MODUL MATEMATIKA EKONOMI

MATEMATIKA EKONOMI

MODUL

FUNGSI

FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABAR

ATAU TRANSSEDEN FUNGSI RASIONAL FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI PANGKAT FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI BIKUADRAT FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL

FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 _{+ 4X}3 _{+ … + 12X}11₎ 1/11

FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X – 3X2 _{+ 4X}3 _{+ …+ 12X}11

FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X

FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X – 3X2

FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X – 3X2 _{+ 4X}3

FUNGSI PANGKAT : Y = X n _{, n = bulat positif}

FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X

FUNGSI LOGARITMA : Y = n _{Log X}

PENERAPAN FUNGSI LINIER

Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang sangat

sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan

bisnis dalam menganalisa dan memecahkan

masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan

bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis

dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke

dalam model yang berbentuk linier.

Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis antara lain

:

a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar b. Keseimbangan Pasar dua Macam Produk

c. Pengaruh Pajak dan Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar.

d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan Analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even

Point)

e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU

Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,

ΔY Y₂ – Y₁ Kemiringan = m = atau ΔX X₂ – X₁ Y Y Y Y X X X X 0 0 0 0

(a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Y=a

₀

+ a

₁

X

di mana a

₁

≠ nol.

Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik

potong (slope-intercept).

Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua

variabel X dab Y, dapat disebut sebagai eksplisit,

dimana variabel bebas X dan variabel terikat Y

saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Metode Dua Titik

_{Y – Y1 Y2 – Y1}

= X – X₁ X₂ – X₁ Y 0 X A (X₂, Y₂) A (X₁, Y₁) A (X, Y)

Menentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6) Penyelesaian : X₁ = 3, X₂ = 4, Y₁ = 2, dan Y₂ = 6 Y – Y₁ Y₂ – Y₁ X – X₁ X₂ – X₁ Y – 2 6 – 2 X – 3 4 – 3 Y – 2 = (X – 3) Y – 2 = 4 (X – 3) Y = 4 X – 12 Y = 4 X - 10 = = 6 – 2 4 – 3 Y X Y = 4X - 10 Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3. 0 5 1 2 3 (0,-10)

METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN

Y – Y₁ = m (X – X₁)

Contoh

Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian : Diketahui (X₁, Y₁) = (6, 4) dan m = - 2/3 Y – Y₁ = m (X – X₁) Y – 4 = -2/3 (X – 6) Y = -2/3X + 4 + 4 Y = -2/3X + 8

Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.

0 2 4 6 8 Y X (0,8) (12,0) Y = - 2/3 X + 8

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Y Y Y Y X X X X 0 0 0 0

(a) Berpotongan (b) Sejajar

(c) Berimpit (d) Tegak Lurus

a₁ ≠ b₁ a_o≠ b₀ a₁ = b₁ a_o≠ b₀ a₁ = b₁ a_o = b₀ a₁ .b₁ = -1 a_o≠ b₀

SISTEM PERSAMAAN LINIER

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER  DUA PERSAMAAN DENGAN DUA

VARIABEL

1. METODE ELIMINASI

Contoh 5.1.

Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :

3X – 2Y = 7 2X – 4Y = 10

Penyelesaian :

1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.

2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi,

3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10

1. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi, 6X – 4Y = 14

2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24

X = 3

1. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,

3 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9

Y = 1

(5.1) (5.2)

2. METODE SUBSTITUSI Contoh 5.2.

3X – 2Y = 7 (5.1)

2X + 4Y = 10 (5.2)

Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi, 2X = 10 – 4Y

X = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)

Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi, 3 (5 – 2Y) – 2Y = 7

15 – 6Y – 2Y = 7 15 – 8Y = 7

-8Y = 7 – 15

Y = 1

Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,

3X – 2 (1) = 7 3X = 7 + 2

X = 3

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah

y =

a

x

2

+

b

x +

c

Maka,

D = b

2

– 4ac

Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA

x a + a -x₁ x₂ x₁ x₂

a

D

a

b

x

a

y

4

2

2













 



Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a

y = a x2 _{+ bx + c}

Titik Maksimum didapat jika a  , dan titik maksimumnya

Titik Miminum didapat jika a  , dan titik minimumnya

Titik Ekstrem Parabola

x

a + a

-x₁ x₂

x₁ x₂

Titik x_1,2 dapat dicari dengan:

        a D a b 4 , 2        a D a b 4 , 2 a D b 2  

x a + a -x₁ x₂ x₁ x₂ x a + a -b/2a x a + a -b/2a x x

Definit Positif Definit Negatif

Jika D  , maka parabola

memotong sb x pada titik (x₁,0) dan (x₂,0)

Jika D = 0 , maka

parabola menyinggung sb

x pada titik

Jika D , maka parabola TIDAK memotong sb x

Posisi Parabola

       0 , 2a b

FUNGSI PERMINTAAN

Q

_dx,t

= ƒ (P

_x,t,

P

_y,t,

Y

_t,

P

e

X,t+1,

S

t

)

Dimana Q_dx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.

P_x,t = Harga produk X dalam periode t.

P_y,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t. Y_t = Pendapatan konsumen dalam periode t.

Pe

x,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t +

1.

S_t = Selera dari konsumen pada periode t. Q_dx = ƒ(P_x)

Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,

Q_x = a – bP_x

Dimana Q_x = Jumlah produk X yang diminta P_x = Harga produk X X (0,P) (Q,0) Q_d= a - bp P 0

Hukum Permintaan

 Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah

produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)

0

dimana:

Q_x = Jumlah produk x yang diminta P_x = Harga produk x

Penyelesaian : Diketahui: P₁ = 100; P₂= 75; Q₁ = 10; Q₂ = 20 Q – Q₁ Q₂ – Q₁ P – P₁ P₂ – P₁ Q – 10 20 – 10 P – 100 75 – 100 (Q – 10) = 10/-25 (P-100) (Q – 10) = 40 – 2/5 P Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0 Kurva permintaan ini ditunjukkan

oleh Gambar disamping.

0 25 50 75 100 P Q (0,125) (50,0) Q = 50 – 2/5 P Contoh

Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?

10 20 30 40 50

=

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS Q p 0 D Q p D 0

FUNGSI PENAWARAN

Q_sx,t = ƒ(P_x,t , T_t , P_F,t , P_R,t , Pe

x,t+1)

Dimana Q_sx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.

P_x,t = harga produk X dalam periode t

T_t = Teknologi yang tersedia dalam periode t P_F,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t

P_R,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t Pe

x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1

Q_sx = g (P_x)

Dimana Q_sx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen P_x = Harga produk X Q_sx = a + bP P Q 0 Q_s= a + bP - a/b S

Hukum Penawaran

 Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah

produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)

Qd P

Qs = -a + bP

-a dimana:

Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x

a dan b = parameter

0

Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah: Qx = f (Px)

Qx = -a + b Px

Contoh

Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram Penyelesaian : Diketahui: P₁ = 500; P₂ = 700; Q₁ = 60; Q₂ = 100 Q – Q₁ Q₂ – Q₁ P – P₁ P₂ – P₁ Q – 60 100 – 60 P – 500 700 – 500 (Q – 60) = 40/200 (P-500) (Q – 60) = -100 +1/5 P Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0 Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar 0 100 P Q (0,125) (50,0) (60, 500) 100 200 300 400 500 600 700 80 60 40 20 = = Q = -40 + 0,2P

FUNGSI PENAWARAN KHUSUS Q p 0 S Q p 0 S

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

Q p 0 Pe E (Qe, Pe) Qd Qe Qs

Contoh

Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu

barang ditunjukkan oleh :

Q

_d

= 6 – 0,75 P

Q

_s

= -5 + 2P

a)

Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?

b)

Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar

Penyelesaian:

a) Syarat keseimbangan Q_d = Q_s

Bila Q_d = Q_s, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11

P = 4

Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,

Q = 6 – 0,75 (4) Q = 6 – 3

Q = 3

Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4). b) Menggambarkan keseimbangan pasar :

Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P

Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8) Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P

Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar Q p 0 2,5 E (3, 4) (6, 0) 1 Q_s = -5 + 2P 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 (0, 8) Q_d = 6 – 0,75P

Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran

 Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

 Untuk setiap p ada satu nilai Q.

 Grafik fungsi turun.

 Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)

 Untuk setiap p ada satu nilai Q.

 Grafik fungsi naik.

Fungsi Kuadrat pada Fungsi

Permintaan dan Penawaran

Q Q

Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:

Latihan

1. P

_d

= -Q

2

+ Q + 2 dan P

_s

= Q

2

+ Q - 2

Jawab: Q P P_d P_{s 2} -2 -2 -1 1 2 0



2, 2



2 2

KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM

PRODUK

Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya.

Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.

Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) hargaproduk lain yang saling berhubungan.

Notasi fungsi permintaan menjadi:

Q_dx = a₀ - a₁P_x + a₂P_y Q_dy = b₀+ b₁P_x - b₂P_y

Sedangkan fungsi penawarannya:

Q_sx = -m₀ + m₁P_x + m₂P_y Q_sy = -n₀ + n₁P_x + n₂P_y

Dimana:

Q_dx= Jumlah yang diminta dari produk X Q_dy= Jumlah yang diminta dari produk Y Q_sx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X Q_sy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y P_x= Harga produk X

Py = Harga produk Y a₀,b₀,m₀,n₀ = konstanta

SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:

Q

_sx

= Q

_dx

dan Q

_sy

= Q

_dy

Contoh :

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut: Qdx = 5 -2Px + Py Qdy = 6 + Px – Py Qsx = -5 + 4Px - Py Qsy = -4 - Px + 3Py dan

Penyelesaian:

Syarat keseimbangan pasar : Qsx = Qdx -5 + 4P_x – P_y = 5 - 2P_x + P_y 4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 5 6Px – 2Py = 10 …(1) Qsy = Qdy -4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py -Px – Px + 3Py + Py = 6 + 4 -2Px + 4Py = 10 - Px + 2Py = 5 …(2) 1) Dan (2) 6Px – 2Py = 10 - Px + 2Py = 5 5Px = 15 Px = 3 Py = 4 Qsx = 3 Qsy = 5 MEx = ( 3, 3 ) MEy = ( 5, 4 )

KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)

Contoh :

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini :

P_d = 24 – 3Q2

P_s = Q2 _{+ 2Q + 4}

Penyelesaian :

24 – 3Q

2

_{= Q}

2

_{+ 2Q + 4}

4Q

2

_{+ 2Q - 20 = 0}

Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu

persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai

P, yaitu

P = 24 – 3(2)

P = 24 – 12 = 12

8 324 2 , Q 8 )} 20 )( 4 )( 4 {( 4 2 Q_1,2       _1,2    2 8 18 2 Q₁     memenuhi tidak 5 , 2 8 18 2 Q₁     

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).

Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan P_d = 24 – 3 Q2 _{dan fungsi}

penawaran P_{s = Q}2 _{+ 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat}

digambarkan seperti dibawah. s

Q 2 (3,19) P =24– 3Q 2,83 0 4 1 8 16 24 P 20 12 E (2,12) P =q2_{+ 2Q + 4}

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI

PADA KESEIMBANGAN PASAR

Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya

keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:

Ps = f ( Q ) + t Qs = f ( P ) – t

Contoh:

Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=15 - Q dan fungsi penawaran P= 0,5Q + 3.

