Solusi Kuis 6

(1)

Depart

Departemen emen TTeknik eknik InforInformatikmatika a NamaNama :………:……… FFaakkuullttaas s TTeekknnoollooggi i IInndduussttrrii NNIIMM ::……… IInnssttiittuut t TTeekknnoollooggi i BBaanndduunngg TT..ttaannggaann::………

Kuis ke-6 IF2! Matematika Diskrit "# $K$% Kuis ke-6 IF2! Matematika Diskrit "# $K$%

Dosen: Ir. &inaldi Munir' M.T. Dosen: Ir. &inaldi Munir' M.T.

&a(u' ! Desem(er 2))# &a(u' ! Desem(er 2))#

*aktu: 6) menit *aktu: 6) menit

1.

1. TTentukan +umla, simpul pada entukan +umla, simpul pada graf seder,ana (ilagraf seder,ana (ilamempunyai 20 buah sisimempunyai 20 buah sisi dandan tiap

tiap simpul simpul (erdera+at (erdera+at sama. sama. ")%")% Jawab:

Jawab:

emma +a(at tangan:

emma +a(at tangan: _v_v___V_Vd d _"_"vv_%_%

 2/  2/ E E //    V V v v v v d d _"_" _%_%  2 . 2)  #)  2 . 2)  #)

$etiap simpul (erdera+at sama 0aitu (erdera+at

$etiap simpul (erdera+at sama 0aitu (erdera+atr r ' dan +ika' dan +ikann adala, +umla, simpul adala, +umla, simpul

pada graf terse(ut' maka:

pada graf terse(ut' maka:nr nr  #)  #)

1umla, simpul pada graf seder,ana terse(ut adala, 1umla, simpul pada graf seder,ana terse(ut adala,

n

n= 40 /= 40 / r r ,, rr > 0 dan> 0 danr r ZZ positif dan habis membagi 40positif dan habis membagi 40



 ntukntukrr  ' maka ' makann #)3 akan ter(entuk graf tidak ter,u(ung 0ang #)3 akan ter(entuk graf tidak ter,u(ung 0ang

masing-masing simpuln0a (erdera+at ' +umla, sisin0a adala, #)42  masing-masing simpuln0a (erdera+at ' +umla, sisin0a adala, #)42  2)2) "memenu,i%

"memenu,i%



 ntukntukr =r = 2' maka2' makann  2)' akan ter(entuk graf lingkaran dengan sisi 2) 2)' akan ter(entuk graf lingkaran dengan sisi 2)

"memenu,i% "memenu,i%



 ntukntukr r  5' 6' ' 7 tidak mungkin se(a( ,asil pem(agian "#)4  5' 6' ' 7 tidak mungkin se(a( ,asil pem(agian "#)4r r % tidak% tidak

(ulat. (ulat.



 ntukntukrr 8 2' maka graf seder,ana 8 2' maka graf seder,ana dapat ter(entuk +ika +umla, sisin0a ke9ildapat ter(entuk +ika +umla, sisin0a ke9il

dari +umla,

dari +umla, sisi sisi graf lengkap graf lengkap dengan dera+atdengan dera+atr r . 1ika le(i, maka graf terse(ut. 1ika le(i, maka graf terse(ut

(ukanla, graf seder,ana. (ukanla, graf seder,ana.

r

r "dera+at% "dera+at% nn "simpul% "simpul% Maksimum sisi 0ang diiinkanMaksimum sisi 0ang diiinkan agar ter(entuk graf seder,ana

agar ter(entuk graf seder,ana KeteranganKeterangan

## )) ))..7 7 4 4 2 2   ##!! Memenu,i se(a(Memenu,i se(a(₂₎₂₎ ≤ 45

≤ 45

!! ;; ;;..44 22 22;; Memenu,i se(a(Memenu,i se(a(₂₎₂₎_{≤ 2}_{≤ 2} ;; !! !!..##44 22 )) Tidak memenu,iTidak memenu,i_{se(a( 2) 8 )}_{se(a( 2) 8 )} )) ## ##..55 44 2266 Tidak memenu,iTidak memenu,i_{2) 8 6}_{2) 8 6}

... ... ... ...

<% ntuk

<% ntukrr0ang le(i, (esar lagi tidak akan mungkin lagi ter(entuk graf seder,ana0ang le(i, (esar lagi tidak akan mungkin lagi ter(entuk graf seder,ana

se(a( +umla, simpuln0a akan le(i, ke9il se,ingga maksimum sisi 0ang se(a( +umla, simpuln0a akan le(i, ke9il se,ingga maksimum sisi 0ang diiinkan +uga semakin ke9il.

diiinkan +uga semakin ke9il.

(2)

Jadir yang memenuhi ada!ah "1, 2, 4, 5#, dan $um!ah simpu! di da!am g%af ada!ah "40, 20, 10, #.

2. Diketa,ui matriks ketetanggaan "adjacency matrices% dari se(ua, graf tidak

(erara,:                 )  )    )   ) )    )    )   ) )  )

=am(arkan dua (ua, graf 0ang isomorfik 0ang (ersesuaian dengan matriks

ketetanggaan di atas. ")%

Jawab: &$awaban tida' tungga!, sa!ah satunya sepe%ti di bawah ini(

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

). "a% >paka, K 5 memiliki sirkuit ?uler@ $irkuit Aamilton@

"(% langi pertan0aan "a% untuk K # ")% Jawab:

$irkuit ?uler terdapat pada graf tak (erara, 0ang semua simpul pada graf terse(ut (erdera+at genap.

