BAB 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAK SAMAAN

A

B C

h

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

DISUSUN OLEH :

Febriantoni, dkk

NAMA SISWA

: ……….

KELAS

: X ( SEPULUH ) ….

STANDAR KOMPETENSI

Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan

pertidaksamaan linier dan kuadrat

Kompetensi Dasar

A. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier

Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat tanda “ = “ (sama dengan ) . Persamaan linear merupakan persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabeknya ( peubah ) adalah satu.

1. Persamaan Linear Satu Variabel

Bentuk umum persamaan linear satu variabel

ax + b = 0

dengan a



0 dan a , b R Persamaan inear tidak berubah jika kita :

a. menambah atau mengurangi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama b. Mengali atau membagi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama Latihan:

1. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan 3x – 7 = 14 2. Tentukan himpunan penyelesaianpersamaan 4x + 3 = 15

3. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan 3x + 2 = 6x – 4 4. Tentukan himpunan penyelesaianpersamaan 5x - 2 = 3x + 11

5. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan 2 ( 3x – 6 ) = 3 ( x – 8 ) 6. Tentukan himpunan penyelesaianpersamaan 3 ( 5x + 2 ) = 5 ( 4x + 3 )

7. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan 4 ( 2x + 2 ) = 3 ( 2x – 5 ) 8. Tentukan himpunan penyelesaianpersamaan 5 ( 6x – 2 ) = 4 ( 2x – 7 )

9. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

5

4

2

2

3







x

x

10. Tentukan himpunan penyelesaian_persamaan

6

2

5

5





11. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

3

2

4

5

2

2

x





x



12. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

5

5

6

3

2





x

x

13. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

5

4

7

3

2

5

x





x



14. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

1

2

5

3

7





x

x

15. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

3

1

5

4

3

2



x



x



16. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

6

6

2

5

3





x

x

17. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

6

3

4

7

2

5



x





x

18. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

7

7

1

2

5





x

x

19. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

2

1

3

3

4

2



x



x



20. Tentukan himpunan penyelesaian

persamaan

2

5

4

4

5





2. Pertidaksamaan Linear

Pertidak samaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat ditulis dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis biangan.

Latihan :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan x + 2 > -1 2. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan 3 – 2x < 5

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 2 – x < 3 + 4x 4. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan 5 + 4x < 6 - 2x

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 4( x – 3 ) + 1 ≤ 2x + 7 6. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan 3(2 x + 1 ) + 3 ≤ 4x – 3

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 3(2 x + 5 ) ≤ 4 ( x - 4 ) 8. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan 5(4 x - 2 ) ≥ 2( 3 x - 1 )

9. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan -2 ≤ x + 2 ≤ 5 10. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan 4 ≤ 3x + 2 ≤ 6

11. Tentukan himpunan penyelesaian dari

13. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan -1 <

3

3

2

x



_{< 1} 14. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan -5 <

7

2

4

x



_{< 6}

15. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 3 <

5

1

4

x



_{< 10} 16. Tentukan himpunan penyelesaian dari_{pertidaksamaan -5 <}

2

2

3

x



_{< 5}

17. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 18 – 5( x + 1 ) < 3(x – 1 ) 18. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan

3

1

(2x + 1 )

-5

1

(x – 4 ) >

15

4

19. Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan 9 + 2( 3x + 1 ) < 4(2x + 5 ) 20. Tentukan himpunan penyelesaian dari_{pertidaksamaan}

5

2

(4x 3 )

-2

3

(3x – 6 ) >

6

2

21. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2

3

(x 5 )

-3

2

(2x + 1 ) >

3

5

22. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3

2

(2x + 6 )

-2

1

(x – 2 ) >

B. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama

dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk

umum:

ax

2

+

bx

+

c

= 0

dengan

a

,

b

, dan

c



R

dan

a

≠ 0.

a =

koefisienx2

b =

koefisienx c = konstanta

1.

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

a. Memfaktorkan

Memfaktorkan Jenisax2+bx= 0

ax

2

+

bx

= 0

x

(

ax

+

b

) = 0

Jadi,

x

= 0 atau

ax

+

b

= 0.

