METODE LAGRANGE
METODE LAGRANGE
Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.
mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.
Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau minimum relative dari fungsi
minimum relative dari fungsi f(x,y)f(x,y) yang dipengaruhi oleh fungsi persyaratanyang dipengaruhi oleh fungsi persyaratang((x,y)g((x,y) = 0, terdiri= 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.
atas pembentukan fungsi penolong. F(
F(x,yx,y,, ) ) = = f(xf(x,y) ,y) + + g(g(x,yx,y)) dengan persyaratan :
dengan persyaratan :
= 0 ,
= 0 ,
=
= 0,
0,
=
= 0
0
yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter
yang tidak tergantung pada x, dan y disebut
yang tidak tergantung pada x, dan y disebutpepengali ngali llagrangeagrange..
1.Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange
1.Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange
Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter sebagai
sebagai pengali lagrange pengali lagrange..
Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk
berbentuk
F(
F(x,yx,y,, ) ) = = f(xf(x,y) ,y) + + g(g(x,yx,y)) Fungsi
Fungsi penolopenolong Fng F(x,y,(x,y, ) in) ini adi adalah alah fungsfungsi dai dari ri tiga tiga variavariabel bel x,y dx,y dan an ..
Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(
juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) dengan x,y) dengan persyaratan g((x,y) = 0persyaratan g((x,y) = 0
Maka harus dipenuhi persyaratan: Maka harus dipenuhi persyaratan:
= + = 0
= + = 0
= g(x,y) = 0
Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f(x,y).
Contoh 1 :
Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = x + y – 16 = 0 jawab :
F(x,y, )=f(x,y) + g(x,y) = xy + (x + y - 16) = y + = 0 y = = x + = 0 x = = x + y – 16 – 16 = 0 = 16 = -8 karena = -8, maka : x = y = x = 8 y = 8
titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai minimum f(x,y) = xy = 8.8
=16 ( nilai minimum)
Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkos gabungan adalah : C(x,y) = x2 + 3xy – 6y
Untuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin.
Jawab :
persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42, ditulis : g(x,y) = x + y – 42 = 0
fungsi penolongnya :
F(x,y, ) = C(x,y) + g(x,y)
= (x2 + 3xy – 6y) + (x + y – 42)
= 2x + 3y + = 0
= 3x – 6 + = 0
= x + y – 42 = 0
Penyelesaian dari sistem di atas memeberikan
x = 33 y = 9 =
maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9 mesin y.
2.Kasus Dengan Dua Pengali Lagrange
Metode pengali lagrange diperluas untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan lebih
dari suatu persyaratan. Untuk masalah seperti ini, digunakan dua parameter, yaitu dan atau lebih, yang tidak tergantung pada x dan y. Metode lagrange ini juga dapat diperluas untuk menyelesaikan fungsi yang melibatkan tiga variabel atau lebih.
Untuk memperoleh nilai relatif maksimum atau minimum dari fungsi F(x,y,z) dengan
persyaratan ( x,y,z) = 0, dibentuk fungsi pembantu.
G(x,y,z, ) = F(x,y,z) + ( x,y,z)
Metode ini dapat diperluas jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari fungsi dengan beberapa variabel dan beberapa fungsi syarat.
Misalkan kita ingin mencari nilai-nilai maksimum dan minimum fungsi F(x1, x2,x3,….,xk ) yang harus memenuhi kendala 1 (x1, x2,…,xn) = 0, 2(x1,x2,…, xn) = 0……… k (x1,x2,…,xn) = 0 dibentuk fungsi penolong G(x1,x2,…, xn, 1,……. k ) = F + 1 + 2+… k k
Yang memenuhi persyaratan
= 0, = 0, …. = 0, = 0, = 0
Dengan 1, 2, …. k tidak tergantung pada x1, x2. . .,xn dan disebut pengali lagrange.
Contoh 3
Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f(x,y,z) = xy + xz dan titik (x,y,z) terletak pada perpotongan antara permukaan antara permukaan x2+ z2= 2 dan yz = 2.
Jawab :
Fungsi penolongnya :
F(x,y,z, , ) = (xz + yz) + (x2+ z2 – 2) + (yz – 2)
= z + 2 x = 0 = x + y + 2 z + z = 0
= z + z = 0 = x2+ z2 – 2 = 0
= –
subsitusikan ke : x + y + 2 z + z = 0
x + y + 2
(
–)
z + ( – 1)y = 0 x + y – – y = 0 diperoleh x2= z2subsitusikan kedua persamaan terakhir menghasilkan:2x2 – 2 = 0 atau x2 = 1 x
Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z =1 dan z = – 1.
Persamaan yz – 2 = 0 memberikan y =2 jika z = 1 dan y = – 2 jika z = – 1. Diperoleh kelompok penyelesaian
x = 1 , y = 2 , z = 1
,
= –,
= – 1x = 1 , y = – 2, z = – 1, =
,
= – 1x = – 1 y = 2 , z = 1 = = – 1
x = – 1 y = – 2, z = 1 = – = – 1
kelompok penyelesaian pertama dan keempat menghasilkan f(x,y,z) = 3, dan kelompok kedua dan ketiga memberikan f(x,y,z) = 1. Maka f(x,y,z) mempunyai nilai maksimum relatif = 3 dan minimum relatif = 1
Contoh 4
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y,z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan potongan tabung x2+ y2= 2 dan bidang y + z = 1
Jawab :
F(x,y,z, , ) = (x + 2y + 3z) + (x2+ y2 – 2) + (y + z – 2)
2) = 2 + 2 y + = 0 4) = x2+ y2 – 2 = 0
5) = y + z – 1 = 0 Dari persamaan 3) diperoleh : = – 3
Persamaan 1) 1 + 2 x = 0 Persamaan 2) 2 + 2 y + = 0 x = - 2 + 2 y – 3 = 0 y = subsitusikan ke persamaan 4) = x2+ y2 – 2 = 0 = ( -
)
2+ ()
2= 2 = untuk = x = -1 y = 1 z = 0 maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = -1 + 2(1) + 0 = 1 (nilai minimum) Untuk = x = 1 y = -1 z = 2 Maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = 1 + 2(-1) + 3(2) = 5 (nilai maksimum)Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1.
Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien ∇f tegak lurus terhadap kurva ketinggian,
dan dengan cara serupa ∇g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, ∇f dan ∇g sejajar di Po dan juga P1. Yaitu:
∇f(Po) = λ 0∇g (P0) dan ∇f(P1) = λ 1∇g (P1)
λ adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien mungkin berbeda.
Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk fungsi objektifnya adalah;
F ( x, y,
λ
) =
f (x,y)
– λ
.
g (x, y)
Diferensiasikan F ( x, y, λ ) secara Parsial terhadap x, y dan λ dan dinyatakan hasilnya sama de ngan nol.
=
-
λ
= 0
=
-
λ
= 0
=
g (x, y)
= 0
Jadi, bila batasan terpenuhi g (x, y) = 0, yang berarti λ g (x, y) = 0 ( terlepas nilai λ ). Dalam hal ini fungsi obyektif menjadi fungsi f (x,y) tanpa batasan. Sehingga kemungkinan maksima atau minima memenuhi kendala.
Untuk ttik kritis x = a, y = b, maka :
Bila = 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan Bila = 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan
Δ* = = 2
Maka bila
Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila < 0 dan
Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila > 0 dan
Perhatikan :
Bila Δ < 0,berarti titik krisis bukanlah merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima tanpa kendala)
Bila Δ* < 0 titik krisis dapat merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima berkendala).
Hal ini berhubungan dengan kenyataan bahwa suatu titik dapat merupakan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kendala walaupun bukan merupakan maksima atau minima fungsi tanpa kendala ( Kondisi yang perlu untuk mencari nilai kritis adalah : Fx= 0, Fy= 0)
Adapun Cara yang mudah untuk menentukan nilai maksima atau minima dengan kendala 1. Fxx. Fyy – F2xy > 0 maka
Maksimum bila Fxx< 0, dan Fyy < 0 Minimum bila Fxx> 0, dan Fyy> 0
2. Fxx. Fyy – F2xy ≤ 0 maka tes gagalsehingga harus diuji untuk nilai sekitar nilai kritis.
Catatan :
Metode lagrange ini dapat diperluasuntuk fungsi dan variabel n f ( x1 , x2, x3,..., xn ) dengan
kendala g ( x1 , x2, x3,..., xn ) = 0
Contoh :
1. Carilah maksima atau minima untuk f (x, y)= x2 +3 y2 - xy dengan kendala x + y = 1. Penyelesaian:
F ( x, y,λ ) =x2 +3 y2 – xy – λ .(x + y – 1)
=
2 x – y – λ=
x+ y – 1Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka 2 x – y – λ = 0
6y – x – λ = 0
x + y – 1 = 0
dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = , y = ,λ = Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi
= 2
= 6
= -1
Δ* = (2) (6) – (-1)2 = 13
> 0 dan
> dan juga
Δ* >0
Maka titik
(
, ) adalah minimum dari f (x ,y)2. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = 3x2 – xy + 4y2 terhadap kendala 2 x +y = 21 Penyelesaian: F ( x, y,λ ) = 3x2 – xy + 4y2 – λ ( 2 x +y – 21)
=
6x – y – 2λ=
- x + 8y – λ=
2 x +y – 216x - y – 2λ = 0 - x + 8y – λ = 0 2 x +y – 21 = 0
dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = 8,5 , y = ,λ = 35. Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi
= 6
= 8
= -1
Δ* = (6) (8) – (-1)2 = 47
> 0 dan
> dan juga
Δ* >0
Maka titik
(
) adalah minimum dari f (x ,y)3. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = x y – x2 – y2 terhadap kendala x + y = 20 Penyelesaian: F ( x, y,λ ) = xy – x2 – y2 – λ (x + y = 20)
=
-2x + y – λ=
x - 2y – λ=
x + y = 20Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka -2x + y – λ = 0
x - 2y – λ = 0 x + y - 20 = 0
dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-10 , y = ,λ = 80 Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi
= -2
= -2
= 1
Δ* = (-2) (-2) – (1)2 = 3
< 0 dan
< 0 dan juga
Δ* >0
Maka titik
(
) adalah maksimum dari f (x ,y)4. Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 3x2 + y2 – xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 10, sehingga fungsi kendalanya x + y = 10
Penyelesaian
F ( x, y,λ ) = 3x2 + y2 – xy – λ (x + y = 10)
=
6x - y – λ=
2y – x – λ=
x + y = 10Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka 6x - y – λ = 0
2y – x – λ = 0 x + y - 10 = 0
dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-3 , y = ,λ =11 Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi
= 2
= -1
Δ* = (6) (2) – (-1)2 = 11
> 0 dan
> 0 dan juga
Δ* >0
Maka titik ( ) adalah minimum dari f (x ,y) Latihan1. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy – 3x2 – 4 y2 dengan kendala x + y = 14
2. Carilah maksima atau minima untuk f (x, y)= 6x2 + y2 – xy dengan kendala 3x – 2y =15
3. Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis sepeda x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 2x2 + 10y2 – xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 26 !
