METODE LAGRANGE METODE LAGRANGE
Kita mulai dengan membedakan dua jenis
Kita mulai dengan membedakan dua jenis persoalan. Untuk menentukan nilai minimum daripersoalan. Untuk menentukan nilai minimum dari
adalah sebuah soal ekstrem bebas (free extremum). Untuk menentukan nilai minimium dari adalah sebuah soal ekstrem bebas (free extremum). Untuk menentukan nilai minimium dari
yang terkena kondisi yang terkena kondisi
adalah sebuah soal ekstream terkendala. adalah sebuah soal ekstream terkendala. Banyak persoalan di dalam dunia nyata, khususnya dalam dunia ekonomi, yang menerapkan jenis yang Banyak persoalan di dalam dunia nyata, khususnya dalam dunia ekonomi, yang menerapkan jenis yang terakhir. Contohnya, sebuah pabrik bermaksud untuk memaksimumkan keuntungan, tetapi terkendala terakhir. Contohnya, sebuah pabrik bermaksud untuk memaksimumkan keuntungan, tetapi terkendala oleh jumlah bahan baku yang tersedia, kapasitas tenaga kerja,oleh jumlah bahan baku yang tersedia, kapasitas tenaga kerja, dan sebagainya.dan sebagainya.
Contoh 4 pada subbab sebelumnya merupakan contoh soal ekstrem terkendala. Kita diminta untuk Contoh 4 pada subbab sebelumnya merupakan contoh soal ekstrem terkendala. Kita diminta untuk menentukan jarak minimum dari permukaan
menentukan jarak minimum dari permukaan
ke titik asal. Kita telah merumuskan masalah ke titik asal. Kita telah merumuskan masalah seperti dengan meminimumkanseperti dengan meminimumkan
yang dikenali kendala yang dikenali kendala
. Kita. Kita menangani masalah ini dengan mensubtitusikan nilai zmenangani masalah ini dengan mensubtitusikan nilai z22 dari kendala tersebut dalam persamaan d dari kendala tersebut dalam persamaan d22 dan dan kemudian menyelesaikan soal ekstrem bebas (yaitu tak terkendala). Contoh 5 pada subbab sebelumnya kemudian menyelesaikan soal ekstrem bebas (yaitu tak terkendala). Contoh 5 pada subbab sebelumnya juga merupakan
juga merupakan soal optimasi terkendala. Kita soal optimasi terkendala. Kita telah mengetahui bahwa telah mengetahui bahwa nilai maksimum terjadi di nilai maksimum terjadi di batasbatas daerah S, sehingga pada soal tersebut kita harus memaksimumkan
daerah S, sehingga pada soal tersebut kita harus memaksimumkan
yang dikenali yang dikenali kendalakendala
. Soal ini diselesaikan dengan menentukan sebuah parametrisasi untuk suatu. Soal ini diselesaikan dengan menentukan sebuah parametrisasi untuk suatu batasan tersebut dan kemudian memaksimumkan sebuah fungsi dengan satu peubah (peubah yang batasan tersebut dan kemudian memaksimumkan sebuah fungsi dengan satu peubah (peubah yang menjadi parameter dalam kendala tersebut). Meskipun demikian, sering terjadi bahwa persamaan menjadi parameter dalam kendala tersebut). Meskipun demikian, sering terjadi bahwa persamaan kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu peubah atau bahwa kendala tersebut tidak dapat kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu peubah atau bahwa kendala tersebut tidak dapat diparametrisasi dengan menggunakan satu peubah. Bahkan ketika salah satu dari caradiparametrisasi dengan menggunakan satu peubah. Bahkan ketika salah satu dari cara – – cara ini dapat cara ini dapat diterapkan, masih terdapat metode lain yang lebih sederhana; metode ini disebut
diterapkan, masih terdapat metode lain yang lebih sederhana; metode ini disebut pengali Lagrangepengali Lagrange ((Lagrange multiplier Lagrange multiplier ).).
TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE
Pertama mari kita pandang kasus dimana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) Pertama mari kita pandang kasus dimana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0. Gambar 1 member
Kurva ketinggian dari f adalah kurva – kurva f(x,y) = k, dengan k suatu konstanta. Kurva – kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva – kurva hitam pada Gambar 1 untuk k = 200, 300, …., 700. Grafik dari kendala g(x,y) = 0 juga berupa sebuah kurva; ia diperlihatkan dalam warna pada Gambar 1.
Untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala, secara geometri jelas dari Gambar 1 bahwa kurva ketinggian yang demikian menyinggung kurva kendala di suatu titik P0(x0,y0) dan karenanya nilai
maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah f(x0,y0). Titik singgung lainnya P1(x1,y1) memberikan nilai
minimum f(x1,y1) dari f terhadap kendala g(x,y) = 0.
Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1. Karena di titik –
titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (yaitu, mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi di sebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradient
adalah tegak lurus bersama terhadap kurva ketinggian (Pasal 15.5), dan dengan cara serupa
adalah tegak lurus terhadap kurva kendala. Jadi,
dan
sejajar di P0 dan juga di P1yaitu(
)
(
)
dan(
)
(
)
Untuk suatu bilangan
dan
taknol.Argumentasi yang baru saja diberikan diterima sebagai suatu intuisi tetapi ia dapat dibuat secara lengkap setepat-tepatnya di bawah hipotesis yang cocok. Tambahan pula, argumentasi ini bekerja dengan baik untuk masalah pemaksimuman atau peminimuman f(x, y, z) terhadap kendala g(x, y, z) = 0.
Kita cukup memandang permukaan ketinggian alih – alih kurva ketinggian. Sebenarnya, hasil tersebut sahih dalam sebarang banyak peubah.
Semuanya ini menyarankan formulasi metode pengali Lagrange berikut.
PENETAPAN Kita ilustrasikan metode tersebut dengan beberapa contoh.
CONTOH 1 Berapa luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegipanjang jika panjang diagonalnya 2 ?
Penyelesaian Letakkan persegipanjang itu dikuadran pertama dengan dua sisinya sepanjang sumbu-sumbu koordinat; maka titik sudut yang berhadapan dengan titik asal mempunyai koordinat (x,y), dengan x dan y positif. Panjang diagonalnya adalah
= 2 dan luasnya adalah xy.Jadi kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) =
= 0. Gradien yang berpadanan adalah( )
( )
( )
( )
( )
( )
Sekarang persamaan – persamaan Lagrange menjadi(1)
()
(2)
()
(3)
Teorema A
(Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0, selesaikan system persamaan
() ()
dan g(p) = 0Untuk p dan
Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan
yang berpadanan disebut pengali Lagrange.Yang harus kita selesaikan secara serentak. Jika persamaan pertama kita kalikan dengan y dan persamaan kedua dengan x, kita peroleh
dan
, dari mana(4)
Dari (3) dan (4), kita temukan x =
√
dan y =√
; dan dengan penyulihan nilai-nilai ini ke dalam (1), kita dapatkan
. Jadi penyelesaian persamaan (1) – (3), dengan membuat x dan y positif, adalah x =
√
, y =√
,
.
Kita simpulkan bahwa persegipanjang yang luasnya terbesar dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya
√
. Luasnya adalah 2. Tafsiran geometri masalah ini diperlihatkan pada Gambar 2. CONTOH 2 Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari( )
Pada elips
Penyelesaian Lihat ke Gambar 2 dari Pasal 15.8 untuk grafik dari paraboloid hiperbola
( )
Dari gambar ini, tentu saja kita akan menerka bahwa nilai minimum terjadi di ()
dan nilai maksimum di (0,)
. Tetapi mari kita berikan alas an dugaan ini.Kita boleh menuliskan kendala sebagai
( )
. Sekarang
Dan
Persamaan – persamaan Lagrange adalah
(1)
(2)
Perhatikan dari persamaan ketiga bahwa x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol. Jika x
0, persamaan pertama menyimpulkan bahwa
= -1, kemudian persamaan kedua masyarakat bahwa y = 0. Kita simpulkan dari persamaan kedua bahwa x =
. Jadi kita telah memperolah titik – titik kritis ()
. Argumentasi yang persis sama, dengan y
0 menghasilkan
= ¼ dari persamaan kedua, kemudian dari persamaan pertama x = 0, dan akhir dari persamaan ketiga y =
. Kita simpulkan bahwa (0,)
juga merupakan titik – titik kritis.Sekarang untuk
