• Tidak ada hasil yang ditemukan

IV Ukuran Simpangan Dispersi Variansi1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "IV Ukuran Simpangan Dispersi Variansi1"

Copied!
7
0
0

Teks penuh

(1)

IV

. UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI & VARIASI Pendahuluan

o Ukuran dispersi atau ukuran variasi, yang menggambarkan derajat bagaimana berpencarnya data kuantitatif, dintaranya: rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau

deviasi kuartil, rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan koefisien variasi.

o TIK :

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan Saudara dapat menhitung ukuran-ukuran dispersi dan variansi sebuah data kuantitatif.

Apa itu Rentang, Rentang Antar Kuartil dan Simpangan kuartil ?

o Rentang. adalah : data terbesar - data terkecil, biasanya banyak digunakan pada cabang statistika industri

 Contoh : Untuk ke 80 data yang terdapat pada halaman 45 dimana data terbesar = 99

o Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan ini merupakan selisih antara K3 dan K1., yakni : RAK = K3 – K1

Contoh : Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk

65 pegawai di suatu pabrik . Upah (x100 Rupiah) f 1 50,00 – 59,99 60,00 – 69,99 70,00 – 79,99 80,00 – 89,99 90,00 – 99,99 100,00 – 109,99 110,00 – 119,99 8 10 16 14 10 5 2 JUMLAH 65

o Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula

rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar

kuartil. yakni : SK = ½ (K3 – K1).

Dengan Rumus IV (17)

nilai-nilai K

1

dan K

3

dapat

dihitung. Hasilnya K

1

=

Rp. 68,25 dan K

3

= Rp.

90,75

Dari rumus V (2), maka

RAK = Rp. 22,50.

(2)

o Contoh :

Dari daftar di atas: SK = ½ (Rp.90,75 – Rp. 68,25) = Rp. 11,25

Karena ½ (K3 + K1) = Rp. 79,50, maka 50 % dari pegawai mendapat upah terletak dalam interval Rp. 79,50 + Rp. 11,25.

Rata-rata Simpangan ?

o Misalkan data hasil pengamatan berbentuk x1, x2, …, xn dengan rata-rata x. Jarak antara tiap data dengan rata-rata x= xix

dan xix , x2 −x , …., xnx dijumlahkan, lalu dibagi oleh n, maka diperoleh satuan yang disebut rata simpangan atau rata-rata deviasi, dirumusnya adalah :

RS = n x xi − ∑ o Contoh : xi xi - x xi - x 8 7 10 11 - 1 - 2 1 2 1 2 1 2

Simpangan Baku dan Deviasi Standar ?

o Barangkali ukaran simpangan yang paling banyak digunakan dalah Simpangan baku atau deviasi standar. Simpangan baku data sampel disimbul dengan s, sedangkan untuk populasi diberi simbul σ (baca : sigma).

Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, . . . , xn dan rata-rata x, maka statistik s dihitung dengan: s =

1 ) ( 2 − − Σ n x xi

o Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. o Simpangan baku s dihitung sebagai berikut

1). Hitung rata-rata x

2). Tentukan selisih x1 - x, x2 - x, . . . , xn - x

3). Tentukan kuadrat selsisih tersebut, yakni (x1 - x)2, (x2 - x)2, . . . , (xn - x)2

4). Kuadrat-kuadrat tersebut dijumlahkan 5). Jumlah tersebut dibagi oleh (n – 1) 6). Lalu diambil akarnya yang positif.

Dari data di samping ini, jika

dihitung, rata-ratanya = 9.

Jumlah

harga-harga

mutlaknya, yaitu jumlah

bilangan-bilangan pada kolam

akhir, adalah 6. Maka RS =

1 4 6

(3)

Contoh :

Diberikan sampel dengan data : 8, 7, 10, 11, 4.

Untuk menentukan simpangan baku s, kita buat tabel berikut: xi xi - x (xi - x)2 8 7 10 11 4 0 - 1 2 3 - 4 0 1 4 9 16 didapat : S = = 40 30 7,5 = 2,74.

o Bentuk lain untuk rumus varians ialah : s2 =

) 1 ( ) ( x 2 2 i − Σ − Σ n n x n i

Pada rumus ini tidak perlu dihitung rata-rata. xi xi2 8 7 10 11 4 64 49 100 121 16 40 350

o Untuk data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, varians s2 dipakai rumus :

s2 = 1 ) ( f 2 i − − Σ n x xi atau s2 = ) 1 ( ) ( f 2 2 i − Σ − Σ n n x f x n i i i Untuk: xi = tanda kelas,

fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi n = ∑fi.