Terhadap produk ini pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 3 per unit.

a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?

b. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh konsumen ?

c. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh produsen ?

d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh

Penyelesaian

a.

Keseimbangan pasar sebelum kena pajak:

P

_d

= P

_s

15 – Q = 0,5Q + 3

15 – 3 = 0,5Q + Q

Q = 8

P = 7

ME = ( 8, 7 )

Keseimbangan pasar setelah pajak :

Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0,5Q + 3 + 3 P = 0,5Q + 6

sehingga keseimbangan pasar setelah pajak: Pd = Pst

Keseimbangan pasar setelah pajak : 15 – Q = 0,5Q + 6 15 – 6 = 0,5Q + Q

Q = 6 P = 9

b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit.

c. Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar

selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1 per unit.

d. Besar penerimaan pajak total oleh pemerintah, adalah

perkalian tarif pajak per unit dengan jumlah keseimbangan setelah pajak, yaitu: 3 x 6 = 18.

Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar : Q P 0 6 E (8, 7) 8 S_t S E_t (6, 9) 3 12 15 9 6 2 4 10 12 14 P = 0,5 Q + 6 P = 0,5 Q + 3 P = 15 - Q 15

PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR

 Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase

tertentu dari harga jual; tidak seperti pajak spesifik.

 Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P);

 Dikenakan pajak proporsional sebesar t% dari harga jual;

 Persamaan penawaran yang baru akan menjadi :

P = a + bQ + tP t : pajak proporsional dalam % P – tP = a + bQ (l – t)P = a + bQ

   

 

b

P

t

l

b

a

Q

Q

t

l

b

t

l

a

P

















atau

 Contoh

Diketahui : permintaan; P = 12 – Q

penawaran; P = 2 + 0,25 Q t = 20%

Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…?

Penyelesaian :

Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8 ,

Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P . Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ):

P = 2 + 0,25 Q + 0,20 P 0,8P = 2 + 0,25 Q

Keseimbangan Pasar : P_d = P_s

Keseimbangan sesudah pajak: Q’_e = 7,24 dan P’_e = 127,24 = 4,76

Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang :

T=t x P’_e = 0,20  7,24 = 1,45

   

Q

P

8

,

0

25

,

0

8

,

0

2





   

Q Q 8 , 0 25 , 0 8 , 0 2 12  

Kurvanya:

 Pajak ditanggung konsumen: _{tk = P’e – Pe = 4,76 – 4 = 0,76 / barang}

 _{Total pajak t= 20%(P’e) =0,2*4,76 = 0,95 /unit barang}

 Pajak ditanggung produsen : tp = t – tk = 0,95 – 0,76 =0,19  Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :

T=t  P’_e = 0,20  4,76 7,24 = 6,89

12

12

P

4

Q

0

8

d

Q

s

Q

E

76 , 4 24 , 7 s

Q'

'

E

Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:

Ps = f(Q) – s Qs = f( P + s )

Keseimbangan Sebelum

Subsidi (tr)

Pd = Ps

Keseimbangan Setelah

Subsidi (tr)

Pd = Ps - tr

Qd,Qs P ME Me _t r Q Qtr P Ptr Demand

Diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran :

Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2P

Kepada produsen , pemerintah memberikan subsidi

(transfer) sebesar tr = Rp1/unit barang

a.

Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar

sebelum dan sesudah ada subsidi

b.

Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut

c.

Berapa tarif subsidi yang dinikmati konsumen

d.

Berapa tarif subsidi yang dinikmati produsen

e.

Berapa total subsidi yang ditanggung pemerintah

f.

Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen

solusi

a. Market equilibrium sebelum subsidi

11 – P = -4 + 2P P = 5, Q = 6

b. Market equilibrium setelah subsidi 11 - Q_d = 2 + 1/2Q_s - 1 Q_tr = 6,67, P_tr = 4,33 Q_d,Q_s P 5 6 6,67 4,33 2 11 ME ME

_tr

b. 1 0

c. Tarif subsidi yang dinikmati konsumen : t_rk = ∆P = (5– 4,33)

= Rp0,67

d. Tarif subsidi yang dinikmati produsen t_rp = Tr - t_rk

= Rp1-Rp0,67=Rp0,33

e. Total subsidi yang ditanggung pemerintah: Tpe = Tr x Q_tr = 1x6,67

= 6,67

f. Total subsidi yang dinikmati konsumen T_rk = ∆P x Q_tr

= Rp0,67 x 6,67 = Rp4,47

g. Total subsidi yang dinikmati produsen T_rp= Rp0,33 x 6,67 = Rp2,20

Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan

atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (revenue) atau TR (total revenue).

Rumus : R = PxQ

Keterangan :

P = harga jual perunit

Q = jumlah produk yg dijual

R

Q

R = f(Q)

Contoh

Misalkan suatu produk dijual

dengan harga Rp 5.000

perunit barang.

Bagaimanakah fungsi

penerimaannya ?

Gambarkan fungsi

penerimaan tersebut pada

grafik

JAWAB : R = PxQ R = 5000Q R = 5000Q R Q

FUNGSI BIAYA

Fungsi biaya diberi lambang C

(cost) atau TC (total cost) Rumus :

TC = FC + VC TC = FC + P.Q Keterangan :

FC = fix cost = biaya tetap

VC = variabel cost = biaya yg berubah 0 Q FC , VC, TC _TC VC FC

Contoh

Sebuah perusahaan

mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya Rp.3.000 per unit barang

Tentukan fungsi biayanya ? Gambarkan grafik fungsinya ?

Jawab : TC = 100.000.000 + 3000Q TC Q TC 100. 000. 000 0

FUNGSI PENERIMAAN TOTAL (Bentuk Kuadrat)

Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah

hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk

yang dijual, atau rumusnya adalah,

TR = P . Q

dimana : TR = Penerimaan Total

Q = Jumlah produk yang dijual

P = Harga produk per unit

Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke

kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka

penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi,

bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka

akan diperoleh persamaan penerimaan total,

TR = P . Q

TR = ( b – aQ) Q TR = bQ – aQ2

Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dan _xxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu :

Titik Puncak

Contoh

Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!

Penyelesaian : TR = PQ TR = (20 – 2Q)Q TR = 20Q – 2Q2 TR = Maksimum Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q2 _{= 0} 2Q (10–Q) = 0 Q₁ = 0 Q₂ = 10

Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.

) 50 , 5 ( 8 ) 400 ( , 4 20 _                         ) 2 ( 4 ) 20 ( , ) 2 ( 2 20 2

Q 2 P =20– 2Q 0 10 1 (0,20) 20 50 P, TR 40 30 8,30 TR = 20Q– 2Q2 3 4 ₅ 6 7 8 _{9 10} (10,0) (0,0) 2,30 (5, 50)

ANALISA BREAK-EVEN

Break-even adalah suatu

kondisi dimana perusahaan

tidak untung maupun tidak

rugi

Break-even:

TR = TC

Untung :

TR > TC

Rugi :

TR < TC

BEP TR, TC Rp Qe 0 Q TR TC

Contoh

Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya

variabel perunit Rp4.000 dan harga jualnya perunit

Rp12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya

Rp2.000.000. Tentukan jumlah unit produk yg harus

perusahaan jual agar mencapai pulang pokok Jawab : TR = TC 12000Q = 2.000.000 + 4000Q 8000Q = 2.000.000 Q = 250 TR = 12.000 Q = 12.000 (250) = 3.000.000

Grafik

VC = 4000Q 3 250 0 2 FC = 2jt TC = 2jt + 4000Q TR= 12000Q BEP TR, TC (dlm juta) Q

KONSUMSI DAN

TABUNGAN

1. KONSUMSI

Dilihat dari sisi penawaran dalam perekonomian tertutup pendapatan yang diperoleh masyarakat (Y) hanya digunakan untuk tujuan komsumsi (C) dan Saving (S), atau :

Y = C + S

Fungsi Konsumsi

Hubungan antara konsumsi (C) dan pendapatan (Y)

disebut fungsi konsumsi.

