Bagian 1 1. Nilai dari
∏ 2 − ∙ = ...
2. Jika ( ) = , maka (1) + (2) + (3) + ⋯ + (2015) = ...
3. Tentukan bilangan asli terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 16 bilangan asli berurutan, dan sekaligus dapat dinyatakan sebagai jumlah 17 bilangan asli
berurutan.
4. Anita mempunyai n kotak bernomor 1, 2, 3, ..., n yang telah tersusun berurutan sesuai nomornya. Selanjutnya, Dita menyusun ulang semua kotak tersebut sehingga tidak ada kotak yang menempati posisi semula dan kotak bernomor − 3, − 2, −
1, dan menempati 4 posisi terakhir. Jika Dita dapat membuat 2304 susunan yang berbeda, maka nilai dari n adalah ...
5. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi satuan, suatu titik pada , dan , berturut-turut adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga dan . Nilai maksimum dari ∙ adalah ...
6. Tentukan jumlah semua bilangan bulat sehingga ( − 3) membagi ( − 3).
7. Diberikan adalah bilangan real tak nol yang memenuhi
⎝ ⎜ ⎛
√… ⎠ ⎟ ⎞ √
= 729.
Jika = , maka 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ...
8. Perhatikan dua persamaan berikut!
( ) + ( ) = ( ) ( ) + = ( )
43
9. Banyak cara penyusunan kata MATEMATIKA sehingga tidak ada huruf yang sama tersusun secara berurutan adalah ...
10. Diberikan segitiga dengan lingkaran luarnya berjari-jari 3 satuan. Ketiga garis bagi sudut , , dan diperpanjang dan memotong lingkaran secara berurutan di ,
, dan . Nilai dari
= ...
11. Diketahui bilangan asli terkecil sehingga 1,24 × = , dengan adalah bilangan asli yang didapatkan dengan cara memindah digit pertama dari (paling kiri) ke digit terakhirnya (paling kanan). Angka satuan dari adalah ...
12. Huruf-huruf V, E, K, T, O, R, dan angka-angka 2, 0, 1, 5 digunakan untuk menyusun sandi yang panjangnya 4. Jika huruf dan angka boleh berulang, tetapi tidak ada huruf yang bersebelahan, maka banyak sandi yang dapat dibuat adalah ...
13. Tentukan semua bilangan asli sehingga bilangan-bilangan berikut adalah bilangan prima
+ 1, + 3, + 7, + 9, + 13, dan + 15.
14.Ada 15 soal isian dan 8 soal esai yang diberikan oleh guru pembimbing olimpiade. Tika, Jodi, dan Doni memutuskan untuk membagi soal-soal tersebut untuk dikerjakan
sendiri-sendiri. Tika harus mengerjakan sedikitnya 3 soal isian dan 2 soal esai. Sementara yang lain mengerjakan paling sedikit 2 soal isian. Banyak cara membagi soal-soal tersebut adalah ...
15. Diberikan limas persegi dan prisma tegak persegi dengan alas berada pada bidang yang sama, dan tiap-tiap sisi dari kedua bangun ruang tersebut menyinggung bola berjari-jari 1 satuan. Nilai terkecil dari selisih volume limas dan prisma tersebut adalah ...
16. Tentukan semua pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi 5 + 10 + 14 = 62 + 88 − 194.
Solusi:
5 + 10 + 14 − 62 − 88 + 194 = 0
44
+ 2 + + 4 + 12 + 9 − 10 − 52 − 10 − 78 + 194 = 0 ( + ) + (2 + 3 ) − 10( + ) − 26(2 + 3 ) + 25 + 169 = 0 ( + ) − 10( + ) + 25 + (2 + 3 ) − 26(2 + 3 ) + 169 = 0 ( + − 5) + (2 + 3 − 13) = 0
Karena untuk sebarang bilangan real berlaku ≥ 0, maka didapat:
+ − 5 = 0 dan 2 + 3 − 13 = 0. Dengan menyelesaikan SPLDV tersebut didapat = 2 dan = 3.
Jadi, pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi adalah ( , ).
17. Tentukan semua bilangan prima sehingga jumlah semua pembagi positif dari merupakan bilangan kuadrat sempurna.
18. Titik terletak di daerah segitiga sama sisi dengan = 5, = 12, dan = 13. Panjang sisi segitiga adalah ...
19.Ibu Lina akan mengadakan acara keluarga di suatu restoran. Restoran tersebut menyediakan menu salad, spaghetti, omelet, hamburger, nasi goreng, bakso, dan sate sebagai pilihan makanannya dan soda, coklat hangat, kopi, teh, jus, dan air putih sebagai pilihan minumannya. Ibu Lina memilih 4 jenis makanan dan 3 jenis minuman sebagai menunya. Tetapi, Ibu Lina tidak ingin salad disediakan bersama soda. Banyak menu berbeda yang mungkin dipilih oleh Ibu Lina adalah ...
20.Diketahui 3 bilangan real positif a, b, c membentuk barisan aritmatika. Jika kuadrat dari ketiga bilangan tersebut juga membentuk barisan aritmatika dengan urutan yang sama, maka nilai dari
− 2015 = ...
Bagian 2
1. Panjang sisi-sisi segitiga merupakan bilangan bulat positif. Titik terletak pada sisi sehingga merupakan garis bagi ∠ . Jika diketahui = 3 dan = 4, tentukan keliling-keliling yang mungkin dari segitiga tersebut.
2. Perhatikan fungsi berikut ini!
( ) = ⌈ + 1⌉ − ⌊ + 1⌋ − ⌈ − 1⌉ + ⌊ − 1⌋
