^{(1 i  m)}

) 1

2 (

1

n j

a a a

mj j j



























Jenis – jenis Matriks

1. Matriks Diagonal

 Matriks dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu

a

_ij

= 0 untuk i  j 2. Matriks Skalar

 Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu

a

_ij

= c untuk i = j dan a

_ij

= 0 untuk i

 j

3. Matriks Segitiga Atas

 Matriks dengan elemen dibawah

diagonal utama adalah nol

Jenis – Jenis Matriks

4. Matriks Segitiga Bawah

 Matriks dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol

5. Matriks Identitas

 Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu

a

_ij

= 1 untuk i = j dan a

_ij

= 0 untuk i  j 6. Matriks Nol

 Matriks yang seluruh elemennya

adalah nol.

Operasi Matriks

 Persamaan Dua Matriks

 Penjumlahan Matriks

 Perkalian Skalar dan Matriks

 Transpose Matriks

 Perkalian Matriks

Persamaan Dua Matriks



Definisi

Dua matriks A = [a

_ij

] dan B = [b

_ij

] dikatakan sama jika :

a

_ij

= b

_ij

, 1  i  m, 1  j  n

yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

• Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w

= -1,

x = -3, y = 0, dan z = -5















































z y

x

w B

dan A

4

4 2

2 1

5 4

0

4 3

2

1 2

1

Penjumlahan Matriks

 Definisi

Jika A = [a_ij] dan B = [b_ij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlahan A dan B adalah matriks C = [c_ij] ukuran m x n dengan

c_ij = a_ij + b_ij Contoh

Diberikan Matriks A dan B adalah

maka



 







 

3 1

2

4 2

A 1 _



 



 

 1 3 1

4 2

B 1



 



 

 3 2 4

0 0

B 2 A

Perkalian Skalar & Matriks

 Definisi

Jika A = [a_ij] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka

perkalian skalar rA adalah matriks B

= [b_ij] ukuran m x n dengan b_ij = r a_ij

• Contoh

Jika r = -3 dan maka

 1  2 4 

 A

  3 6  12 



rA

Transpose Matriks

 Definisi

Jika A = [a_ij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks

A^t = [a_ij^t] ukuran n x m dengan a_ij^t = a_ji

• Contoh

maka



 







 

2 5

0

3 2

A 4























2 3

5 2

0 4

At

Perkalian Matriks



Definisi

Jika A = [a

_ij

] ukuran m x p dan B = [b

_ij

] ukuran p x n, maka perkalian A dan B,

dinotasikan AB, adalah matriks C = [c

_ij

] ukuran m x n dimana

c

_ij

= a

_i1

b

_1j

+ a

_i2

b

_2j

+ … + a

_ip

b

_pj

Ilustrasi

row_i(A)col_j(B) = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj = c_ij

row_i( A)

Col_j(B)

























mp m

m

ip i

i

p p

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a













2 1

2 1

2 22

21

1 12

11





















pn pj

p p

n j

n j

b b

b b

b b

b b

b b

b b















2 1

2 2

22 21

1 1

12 11



















mn m

m

ij

n n

c c

c

c

c c

c

c c

c













2 1

2 22

21

1 12

11

SOLUSI SPL MENGGUNAKAN MATRIKS

 SPL berbentuk :

 dapat dibawa ke persamaan :

 atau A x = b

 Sistem diatas disebut dengan sistem non homogen

m n

mn m

m

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

































2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11



















































m n

mn m

m

n n

b b

b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a













2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

Definisi #1 Definisi #1

Suatu matriks m x n dikatakan berbentuk eselon baris tereduksi, jika memenuhi sifat berikut :

1. Jika ada baris yang terdiri dari nol semuanya, maka baris tersebut terletak paling bawah dari matriks.

2. Elemen pertama yang tidak nol dari tiap baris adalah elemen 1, dan ini disebut dengan leading element dari baris tersebut.

Definisi #2 Definisi #2

3. Jika baris ke-i dan ke-i+1 adalah dua baris yang berurutan yang tidak terdiri dari nol semuanya, maka leading element dari baris i+1 terletak disebelah kanan dari leading elemen dari baris i.

4. Jika satu kolom memuat leading elemen

dari sebarang baris, maka semua

elemen selain leading elemen adalah

nol.

