Bab-5-interpolasi

Interpolasi :

adalah suatu proses mencari ‘nilai antara’ dari suatu fungsi atau sebaran data

dengan batas yang ditentukan.

Penetapan nilai antara ini dapat dilakukan dengan banyak metode.

Terdapat 3 metode untuk menyelesaikan masalah interpolasi, yaitu

Interpolasi Diferensiasi Terbagi Newton Interpolasi Lagrange

Interpolasi SPLine

Interpolasi :

adalah suatu proses mencari ‘nilai antara’ dari suatu fungsi atau sebaran data

dengan batas yang ditentukan.

Penetapan nilai antara ini dapat dilakukan dengan banyak metode.

Terdapat 3 metode untuk menyelesaikan masalah interpolasi, yaitu

Interpolasi Diferensiasi Terbagi Newton Interpolasi Lagrange

Interpolasi Diferensiasi Terbagi Newton

Metode ini menggunakan model polinom dan paling popular.

Meliputi:

interpolasi linier, kuadratis,

kubik dan atau

tingkat yang lebih tinggi.

Prinsip kerja:

Menghubungkan sejumlah titik data acuan dan

menentukan nilai antara yang diminta dengan menggunakan sifat interpolasi yang ditetapkan.

Interpolasi Diferensiasi Terbagi Newton

Metode ini menggunakan model polinom dan paling popular.

Meliputi:

interpolasi linier, kuadratis,

kubik dan atau

tingkat yang lebih tinggi.

Prinsip kerja:

Menghubungkan sejumlah titik data acuan dan

f₁(x)

f₁(x) f(x₁)

f(x₀) f(x)

1.1 Interpolasi Newton Linier

Interpolasi linier _ mendekatkan suatu kurva dengan fungsi linier. Diperlukan 2 titik acuan x₀ dan x₁.

Cara kerja adalah menghubungkan dua buah garis lurus .

Catatan:

Bias yang besar jika rentang batas x₀ dan x₁ besar.

So: rentang dibuat sekecil mungkin!!!

f₁(x)

x x₁ x₀

x

Nilai f(x) yang terletak antara f(x₀) dan f(x₁) ’didekati’ dengan nilai f₁(x) yang diperoleh dari perbandingan kesebangunan segitiga, yaitu

f₁(x) – f(x₀) f(x₁) – f(x₀) --- =

---x – ---x₀ x₁ – x₀

f(x₁) – f(x₀)

f₁(x) = f(x₀) + --- (x – x₀) x₁ – x₀

Contoh:

Taksirlah nilai ln 2 dengan interpolasi linier Newton jika diketahui: A. Nilai ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595.

B. Nilai ln 1 = 0 dan ln 4 = 1,386294 C. Nilai ln 1 = 0 dan ln 3 = 1,098612

Bandingkan hasilnya dengan nilai sesungguhnya ln 2 = 0,69314718.

Jawab:

1, 7917595 - 0

A. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0,3583519

6 - 1 1,386294 - 0

B. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0,462098 4 - 1

1,098612 - 0

C. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0.549306

3 - 1

Semakin kecil rentang batas semakin dekat ke nilai sesungguhnya.

Contoh:

Taksirlah nilai ln 2 dengan interpolasi linier Newton jika diketahui: A. Nilai ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595.

B. Nilai ln 1 = 0 dan ln 4 = 1,386294 C. Nilai ln 1 = 0 dan ln 3 = 1,098612

Bandingkan hasilnya dengan nilai sesungguhnya ln 2 = 0,69314718.

