GEOMETRI RUANG
C. Menggambar dan Menghitung Jarak dalam Ruang
Jarak dua objek dalam dimensi tiga adalah jarak terpendek yang ditarik dari kedua objek itu
(1) Jarak titik dan titik
Jarak antara titik A dan titik B adalah panjang ruas garis AB
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
01. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P di tengah-tengah AB. Tentukan jarak titik G ke titik P
Jawab
PB =
2 1
AB =
2 1
(8) = 4 cm
BG = BC2 CG2
BG = 82 82
BG = 128
BG = 8 2 cm maka
PG = PB2 BG2
PG = (4)2 (8 2)2 = 16128 = 144 = 12 cm Jadi jarak titik G ke titik P adalah 12 cm
(2) Jarak titik dan garis
A
A1 g
Jarak antara titik A dan ruas garis g adalah panjang ruas garis AA1,
dimana A1merupakan proyeksi A
pada garis g
A
B
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
02. Pada kubusABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, tentukanlah jarak titik B ke garis EG
Jawab
BE = 6 2 cm EP =
2 1
EG =
2 1
(6 2) = 3 2 cm Maka
BP = BE2 EP2
BP = (6 2)2 (3 2)2
BP = 7218 = 54 = 3 6 cm Jadi jarak titik B ke garis EG = 3 6 cm
03. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, tentukanlah jarak titik C ke garis AG
Jawab
AC = 6 2 cm CG = 6 cm AG = 6 3 cm
Pada segitiga ACG berlaku
L =
2 1
AC.CG
L =
2 1
(6 2)(6)
L = 18 2 ……… (1)
L =
2 1
AG.CP
L =
2 1
(6 3)CP
L = 3 3CP……… (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
3
3 CP = 18 2
CP =
3 3
2 18
x
3 3
CP =
9 6 18
= 2 6 cm
Jadi jarak titik C ke garis AG = 2 6 cm
P
(3) Jarak antara titik dan bidang
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
04. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm terdapat titik P ditengah-tengah AE. Tentukanlah jarak titik P ke bidang BDHF
Jawab
PR =
2 1
PQ
PR =
2 1
EG
PR =
2 1
(6 2) PR = 3 2 cm Jadi
jarak titik P ke bidang BDHF = 3 2 cm
05. Pada kubusABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, tentukanlah jarak titik C ke bidang BDG
Jawab CG = 6 cm
PC =
2 1
AC =
2 1
(6 2) = 3 2 cm
PG = PC2 CG2
PG = (3 2)2 (6)2
PG = 54
PG = 3 6 cm
Pada segitiga PCG berlaku
L =
2 1
PC.CG
L =
2 1
(3 2)(6) , maka L = 9 2 ……… (1)
L =
2 1
PG.QC
Jarak antara titik A dan bidang V adalah panjang ruas garis AA1,
dimana A1merupakan proyeksi A
pada bidang V
V
A1 A
P
Q R
L =
2 1
(3 6)QC maka L =
2 6 3
QC……….………… (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
2 6 3
QC = 9 2
QC =
6 3
2 18
x
6 6
CP =
18 12 18
= 12 = 2 3 cm
Jadi jarak titik C ke bidang BDG = 2 3 cm
(4) Jarak antara dua garis sejajar
(5) Jarak antara dua garis bersilangan
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
06. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AB ke garis HG
Jawab
AB dan HG sejajar Jarak AB dan HG = AH Jarak AB dan HG = 8 2cm Jarak antara garis g dan l yang sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana A adalah
sembarang titik pada g dan A1merupakan proyeksi A pada
garis l
Jarak antara garis g dan l yang bersilangan adalah panjang ruas garis AA1, dimana A pada g dan
A1 pada l sehingga AA1 tegak
lurus g dan AA1 tegak lurus l
A
g
A1 V
l
l A
g
07. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm tentukanlah jarak garis AH ke
08. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm tentukanlah jarak garis EC ke garis BD
Pada segitiga PCG berlaku
L =
Dari (1) dan (2) diperoleh
(6) Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
09. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis ADHE dan bidang BCGF
Jawab
jarak ADHE dan BCGF = AB jarak ADHE dan BCGF = 8 cm
(7) Jarak antara dua bidang yang sejajar
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
10. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm tentukanlah jarak bidang BDG dan bidang AFH
Jawab
jarak BDG dan AFH = PQ
jarak BDG dan AFH =
3 1
EC
jarak BDG dan AFH =
3 1
(6 3)
jarak BDG dan AFH = 3 cm Jarak antara garis g dan bidang V yang saling sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana
A adalah titik sembarang pada g dan A1 adalah proyeksi A pada
bidang V V
g A
A1
Jarak antara bidang V dan W yang saling sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana
A adalah titik sembarang pada V dan A1 adalah proyeksi A pada
bidang W
W V
A
A1
C
E F
G H
P
