Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial

Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial

Drs. Johannes P. Mataniari

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Suatu peubah z=f(x,y) yang tergantung dari peubah x dan y, dikatakan merupakan fungsi dua peubah jika untuk setiap pasangan x dan y ada satu harga z sedemikian hingga z=f(x,y). Sebagai contoh, dapat dilihat dalam bidang produksi. Misalkan z=f(x,y) dimana :

⇒ z menyatakan total ongkos produksi.

⇒ x menyatakan banyaknya mesin yang digunakan. ⇒ y menyatakan jam kerja yang diperlukan.

Tujuan yang ingin dicapai dalam menyelesaikan fungsi dua peubah adalah untuk mendapatkan hasil yang optimal. Hal ini dipengaruhi oleh harga – harga peubah x dan y karena peubah x dan y merupakan peubah – peubah bebas yang menentukan harga peubah tak bebas z. Optimal tidak ditentukan oleh maksimum atau minimum. Akan tetapi yang dimaksudkan dengan hasil yang optimal ialah bagaimana memaksimumkan z=f(x,y) dengan harga peubah x dan y yang minimum.

Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian optimal dari fungsi dua peubah adalah secara geometri diferensial. Dengan geometri diferensial, dapat diperoleh harga peubah x dan y yang diinginkan dan harga peubah z yang optimal apabila peubah z=f(x,y) dan kendala – kendalanya diketahui.

Berdasarkan uraian di atas adalah merupakan hal yang menarik perhatian kami untuk membahas tentang “Pengoptimalan Fungsi Dua Peubah Secara Geometri Diferensial”.

1.2. Rumusan Masalah

Masalah adalah persoalan yang sedang dan akan dihadapi dan masalah merupakan sesuatu yang tidak diinginkan. Oleh karena itu, akibat tersebut merupakan penyimpangan dari apa yang seharusnya.

Dari uraian di atas, masalah – masalah yang dihadapi adalah sebagai berikut : ⇒ Apakah hasil yang ingin dicapai dari suatu fungsi dua peubah z=f(x,y) itu sudah optimal ? ⇒ Jika hasil tersebut tidak optimal, berapakah besarnya penyimpangan yang terjadi ?

1.3. Tujuan dan Manfaat

Hasil yang optimal adalah sesuatu yang sangat penting dalam hal apapun. Sedikit saja terjadi kesalahan dalam menentukan langkah awal, maka hasilnya akan jauh dari apa yang diharapkan.

Oleh karena itu, kami mengharapkan dengan adanya tulisan ini, maka dapat diketahui cara – cara apa yang harus ditempuh untuk mencapai suatu hasil yang optimal dari fungsi dua peubah.

1.4. Alur/Kerangka Pemikiran

Pembahasan dalam tulisan ini adalah dengan menggunakan diferensial parsial, khususnya pada teori deferensial geometri pada pengoptimalan fungsi dua peubah z=f(x,y).

Adapun langkah – langkah yang digunakan dalam tulisan ini adalah sebagai berikut : a. Teori tentang fungsi dua peubah z=f(x,y).

b. Memperkenalkan teori tentang nilai ekstrim dari fungsi dua peubah z=f(x,y) dan jenis ekstrimnya.

c. Menguraikan metode – metode yang akan digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal dari fungsi dua peubah z=f(x,y).

d. Menggunakan diferensial parsial untuk menentukan luas atau volume yang optimal.

e. Mencari besarnya hampiran (penyimpangan) yang terjadi pada luas atau volume yang optimal.

1.5. Tinjauan Pustaka

1. Martono, K., KALKULUS DAN ILMU UKUR ANALITIK 2, Penerbit Angkasa, Bandung, 1986.

Dari buku ini ditinjau tentang nilai ekstrim dari fungsi dua peubah z=f(x,y) dan jenis ekstrimnya.

2. Purcell, Edwin, J. dan Varberg, Dale, KALKULUS DAN GEOMETRI ANALITIK, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1994, Edisi Kelima, Jilid 2.

Dari buku ini ditinjau tentang maksimum dan minimum pengali Lagrange serta hampiran dari fungsi dua peubah z=f(x,y).

3. Sianipar, P., KALKULUS II, Penerbit USU, Medan, 2000. Dari buku ini ditinjau tentang fungsi dua peubah z=f(x,y).

METODOLOGI

2.1. Fungsi Dua Peubah

Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga – harga dua peubah bebas x dan y (dari beberapa domain D), terdapat korespondensi harga – harga tertentu, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D. Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z=f(x,y) .