Latihan :

1. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat

x

2

– 5

x

= 0

2. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat

4

x

2

+ 3

x

= 0

3. Tentukan akar – akar dari persamaan

kuadrat 3X2_{– 2X = 8} 4. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat_{10X – X}2 _{= 0}

5. Tentukan akar – akar dari persamaan

kuadrat 2x2_{+ 7x = 0} 6. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat_2x2_{– 3x = 0}

7. Tentukan akar – akar dari persamaan

Memfaktorkan Jenis

ax

2

+

bx

+

c

= 0

Untuk persamaan kuadrat jenis

ax

2

+

bx

+

c

= 0 dapat difaktorkan dalam bentuk







      

a q x p

ax

dengan

p

dan

q

bilangan bulat

dengan

b

=

p

+

q

c

=

a

pq

atau

ac

=

pq.

Latihan :

1.

Dengan memfaktorkan, tentukan akar –

akar persamaan kuadrat

x

2

– 5

x

– 14 = 0

2.

Dengan memfaktorkan, tentukan

akar – akar persamaan kuadrat

x

2

+ 2

x

– 48 = 0

3. Dengan memfaktorkan, tentukan akar –

akar persamaan kuadrat

x2_{+ 2x – 3 = 0} 4.

Dengan memfaktorkan, tentukan

akar – akar persamaan kuadrat

x2_{– 4x – 12 = 0}

5. Dengan memfaktorkan, tentukan akar –

akar persamaan kuadrat

x2_{– 2x – 3 = 0}

6. Dengan memfaktorkan, tentukan

akar – akar persamaan kuadrat

x2

+ 3x + 2 = 0

7. Dengan memfaktorkan, tentukan akar –

akar persamaan kuadrat

x2_{– 2x – 8 = 0}

8. Dengan memfaktorkan, tentukan

akar – akar persamaan kuadrat

x2_{+ 2x – 15 = 0}

9. Dengan memfaktorkan, tentukan akar –

akar persamaan kuadrat

x2_{– 6x + 9 = 0}

10. Dengan memfaktorkan, tentukan

akar – akar persamaan kuadrat

Menggunakan Rumusabc

Dalam melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh cara mencari nilai akar-akar

persamaan kuadrat

ax

2

+

bx

+

c

= 0 adalah dengan menggunakan rumus

x1.2=

a

.

2

ac

4

b

b

-



2



Latihan:

1. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 4x2_{– 3x – 10 = 0}

2. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{+ 7x – 15 = 0}

3. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{+ 2x – 4 = 0}

4. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{+ 7x – 4 = 0}

5. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{– 13x –7= 0}

6. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 3x2_{– 7x – 6 = 0}

7. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{+ 3x – 5= 0}

8. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat x2_{– 3x – 4 = 0}

9. Dengan menggunakan rumus ABC tentukan akar – akar persamaan kuadrat 2x2_{– 3x – 14 = 0}

2. Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dengan menggunakan diskriminan (D = b2 – 4ac) Anda dapat menentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:

1. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

2. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional 3. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

a) Definit positif jika D < 0 dan a > 0, kurva di atas sumbu X dan membuka ke atas b) Definit negatif jika D < 0 dan a < 0, kurva di bawah sumbu X dan membuka ke bawah Latihan :

1. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan

kuadrat 3x2_{+ 2x–1 = 0} 2. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan_{kuadrat 2x}2_{+ 3x–14 = 0}

3. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan

kuadrat –x2_{+ 6x= 8} 4. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan_kuadrat

x

2

– 5

x

– 14 = 0

5. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan

kuadrat

x

2

+ 2

x

– 48 = 0

6. Tentukan jenis akar-akar dari persamaankuadrat

2

x

2

+ 9

x

+ 7 = 0

7. Tentukan jenis akar-akar dari persamaan

kuadrat

3

x

2

– 7

x

– 6 = 0

8.

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan_kuadrat

x

2

– 5

x

= 0

9.

