8
BAB 2
DISTRIBUSI FREKUENSI
KompetensiMampu membuat penyajian data dalam distribusi frekuensi
Indikator
1. Menjelaskan distribusi frekuensi 2. Membuat distribusi frekuensi
3. Menjelaskan macam-macam distribusi frekuensi 4. Membuat distribusi frekuensi dalam bentuk grafik
A. Definisi dan Bentuk Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi adalah tabel tentang kelompok data yang terdiri dari kolom kelas dan kolom frekuensi. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan distribusi frekuensi:
1. Untuk dapat menyusun suatu tabel distribusi frekuensi harus tersedia data. Data yang baru saja dikumpulkan dari lapangan disebut data kasar. Contoh:
Data masa kerja karyawan UMY adalah sbb:
10 8 5 10 10 8 9 11 13 4 9 9 6 10 2 6 7 10 6 4 8 12 8 11 11 9 12 5 11 9 7 8 6 9 7 9 5 3 10 8
9
2. Data yang telah disusun ke dalam urutan dari nilai terbesar hingga data
terkecil atau sebaliknya disebut array data. Contoh:
Data masa kerja 40 karyawan UMY adalah sbb:
2 6 9 10 3 7 9 10 4 7 9 10 4 7 9 11 5 8 9 11 5 8 9 11 5 8 9 11 6 8 10 12 6 8 10 12 6 8 10 13
3. Beda atau selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil disebut dengan jarak atau range.
4. Jika array data itu dibagi atas kelompok-kelompok tertentu maka kelompok-kelompok itu disebut dengan kelas.
5. Bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya data yang terdapat dalam setiap kelas disebut frekuensi.
6. Jarak antara kelas yang satu dengan kelas yang lain disebut interval kelas.
Bentuk umum distribusi frekuensi yaitu: Tabel 2.1
Bentuk Umum Distribusi Frekuensi
Kelas Frekuensi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10
Pada tiap-tiap kelas dalam distribusi frekuensi mempunyai 2 batas kelas, yaitu:
1. Batas bawah kelas
Batas bawah kelas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah kiri.
2. Batas atas kelas
Batas atas kelas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah kanan.
Pada tiap-tiap kelas dalam distribusi frekuensi juga mempunyai tepi kelas. Tepi kelas merupakan titik tengah antara batas atas suatu kelas dengan batas bawah kelasnya. Tepi kelas ada 2 yaitu:
1. Tepi bawah kelas
2 1 i i i BBK BAK TBK = − + Keterangan:
TBKi = Tepi bawah kelas ke i
BAKi-1 = Batas atas kelas sebelum kelas ke i
BBKi = Batas bawah kelas ke i
2. Tepi atas kelas
2 1 + + = i i i BBK BAK TAK Keterangan:
TAKi = Tepi atas kelas ke i
BAKi = Batas atas kelas ke i
BBKi+1 = Batas bawah kelas setelah kelas ke i
Selain memiliki batas kelas dan tepi kelas, suatu distribusi frekuensi juga memiliki titik tengah kelas. Titik tengah kelas merupakan rata-rata kelas yang bersangkutan. Titik tengah kelas dapat dicari dengan cara:
11 2 i i i BAK BBK TTK = + Keterangan:
TTK = Titik Tengah Kelas BBKi = Batas bawah kelas ke i
BAKi = Batas atas kelas ke i
B. Macam-macam Distribusi Frekuensi
Terdapat dua jenis distribusi frekuensi yaitu:
1. Distribusi frekuensi numerikal (Numerical frequency distribution)
Distribusi frekuensi numerikal yaitu distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berupa angka-angka atau secara kuantitatif. Contoh distribusi frekuensi numerikal yaitu:
Tabel 2.2 Distribusi Frekuensi Umur Karyawan PT Basmallah
Umur (Tahun) Jumlah Karyawan 20 – 29 10 30 – 39 15 40 – 49 8 50 – 59 9 60 – 69 3 Jumlah 45
12
Distribusi Frekuensi Numerikal, dibagi menjadi: a. Distribusi Frekuensi Relatif
Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka-angka absolut tetapi angka-angka relatif atau persentase. Contohnya yaitu:
Tabel 2.3
Distribusi Frekuensi Relatif Umur Karyawan PT Basmallah
Umur (Tahun) Jumlah Karyawan (%) 20 – 29 22,22 30 – 39 33,33 40 – 49 17,78 50 – 59 20 60 – 69 6,67 Jumlah 100 b. Distribusi Frekuensi Komulatif