Kumpulan pasangan – pasangan (x,y) dari harga – harga x dan y untuk fungsi z=f(x,y) tertentu, disebut daerah asal atau domain (D). Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka diambil D yang berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil.

2.2. Nilai Ekstrim

Nilai maksimum dari fungsi z=f(x,y) dicapai pada pasangan nilai variabel – variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari fungsi f(x,y) dalam suatu lengkungan dari titik (xo,yo,o) dan nilai

minimum dari z=f(x,y) adalah nilai terkecil di lengkungan dari titik (x1,y1,o).

Ada beberapa batasan yang harus kita perhatikan untuk mengetahui nilai ekstrim suatu fungsi, yakni:

1. Fungsi z=f(x,y) mempunyai nilai maksimum di (xo,yo) jika terdapat bilangan – bilangan positif

S1dan S2 sehingga berlaku :

∀ (x,y) ∈ H = { (x,y) | |x-xo| < S1, (x,y) | |y-yo| < S2 } berlaku f(xo,yo) ≥ f(x,y).

2. Fungsi z=f(x,y) mempunyai nilai minimum jika f(xo,yo) ≤ f(x,y).

3. Jika fungsi z=f(x,y) di (xo,yo) mencapai nilai minimum atau minimum maka fungsi z=f(x,y)

mencapai nilai ekstrim dan titiknya disebut dengan titik ekstrim.

4. Misalkan z=f(x,y) merupakan suatu permukaan dan andaikan T adalah titik pada permukaan.

Jika berlaku dz

dz

dx

T

= 0

dan dy

T= 0

maka T disebut titik stasioner pada permukaan.

2.3. Jenis Ekstrim

Jenis ekstrim dapat ditentukan dengan turunan parsial tingkat dua, yakni dengan

dalil :

Misalkan titik T (x

o

,y

o,

z

o

) adalah titik stasioner dari z

=

f(x,y) dengan dz dan

dz

dy

T

= 0 Diskriminan dari f :

∆ =

∆

•

maka berlaku :

1. Jika di T berlaku

∆

> 0 dan

∂

2

f

< 0 ,

atau

∂

2

f

< 0

, maka T titik maksimum.

∂

x

2

∂

y

2

2. Jika di T berlaku

∆

> 0 dan

∂

2

f

> 0 ,

atau

∂

2

f

> 0

, maka T titik minimum.

∂

x

2

∂

y

2

3. Jika di T berlaku

∆

< 0 maka T bukan titik ekstrim.

4. Jika di T berlaku

∆

= 0 maka tidak dapat ditarik kesimpulan apakah T titik maksimum

atau minimum.

2.4. Metode - Metode

Adapun metode – metode atau cara – cara menyelesaikan permasalahan yang

akan digunakan dalam pembahasan mengenai pengoptimalan fungsi dua peubah

diantaranya adalah :

1. Turunan parsial dari suatu fungsi dua peubah.

Turunan parsial dari suatu fungsi z

=

f(x,y) terhadap x adalah turunan terhadap x

dengan mengambil y konstan, dengan perkataan lain yaitu

∂

z dihitung dari z

=

f(x,y)

∂

x

dengan menganggap y konstan.

Turunan parsial dari fungsi z

=

f(x,y) terhadap y adalah turunan terhadap y dengan

menganggap x konstan, dengan perkataan lain yaitu

∂

z dihitung dari z

=

f(x,y) dengan

∂

y

menganggap x konstan.

Kemudian dari hasil turunan parsial tersebut akan ditentukan jenis ekstrimnya dari dalil yang telah diuraikan di atas.

Tafsiran geometri dan fisisnya adalah dengan memandang permukaan yang persamaannya z=f(x,y). Bidang y=y0 memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR (gambar 1) dan nilai

dari fx (x0, y0) adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di P(x0,y0, f(x0,y0)). Serupa

dengan itu, bidang x=x0 memotong permukaan pada kurva bidang LPM (gambar 2) dan fy

(x0,y0) adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini di titik P

.

