Pertemuan 6 Ukuran Kemencengan dan Keruncingan

(1)

Pertemuan 6: Ukuran Kemencengan dan

Keruncingan

Dosen Pengampu MK:

Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

(2)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA

 Ukuran kemencengan kurva adalah derajat

atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data

 Ukuran kemencengan kurva daapat dihitung

dengan rumus-rumus berikut:

1. Rumus Pearson

2. Rumus Momen

(3)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA

(RUMUS PEARSON)

Mean = Median = Modus

Mean > Median > Modus Mean < Median < Modus Kurva Condong ke Kiri Kurva Condong ke Kanan Kurva Normal

Positive Skew Negative Skew

(4)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON)

Kelas Frekuensi

A B C D

2,5 - 7,5 2 2 2 1

7,5 - 12,5 4 9 10 2

12,5 - 17,5 6 4 8 4

17,5 - 22,5 9 3 6 6

22,5 - 27,5 6 4 4 8

27,5 - 32,5 4 9 2 10

32,5 - 37,5 2 2 1 2

N 33 33 33 33

Mean 20 20 16,52 23,48

Median 20 20 15 25

(5)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON)

Pada kelompok A, data menyebar secara normal, sehingga histogram yang terbentuk mengikuti kurva normal. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah

(6)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON)

Pada kelompok B, data simetris kanan &

kiri, sehingga

histogram yang

terbentuk bersifat

simetris. Informasi yang dapat diambil dari tabel frekuensi tersebut adalah

(7)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON)

Pada kelompok C, data lebih menyebar ke data yang lebih

kecil, sehingga

histogram yang

terbentuk panjang ke kanan. Informasi yang dapat diambil dari

tabel frekuensi

tersebut adalah

(8)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON)

Pada kelompok D, data lebih menyebar ke data yang lebih

besar, sehingga

histogram yang

terbentuk panjang ke kiri. Informasi yang dapat diambil dari

tabel frekuensi

tersebut adalah

(9)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON)

 K = ukuran kemencengan

 Mo = modus

 = rata-rata

 Apabila K bernilai positif, maka keragaman disebut dengan positive skew/right-skewed (ekor bagian kanan lebih panjang).

 Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka keragaman disebut dengan negative skew/left-skewed (ekor bagian kiri lebih panjang)

Mo

X

K



(10)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON)

 CK = koefisien kemencengan  S = simpangan baku

 Mod = modus  Med = median  = rata-rata

 CK = 0

Distribusi data simetris

 CK < 0

Distribusi data menceng ke kiri

 CK > 0

Distribusi data menceng ke kanan S

Mod X

CK _ 



S

3 X Med

CK _ 



X Med



Mod

X _ _ 3 _

(11)

 Contoh:

Berikut ini adalah waktu tunggu (dalam menit) 20 pelanggan di restoran ABC saat malam

minggu untuk memperoleh meja.

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON) – data tunggal

(12)

 Mean= = 28.6

 Modus=28

 Standar deviasi = S =14.19

 Ukuran kemencengan Pearson

K= 28.6 – 28 = 0.6

 Koefisien kemencengan (CK)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON) – data tunggal

X

0.6

0.042 14.19

(13)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS PEARSON) – data kelompok

 Contoh

Diberikan data

tinggi badan

karyawan suatu

perusahaan.

Tentukan besarnya kemencengan

kurva dari data tersebut

Kelas Frekuensi(f

i)

(14)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON)

 Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut

adalah

 Mean = = 109,6

 Median = Med = 108  Modus = Mod = 105

 Standar Deviasi = S = 9,26

 Ukuran kemencengan Pearson adalah

K = 109.6 – 105 = 4.6.