Secara matematis hubungan tsb ditulis sbb:

C = a + bY

Dimana : C = konsumsi

a = parameter, yang menunjukkan konsumsi jika Y = 0

b = parameter, yang menunjukkan tambahan konsumsi (ΔC) akibat adanya tambahan pendapatan (ΔY)

Hasrat Mengkonsumsi Marjinal dan Rata-rata



Hasrat mengkonsumsi / MPC (marginal propensity to

consume) didefinisikan sbg perbandingan antara

pertambahan konsumsi

(ΔC)

yang dilakukan dengan

pertambahan pendapatan disposible

(ΔY)

Nilai MPC dapat dihitung dengan formula :

(ΔC)

MPC =



Hasrat mengkonsumsi rata-rata / APC (average

propensity to consume), didefini-sikan, sbb:

Perbandingan antara tingkat pengeluaran konsumsi

(C) dengan tingkat pendapatan disposibel pada

tingkat konsumsi tsb dilakukan (Y).

Nilai APC dapat dihitung dg formula

C

APC =

TABUNGAN

Tidak semua pendapatan yang diperoleh langsung

dikonsumsi pada periode yang sama. Sebagian

diantaranya ada yang ditabung. Besarnya jumlah

tabungan juga tergantung pada pendapatan.

Makin tinggi jumlah pendapatan makin tinggi pula

jumlah tabungan.

Fungsi Tabungan

Fungsi tabungan adalah suatu persamaan

yang

menggambarkan sifat hubungan diantara tingkat

tabungan rumah tangga dalam perekonomian

dengan

pendapatan

nasional

perekonomian

tersebut.

Dari persamaan Y = C + S, dapat ditulis kembali

menjadi :

S = Y – C

Juga dari persamaan sebelumnya kita tahu

C = a + bY

Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, maka

hubungan antara tabungan dan pendapatan dapat

dicari

S = Y – C

= Y – a – bY

= -a + (Y-bY)

= -a + (1-b) Y

Hasrat menabung Marginal dan Rata-rata



Hasrat menabung / MPS (marginal propensity to

Save). Dapat didefinisikan sebagai perbandingan di

antara pertambahan tabungan

(

Δ

S)

dengan

per-tambahan pendapatan disposibel (

ΔY

).

Nilai MPS dapat dihitung dg rumus :

(ΔS)

MPS =

Hasrat Menabung Rata-rata

Hasrat menabung rata-rata / APS (average

propensity to save), menunjukkan perbandingan

antara tabungan (S) dengan pendapatan disposibel

(Y).

Nilai APS dapat dihitung dg formula :

S APS =



Penentu-penentu Konsumsi dan Tabungan

Beberapa faktor yang menentukan atau yang

mempengaruhi tingkat konsumsi dan tabungan

adalah :

1. Kekayaan yang telah terkumpul

2. Tingkat bunga

3. Keadaan perekonomian

4. Distribusi pendapatan

5. Tersedia tidaknya dana pensiun yang

mencukupi

KURVA FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN C = a + bY_d Y = (a + bY_d) + s S = Y – (a + bY_d) atau S = -a + (a - b) Y_d MPS + MPC = 1 C.S C = Y C = a + bY a 0 _Ye Y E - a S = -a + (1 – b) Y 450

Contoh

Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan

C = 15 + 0,75Y_d, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar

a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30

miliar?

b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?

c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara

bersama-sama!