∂

2

f

∂

x

2

∂

2

f

∂

y

2

∂

2

f

∂

x

∂

y

Turunun parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan (sesaat). Andaikan

bahwa dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang xz. Gambar 3

menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t. Jika z

=

f(x,t) menyatakan

tinggi dawai di P dengan absis x pada saat t, maka

∂

z adalah kemiringan dawai di P

∂

x

dan

∂

z adalah waktu laju perubahan ketinggian P sepanjang garis tegak yang ditun-

∂

t

jukkan. Dengan perkataan lain,

∂

z adalah kecepatan vertikal dari P.

∂

t

z

GAMBAR 1

t

R

P

f

x

(x

0,

y0) = kemiringan t

y

(x0, y0)

x

Q

z

GAMBAR 2

t

M

P

f

y

(x

0,

y0) = kemiringan t

y

(x0, y0) L

x

z

GAMBAR 3

posisi dawai

pada waktu t

p=(x,f(x,t))

x

A

x

B

2. Pengali Lagrange (Lagrange Multipliers).

Untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi adalah suatu masalah nilai ekstrim bebas, sedangkan untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi terhadap suatu kondisi atau syarat tambahan adalah masalah nilai ekstrim terkendala. Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi termasuk ke masalah nilai ekstrim terkendala. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya. Untuk mempermudah menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode pengali lagrange, yang dinamai menurut penemunya Josefph Louis Lagrange.

Metode pengali lagrange adalah suatu metode untuk mencari harga maksimum atau harga minimum dari suatu fungsi dengan beberapa variabel, dimana variabel – variabel tersebut dikaitkan dengan satu atau lebih persamaan yang disebut syarat tambahan atau kekangan. Dari metode ini , untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama dengan mencari kurva ketinggian f(x,y) = k (k suatu konstanta) dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala di suatu titik Po(xo,yo) dan karenanya nilai maksimum f

terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah To(xo,yo). Titik singgung lainnya P1(x1,y1) memberikan

nilai minimum T1(x1,y1) dari f terhadap kendala g(x,y) = 0.

Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik Po dan P1. Karena

di titik – titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (yaitu, mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegaklurus bersama. Tetapi di seberang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien ∇f adalah tegaklurus terhadap kurva ketinggian dan dengan cara serupa ∇g adalah tegaklurus terhadap kurva kendala. Jadi ∇f dan ∇g sejajar di Po dan juga di P1 yaitu :

∇f(Po) = λo . ∇g(Po) dan ∇f(P1) = λ1 . ∇g(P1)

untuk suatu bilangan λo dan λ1 tak nol.

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0, selesaikan persamaan

∇f(x,y) = λ . ∇g(x,y) dan g(x,y) = 0

untuk (x,y) dan λ. Tiap titik (x,y) yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali lagrange.

3. Hampiran

Andaikan z=f(x,y) dan f adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan andaikan dx dan dy disebut diferensial – diferensial dari x dan y berupa peubah – peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh : dz = df(x,y) = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy.

Pentingnya dz muncul dari kenyataan bahwa dx = ∆x dan dy = ∆y, masing – masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap ∆z, perubahan padanannya dalam z. Dalam hal ini penghampiran akan semakin baik jika ∆x dan ∆y (kesalahan) semakin kecil.

PEMBAHASAN

3.1. Penerapan Masalah Maksimum dan Minimum

Dalam penerapan masalah maksimum dan minimum dapat menggunakan metode maksimum – minimum interval tertentu. Ketika menghadapi masalah tersebut, langkah pertama

yamg penting adalah menentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini menjadi peubah tak bebas di dalam analisis masalah.

Peubah tak bebas ini kemudian harus dinyatakan dalam peubah bebas yaitu yang mengontrol nilai – nilai peubah tak bebas. Apabila daerah asal nilai – nilai peubah bebasnya adalah interval tertutup maka dapat diteruskan dengan metode maksimum – minimum interval tertutup. Rencana penyelesaian dapat dirangkum dalam langkah – langkah berikut ini :

1. Tentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan.

Besaran ini akan menjadi peubah tak bebas yang berupa sebuah kata atau phrase singkat dan diberi label dengan huruf yang bermakna. Karena merupakan peubah tak bebas, maka tergantung pada yang lain yaitu peubah bebas. Peubah bebasnya adalah x dan y.