 Koefisien kemencengan (CK) adalah

X

4.6

0.5 9.26

(15)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY)

 Q

1 = kuartil pertama

 Q

2 = kuartil kedua

 Q₃ = kuartil ketiga



Q

1

Q

3



2

Q

2

(16)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY)

 CK = koefisien kemencengan

 Q

1 = kuartil pertama

 Q

2 = kuartil kedua

 Q

3 = kuartil ketiga

1 3 - Q

(17)

 Contoh:

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS BOWLEY) – data tunggal

(18)

 Q₁= 28

 Q

2=42

 Q

3=54.75

 Ukuran kemencengan Bowley

 Koefisien kemencengan (CK)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS BOWLEY) – data tunggal



1 3



2 2



28 54.75



2 42

 

1.25

K _ Q _Q _ Q _ _ _ _{ }

3 1

1.25

0.046 Q -Q 54.75 28

K

CK _ _  _{ }

(19)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA

(RUMUS BOWLEY)

 Contoh

Diberikan data

tinggi badan

karyawan suatu

perusahaan.

Tentukan besarnya kemencengan

kurva dari data di atas.

Kelas Frekuensi(f

i)

(20)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS BOWLEY)

 Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut

adalah

 Q

1 = 102,71

 Q

2 = 108

 Q

3 = 116

 Ukuran kemencengan Bowley adalah

 Koefisien kemencengan (CK) adalah



1 3



2 2



102.71 116



2 108



2.71

K _ Q _Q _ Q _ _ _ _

3 1

2.71

0.204 Q -Q 116 102.71

K

CK _ _ _

(21)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Konsep

Rata-rata dan varians sebenarnya

merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut momen.

Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi data dalam suatu variabel.

 Lambang

(22)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Momen Data Tunggal

Untuk r = 1, maka M₁ (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M₂ (momen kedua) = varians

Untuk r = 3, maka M₃ (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M₄ (momen keempat) = keruncingan

 Momen Data Berkelompok



 

n

i

r i

r X X

n M

1



 

k

i

r i

i

r f X X

n M

1

(23)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Data Tunggal

 α₃ = koefisien kemencengan

 M₃ = momen ketiga, mengukur kemencengan  S3 = simpangan baku

 n = banyaknya data pengamatan  X_i = data frekuensi ke-i

 = rata-rata aritmatika atau mean



 



n

i

i X

X nS

S M

1

3 3

3 3 3

1



(24)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Data Berkelompok

 n = banyaknya data pengamatan  k = banyaknya kelas

 f_i = frekuensi kelas ke-i

 = rata-rata hitung atau mean



 



k

i

i M X

f nS

S M

1

3 3

3 3 3

1



(25)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 c = besarnya kelas interval  f_i = frekuensi kelas ke-i

 d_i = simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi  = rata-rata hitung atau mean

                               



    3

1 1 1 1

2 3 3 3 3 1 2 1 1 3 1 k i k i i i k i i i k i i i i

i f d

(26)

DERAJAT KEMENCENGAN KURVA

(RUMUS MOMEN)



Jika

α

3

= 0, maka distribusi datanya

simetris.



Jika

α

3

< 0, maka distribusi datanya

menceng ke kiri.



Jika

α

3

> 0, maka distribusi datanya

(27)

 Contoh:

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

(RUMUS MOMEN) – data tunggal

(28)

UKURAN

KEMENCENGAN

KURVA

Xi

1 28 -14.6 213.16 -3112.136 2 39 -3.6 12.96 -46.656 3 23 -19.6 384.16 -7529.536 4 67 24.4 595.36 14526.784 5 37 -5.6 31.36 -175.616 6 28 -14.6 213.16 -3112.136 7 56 13.4 179.56 2406.104 8 40 -2.6 6.76 -17.576 9 28 -14.6 213.16 -3112.136 10 50 7.4 54.76 405.224 11 51 8.4 70.56 592.704 12 45 2.4 5.76 13.824 13 44 1.4 1.96 2.744 14 65 22.4 501.76 11239.424 15 61 18.4 338.56 6229.504 16 27 -15.6 243.36 -3796.416 17 24 -18.6 345.96 -6434.856 18 61 18.4 338.56 6229.504 19 34 -8.6 73.96 -636.056 20 44 1.4 1.96 2.744

Juml

ah 852 0.00 3826.8 13675.44 Mean 42.6

Xi X   

2

i

X X Xi X3

 3

3 1 1 1 (13675.44) 683.77 20 k i i

M X X n 

    

 2

2 1 3826.8 _201.41

(29)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data kelompok

 Contoh

Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan

ukuran kemencengan

data tersebut.