 Contoh :

Untuk menghitung varians s2 dari data dalam Daftar IV (2) tentang kelembaban selama 80 hari. Untuk lebih mudahnya digunakan rumus kedua.

 Untuk menggunakan Rumus di atas maka dibuat tabel pembantu seperti di bawah ini :

Rata-rata

x

= 8, dari kolom

(2), bahwa

Σ

(x

i

-

x

) = 0.

Karena itulah di sini diambil

kuadratnya yang dituliskan

pada kolom (3). Didapat

Σ

(x

i

-

x

)

2

= 30.

Dihasilkan

Σ

x

i

= 40 dan

Σ

(x

i2

= 350.

Dengan n = 5, didapat

varians

5 , 7 4 5 ) 40 ( 350 5 2 2 = xx = s

dan

s =

7,5

= 2,74.

(4)

Kelembab an (x) fi xi xi2 fixi fixi2 fixi3 31 - 40 41 -50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 90 – 100 1 2 5 15 25 20 12 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5 1260,25 2070,25 3080,25 4290,25 5700,25 7310,25 9120,25 35,5 90,0 277,5 982,5 1887,5 1710,0 1146,0 1.260,25 4.140,50 15.401,25 64.353,75 142.506,25 146.205,00 109.443,00 44738,87 188342,75 814769,37 dst Jumlah 80 - - 6130,0 483.310,00

Dari tabel didapat :

n = ∑ fi = 80, ∑ fixi = 6.130 dan ∑ fixi2 = 483.310.

Sehingga diperoleh varians: 80 79 172,1 ) 130 . 6 ( 310 . 483 80 2 2 == x x s

Cara koding, seperti ketika menghitung rata-rata x, l dapat digunakan juga di sini sehingga perhitungan akan lebih sederhana. Rumusnya adalah :

s2 = p2         − Σ − Σ ) 1 ( ) ( 2 2 n n c f c f n i i i i dengan :

p = panjang kelas interval, ci = nilai koding, dan n = ∑fi.  Contoh :

Untuk data di atas, jika dipakai Rumus IV (9) ini, maka diperlukan tabel berikut : Kelembaban (x) fI xI cI fici fici2 31 - 40 41 -50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 90 – 100 1 2 5 15 25 20 12 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 -4 -6 -10 -15 0 20 24 16 18 20 15 0 20 48 Jumlah 80 - - 9 137

Dari tabel didapat p = 10, n = ∑fi = 80, ∑fici = 9 dan ∑fi ci2= 137, sehingga didapat varians.

(5)

s2 = (10)2 172,1 79 80 ) 9 ( 137 80 2 =     − x x

 Hasilnya sama dengan bila digunakan sebelumnya. sebenarnya yang terakhir didapat dari yang pertama dengan menggunakan transpormasi ci =

p x xi0

berdasarkan sifat :

1) Jika tiap nilai data xi ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka simpangan baku s tidak berubah.

2) Jika tiap nilai data xi dikalikan dengan bilangan yang sama d, maka simpangan bakunya menjadi hal d kali simpangan baku yang asal.

o Simpangan baku gabungan. Jika terdapat k buah subsampel : Subsampel 1 : berukuran n1 dengan simpangan baku s1

Subsampel 2 : berukuran n2 dengan simpangan baku s2 ……….

Subsampel k : berukuran nk dengan simpangan baku sk

merupakan sebuah sampel berukuran n = n1 + n2 + …+ nk, maka simpangan baku untuk sampel ini merupakan simpangan baku

gabungan yang dihitung dengan rumus :

s2 = k n s n i i i − ∑ − ∑( 1) 2 atau lengkapnya s2 = k n n n s n s n s n k k k − + + + − + + − + − ... ) 1 ( ... ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 1 1

dengan s2 berarti varians gabungan. o Contoh :

Hasil pengamatan pertama terhadap 14 obyek memberikan s = 2,75 sedangkan pengamatan yang kedua kalinya terhadap 23 obyek menghasilkan s = 3,308. Maka, dengan Rumus V(10) untuk k = 2, didapat varians gabungan.