2. Nyatakan peubah tak bebas ke dalam peubah bebas.

Gunakan informasi di dalam masalah untuk menulis peubah tak bebas sebagai f(x,y). Buatlah gambar dan beri label peubah, biasanya ini merupakan antara peubah tak bebas dengan peubah bebas. Gunakan peubah pembantu jika diperlukan, tetapi jangan terlalu banyak. Peubah pembantu ini akhirnya harus dihilangkan. Peubah tak bebas harus dinyatakan sebagai fungsi dari dua peubah bebas x dan y dan beberapa konstanta sebelum dihitung turunannya. Temukan daerah asal fungsi dan juga rumusnya. Usahakan supaya daerah asalnya interval tertutup dan terbatas. Apabila daerah asalnya interval terbuka maka masukkan kedua titik ujungnya.

3.

Terapkan kalkulus untuk menemukan titik – titik kritis.

Hitunglah turunan f′ dari f yang dihasilkan langkah dua. Gunakan turunan ini untuk

menemukan titik – titik kritis yaitu dimana

∂

z

_{= 0}

dan

∂

z

_{= 0}

. Apabila f dapat

∂

x

∂

y

diturunkan dimana – mana maka titik – titik kritisnya terjadi hanya dengan

∂

z

= 0

∂

x

dan

∂

z

= 0.

∂

x

4. Tentukan nilai – nilai ektrim.

Selidiki f pada setiap titik kritis di daerah asal beserta titik – titik ujungnya. Nilai – nilai yang diperoleh akan menunjukkan nilai mana yang merupakan maksimum absolut dan minimum absolut. Tentu saja di setiap nilai ekstrim bisa terjadi lebih dari satu titik.

5. Jawablah pertanyaan pada persoalan awal.

Dengan kata lain interpretasikan hasilnya. Jawaban untuk pertanyaan awal mungkin bukan sekedar nilai terbesar atau terkecil dari f.

Berikut ini akan dibahas beberapa contoh dalam permasalahan maksimum dan minimum yaitu :

u

u Mencari ukuran kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang dapat dilingkupkan

sekeliling bola dengan jari – jari 20 cm.

Pen

yelesaian :

Misalkan : x

=

jari – jari dasar kerucut.

y

=

panjang AD

Jadi tinggi kerucut

=

(y + 20) cm.

Dari setiga siku – siku AED dengan ED adalah jari – jari bola, maka :

Panjang AE

=

√

AD

2

+ ED

2

=

√

y

2

+ 20

2

=

√

y

2

+ 400

Permasalahan ini dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut :

A

y

E

C

Dari segitiga siku – siku sebangun ABC dan AED, didapat:

A

x =

y + 20

20

√

y

2

- 400

x

2

= 20(y + 20)

2

√

y

2

- 400

= 400 (y + 20)

2

B

C

y

2

- 400

A

= 400 (y + 20)

2

(y + 20) . (y – 20)

= 400 (y + 20)

(y – 20)

E

D

B

x

20 D 20

Volume kerucut :

V = (

π.

x

2

).(y + 20)

3

= 400.

π.

(y + 20)

2

3.(y – 20)

Fungsi volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y :

∂

V = 400.

π.

(y +20).(y – 60) = 0

∂

y

3.(y – 20)

2

400.

π.

(y +20).(y – 60) = 0

(y +20).(y – 60) = 0

y – 60 = 0

y = 60

Harga kritis yang bersangkutan adalah y

=

60

Maka tinggi kerucut = y + 20

= 60 + 20

= 80 cm.

Jari - jari dasar = x = 20.(y + 20)

√

y

2

– 400

= 20.(60 + 20)

√

60

2

– 400

= 1600

40.

√

2

= 20.

√

2 cm.

u

u Sehelai kertas untuk poster luasnya 2 m 2. Garis tepi dibagian atas dan bawah adalah

21 cm dan pada sisinya adalah 14 cm. Berapakan ukuran panjang poster bila luas bagian yang dicetak adalah maksimum ?

Misalkan : panjang poster

=

x meter, maka lebar poster

=

2/x meter

x m

0,14

0,14

21cm = 0,21m

(2/x – 0.42)m 21 cm = 0,21 m

Luas daerah yang dicetak dalam meter persegi adalah :

A

=

(x – 0,28).(2/x – 0,42)

Fungsi luas diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x :

∂

A

=

(2/x – 0,42) + (-2/x

2

).(x – 0,28)

∂

x

=

(2/x – 0,42) – (2/x – 0,56/x

2

)

=

0,56/x

2

– 0,42

∂

A = 0

∂

x

0,56/x

2

– 0,42 = 0

0,56/x

2

= 0,42

x

2

= 0,42

0,56

x = 2.

