1.2. Logika Predikat
Pada pembahasan pasal sebelumnya kita telah membahas logika proposisional yang terdiri dari proposisi tunggal (disebut juga atom atau primif) dan proposisi majemuk.
Kelemahan utama dari logika proposisional adalah tidak boleh mengandung peubah.
Hal ini berkaitan dengan definisi dari proposisi, yaitu hanya mempunyai nilai benar atau salah; tidak keduanya.
Misalnya pernyataan 2x + 1 = 3 dengan daerah asal bilangan ril. Padahal dalam banyak hal pernyataan-pernyataan dalam matematika dan/atau ilmu
komputer dinyatakan dalam bentuk rumus-rumus. Kelemahan lain dari logika proposisional adalah dari segi effisiensi, karena tidak menjelaskan tentang
banyaknya kuantitas yang terlibat dalam pembahasan. Jika kita ingin menyatakan keseluruhan dari 1000
Adi adalah mahasiswa STMIK “” Benny adalah mahasiswa STMIK “” Chairul adalah mahasiswa STMIK “” ⋮
Zainal adalah mahasiswa STMIK “”
Kelemahan lain dari logika proposisional adalah
Perhatikan argumen berikut.
Semua makhluk hidup pasti mati Kucing adalah makhluk hidup ∴Kucing pasti mati
Adalah hal yang masuk akal jika kita menarik kesimpulan, Kucing pasti mati.
Akan tetapi menurut aturan inferensi pada logika proposisional,
Kesimpulan harus mempunyai
Untuk lebih jelas kita akan menggunakan simbol proposisi pada argumen diatas.
p : Semua makhluk hidup pasti mati q : Kucing adalah makhluk hidup r : Kucing pasti mati
Jadi, p q r
Karena proposisi r tidak ada hubungannya dengan proposisi p dan q, maka r bukan kesimpulan
dari argumen.
1.2.1. Predikat dan Fungsi Proposisional
1.2.2. Kuantor
Telah dijelaskan pada pasal sebelumnya, bahwa logika prosisional tidak menjelaskan tentang banyaknya
kuantitas yang terlibat dalam pembahasan.
Untuk menyatakan kuantitas yang terlibat dalam pembahasan maka kita gunakan simbol kuantor, yaitu dan . Simbol disebut kuantor universal dan simbol adalah kuantor eksistensial.
Kuantor universal () menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat dari
kalimat yang menyatakannya.
Misal terdapat kalimat berkuantor (xD), p(x).
Nilai kebenaran kalimat tersebut adalah benar jika dan hanya jika nilai p(x) benar untuk setiap x dalam semesta D dan bernilai salah apabila setidak-tidaknya ada satu x dalam semesta D yang menyebabkan p(x) salah.
Nilai x yang menyebabkan p(x) bernilai salah disebut contoh penyangkal (counter example).
Umumnya peubah x pada p(x) disebut peubah bebas. Sedangkan peubah x pada (xD), p(x) disebut
Kalimat berkuantor (xD), p(x) mempunyai nilai
benar jika dan hanya jika setidak-tidaknya ada satu x dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar dan bernilai salah apabila semua x dalam semestanya
bernilai salah.
Dengan adanya kuantor maka p(x) dapat bernilai benar saja atau salah saja; tidak keduanya.
Untuk p(x) yang memenuhi sifat proposisi disebut
Contoh 1.39
Misal terdapat proposisi p: Makhluk hidup akan mati. Jika makhluk hidup kita ganti dengan x, maka
pernyataan asal dapat ditulis menjadi p(x), x akan mati.
Karena kita mengetahui bahwa semua makhluk hidup akan mati, maka pernyataan diatas dapat ditulis
menjadi,
Contoh 1.40
Misal terdapat proposisi p : Manusia disiplin.
Jika manusia kita ganti dengan x, maka pernyataan asal dapat ditulis menjadi p(x) : x disiplin.