Kelas Frekuensi_(f

i)

93 – 97 2

98 – 102 10

103 – 107 12

108 – 112 10

113 – 117 7

118 – 122 4

123 – 127 3

128 – 132 1

133 – 137 0

138 – 142 1

(30)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Jawaban

Kelas Frekuensi _(f

i)

Nilai Kelas (X_i)

93 – 97 2 95 -29.2 426 -6224

98 – 102 10 100 -96 922 -8847

103 – 107 12 105 -55.2 254 -1168

108 – 112 10 110 4 2 1

113 – 117 7 115 37.8 204 1102

118 – 122 4 120 41.6 433 4499

123 – 127 3 125 46.2 711 10957

128 – 132 1 130 20.4 416 8490

133 – 137 0 135 0 0 0

138 – 142 1 140 30.4 924 28094

Jumlah 50 0 4292 36904

) X X

(

f_i _i  fi(Xi X)2

3 i

i(X X)

f 

109.6

(31)

UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

Jadi kurva yang terbentuk akan memiliki ekor yang menceng ke kanan (α3 > 0)



1 3 3 3 3 3 ₃ 3 1 1 36904 738.07 50 9.36 819.78 738.07 819.78 0.90 k r

r i i

i

M f X X

n M S M S            



2 2 1 3 3 4292 87.59

1 50 1

87.59 9.36 9.36 819.78

k

i i i

(32)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA

 Konsep

Ukuran keruncingan kurva adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data.

Ukuran keruncingan kurva erat kaitannya dengan kurva normal

 Nama Lain

(33)

UKURAN KERUNCINGAN

KURVA



Jenis

Kurtosis terdiri dari:

(34)

UKURAN KERUNCINGAN

KURVA

Leptokurtik

Mesokurtik

(35)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Momen Data Tunggal

Untuk r = 1, maka M₁ (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M₂ (momen kedua) = varians

Untuk r = 3, maka M₃ (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M₄ (momen keempat) = keruncingan

 Momen Data Berkelompok



 

n

i

r i

r X X

n M

1



 

k

i

r i

i

r f X X

n M

1

(36)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 Data Tunggal

 α₄ = koefisien kemencengan

 M₄ = momen ketiga, mengukur kemencengan

 S4 = simpangan baku

 n = banyaknya data pengamatan

 X_i = data frekuensi ke-i

 = rata-rata aritmatika atau mean



 



n

i

i X

X nS

S M

1

4 4

4 4 4

1



(37)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)

 α₄ = koefisien kemencengan

 M₄ = momen keempat, mengukur kemencengan  S4 = simpangan baku

 f_i = frekuensi kelas ke-i

 = rata-rata hitung atau mean



 



k

i

i M X

f nS

S M

1

4 4

4 4 4

1



(38)

 c = besarnya kelas interval  f_i = frekuensi kelas ke-i

 d_i = simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi  = rata-rata hitung atau mean

                                                         4 1 2 1 1 1 2 1 1 3 4 4 4 4 1 3 1 1 6 1 1 4 1 k i i i k i i i k i k i i i k i i i k i i i i

i f d

(39)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN)



Jika

α

4

> 3, maka bentuk kurva

leptokurtis (meruncing)



Jika

α

4

= 3, maka bentuk kurva

mesokurtis (normal)



Jika

α

4

< 3, maka bentuk kurva platikurtis

(40)