√

3

3

Jadi ukuran poster :

v panjang

=

x

=

2.

√

3 meter

3

v lebar = 2/x = √3 meter

u

u Sebuah talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium sama kaki akan dibuat dari

selembar panjang logam dengan lebar 12 inci dengan cara menekuk untuk membuat sisi – sisinya. Tentukanlah sudut talang itu dan lebar kedua sisinya agar muatan talang maksimum.

Misalkan : Alas talang = y Lebar sisi – sisi talang = x Maka : 2x + y = 12 inci

y = 12 – 2x ………. (1)

Bentuk talang dilihat dari samping dapat digambar secara geometri sebagai berikut :

x.sin θ x.cos θ x θ 900 y

Agar luas talang maksimum, luas trapesium harus maksimum : L = ½.[y +(y + 2x.sinθ)].x.cosθ

= ½.(2y + 2x.sinθ).x.cosθ = (y + x.sinθ).x.cosθ = xy.cosθ + x2.sinθ.cosθ = x.(12 – 2x).cosθ + ½.x2.sin2θ = 12x.cosθ – 2.x2.cosθ + ½.x2.sin2θ

Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : ∂L = 12.cosθ – 4x.cosθ + x.sin2θ = 0

∂x

12.cosθ – 4x.cosθ + 2x.sinθ.cosθ = 0 cosθ.(12 – 4x + 2x.sinθ) = 0 12 – 4x + 2x.sinθ = 0 12 – 2x.(2 –sinθ) = 0 2x.(2 – sinθ) = 12

x = 12

2.(2 – sin

θ

)

x = 6

(2 – sin

θ

) ………….(2)

Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah

θ

:

∂

L = -12.x.sin

θ

+ 2x

2

sin

θ

+ x

2

cos2

θ

= 0

∂θ

x.(-12.sin

θ

+ 2xsin

θ

+ xcos2

θ

) = 0

-12.sin

θ

+ 2xsin

θ

+ xcos2

θ

= 0

-12.sin

θ

+ 2.6.sin

θ

+ 6.cos2

θ

= 0

(2 – sin

θ

) (2 – sin

θ

)

-12.sin

θ

. (2 – sin

θ

) + 2.6.sin

θ

+ 6.(1 – 2.sin

2

θ

) = 0

(2 – sin

θ

)

-24.sin

θ

+ 12sin

2

θ

+ 12sin

θ

+ 6 – 12.sin

2

θ

= 0

-12sin

θ

+ 6 = 0

12sin

θ

= 6

sin

θ

= ½

θ

= 30

0

Substitusikan

θ

= 30

0

ke (2) :

x = 6

(2 – sin 30

0

)

x = 6

1½

x = 4 inci

Substitusikan x = 4 ke (1) :

y = 12 – 2(4)

y = 12 – 8

y = 4 inci

Jadi sudut alas talang = 90

0

+

θ

= 90

0

+ 30

0

= 120

0

Jadi ukuran talang tersebut adalah : v Lebar kedua sisi talang = 4 inci v Alas talang = 4 inci

3.2. Penerapan Masalah Pengali Lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0, selesaikanlah persamaan

∇f(x,y) = λ . ∇g(x,y) dan g(x,y) = 0

untuk (x,y) dan λ. Tiap titik (x,y) yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali lagrange.

Berikut ini akan dibahas beberapa contoh permasalahan yang diselesaikan dengan menggunakan pengali lagrange, yaitu :

F

F Mencari luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegipanjang jika panjang

Penyelesaian :

Letakkan persegipanjang itu di kuadran pertama dengan dua sisinya sepanjang sumbu-

sumbu koordinat (x,y), dengan x dan y positif. Panjang diagonalnya adalah

√

x²+y² = 2

dan luasnya adalah xy.