Jawab:

1, 7917595 - 0

A. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0,3583519

6 - 1 1,386294 - 0

B. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0,462098 4 - 1

1,098612 - 0

C. ln 2 = 0 + --- * (2 - 1) = 0.549306

3 - 1

1.2 Interpolasi Newton Kuadratis

Interpolasi linier sering mengalami bias yang besar. Untuk memperbaikinya dipakai interpolasi kuadratis Diperlukan 3 titik acuan

f₂(x)

f(x₀) f(x) f(x1)

f₂(x) f(x2)

PROGRAM

Bentuk interpolasi kuadratis yang ‘baik’ untuk tujuan ini adalah f₂(x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x-x₀)(x - x₁)

Persamaan diatas sebenarnya bentuk lain dari fungsi kuadrat:

f₂(x) = b₀ + b₁x - b₁x₀ + b₂x2 _{+ b}

2 x1x0- b2xx0- b2 xx1 f₂(x) = (b₀ – b₁x₀ + b₂ x₁x₀)+ (b₁ - b₂ x₀ - b₂ x₁ ) x + b₂x2

x x₂

Fungsi ini disamakan dengan fungsi aslinya, sehingga: f(x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x-x₀)(x - x₁).

x = x_{0 } f(x₀) = b₀ + 0 + 0.  b₀ = f(x₀).

x = x_{1 } f(x₁) = f(x₀)+ b₁(x₁ - x₀) + b₂ (x₁-x₀)(x₁- x₁).

b₁ = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀)

Bentuk ini biasa ditulis dengan f[x1,x0]

Fungsi ini disamakan dengan fungsi aslinya, sehingga: f(x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x-x₀)(x - x₁).

x = x_{0 } f(x₀) = b₀ + 0 + 0.  b₀ = f(x₀).

x = x_{1 } f(x₁) = f(x₀)+ b₁(x₁ - x₀) + b₂ (x₁-x₀)(x₁- x₁).

b₁ = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀)

Bentuk ini biasa ditulis dengan f[x1,x0]

x = x_{2 } f(x₂) = f(x₀) + ((f(x1) - f(x₀)) / (x₁ - x₀)) (x₂ - x₀) + b₂ (x₂ - x₀)(x₂- x₁).

f(x₂) - f(x₁) f(x₁) - f(x₀) --- -

---x₂ - x₁ x₁ - x₀

 b₂ = ---x₂ - x₀

1.3 Interpolasi Newton Umum

Untuk mendapatkan interpolasi orde n diperlukan n+1 titik acuan. Bentuk umum interpolasi Newton adalah:

f₂(x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x-x₀)(x - x₁) + … + b_n (x - x₀)(x - x₁)… (x - x_n-1) Nilai-nilai b₀, b₁, ….., bn diperoleh dengan pola yang sama dengan

Interpolasi Newton kuadratis yang diperluas menjadi: b₀ = f(x₀).

b₁ = f[x₁,x₀] b₂ = f[x₂,x₁,x₀] .

.

b_n = f[x_n,..x₁,x₀]

Sehingga persaman interpolasi Newton umum menjadi f₂(x) = b₀ + (x - x₀) f[x₁,x₀] + (x-x₀)(x - x₁) f[x₂,x₁,x₀] + … +

(x - x₀)(x - x₁)… (x - x_n-1) f[x_n,..x₁,x₀]

1.3 Interpolasi Newton Umum

Untuk mendapatkan interpolasi orde n diperlukan n+1 titik acuan. Bentuk umum interpolasi Newton adalah:

f₂(x) = b₀ + b₁ (x - x₀) + b₂ (x-x₀)(x - x₁) + … + b_n (x - x₀)(x - x₁)… (x - x_n-1) Nilai-nilai b₀, b₁, ….., bn diperoleh dengan pola yang sama dengan

Interpolasi Newton kuadratis yang diperluas menjadi: b₀ = f(x₀).

b₁ = f[x₁,x₀] b₂ = f[x₂,x₁,x₀] .

.

b_n = f[x_n,..x₁,x₀]

Sehingga persaman interpolasi Newton umum menjadi f₂(x) = b₀ + (x - x₀) f[x₁,x₀] + (x-x₀)(x - x₁) f[x₂,x₁,x₀] + … +

(x - x₀)(x - x₁)… (x - x_n-1) f[x_n,..x₁,x₀]

f[x_n,..x₂,x₁] - f[x_n-1,..x₁,x₀] dimana f[x_n,..x₁,x₀] =

2. Interpolasi Lagrange

Merupakan re-formulasi dari interpolasi Newton. Tujuan:

Mencegah terjadinya komputasi deferensiasi terbagi. Bentuk umum interpolasi Lagrange adalah:

n n x - x_J f_n(x) =  _L

i(x) f(xi), dimana Li(x) =  ---i=0 j =0 x_i - x_J

j  _i

x – x₁ x – x₀

f₁(x) = --- f(x₀) + --- f(x₁) x₀ – x₁ x₁– x₀

(x – x₁)( x – x₂) (x – x₀)( x – x₂) (x – x₀)( x – x₁)

f₂(x) = --- f(x₀) + --- f(x₁) + --- f(x₂) (x₀ – x₁)( x₀ – x₂) (x₁ – x₀)( x₁ – x₂) (x₂ – x₀)( x₂ – x₁)

Dan seterusnya…..

PROGRAM

2. Interpolasi Lagrange

Merupakan re-formulasi dari interpolasi Newton. Tujuan:

Mencegah terjadinya komputasi deferensiasi terbagi. Bentuk umum interpolasi Lagrange adalah:

n n x - x_J f_n(x) =  _L

i(x) f(xi), dimana Li(x) =  ---i=0 j =0 x_i - x_J

j  _i

x – x₁ x – x₀

f₁(x) = --- f(x₀) + --- f(x₁) x₀ – x₁ x₁– x₀

(x – x₁)( x – x₂) (x – x₀)( x – x₂) (x – x₀)( x – x₁)

f₂(x) = --- f(x₀) + --- f(x₁) + --- f(x₂) (x₀ – x₁)( x₀ – x₂) (x₁ – x₀)( x₁ – x₂) (x₂ – x₀)( x₂ – x₁)

Contoh:

Taksirlah nilai ln 2 dengan interpolasi linier Lagrange jika diketahui:

a. Nilai ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. b. Nilai ln 1 = 0 dan ln 4 = 1,386294 c. Nilai ln 1 = 0 dan ln 3 = 1,098612

Bandingkan hasilnya dengan nilai sesungguhnya ln 2 = 0,69314718.

Jawab

2 – 6 2 - 1 -4 1

a. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 6 = --- 0 + ---- 1,7917595 = 0,3583519 1 – 6 6 – 1 -5 5

2 – 4 2 - 1 -2 1

b. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 4 = --- 0 + ---- 1,386294 = 0,462098 1 – 4 4 – 1 -3 3

2 – 3 2 - 1 -1 1

c. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 4 = --- 0 + ---- 1,098612 = 0.549306 1 – 3 3 – 1 -2 2

Ternyata hasilnya sama dengan interpolasi Newton.

Contoh:

Taksirlah nilai ln 2 dengan interpolasi linier Lagrange jika diketahui:

a. Nilai ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. b. Nilai ln 1 = 0 dan ln 4 = 1,386294 c. Nilai ln 1 = 0 dan ln 3 = 1,098612

Bandingkan hasilnya dengan nilai sesungguhnya ln 2 = 0,69314718.

Jawab

2 – 6 2 - 1 -4 1

a. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 6 = --- 0 + ---- 1,7917595 = 0,3583519 1 – 6 6 – 1 -5 5

2 – 4 2 - 1 -2 1

b. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 4 = --- 0 + ---- 1,386294 = 0,462098 1 – 4 4 – 1 -3 3

2 – 3 2 - 1 -1 1

c. f₁(2) = --- ln 1 + --- ln 4 = --- 0 + ---- 1,098612 = 0.549306 1 – 3 3 – 1 -2 2

3. Interpolasi Spline

Spline _ penggambaran kurva yang halus melalui sekumpulan titik.

Hasilnya lebih baik dibandingkan dengan interpolasi polinom lebih tinggi. Spline dikembangkan menjadi bentuk linier, kuadratis dan kubik.

Bentuk kubik adalah yang paling banyak digunakan dalam praktek.