Distribusi frekuensi komulatif terdiri dari dua jenis yaitu : 1) Distribusi frekuensi “kurang dari”
Distribusi frekuensi “kurang dari” yaitu distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Contohnya yaitu:
Tabel 2.4
Distribusi Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari” Umur Karyawan PT Basmallah
Umur (Tahun) Jumlah Karyawan Kurang dari 20 0 Kurang dari 30 15 Kurang dari 40 25 Kurang dari 50 33 Kurang dari 60 42 Kurang dari 70 45
13 2) Distribusi frekuensi “atau lebih”
Distribusi frekuensi “atau lebih” yaitu distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi kelas-kelas sesudahnya. Contohnya yaitu:
Tabel 2.5
Distribusi Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari” Umur Karyawan PT Basmallah
Umur (Tahun) Jumlah Karyawan 20 Atau lebih 45 30 Atau lebih 35 40 Atau lebih 20 50 Atau lebih 12 60 Atau lebih 3 70 Atau lebih 0
2. Distribusi frekuensi kategoris (Categorical frequency distribution)
Distribusi frekuensi kategoris yaitu distribusi yang pembagian kelasnya berdasarkan kategori-kategori atau secara kualitatif. Contoh Distribusi frekuensi kategoris yaitu:
Tabel 2.6
Distribusi Frekuensi Usia
Responden yang Menyukai Film Kartoon
Usia Jumlah Anak-anak 30
Remaja 15 Dewasa 5 Jumlah 50 C. Teknik Pembentukan Distribusi Frekuensi
Ada 2 teknik pembentukan distribusi frekuensi, yaitu: 1. Trial and error.
14 2. Melalui tahap-tahap sebagai berikut:
a. Menentukan banyaknya kelas
Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges: K = 1 + 3,322 log n
K = banyaknya kelas yang sedang dicari n = banyaknya data
b. Menentukan besarnya interval kelas (i) Jarak atau range
i = --- Banyak kelas
Range = angka terbesar – angka terkecil
c. Menghitung frekuensi data
Contoh:
Data berikut ini merupakan nilai ujian Matakuliah Statistik I dari 25 mahasiswa: 27 79 69 40 51 88 94 60 71 82 65 62 75 42 68 89 60 51 74 77 80 67 40 69 66
Berdasarkan data tersebut:
1. Buatlah tabel distribusi frekuensi.
2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah. 3. Buatlah distribusi frekuensi relative.
4. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. 5. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih.
15 Penyelesaian:
1. Tabel distribusi frekuensi
Langkah-langkah pembentukan distribusi frekuensi: a. Menentukan banyaknya kelas
Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges: K = 1 + 3,322 log n
K = 1+ 3,322 log 25 K = 1+ 3,322 (1,398) K = 5,644
K = 6 (dibulatkan)
b. Menentukan besarnya interval kelas (i)
Jarak atau range i = --- Banyak kelas
Range = angka terbesar – angka terkecil Angka terkecil = 27 Angka terbesar = 94 Range = 94 – 27 = 67 Banyaknya kelas = 6 17 , 11 6 67 = = i = 12 (dibulatkan)
16 c. Membuat tabel distribusi frekuensi
Tabel 2.7 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik I
Nilai Perincian Frekuensi
27 - 38 ll 1 39 - 50 ll 3 51 - 62 lllll 5 63 - 74 llllllll 8 75 - 86 lllll 5 87 - 98 lll 3 Jumlah 25
Penyajian distribusi frekuensi
Tabel 2.8 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik I
Nilai Frekuensi 27 - 38 1 39 - 50 3 51 - 62 5 63 - 74 8 75 - 86 5 87 - 98 3 Jumlah 25
17
2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah Tabel 2.9
Batas Kelas, Tepi Kelas, dan Titik Tengah Nilai Frekuensi Batas Kelas Tepi Kelas Titik
Tengah BBK BAK TBK TAK 27 - 38 1 22 38 26,5 38,5 32,5 39 - 50 3 39 50 38,5 50,5 44,5 51 - 62 5 51 62 50,5 62,5 56,5 63 - 74 8 63 74 62,5 74,5 68,5 75 - 86 5 75 86 74,5 86,5 80,5 87 - 98 3 87 98 86,5 98,5 92,5 Keterangan:
BBK = batas bawah kelas BAK = batas atas kelas TBK = tepi bawah kelas TAK = tepi atas kelas
Tepi bawah kelas
2 1 i i i BBK BAK TBK = − + Keterangan:
TBKi = Tepi bawah kelas ke i