√

x

2

+ y

2

= 2

x

2

+ y

2

= 4

x

2

+ y

2

– 4 = 0

Jadi dapat dirumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x2

+ y2 _{– 4 = 0.}

fx(x,y) = y

fy(x,y) = x

gx(x,y) = 2x

gy(x,y) = 2y

Gradien yang berpadanan adalah : ∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y)j

= yi + xj

∇g(x,y) = gx(x,y)i + gy(x,y)j

= 2xi +2yj

Sekarang persamaan-persamaan lagrange menjadi : fx(x,y) = λ.gx(x,y)

y = λ.2x ……….(1) fy(x,y) = λ .gy(x,y)

x = λ.2y ………..(2) x2 _{+ y}2 _{= 4 ………..(3)}

yang harus diselesaikan secara serentak. Jika persamaan pertama dikalikan dengan y dan persamaan kedua dengan x, diperoleh y2 = λ.2xy dan x2 = λ.2xy yang menghasilkan x2 = y2 atau x = y. Dari (3) : x2 + y2 = 4 x2 + x2 = 4 2x2 = 4 x2 = 2 x = 2 y = 2

Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam (1), maka didapatkan : y = λ .2x

2 = λ.2 2 λ = ½

Jadi luas persegipanjang maksimum dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya 2. Luas maksimumnya adalah 2.

F

F Menentukan volume maksimum suatu kotak segi empat yang terbuka atasnya, yang dapat

Penyelesaian :

Misalkan : Panjang alas = x Lebar alas = y

Tinggi = z

Bentuk kotak dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut :

z

y

Kendala dalam pemasalahan ini adalah :

L = x.y + 2.x.z + 2.y.z – 48 = 0 ……….(1) Yang harus dimaksimumkan adalah volume :

V = x.y.z

Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : ∂V = λ ∂L

∂x ∂x yz = λ.(y + 2z)

yz = λ.y + 2.λ.z ………(2)

Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y :

∂

V =

λ

.

∂

L

∂

y

∂

y

xz = λ.(x + 2z)

xz = λ.x + 2 λ.z ………...(3)

Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas z :

∂

V =

λ

.

∂

L

∂

z

∂

z

xy = λ.(2x + 2y)

xy = 2. λ.x + 2 λ.y ………(4) Dari (2) dan (3) dieliminasikan:

(2) : yz = λ.y + 2. λ.z (3) : xz = λ.x + 2 λ.z (-) yz – xz = λ.y + λ.x z(y – x) = λ.(y – x) z = λ ……….(5) x

Dari (2) dan (4) dieliminasikan: (2) : yz = λ.y + 2.λ.z .2 (4) : xy = 2.λ.x + 2 λ.y .1 (2) : 2yz = 2. λ.y + 4. λ.z (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y (-) 2yz – xy = 4. λ.z + 2 λ.y y(2z – x) = 2. λ.(2z – x) y = 2. λ ………...(6) Dari (3) dan (4) dieliminasikan:

(3) : xz = λ.x + 2. λ.z .2 (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y .1 (3) : 2xz = 2. λ.x + 4. λ.z (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y (-) 2xz – xy = 4. λ.z + 2 λ.y x(2z – y) = 2. λ.(2z – y) x = 2. λ ………(7) Substitusikan (5),(6),(7) ke (1) : x.y + 2.x.z + 2.y.z – 48 = 0 (2. λ).(2. λ) + 2. (2. λ).(λ) + 2. (2. λ).(λ) – 48 = 0 4. λ2 _{+ 4. λ}2 _{+ 4. λ}2 _{= 48} 12. λ2 _{= 48} λ2 _{= 4} λ = 2 Substitusikan λ = 2 ke (5),(6),(7) : (5) : z = λ = 2 (6) : y = 2. λ = 2.(2) = 4 (7) : x = 2. λ = 2.(2) = 4

Jadi ukuran kotak tersebut adalah : v panjang = 4 cm

v lebar = 4 cm v tinggi = 2 cm

3.3. Penerapan Masalah Hampiran

Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh :

dz = df(x,y) = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy.

Pentingnya dz muncul dari kenyataan bahwa dx = ∆x dan dy = ∆y, masing – masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap ∆z, perubahan padanannya dalam z. Dalam hal ini penghampiran akan semakin baik jika ∆x dan ∆y (kesalahan) semakin kecil.

Berikut ini akan dibahas beberapa contoh permasalahan hampiran yaitu :

<

< Dua sisi paralel dari sebuah empat persegi panjang dipanjangkan dengan kelajuan 2 cm

s-1 _{sedang kedua sisi lain dipendekkan sedemikian rupa, sehingga gambar tetap berbentuk}

empat persegi panjang dengan luas A = 50 cm2 _{yang tetap. Berapakah laju perubahan}

keliling P, jika panjang sisi yang bertambah adalah : (a) 5 cm ?

(b) 10 cm ?

(c) Berapakah ukuran empat persegi panjang jika keliling berhenti berkurang.