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat

4

x

2

+ 3

x

= 0

3. Jumlah Selisih dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jika x1, dan x2adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, maka:

a. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : x₁x₂ _ab

b. Selisih akar–akar persamaan kuadrat :

a

D

x

x

1



2



, x1> x2

c. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat :

a c 2 1 x

x  

Latihan :

1. Diketahuiα danβ adalah akar–akar persamaan

kuadrat3x − x − 2 = 0, nilai dari ( α + β ) + α β =…

2. Diketahui dan adalah akar–akar persamaan − 7 + 10 = 0, nilai dari

+ − =…

3. Diketahui dan adalah akar–akar persamaan kuadrat − 5 − 6 = 0, nilai dari + −

4 =…

4. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2_{– 4x + 2 = 0 adalahdan.}

Nilai dari (+)2_{– 2=….}

5. Jika x1dan x2akar–akar persamaan

2x2_{+ 3x – 7 = 0, maka nilai}

2 1

1 1

x x  = …

6. Diketahui Akar–akar persamaan kuadrat 2x2_{– 7x – 6 = 0 adalah x}

1dan x2.

Nilai 2 1 1 1 x

x  adalah …

7. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2_{– x + 9 = 0}

adalah x1dan x2. Nilai

1 2 2 1 x x xx  = …

8. Akar–akar persamaan kuadrat x2_{– 5x + 3 = 0 adalah x}

1dan x2.

Nilai ₂ 2 2 1

1

1

x

x



= …

9. Persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0, akar– akarnyadan. Nilai dari (+)2 – 2

adalah …

10. Jika dan akar–akar

2 − 10 + 4 = 0, nilai dari

4. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika Diketahui Akar-Akarnya (x–x1) (x–x2) = 0

Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnyax2_{– (x}

1+x2)x+ (x1·x2) = 0

Latihan :

1. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3 dan 2 adalah …

2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 4 dan -7 adalah …

3. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -7 dan 3 adalah …

4. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -6 dan -1 adalah …

5. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -4 dan -5 adalah …

6. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -3 dan -8 adalah …

7. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya ₃1 dan

5

1_{adalah …}

8. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -₅2 _dan

4

3 _{adalah …}

9. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya ₂5 _dan

-₇3 _{adalah …}

10. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -₇2 _dan

-7_{2 adalah …}

11. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya ₅4 _dan

-7 adalah …

12. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya -₃4 _dan

13. Misalkan x1dan x2adalah akar –akar

persamaan x2_{– 3x – 4 = 0. Persamaan kuadrat}

baru yang akar–akarnya 2x1dan 2x2adalah

14. Persamaan kuadrat x2_{– 3x + 1 = 0,}

mempunyai akar–akar x1dan x2. Persamaan

kuadrat yang akar–akarnya 2x1dan 2x2adalah

15. Diketahui persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 = 0 akar–akarnya x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3x1 dan 3x2 adalah ….

16. Ditentukan m dan n adalah akar–akar

persamaan kuadrat x2_{– 3x + 1 = 0. Persamaan}

kuadrat yang akar–akarnya 5m dan 5n adalah

17. Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 _{– 5x + 1 = 0 adalah x}

1 dan x2. Persamaan

kuadrat yang akarnya (x1 – 1) dan (x2 – 1 )

adalah …

18. Akar–akar persamaan kuadrat x2_{+ 2x + 3 = 0 adalahdan.}

Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (– 2) dan (– 2) adalah …

19. Diketahui

x

1dan

x

2akar–akar persamaan

kuadrat3x2_{– 5x – 1 = 0. Persamaan kuadrat}

yang akar–akarnya 3x1dan 3x2adalah ….

20. Persamaan kuadrat 2x2_{– 4x – 1 = 0 memiliki}

akar–akar x1dan x2.Persamaan kuadrat 2x1dan

2x2= ….

21. Diketahui

x

1 dan

x

2 akar–akar persamaan kuadrat3x2 – 5x – 1 = 0. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya 3x1 dan 3x2adalah ….

22. Akar–akar persamaan kuadrat x2_{+ 2x + 3 = 0 adalahdan.}

5. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat x2– 5x– 14 < 0

Jawab:

x2– 5x– 14 < 0 x2– 5x– 14 = 0 (x– 7) (x+ 2) = 0 x– 7 = 0 ataux+ 2 = 0 x= 7 ataux= –2

+ ++ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + +

-2 7

Jadi daerah penyelesaianya yang bertanda negative { x│-2< x < 7 }

Latihan:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat X2_{+ 2X – 3 > 0}

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat X2_{– 4X – 12 < 0}

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat 2X2_{+ 7X + 3  0}

4. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat X2_{– 8X +16 < 0}

5. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

x − 3x + 2 ≤ 0adalah …

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

+ 4 − 5 ≤ 0adalah …

7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

0 12 8

2 _{ x }

x adalah ….

