LOGIKA MATEMATIKA
C. Ekivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekivalen jika memiliki nilai kebenaran yang sama, ditulis p ≡ q
Salah satu cara untuk membuktikan ekivalensi ini adalah dengan menggunakan tabel. Sebelumnya akan diingatkan kembali nilai kebenaran untuk empat pernyataan
majemuk yakni konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
p q p Ʌ q p V q p → q p ↔ q
B B B B B B
B S S B S S
S B S B B S
S S S S B B
Untuk lebih jelasnya tentang ekivalensi, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini :
(a) –(p q) ≡ p –q (b) p ↔ q ≡ (p q) (q p)
Jawab
(a) –(p →q) ≡ p –q
p q –q p → q –(p → q) p Ʌ –q
B B S B S S
B S B S B B
S B S B S S
S S B S S S
(b) p ↔ q ≡ (p →q) Ʌ (q →p)
p q p → q q → p p ↔ q (p → q) Ʌ (q →p)
B B B B B B
B S S B S S
S B B S S S
S S B B B B
Karena kolom ke 5 dan ke-6 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
02. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini : (a) (p Ʌ q) V –p ≡ p →q
(b) (p –q) q ≡ –q (q V –p) Jawab
(a) (p Ʌ q) V –p ≡ p → q
p q –p p Ʌ q (p Ʌ q) V –p p → q
B B S B B B
B S S S S S
S B B S B B
S S B S B B
Karena kolom ke 5 dan ke-6 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
(b) (p Ʌ–q) →q ≡ –q →(q V –p)
p q –p –q p Ʌ –q q V –p (p Ʌ–q) →q –q →(q V –p)
B B S S S B B B
B S S B B S S S
S B B S S B B B
S S B B S B B B
03. Dengan menggunakan tabel, buktikanlah setiap ekivalensi berikut ini :
(a) p Ʌ(q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r) (b) p (q v r) ≡ (p q) v (p r) Jawab
(a) p Ʌ(q V r) ≡ (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
p q r q V r p Ʌ q p Ʌ r p Ʌ (q V r) (p Ʌ q) V (p Ʌ r)
B B B B B B B B
B B S B B S B B
B S B B S S S S
B S S S S S S S
S B B B S S S S
S B S B S S S S
S S B B S S S S
S S S S S S S S
Karena kolom ke 7 dan ke-8 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
(b) p → (q V r) ≡ (p → q) V (p → r)
p q r q V r p → q p → r p → (q V r) (p →q) V (p → r)
B B B B B B B B
B B S B B S B B
B S B B S B B B
B S S S S S S S
S B B B B B B B
S B S B B B B B
S S B B B B B B
S S S S B B B B
Karena kolom ke 7 dan ke-8 dari tabel diatas mempunyai isi yang sama maka kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah ekivalensi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar
Jika pada tautologi tersebut memuat implikasi, maka tautologi tersebut dinamakan
Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah
Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya memuat benar dan salah.
Untuk lebih jelasnya tentang tautologi, kontradiksi dan kontingensi, ikutilah contoh soal berikut ini :
04. Dengan menggunakan tabel, selidikilah apakah pernyataan majemuk berikut ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi
(a) (p –q) (q –p) (b) [p V (q → r)] Ʌ [p V r] (c) (p → q) ↔ (p Ʌ–q)
Jawab
(a) (p →–q) ↔ (q →–p)
p q –p –q p →–q q →–p (p →–q) ↔ (q →–p)
B B S S S S B
B S S B B B B
S B B S B B B
S S B B B B B
Karena kolom terakhir berisi nilai benar semua, maka kalimat majemuk tersebut terbukti sebuah tautologi
(b) [p V (q → r)] Ʌ [p V r]
p q r q → r p V r [p V (q → r)] [p V (q → r)] Ʌ [p V r]
B B B B B B B
B B S S B B B
B S B B B B B
B S S B B B B
S B B B B B B
S B S S S S S
S S B B B B B
S S S B S B S
(c) (p → q) ↔ (p Ʌ–q)
p q –q p → q (p Ʌ–q) (p → q) ↔ (p Ʌ–q)
B B S B S S
B S B S B S
S B S B S S
S S B B S S