Penyelesaian :

Misal : x = panjang sisi yang akan dipanjangkan y = panjang sisi lain pada saat t Keliling = P = 2.(x + y)

Fungsi Keliling P diturunkan terhadap fungsi peubah bebas t :

∂

P = 2

∂

x +

∂

y

∂

t

∂

t

∂

t

Luas = A = x.y = 50

Fungsi Luas A diturunkan terhadap fungsi peubah bebas t :

∂

A = x

∂

x + y

∂

y = 0

∂

t

∂

t

∂

t

(a)

Jika x = 5 , y = 10 dan

∂

x = 2

∂

t

Maka 5

∂

y + 10.(2) = 0

∂

t

∂

x = - 4

∂

t

∂

P = 2.(2 – 4 )

∂

t

= 4 cm s

-1

Jadi Keliling P berkurang 4 cm s

-1

(b)

Jika x = 15 , y = 5 dan

∂

x = 2

∂

t

Maka 10

∂

y + 5.(2) = 0

∂

t

∂

x = - 1

∂

t

∂

P = 2.(2 – 1 )

∂

t

= 2 cm s

-1

Jadi Keliling P bertambah 2 cm s

-1

(c) Keliling akan berhenti berkurang jika

∂

P = 0 yaitu jika

∂

y = -

∂

x = - 2

Maka : x.(-2) + y.(-2) = 0, dan empat persegi panjang adalah bujur sangkar dengan sisi x = y = 5 √ 2 cm

<

< Mencari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan oleh

pertambahan sisi – sisinya dengan 1 %.

Penyelesaian :

Volume Kubus : V = x³ cm³

Fungsi Volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : ∂V = 3x² ∂x ………..(1)

Pertambahan sisi = ∆x = 1 %x cm

dx = 0,01x ………..(2) Substitusikan (2) ke (1) :

∂V = 3x².(0,01x) = 0,03 x³ cm³

Jadi perubahan volume kubus sebesar 0,03 x³ cm³

<

< Mencari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameter dalam

adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m-3_. Penyelesaian : Diameter : d = 2,5 cm = 1/40 m Jari – jari : r = d/2 = 1/80 m Tinggi : t = 2 m

Volume : V = (luas alas).(tinggi) V = (πr²) . (t) V = 2.πr² m³

Fungsi Volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas r : ∂V = 4.πr ∂r ………...(1) Tebal : ∆r = 0,25 cm = 1/400 m dr = 1/400 …………(2) Substitusikan (2) ke (1) : ∂V = 4.π.(1/80).(1/400) = π/8000 m³

Jadi massa tersebut adalah : (π/8000).8800 = 3,46 kg.

KESIMPULAN

Dari pembahasan mengenai “Pengoptimalan Fungsi Dua Peubah Secara Geometri Diferensial”, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Suatu peubah z=f(x,y) disebut sebagai fungsi dua peubah jika untuk setiap pasangan x dan y ada satu harga z.

2. Suatu hasil yang optimal bukan ditentukan oleh maksimum atau minimumnya, tetapi bagaimana memaksimumkan z=f(x,y) dengan harga peubah x dan y yang minimum.

3. Metode Pengali Lagrange adalah suatu metode untuk mencari harga maksimum atau harga minimum dari suatu fungsi dengan beberapa variabel, dimana variabel – variabel tersebut dikaitkan dengan salah satu atau lebih persamaan yang disebut syarat tambahan atau kekangan.

4. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh : dz = df(x,y) = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy.

5. Suatu hampiran akan semakin baik jika ∆x dan ∆y (kesalahan) semakin kecil.

DAFTAR PUSTAKA

1. Ault, J.C., Ayres, Frank, J.R. dan Prasetio, Lea, KALKULUS, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1996, Edisi Kedua.

2. Edwards, H. dan Penney, David, E., KALKULUS DENGAN ANALISIS GEOMETRI, Penerbit Prenhallindo, Jakarta, 2000, Edisi Pertama, Jilid 1.

3. Martono, K., KALKULUS DAN ILMU UKUR ANALITIK 2, Penerbit Angkasa, Bandung, 1986.

4. Purcell, Edwin, J. dan Varberg, Dale, KALKULUS DAN GEOMETRI ANALITIK, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1994, Edisi Kelima, Jilid 2.

5. Sianipar, P., KALKULUS II, Penerbit USU, Medan, 2000.