8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

0 3 2

2_{ x }

x adalah ….

9. Himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan kuadrat3 − 10 − 8 ≤ 0adalah …

10. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1) Bentuk umum :















2 2 2

1 1 1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

2) Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

Latihan :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengancara grafik

2x + y = 4 , 2x + 4y = 10

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengancara grafik 2x + 2y = 8 , 3x + 4y = 14

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengancara grafik

x – y = 6 , 2x + 2y = 8

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengancara grafik 3 + 2 = 17_{2 + 3 = 8}.

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi 2x + 3y = 13 , 3x + 4y = 19

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi

2x + y = 8 , 3x + 4y = 27

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi x – 3y =10 , 2x + 5y = - 13

8. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi

9. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi x + 3y = 11 , 2x – 4y =-11

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dibawah ini dengan cara eliminasi

2x – y = 3, 3x + 2y = 22

11. Ahmad membayar Rp23.000,00 untuk pembelian 3 buku tulis dan 2 buku gambar, sedangkan Bayu membayar Rp40.000,00 untuk pembelian 4 buku tulis dan 5 buku gambar. Jika x adalah harga sebuah buku tulis dan y adalah harga sebuah buku gambar, maka model matematika dari permasalah tersebut adalah …

12. Amir membeli 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal dengan harga Rp650.000,00 sedangkan Badru membeli 2 pasang sepatu dan 5 pasang sandal seharga Rp500.000,00. Jika x adalah harga satu pasang sepatu dan y adalah harga satu pasang sandal, maka model matematika dari persamaan di atas adalah …

13. Ana membeli 2 baju dan 3 kemeja dengan harga Rp725.000,00. Di tempat dan model yang sama, Ani membeli satu baju dan 2 kemeja dengan harga Rp400.000,00. Jika p adalah harga satu baju dan q adalah harga satu kemeja, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …

14. Mira dan reni membeli kue di toko “Murah”. Mira membeli 3 kue pisang dan 5 kue keju. Ia membayar Rp 13.100,00. Reni membeli 2 kue pisang dan 2 kue keju. Reni membayar Rp 6.600,00, Mira dan Reni membeli kue dengan harga satuan yang sama. Model matematika yang memenuhi masalah di atas adalah …

15. Dalam suatu proyek, upah 4 orang tukang kayu dan 2 orang tukang batu adalah Rp400.000,00 dan upah 3 orang tukang kayu dan seorang tukang batu adalah Rp275.000,00. Upah 2 orang tukang kayu dan 3 orang tukang batu adalah …

16. Ari membeli 3 buah jeruk dan 2 buah apel dengan harga Rp4.500,00 dan Tuti membeli 2 buah jeruk dan 2 buah apel dengan harga

17. Susi membeli 3 buah apel dan 2 buah jeruk dengan harga Rp4.500,00 dan Yuli membeli 2 buah apel dan 2 buah jeruk dengan harga Rp3.500,00. Bila Wati membeli 4 buah apel dan 5 buah jeruk, berapa rupiah yang harus di bayar Wati?

18. Ani membeli 2 kg jeruk dan 4 kg apel dengan harga Rp100.000,00. Fitri membeli 5 kg jeruk dan 1 kg apel dengan harga Rp70.000,00. Bila Ari membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel, berapa rupiah yang harus di bayar Ari?

19. Budi membeli 4 buku tulis dan 3 pulpen seharga Rp17.000,00. Sedangkan Tuti membeli 5 buku tulis dan 2 pulpen seharga Rp16.000,00. Rani membeli 5 buku tulis dan 4 pulpen. Harga yang harus dibayar Rani adalah …

20. Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen dengan harga Rp12.000,00 sedangkan Bedu membeli 1 buku dan 3 pulpen dengan harga Rp11.000,00. Jika Caca ingin membeli 1 buku dan 1 pulpen di toko yang sama ia harus membayar …

21. Di sebuah swalayan Rina dan Rini membeli apel dan mangga. Rina membeli 2 kg apel dan 1 kg mangga dengan harga Rp

4.000,00. Rini membeli 3 kg apel dan 4 kg mangga dengan harga Rp 8.500,00. Harga 1 kg apel adalah …