BAKi-1 = Batas atas kelas sebelum kelas ke i
BBKi = Batas bawah kelas ke i
5 , 26 2 27 26 2 1 0 1 = + = + = BAK BBK TBK
18 5 , 38 2 39 38 2 2 1 2 = + = + = BAK BBK TBK
Tepi atas kelas
2 1 + + = i i i BBK BAK TAK 5 , 38 2 39 38 2 2 1 1 = + = + = BAK BBK TAK
Titik tengah kelas
2 i i i BAK BBK TTK = + 5 , 32 2 38 27 2 1 1 1 = + = + = BBK BAK TTK
3. Distribusi frekuensi relatif
Tabel 2.10
Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Frekuensi (%) 27 - 38 4 39 - 50 12 51 - 62 20 63 - 74 32 75 - 86 20 87 - 98 12 Jumlah 100
19 Frekuensi kelas 1 = 1/25 x 100 = 0,08 = 4 % Frekuensi kelas 2 = 3/25 x 100 = 0,08 = 12 % Frekuensi kelas 3 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 % Frekuensi kelas 4 = 8/25 x 100 = 0,32 = 32 % Frekuensi kelas 5 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 % Frekuensi kelas 6 = 3/25 x 100 = 0,12 = 12 %
4. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari Tabel 2.11
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
Nilai Frekuensi Kurang dari 27 0 Kurang dari 39 1 Kurang dari 51 4 Kurang dari 63 9 Kurang dari 75 17 Kurang dari 87 22 Kurang dari 99 25
5. Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih Tabel 2.12
Distribusi Frekuensi Kumulatif Atau Lebih
Nilai Frekuensi 27 Atau lebih 25 39 Atau lebih 24 51 Atau lebih 21 63 Atau lebih 16 75 Atau lebih 8 87 Atau lebih 3 99 Atau lebih 0
20 D. Penyajian Data Dalam Bentuk Grafik
Data selain disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, juga dapat disajikan dalam bentuk grafik. Berikut ini distribusi frekuensi yang akan disajikan dalam bentuk grafik, yaitu:
Tabel 2.13 Distribusi Frekuensi Masa Kerja 40 Karyawan UMY
Kelas Frekuensi 2 - 3,9 2 4 - 5,9 5 6 - 7,9 7 8 - 9,9 13 10 - 11,9 10 12 - 13,9 3 Jumlah 40 1. Histogram
Histogram yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk balok-balok segi empat yang terdiri dari 2 sumbu, sumbu vertikal sebagai skala frekuensi sedangkan sumbu horisontal untuk skala kelas. Histogram dapat digambarkan dalam tiga jenis menurut skala kelas yang digunakan, yaitu:
a. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka bulat yang relatif mendekati
b. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka-angka tepi kelas c. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka-angka batas
21 f 14 - 13 12 - 10 - 10 8 - 7 6 - 5 4 - 3 2 - 2 2 4 6 8 10 12 14 kelas Gambar 2.1 Histogram dengan menggunakan angka bulat yang relatif mendekati. f 14 - 13 12 - 10 - 10 Kurva frekuensi 8 - 7 6 - 5 4 - 3 2 - 2 1,95 3,95 5,95 7,95 9,95 11,95 13,95 kelas Histogram dengan menggunakan angka-angka tepi kelas
22 f 14 - 13 12 - 10 - 10 8 - 7 6 - 5 4 - 3 2 - 2 2 3,9 4 5,9 6 7,9 8 9,9 10 11,9 12 13,9 kelas Gambar 2.3
Histogram dengan menggunakan angka-angka batas kelas
2. Poligon Frekuensi
Poligon Frekuensi yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelasnya sebagai skala kelas. Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas daerah di bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram frekuensinya.
23 Tabel 2.14 Distribusi Frekuensi
tentang masa kerja 40 karyawan UMY
Kelas Frekuensi Titik tengah
2 - 3,9 2 2,95 4 - 5,9 5 4,95 6 - 7,9 7 6,95 8 - 9,9 13 8,95 10 - 11,9 10 10,95 12 - 13,9 3 12,95 Jumlah 40 f 14 - 13 12 - 10 - 10 8 - 7 6 - 5 4 - 3 2 - 2 0,95 2,95 4,95 6,95 8,95 10,95 12,95 14,95 kelas Gambar 2.4 Poligon Frekuensi
24
Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas daerah di bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram frekuensinya. Kurva frekuensi dapat digambarkan dengan memanfaatkan histogram frekuensi dengan menggunakan angka-angka tepi kelas sebagai skala kelas, dengan menghubungkan titik-titik tengah masing-masing balok.