$etiap graf lengkap adala, graf Aamilton "memiliki sirkuit Aamilton%

(a) K 13

Memiliki sirkuit ?uler se(a( setiap simpul pada K 13 (erdera+at 2 "genap%3

Memiliki $irkuit Aamilton se(a( K 13 adala, graf lengkap "setiap graf lengkap

adala, graf Aamilton%.

(b) Tidak memiliki sirkuit ?uler se(a( setiap simpul pada K 14 (erdera+at 5

"gan+il%. K 14 Memiliki $irkuit Aamilton se(a( K 14 adala, graf lengkap.

(3)

4. erli,atkan dengan ketidaksamaan ?uler (a,Ca graf (erikut planar' lalu

gam(arkan graf planar terse(ut se(agai graf (idang.

a b c d e f "!% Jawab: Diketa,ui: e  ) dann  6 Maka: e  5n - 6 )  5.6  6 )  2  (enar

1adi graf terse(ut adala, graf planar.

=am(ar graf (idangn0a "mungkin ada 9ara penggam(aran lain%:

!. Di suatu negara terdapat  (ua, stasiun teleEisi. emerinta, menetapkan aturan

(a,Ca dua stasiun teleEisi 0ang (er+arak  !) km tidak (ole, (eroperasi pada

saluran frekuensi "UHF % 0ang sama. Ta(el di (aCa, ini memperli,atkan +arak

"km% antar stasiun teleEisi.

"a% =am(arkan graf 0ang memodelkan persoalan ini. 1elaskan pula arti setiap

simpul dan sisi pada graf anda. "!%

"(% Berapa (an0ak frekuensi (er(eda 0ang di(utu,kan (agi ketu+u,

stasiun T terse(ut sesuai dengan aturan emerinta,@ Termasuk kategori mana persolan ini@

")%

(4)

 2 5 # ! 6   - ;! ! 2)) !) )) 25) 2 - - 2! ! )) 6) #! 5 - - - )) 2)) 2!) 6) # - - - - 2) 22) ;) ! - - - )) 25! 6 - - - 2)  - - - -Jawab:

"a% ermodelan dengan =raf

$impul merepresentasikan stasiun teleEisi.

$isi merepresentasikan (a,Ca dua (ua, simpul 0ang ter,u(ung ole, sisi terse(ut tidak (ole, (eroperasi pada saluran frekuensi 0ang sama se(a( +arak keduan0a G !) km

"(% Ban0ak frekuensi 0ang (er(eda adala, adala, minimum 5 dan maksimum  ersoalan ini termasuk ke dalam kategori eCarnaan =raf

6. $e(ua, po,on #-arytinggin0a !. Tanpa menggam(arkan po,onn0a' ,itung +umla,

maksimum seluru, simpul di dalam po,on terse(ut. Berapa +umla, maksimum

seluru, daunn0a@ ")%

Jawab:

Diket: n  #' ,  ! Maka:

 1umla, maksimum seluru, simpul

$        n nh   #  #!      56! simpul

 1umla, maksimum seluru, daun

n,_{ #}!_{ )2# daun}

(5)

. $e(ua, turnamen 9atur diikuti ole, !))) orang peserta. Berapa (an0ak pertandingan 0ang ,arus diadakan sampai ditemukan seorang +uara +ika turnamen menggunakan sistem gugur' 0aitu peserta 0ang kala, tidak perna, (ertanding lagi' dan peserta 0ang menang akan melaCan pemenang pertandingan lainn0a@ =raf

apa 0ang ter(entuk@ ")%

Jawab:

ersoalan dapat dimodelkan dengan po,on (iner teratur. Daun men0atakan pemain' simpul dalam "termasuk akar% men0atakan pemenang pertandingan.

$impul dalam (erarti +uga total (an0ak pertandingan 0ang dilakukan sampai men+adi +uara.

i  (an0akn0a simpul dalam t  (an0akn0a simpul daun

$etiap pertandingan menggugurkan seorang pemain' dan pada ak,irn0a ,an0a ada satu pemenang. Maka (erlaku ,u(ungan:

i = t – 

1adi (an0akn0a pertandingan adala, !)))    #777 pertandingan =raf 0ang ter(entuk adala, po,on (iner teratur.

;. Berapa (an0ak sisi ,arus di(uang dari graf ter,u(ung dengann (ua, simpul dan m (ua, sisi untuk meng,asilkan po,on rentang@ "!%

Jawab:

Diket: n (ua, simpul'm (ua, sisi

Maka:

>gar men+adi po,on merentang' +umla, sisi 0ang ,arus di(uang adala, : "m n H % sisi  persamaan men9ari tali ,u(ung

7. Misalkan  adala, po,onn-ary dengan ! se(agai akar dan upa-po,onn0a adala,  ' 2' …' n.

"a% Definisikan skema untuk penelusuran "re#rder dan "#st#rder dari po,on  terse(ut.

"'!%

"(% Tentukan ,asil penelusuran "re#rder dan "#st#rder dari po,on #-ary

(erikut ini: "'!%

$

% F &

(6)

'  E  H K * + ,

 .

(7)

"a% $kema penelusuran po,on

preorder

"i% kun+ungi akar

"ii% kun+ungi 1 se9ara "er#rder ' / se9ara "er#rder ' …'  n se9ara

"er#rder .

postorder

"i% kun+ungi 1 se9ara "#st#rder ' /se9ara "#st#rder ' …' n se9ara

"#st#rder

"ii% kun+ungi akar

"(% Aasil penelusuran po,on #-ary

Preorder : $0 %0 '0 0 E0 F0 0 H0 &0 K0 *0 +0 0 .0 ,

postorder : '0 0 E0 %0 0 H0 F0 K0 *0 0 .0 +0 ,0 &0 $