Penyelesaian:

a) Jika Y_d = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)

= 15 + 22,5 = 37,5 miliar b) Y_d = C + S atau S = Y – C

S = Y_d – (15 + 0,75Y_d) S = -15 + 0,25 Y_d

Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0 Jadi, 0 = -15 + 0,25 Y_d 0,25Y_d = 15 15 Y_d = = (15)(4) = 60 miliar 0,25 C = 15 + 0,75 (60) C = 15 + 45 = 60 miliar C.S Y = C E (60,60) 0 ₆₀ Y - 15 S = -15+ 0,25 Y_d C = 15 + 0,75 Y_d 15 30 60

MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL

Y = C + I + G + X – M C = a + BY

Dimana: Y = Pendapatan Nasional C = Konsumsi Nasional I = Investasi G = Pengeluaran Pemerintah X = Ekspor M = Impor Y = a + bY + I₀ + G₀+ X₀– M₀ atau (1-b)Y = a + I₀ + G₀+ X₀ – M₀ Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah :

a + I₀ + G₀+ X₀– M₀ Y = (1 – b) b(a + I₀ + G₀+ X₀– M₀) C = a + bY = a + (1 – b) = a (1 – b) + b(a + I0 + G0+ X0– M0) (1 – b) a + b(a + I₀ + G₀+ X₀– M₀) C = (1 – b)

Contoh 6.10

Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut : Y = C + I + G

C = 25 + 0,75Y I = I₀ = 50 G = G₀ = 25

(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional! (b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate

Penyelesaian:

Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,

S = 0

S = -25 + 0,25Y O = -25 + 0,25Y 0,25Y = 25

Y = 100

Jika I = I₀ = 50 miliar, maka Y = C + I

Y = 25 + 0,75Y + 50 Y - 0,75Y = 75

0,25Y = 75

Y = 300

Jika I = I₀ = 50 miliar; dan G = G₀ = 25 miliar, maka Y = C + I + G Y = 25 + 0,75Y + 50 + 25 Y = 100 + 0,75Y Y – 0,75Y = 100 0,25Y = 100 Y = 400

Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi

pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar

Y = C Y = C + I + G Y = C + I Y = 25 + 0,75Y Y 600 500 400 300 200 100 0 400 300 200 100 75 25 E E1 E11 C, S

Hitung

Keuangan

Bunga

Tunggal

Bunga

Majemuk

Anuitas

1. Bunga Tunggal

 Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan.

 Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi

peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha.

Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang

dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).

 Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap

Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%.

 Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:

Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) = Rp10.000,00 (1 +10%)

 Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:

Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) + (10% × Rp100.000,00) = Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)

 Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00

= Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)

 Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.

Keterangan : M = modal

t = periode waktu dengan tingkat

suku bunga

B = bunga

M

_t

= besar modal pada akhir periode

r = tingkat suku bunga

B = M × t × r

M = M (1 + t × r)_t

o

o

Contoh 1:

Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan

a. besar bunga setiap bulannya;

b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan.

Jawab:

Besar bunga dihitung setiap bulan.

Diketahui r = 2%, M = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan. a. Besar bunga setiap bulan adalah

B = M × 1 × r

= Rp3.000.000,00 × 1 × 2% = Rp60.000,00

o o

b. Besar uang yang harus dikembalikan

sesuai jangka 12 bulan adalah

M = M (1 + t × r)

M = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)

= Rp3.000.000,00(1,24)

= Rp3.720.000,00

o t 12

Contoh 2:

Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar

Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus

mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)

Jawab:

Dari soal di atas diketahui M = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari =tahun.

a. Bunga B = M × t × r = Rp2.000.000,00 × × 30% = Rp100.000,00 o o

6

1

b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep

adalah

M = M (1 + t × r)

= M + M × t × r

= M + B

= Rp2.000.000,00 + Rp100.000,00

= Rp2.100.000,00

t o o o

2. Bunga Majemuk

 Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar

jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi.

 Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat

berbunga.

 Adapun perhitungannya dapat kalian pahami

melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per

periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (M_t ) dapat dihitung dengan cara berikut.