3.1 Spline Linier

Bentuknya sama dengan interpolasi linier, yang menghubungkan titik-titik data. f(x) = f(x₀) + m₀ (x – x₀) x₀ ≤ x ≤ x₁

f(x) = f(x₁) + m₁ (x – x₁) x₁ ≤ x ≤ x₂ f(x) = f(x₂) + m₂ (x – x₂) x₂≤ x ≤ x₃ .

f(x) = f(x_n-1) + m_n-1 (x – x_n-1) x_n-1 ≤ x ≤ x_n

dimana mi =(f(x_i+1) - f(x_i))/ (x_i+1 – x_i) slope garis penghubung titik-titik.

Persamaan ini dapat dipakai untuk mengevaluasi fungsi pada sembarang titik antara x₀ dan x_n.

3. Interpolasi Spline

Spline _ penggambaran kurva yang halus melalui sekumpulan titik.

Hasilnya lebih baik dibandingkan dengan interpolasi polinom lebih tinggi. Spline dikembangkan menjadi bentuk linier, kuadratis dan kubik.

Bentuk kubik adalah yang paling banyak digunakan dalam praktek.

3.1 Spline Linier

Bentuknya sama dengan interpolasi linier, yang menghubungkan titik-titik data. f(x) = f(x₀) + m₀ (x – x₀) x₀ ≤ x ≤ x₁

f(x) = f(x₁) + m₁ (x – x₁) x₁ ≤ x ≤ x₂ f(x) = f(x₂) + m₂ (x – x₂) x₂≤ x ≤ x₃ .

f(x) = f(x_n-1) + m_n-1 (x – x_n-1) x_n-1 ≤ x ≤ x_n

dimana mi =(f(x_i+1) - f(x_i))/ (x_i+1 – x_i) slope garis penghubung titik-titik.

Contoh:

Diketahui pasangan data sebagai berikut.

x f(x)

3,0 2,5

4,5 1,0

7,0 2,5

9,0 0,5 9,0 0,5

Gunakan Spline orde satu untuk mencari nilai fungsi pada x = 5.

Jawab:

x = 5 terletak antara data x = 4,5 dan x = 7. Slope m = (2,5 – 1,0) / (7 – 4,5) = 0,6.

3.2 Spline Kuadratis

Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul.

Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data.

Secara umum dituliskan: f_i(x) = a_i x2 _{+ b}

i x + ci

Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval.

Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut.

Jika terdapat 4 buah data maka akan terdapat 3 interval dan tiap interval terbentuk persaman interpolasi kuadratis seperti tampak pada berikut.

3.2 Spline Kuadratis

Spline kuadratis mempunyai turunan pertama yang kontinyu pada simpul-simpul.

Tujuan dari Spline kuadratis adalah untuk menurunkan sebuah polinom orde dua untuk setiap interval titik data.

Secara umum dituliskan: f_i(x) = a_i x2 _{+ b}

i x + ci

Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval.

Dengan demikian kita dapat menentukan nilai interpolasi kuadratis pada masing-masing interval tersebut.

Jika terdapat n + 1 titik data

maka terdapat n interval dan 3n var. Diperlukan 3n persamaan untuk solusi.

a_{i -1} x_i-12_{+ b}

i -1 xi-1 + ci-1 = f(xi-1) = aixi2+ bixi + ci  2n – 2 persamaan.

2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a₁ x₀2_{+ b}

1 x0 + c1 = f(x0) dan an xn2+ bn xn + cn = f(xn)  2 persamaan.

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’(x) = 2a_i-1 x_i-1+ b_i-1 = 2a_i x_i+ b_ n -1 persamaan.

4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. _ f ”(x) = 2 a₁= 0 _ a₁= 0

Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1

Gunakan salah satu metode Gauss untuk menyelesaian masalah ini. Catatan: interval 1 selalu berbentuk linier.

Persyaratan dalam Spline kuadratis

1. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.

f(x₀)

Interval 1 Interval 2 Interval 3

x0

2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a₁ x₀2_{+ b}

1 x0 + c1 = f(x0) dan an xn2+ bn xn + cn = f(xn)  2 persamaan.

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’(x) = 2a_i-1 x_i-1+ b_i-1 = 2a_i x_i+ b_ n -1 persamaan.

4. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0. _ f ”(x) = 2 a₁= 0 _ a₁= 0

Sum variabel = 3n – 1 sesuai dengan sum persamaan 2 n – 2 + 2 + n -1 = 3n - 1

Contoh:

Interval 1 Interval 2 Interval 3

x0

Gunakan Spline orde kedua untuk mencari nilai fungsi pada x = 5.

Jawab:

Syarat yang harus dipenuhi:

1_{. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.}

a₁. 4,52_{+ b}

2_{. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung.}

a₁. 32_{+ b}

4_{. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0.}

a₁ = 0.

Interval 1 Interval 2 Interval 3

x0

1_{. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.}

a₁. 4,52_{+ b}

2_{. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung.}

a₁. 32_{+ b}

4_{. Anggap turunan kedua pada titik pertama = 0.}

Terdapat 8 persamaan dengan 8 variabel, matrik SPLnya sebagai berikut.

4,5 1 0 0 0 0 0 0 b₁

=

1

0 0 20,25 4,5 1 0 0 0 c₁ 1

0 0 49 7 1 0 0 0 a₂ 2,5

0 0 0 0 0 49 7 1 b₂ 2,5

3 1 0 0 0 0 0 0 c₂ 2,5

0 0 0 0 0 81 9 1 a₃ 0,5

1 0 -9 -1 0 0 0 0 b₃ 0

0 0 14 1 0 -14 -1 0 c₃ 0

0 0 14 1 0 -14 -1 0 c₃ 0

Selanjutnya dengan salah satu metode Gauss diperoleh nilai: a₁ = 0 , b₁ = -1 , c₁ = 5,5, a₂ = 0,64 , b₂ = -6,76 , c₂ = 18,46 a₃ = -1,6 , b₃ = 24,6 , c₃ = -91,3

Sehingga bentuk interpolasi Spline kuadratis adalah: f₁(x) = - x + 5,5 3 ≤ x ≤ 4,5

f₂(x) = 0,64 x2_{- 6,76 x + 18,46 4,5 ≤ x ≤ 7}

f₃(x) = -1,6 x2 _{+ 24,6 x - 91,3 7 ≤ x ≤ 9}

3.3 SpLine Kubik

Persamaan interpolasinya adalah : f_i(x) = a_i x3_{+ b}

i x2+ cix + di.

Jika terdapat n + 1 titik data maka akan terdapat n interval dan 4n variabel. Aturan yang diterapkan mirip dengan Spline Kuadratis, dengan tambahan:

a_{i -1} x_i-13_{+ b}

i -1 xi-12 + ci-1 xi-1 + di-1= f(xi-1) = ai xi3+ bi xi2 + ci xi + di 2n - 2 pers

2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a₁ x₀3_{+ b}

1 x02 + c1 x0 + d1= f(x0) dan an xn3+ bn xn2 + cn xn + dn= f(xn)  2 pers

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’(x) = 3a_i-1 x_i-12_{+ 2 b}

i-1x i-1 + ci-1= 3ai xi2+ 2 bix i + ci  n -1 pers

4. Turunan kedua pada titik dalam harus sama.

f ”(x) = 6a_i-1 x_i-1+ 2 b_i-1= 6a_i x_i+ 2 b_{i } n - 1 per 1. Nilai fungsi harus sama di setiap simpul dalam.

2. Fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik ujung. a₁ x₀3_{+ b}

1 x02 + c1 x0 + d1= f(x0) dan an xn3+ bn xn2 + cn xn + dn= f(xn)  2 pers

3. Turunan pertama pada simpul dalam harus sama. f ’(x) = 3a_i-1 x_i-12_{+ 2 b}

i-1x i-1 + ci-1= 3ai xi2+ 2 bix i + ci  n -1 pers

4. Turunan kedua pada titik dalam harus sama.

f ”(x) = 6a_i-1 x_i-1+ 2 b_i-1= 6a_i x_i+ 2 b_{i } n - 1 per 5. Anggap turunan kedua pada titik ujung = 0

f ”(x) = 6a₁ x₀+ 2 b₁= 0 dan f ” (x) = 6 a _nx _n + 2b _n = 0 _2 pers

Jumlah persamaan 2 n – 2 + 2 + n - 1 + n – 1 + 2 = 4n.