Contoh 1.41
Nyatakan kalimat berkuantor berikut dalam bahasa sehari-hari !
xbilangan ril, x2 0
xbilangan ril, x2 0
mbilangan bulat, m2 = m
Penyelesaian :
d) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tak negatif
b) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tidak sama dengan nol.
Contoh 1.42
a) Misal D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa pernyataan mD, m2 = m
bernilai benar.
b) Misal E adalah himpunan bilangan bulat antara 6 dan 10.
Bukti :
a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1.
Sehingga untuk m=1, m2 = m. (terbukti)
b) Untuk m = 7 , m2 = 49
m = 8 , m2 = 64
m = 9 , m2 = 81
Tidak ada bilangan bulat antara 6 dan 10 yang memenuhi m2 = m. Sehingga pernyataan
1.2.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor
Misal terdapat pernyataan “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit”. Pernyataan
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang salah
jika setidak-tidaknya terdapat satu mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit.
Perlu diingat bahwa nilai kebenaran yang salah merupakan ingkaran dari nilai kebenaran yang benar.
Jadi ingkaran dari “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit”
Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya tidak dicantumkan lagi pada penulisannya.
Jadi xmahasiswa, p(x) sering ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana seperti : x, p(x).
Jika p : Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit dan p(x) : “x lulus ujian Matematika Diskrit”, maka dalam bentuk simbolik pernyataan tersebut dapat
kita tulis menjadi xmahasiswa, p(x).
Sedangkan “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian
Secara umum ingkaran dari kalimat berkuantor adalah sebagai berikut:
Contoh 1.47
Tulis ingkaran dari kalimat-kalimat berikut : a) Semua orang sukses rajin bekerja
b) Sebagian ahli matematika adalah orang malas c) Ada bilangan ril merupakan bilangan rasional. Penyelesaian:
x, p(x) x, p(x)
a) Misal p(x) : “x rajin bekerja”.
Maka kalimat a) dapat kita tulis dalam bentuk
simbol : xorang sukses, p(x) atau x, p(x).
Ingkaran x, p(x) adalah x, p(x) x, p(x)
b) Misal q(x) : “x adalah orang malas”.
Maka kalimat b) dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xahli matematika, q(x) atau x, q(x). Ingkaran x, q(x) adalah x, q(x) x, q(x)
.
c) Misal r(x) : “x merupakan bilangan rasional”.
Kalimat tersebut dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi : xbilangan ril, r(x) atau x, r(x).
Contoh 1.48
Tulis kalimat-kalimat berikut dengan menggunakan simbol-simbol, kemudian tulis ingkarannya
(semestanya adalah himpunan bilangan bulat).
a) Untuk setiap x, jika x bilangan ganjil maka x2 + 1
bilangan ganjil juga.
Ada beberapa bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil, tetapi (x2 + 1) bukan merupakan
bilangan ganjil. Penyelesaian
a) Misal p(x) : x bilangan ganjil
q(x) : x2 + 1 bilangan ganjil
x, (p(x) q(x))
b) Misal r(x) : x bilangan ganjil
s(x) : x2 + 1 bilangan ganjil
Kalimat semula x, (r(x) s(x))
Ingkarannya x, (r(x) s(x)) adalah
1.2.4 Kalimat Berkuantor Ganda
Kalimat berkuantor ganda adalah kalimat yang menggunakan lebih dari satu kuantor. Secara umum ekiovalensi dari kalimat
berkuantor ganda adalah sebagai berikut:
x y p(x,y) y x p(x,y)
x y p(x,y) y x p(x,y)
x y p(x,y) y x p(x,y)
Sedangkan ekivalensi dari ingkarannya adalah:
x y p(x,y) x y p(x,y)
Contoh 1.49
Nyatakan kalimat berikut ke dalam simbol logika.
a) Setiap bilangan genap sama dengan 2 kali bilangan bukat.
b) Jika setiap dosen bermutu maka semua mahasiswa antusia belajar.