 Contoh:

UKURAN KERUNCINGAN KURVA

(41)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA

Xi

1 28 213.16

-3112.13

6 45437.1856

2 39 12.96 -46.656 167.9616

3 23 384.16

-7529.53

6 147578.9056

4 67 595.36

14526.7

84 354453.5296

5 37 31.36 175.616- 983.4496

6 28 213.16

-3112.13

6 45437.1856

7 56 179.56

2406.10

4 32241.7936

8 40 6.76 -17.576 45.6976

9 28 213.16

-3112.13

6 45437.1856

10 50 54.76 405.224 2998.6576

11 51 70.56 592.704 4978.7136

12 45 5.76 13.824 33.1776

13 44 1.96 2.744 3.8416

14 65 501.76

11239.4

24 251763.0976

15 61 338.56

6229.50

4 114622.8736

16 27 243.36

-3796.41

6 59224.0896

17 24 345.96

-6434.85

6 119688.3216

18 61 338.56

6229.50

4 114622.8736

19 34 73.96

-636.056 5470.0816

20 44 1.96 2.744 3.8416

Jumla

h 852 3826.8

13675. 44

1345192. 46 Mean 42.6

Jadi kurva yang terbentuk adalah kurva platikurtis (α₄ < 3)

Xi X2  

3

i

X X

 4

4 1 1 1 (1345192.46) 67259.62 20 k i i

M X X n 

    

 2

2 1 3826.8 _201.41

1 19 k i i X X S n        2 4 2 201.41 14.19 (14.19) 40566.2 S S S      4 4 ₄ 67259.62 1.658 40566.2 M S    

(42)

UKURAN KERUNCINGAN KURVA (RUMUS MOMEN) – data kelompok

 Contoh

Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran keruncingan data tersebut.

Kelas Frekuensi_(f

i)

93 – 97 2

98 – 102 10

103 – 107 12

108 – 112 10

113 – 117 7

118 – 122 4

123 – 127 3

128 – 132 1

133 – 137 0

138 – 142 1

(43)

Kelas Frekuensi _(f

i)

Nilai Kelas (X_i)

93 – 97 2 95 -6224 90874

98 – 102 10 100 -8847 84935

103 – 107 12 105 -1168 5373

108 – 112 10 110 1 0

113 – 117 7 115 1102 5952

118 – 122 4 120 4499 46794

123 – 127 3 125 10957 168735

128 – 132 1 130 8490 173189

133 – 137 0 135 0 0

138 – 142 1 140 28094 854072

Jumlah 50 36.904 1429924

3 i

i(X X)

(44)

Jadi kurva yang terbentuk adalah kurva leptokurtis (α₄ > 3)



1 4 4 4 4 4 ₄ 4 1 1 28598.48 50 9.36 7672.33 28598.48 7672.33 3.72 1429924 7 k _r

r i i

i

M f X X

n M S M S            



2

2 ₁ 4292 _87.59

1 50 1

87.59 9.36

k

i i i

(45)

Tugas Kelompok [1]

 Diketahui data mengenai jumlah pengeluaran untuk hiburan selama tiga bulan dari 25 mahasiswa sebagai berikut (satuan dalam ribuan rupiah).

 Tentukan ukuran kemencengan (Pearson, Bowley, Momen) dan ukuran keruncingan kurva data tersebut.

68 4

73 1

69 8

73 7

69 6 76

3 711 693 738 710 71

0

73 6

72 3

71 7

72 1 68

1 722 701 722 697 68

8

76 8

74 3

75 2

(46)

Tugas Kelompok [2]

 Persentase penduduk berumur 20 tahun ke

atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.

Hitunglah ukuran kemencengan (rumus momen) dan keruncingan kurva dari data tersebut

Jam Kerja Persentase

0 – 9 3

10 – 19 7

20 – 29 20

30 – 39 15

40 – 49 30

50 – 59 10