3. Ogive Curve atau Kurva Ogive
Kurva ogive yaitu penggambaran distribusi frekuensi komulatif “kurang dari” dan distribusi frekuensi komulatif “atau lebih” dalam satu grafik. f 40 - B A 35 - 30 - 25 - 20 - 15 - 10 - 5 - . . . . . 2 4 6 8 10 12 14 kelas Gambar 2.4 Kurva Ogive
25
A: Penggambaran distribusi frekuensi komulatif “kurang dari” B: Penggambaran distribusi frekuensi komulatif “atau lebih”
C. Rangkuman
Distribusi frekuensi adalah tabel tentang kelompok data yang terdiri dari kolom kelas dan kolom frekuensi. Distribusi frekuensi meliputi distribusi frekuensi biasa, relative, kumulatif kurang dari dan kumulatif atau lebih.
Data selain disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, juga dapat disajikan dalam bentuk grafik. Distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk grafik seperti histogram, poligon, dan kurva ogive.
D. Latihan soal
1. Data tentang besarnya tunggakan kredit dari 50 orang nasabah Bank Lunas pada tahun 2007 (jutaan rupiah) adalah:
18 20 24 13 27 25 25 19 5 24 22 26 7 20 16 17 29 21 17 15 12 30 14 26 20 16 18 10 18 11 9 19 17 12 22 11 23 33 15 34 15 20 15 10 22 19 11 21 15 12
26
a. Buatlah distribusi frekuensi biasa, relatif, kumulatif “kurang dari” dan kumulatif “atau lebih”.
b. Berapa nilai Batas bawah kelas, Batas atas kelas, titik tengah kelas, tepi bawah kelas, dan tepi atas kelas?
c. Buatlah histogram, polygon, dan kurva ogive.
2. Nilai ujian Statistika I yang diikuti oleh 50 mahasiswa mempunyai nilai terendah 10 dan nilai tertinggi 95. Berdasarkan data tersebut :
a. Buatlah distribusi frekuensi (frekuensi per kelas bebas). b. Carilah nilai batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah. c. Buatlah distribusi frekuensi relatif.
d. Buatlah distribusi frekuensi “kumulatif kurang dari” dan distribusi kumulatif “atau lebih”.
e. Buatlah poligon dan ogive
3. Berikut ini distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” tentang gaji 100 karyawan PT Aura
Tabel 2.15 Distribusi Frekuensi Gaji Karyawan PT Aura
Gaji (ratusan ribu) Frekuensi Kurang dari 14 Kurang dari 19 Kurang dari 24 Kurang dari 29 Kurang dari 34 Kurang dari 39 Kurang dari 44 Kurang dari 49 0 15 33 48 57 75 91 100
27 Berdasarkan data tersebut:
a. Ubahlah distribusi frekuensi tersebut menjadi distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif “atau
lebih”.
b. Berapa orang karyawan yang memiliki gaji 24 atau lebih c. Buatlah kurva ogive
4. PT Keisha mempunyai tabel distribusi frekuensi mengenai gaji bulanan dari 50 karyawan :
Tabel 2.16 Distribusi Frekuensi Gaji Karyawan PT Keisha
Gaji (Ribuan Rp) Jumlah Karyawan (Orang) 150 atau lebih 250 atau lebih 350 atau lebih 450 atau lebih 550 atau lebih 650 atau lebih 750 atau lebih 50 48 43 33 13 5 0
Berdasarkan data di atas:
a. Buatlah distribusi frekuensi biasa, relatif, dan kumulatif “kurang dari” b. Buatlah histogram, poligon, dan kurva ogive
28
5. Data umur karyawan PT Aufa, adalah sebagai berikut: Tabel 2.17
Distribusi Frekuensi Umur Karyawan PT Aufa
Umur (Tahun) Jumlah Karyawan Kurang dari 20 Kurang dari 25 Kurang dari 30 Kurang dari 35 Kurang dari 40 Kurang dari 45 Kurang dari 50 Kurang dari 55 0% 20% 25% 50% 69% 84% 93% 100%
Jika jumlah karyawan tersebut 200 orang, maka buatlah distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif “atau lebih”.