s2 = 8,7718 2 23 14 ) 08 , 3 )( 1 23 ( ) 75 , 2 )( 1 14 ( 2 2 = − + − + −

sehingga simpangan baku gabungan s = 2,96

(6)

o Satuan simpangan baku. Misalkan sebuah sampel berukuran n dengan data x1, x2, …, xn sedangkan rata-ratanya = x dan simpangan baku = s., dirumuskan stuan simpangan baku::

zi = s

x

xi untuk i = 1, 2, …, n (1)

o Angka baku atau angka standar adalah distribusi baru, yang mempunyai rata-rata x0 dan simpangan baku s0 yang ditentukan. dirumus : zi =     − + s x x s x i 0 0 (2)

Perhatikan bahwa untuk x0 = 0 dan s0 = 1, Rumus (2) menjadi Rumus (1), sehingga angka z sering pula disebut angka standar.

 Contoh :

1) Dalam psikologi, test Wechsler-Bellevue diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata = 10 dan simpangan baku = 3.

2) Test Klasifikasi Umum Tentara di Amerika biasa dijadikan angka baku dengan rata-rata = 100 dan sipangan baku = 20

3) “Graduate Record Examination” di USA dinyatakan dalam angka standar dengan rata-rata = 500 dan simpangan baku = 100

 Angka baku dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi sesuatu hal.

Contoh :

Seorang mahasiswa mendpat nilai 86 pada ujian akhir matematika dimana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. pada ujian akhir statistika dimana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, ia mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai kedudukan yang lebih baik?

Jawab : Dengan rumus V(11) didapat :

untuk matematika z = 0,8 10 78 86− = untuk statistika z = 0,44 18 84 92− =

Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku diatas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku diatas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih tinggi dalam hal matematika.

Kalau saja nilai-nilai di atas diubah kedalam angka baku dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20, maka :

untuk matematika z = 100 + 20 116 10 78 86 =       −

(7)

untuk statistika z = 100 + 20 108,9 18 84 92 =       −

Dalam sistem ini ia lebih unggul dalam matematika.

o Ukuran variasi atau dispersi yang diuraikan dalam bagian-bagian lalu merupakan dispersi absolut. Variasi 5 cm untuk ukuran jarak 100 m dan variasi 5 cm untuk ukuran jarak 20 m jelas mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif yang ditentukan oleh :

Dispersi Relatif = rata Rata solut DispersiAb

o Jika untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi, disingkat KV. dirumuskan dalam persen. Jadi diperoleh : KV = x100% rata rata aku SimpanganB

o Koefisien variasi tidak tergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat dipakai untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda.

Contoh :

Semacam lampu elektron rata-rata dapat diapakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 10.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Dari sini mudah dihitung : KV (lampu pertama) = 100% 30% 500 . 3 050 . 1 = x KV (lampu kedua) = 100% 20% 000 . 10 000 . 2 = x

Ternyata lampu kedua secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform.

Referensi

Dokumen terkait

Rata-rata kuadrat sesatan digunakan untuk membandingkan keakuratan pendu- ga rasio gabungan menggunakan koefisien variasi seluruh strata variabel bantu dengan penduga rasio

Derajat bebas besarnya tergantung dengan banyaknya variabel penjelas (variabel bebas).Koefisien determinasi disesuaikan (adjusted R2) digunakan untuk membandingkan 2

Pengujian koefisien determinan (r²) digunakan untuk mengukur proporsi atau persentase sumbangan variabel independen yang diteliti terhadap variasi naik turunnya

Koefisien keseragaman mengukur derajat keragaman data yang berbeda, sehingga dari nilai koefisien keragaman yang diperoleh dapat digunakan untuk membandingkan

digunakan dalam variabel harga minyak memiliki sebaran data yang.. kecil dengan nilai koefisien variasi 0,176% yang didapat

Koefisien keseragaman mengukur derajat keragaman data yang berbeda, sehingga dari nilai koefisien keragaman yang diperoleh dapat digunakan untuk membandingkan

Nilai –nilai data kuantitatif atau dinyatakan dengan x 1 , x 2 ...x n , apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai, simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan

Ukuran Variasi Data  Ukuran Variasi Mutlak Range Mean Deviasi Standar Deviasi  Ukuran Variasi Relatif Koefisien variasi 20 Ukuran Variasi Data  Contoh:Lama rawat 10 pasien hari