M = M + M × i = M (1 + i) M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i) M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i) . . . . . . . . . . . . M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)

Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1 2 3 1 2 o o o o o o o o 2 2 3 t 1  t o t 1

Keterangan : M₀= modal

i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suku

bunga (dalam persen) per periode tertentu

M_t = besar modal pada periode ke-t t

o

t

M

i

Contoh 1:

Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank

membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

Diketahui M = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.

Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah

M = M (1 + i) M = Rp5.000.000,00(1 + 0,03) = Rp5.000.000,00(1,42576) = Rp7.128.800,00 o o t 12 t 1 2

Contoh 2:

Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar

Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode

pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.

Jawab:

Diketahui M = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2.

Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi, banyak periode pembungaannya dalam setahun ada = 3 kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah

o

4

12

M = M (1 + i)

M = Rp2.000.000,00(1 + 0,2)

= Rp2.000.000,00(5,159780)

= Rp10.319.560,00

o t t 9 9

FUNGSI NON LINEAR

1.

Fungsi Kuadrat

Y = f(X) = aX

2

_{+ bX + c}

Y Y

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus: - b - (b2 – 4ac) Titik puncak = --- , ---2a 4a -b ± b2 – 4ac X1.2 = ---2a Contoh:

Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan

- b - (b2 – 4ac)

Koordinat Titik puncak = --- , ---2a 4a

Contoh :

Jika fungsi kuadrat Y = X2 _{– 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan}

gambarkanlah parabolanya? Penyelesaian :

Koordinat titik puncak

Untuk X = 0, maka Y = 12

Titik potong sumbu Y adalah (0,12) Untuk Y = 0, maka X2 _{– 8X + 12 = 0} ) 4 , 4 (            a ac b a b 4 4 ( , 2 2          4 48 64 ( , 2 8

Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0).

Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik

puncak dan titik potong sumbu X dan Y,

maka kurva parabolannya dapat

digambarkan seperti 7.3.

Koordinat titik

puncak

=

Y x (2,0) 2 (0,12) (8,12) Y = a0= a1X + a2X2+a3X3 GGGGG GGGGG          a ac b a b 4 4 ( , 2 2              ) 1 ( 4 ) 3 )( 1 ( 4 2 ( , ) 1 ( 2 2 2 ) 4 , 1 ( 4 16 , 2 2 _           

FUNGSI PANGKAT TIGA

Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum :

Y = a₀ + a₁ X + a₂X2 _{+ a} 3X3

dimana : a₃tidak sama dengan nol.

fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat

Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping. Y = a₀= a₁X + a₂X2_+a 3X3 Y x a₀ 0

Contoh

Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2_{, gambarkanlah fungsi}

permintaan tersebut dalam satu diagram!

Penyelesaian :

Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0)

Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 _{= 0 atau}

P = 4P – 32 = 0 (P + 8) (P – 4) = 0

P = -8 (Tidak memenuhi) P = 4

Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8). Koordinat titik puncak

) 72 , 02 (           a D a b 4 , 2            8 576 , 4 8

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 _dapat

digambarkan seperti di bawah.

Y Q (2,0) 2 (0,4) (64,0) Q =64– 8P – 2P2 (72,-2) 3 4 1 -1 -2 8 16 24 32 40 48 56 64 72 P

KURVA INDEFERENS

Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari

barang X dan Y yang dapat memberikan tingkat

kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen.

Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas

yang berbentuk,

U = f (X, Y)

dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan total

konsumen.

X = Jumah barang X yang dikonsumsi

X = Jumah barang Y yang dikonsumsi

Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang

koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar

dibawah.

F (X, Y) = U B (X₂, Y₂) A (X1, Y1) X Y X₂ X₁ 0 Y2 Y1

f3 (X, Y) = U3 X Y X2 X₁ 0 Y2 Y1 A C D B X3 f₂ (X, Y) = U₂ f₁ (X, Y) = U₁