Contoh matriks eselon baris tereduksi Contoh matriks eselon baris tereduksi

 







 









2 1

0 0

5 0

1 0

4 0

0 1

A

 







 









0 1

0 0

0

1 0

1 0

0

2 0

0 2

1 B

 

 

 





 

 

 







0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

1 0

0 0

0

0 0

1 0

0

0 3

0 0

1

C

Contoh

^matriks

yang bukan

eselon baris tereduksi

Contoh

^matriks

yang bukan

eselon baris tereduksi

 







 











3 1

0 0

0 0

0 0

4 0

2 1

D

 







 











2 1

0 0

5 2

2 0

4 3

0 1

E

 

 





 

 





 

0 0

0 0

2 2

1 0

5 2

1 0

4 3

0 1

F

















 

0 0

0 0

2 1

0 0

5 2

1 0

4 3

2 1

G

Bagaimana membentuk sembarang matriks menjadi matriks eselon baris tereduksi ?

Bagaimana membentuk sembarang matriks menjadi matriks eselon baris tereduksi ?

1. Menukar sebarang dua baris dari suatu matriks 2. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol 3. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol

kemudian menjumlahkannya ke baris yang lain.

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Contoh. 2

Sistem Persamaan Linier x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 5z = -3 3x + 5y + 11z = 2

Gunakan Operasi Baris Elementer (OBE)

Penyelesaian : Penyelesaian :

 Diberikan matriks :

 R2 <― R2 – 2.R1:

 R3 <― R3 – 3.R1:



 







 











2 11

5 3

3 5

5 2

1 3

2 1

A

 







 













2 11

5 3

5 1

1 0

1 3

2 1

A

 







 

















1 2

1 0

5 1

1 0

1 3

2 1

A

R3 <― R3 + R2:

R1 <― R1 - 3R3:

R2 <― R2 + R3:

 







 















6 1

0 0

5 1

1 0

1 3

2 1

A

 







 















6 1

0 0

5 1

1 0

19 0

2 1

A

 







 













6 1

0 0

11 0

1 0

19 0

2 1

A

R1 <― R1 - 2R2:

Maka didapatkan himpunan penyelesaian:

X = 41 Y = -11 Z = -6

 







 













6 1

0 0

11 0

1 0

41 0

0 1

A

Contoh. 3

 Tentukan Penyelesaian non-trivial dari SPL homogen dibawah ini:

x₁ + x₂ + x₃ - 3x₄ = 0 3x₁ - 2x₂ - 17x₃ + 16x₄ = 0 3x₁ + 2x₂ - x₃ - 4x₄ = 0

Gunakan Operasi Baris Elementer (OBE)

Penyelesaian

Diberikan matriks :

R2 <― R2 – 3.R1:

 







 



















0 :

4 1

2 3

0 :

16 17

2 3

0 :

3 1

1 1

A

 







 



















0 4

1 2

3

0 25

20 5

0

0 3

1 1

1

A

R2 <― -(1/5)R2:

R3 <― R3 - 3R1:

R3 <― R3 + R2:

 







 

















0 4

1 2

3

0 5

4 1

0

0 3

1 1

1 A

 







 

















0 5

4 1

0

0 5

4 1

0

0 3

1 1

1 A

 







 













0 0

0 0

0

0 5

4 1

0

0 3

1 1

1

A

R1 <― R1 - R2:

Maka didapatkan himpunan penyelesaian:

x₁ - 3x₃ + 2x₄ = 0 x₂ + 4x₃ - 5x₄ = 0 Sehingga:

x₁ = 3x₃ - 2x₄ x₂ = -4x₃ + 5x₄

Ambil x₃ = a dan x₄ = b

 







 













0 0

0 0

0

0 5

4 1

0

0 2

3 0

1

A

Jadi Penyelesaian Non trivialnya adalah : x₁ = 3a - 2b

x₂ = -4a + 5b x₃ = a

x₄ = b

Dengan sembarang nilai a dan b

Contoh 4

 Tentukan Penyelesaian SPL homogen dibawah ini:

x - y + z = 0 (-x ) + 3y + z = 5 3x + y + 7z = 0

Gunakan Operasi Baris Elementer (OBE)

Tugas 1

1. Selesaikan SPL dibawah ini dengan Metode Substitusi dan Operasi baris Elementer.

a + b + c = 2 a + b + 2c = 0 2a + b + 3c = 1

2. Selesaikan SPL dibawah ini dengan Metode Eliminasi dan Operasi Baris Elementer.

4a + 3b + 5c = 2 2a - 6b + 4c = -42 a - b + c = -5

Tugas 1

3. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglah a. AB d. CB + Dg. BA + FD b. BA e. AB + DF h. A(BD) c. A(C + E) f. (D + F)A



 



 

2 4

0

3 2

A 1























4 0

5 2

1 3

B



























2 2 3

4 0

2

3 3 1

C 



 



 

2 1

5 D 4

























3 1

3

2 0

2

5 4

6

E 



 







 

1 5

2 F 3

TERIMAKASIH