Modul matematika trigonometri (1)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Dra. Nuning Sulistyowati Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.

I. Pengukuran Sudut

Sebelum membahas satuan pengukuran sudut,kita ulang terlebih dahulu tentang pengertian sudut. Sudut _{adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua}

sinar(garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Perhatikan pada gambar dibawah ini:

Garis dan garis bersekutu di titik O Membentuk sudut AOB ditulis ∠AOB

Sudut satu putaran penuh 3600 atau 2 radian(dalam radian). Dengan demikian besar

sudut satu derajat (1°) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya putaran

penuh dapat dituliskan :

Ukuran sudut lainnya adalah radian.

Satu radian(1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut (lihat gambar).

Dapat dituliskan besar POR adalah 1 rad. Untuk satu putaran penuh nilainya sama dengan keliling lingkaran yaitu 2 ,oleh karena itu

1 putaran penuh =

Hubungan derajat dan radian 2 rad = 3600

1.Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat ke dalam satuan radian

a. 300  = 

 2. Ubahlah besar sudut dalam satuan radian ke dalam satuan derajad

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan),

cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga siku-siku.

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

1. Nilai Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa

Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O. Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:

0° 30° 45° 60° 90°

A. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri

9

B. Perbandingan trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran. 1. Sudut pada kuadran

Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Dari gambar tersebut nilai ( tanda ) perbandingan trignometri diberbagai kuadran dapat dilihat pada tabel sebagai berikut :

Perbandingan Trigonometri

Kuadran I

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

Sinus α + + - -

Cosinus α + - - +

Tangen α + - + -

Cosecan α + + - -

Secan α + - - +

Tangen α + - + -

2. Sudut Berelasi

a. Sudut di kuadran I ( 0o < x < 90o )

Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y)

Dapat disimpulkan bahwa : Sin (90o – a ) = Cos ao Cos (90o – a ) = Sin ao Tan (90o – a ) = Cot a o

b. Sudut di kuadran II ( 90o < x < 180o )

Perhatikan segitiga OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik p’ ( -x,y)

Dari beberapa rumusan diatas dapat disimpulkan :

Sin ( 180o – ao) = Sin a o Cos ( 180o – ao) = – Cos a o Tan ( 180o – ao) = – Tan a o

Sin ao = y/r Cos ao = x/ r Tan ao = y/ x Sin ( 90o - a) = x/r Cos ( 90o - a) = y/r Tg ( 90o - a) = x/y

Sudut di kuadran I Sin ao = y/r Cos ao = x/r Tan ao = y/x

Sudut di kuadran II Sin ( 180o – a) = y/r Cos ( 180o – a) = – x/r Tan ( 180o – a) = y/–x a

90°– a

O A P(x,y)

x

y r

a

90°– a

O A P(x,y)

x

y r

P(–x,y)

r

a y

–x

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

c. Sudut di kuadran III ( 180 < x < 270 )

Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y) dan titik P’ (–x, –y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut :

Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan :

d. Sudut di kuadran IV ( 270o < x < 360o )

Dengan cara yang sama didapat hubungan(relasi) sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan nilai trigonometri berikut : a. Sin 600

b. Sin 1200 c. Cos 2100 d. Tan 2400 e. Sin 3150 f. Cos 3000 Jawab :

a. Sin 600 = Sin (900 – 300) = Cos 300 = 3

2 1

b.Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 3

2 1

c. Cos 2100 = Cos (1800 + 300) = – _{Cos 30}0 ₌ – ₃

2 1 Sudut di kuadran I

Sin ao = y/r Cos ao = x/ r Tan ao = y/ x

Sudut di kuadran III Sin ( 180o + a) = – y/r Cos ( 180o + a) = – x/r Tan ( 180o + a) = y/x

Sin ( 180o + ao) = – Sin ao Cos ( 180o + ao) = – Cos ao Tan ( 180o + ao) = Tan ao

Sin (360o– ao) = – Sin ao Cos (360o– ao) = Cos ao Tan (360o– ao) = – Tan ao

a

90°– a

O A

P(x,y)

x

y r

P(–x, –y)

r a

–y

–x

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

C. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar.

a. Merubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Latihan 1

1. Nyatakan dalam bentuk derajat :

a rad b. rad c. rad d. rad

2. Nyatakan dalam bentuk radian :

a. 1200 b. 1750 c. 720 d. 480 3. Tentukan nilai berikut :

a.Sin 1500 c.tan 3300 e. Cos

b.Cosec 450 d.Sin f. Sin

4. Hitunglah nilai dari :

a. Cos

π

3 2

 – Cos3

π

5 _{+ Sin}

_π

3

2

b. Sin 600.Cos 3300 + tan 2250

c. (Cos 3000– Sin 2100) x ( Cos 3000 + Sin 2100 ) d.

° −

°

° +

°

60 cos 150 tan

60 cos 150 tan

e. Jika Cot ß = 3 4

, tentukan nilai trigonometri berikut:

* Sin ß dan tg ß. * Sec ß dan Ctg ß. * ( Sin ß )2 + (Cos ß)2 *Cos ß dan Cosec ß 5. Nyatakan titik –titik berikut dalam koordinat kutub !

a. A( 4 4 ) b. B( 5,6 ) c. C(–5, –5 ) d.D(–2,2 ) 6. Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartecius

a. A( 6,300 ) b.( 9,1500 ) c.C( 12,2400 ) d.D( 4,1500)

III. Aturan Sinus dan Kosinus a.Aturan Sinus

Dalam segitiga ABC seperti pada gambar berikut :

Dalam ADC, kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin α Sin α = maka DC = AC Sin α → DC = b Sin α ...1

Dalam BDC,kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin β Sin β = maka DC = BC Sin β→ DC = a Sin β...2

Dari persamaan 1 dan 2 : DC = DC

b Sin α = a Sin β

= ...1

a b

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Sama dengan diatas coba tentukan panjang AE jika ditinjau dari Sin β dan Sin γ. Sin β = → AE = AB Sin β maka AE = c. Sin β dan

Sin γ = →AE = AC Sin γ maka AE = b. Sin γ

Dari kedua pernyataan diatas diperoleh : c. Sin β = b. Sin γ = ...2

Sehingga dari pers. 1 dan 2 diperoleh aturan sinus berikut :

γ

β

α

Sin

c Sin

b Sin

a _{= =}

Contoh :

1. Diketahui : PQR dengan sisi p = 10 cm dan q = 10 cm, P = 600 dan Q = 300 Tentukan : a. R ,

b.panjang sisi r Jawab :

a. R = 1800 – ( P + Q)

= 1800 – ( 600 + 300 ) = 900

b. Panjang sisi r → =

=

r =

r = = 3 3 20

cm

b. Aturan Cosinus

Dalam Segitiga ABC sembarang telah diketahui ukuran sebuah sudut dan dua sisi yang mengapitnya.Bagaimana menentukan panjang sisi lainnya?perhatikan gambar dibawah ini

Pada gambar diatas ABC segitiga lancip dan CD AB Misal AD = x maka BD = (c – x )

Pada ADC ; CD2 =...( 1)

Pada BDC ; CD2 = a2 – ( c – x)2 =... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh :

CD2 = CD2

b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx– x2 b2 = a2 – c2 + 2cx atau

a2 = b2 + c2 – 2bc...(3)

Dalam ADC Cos A = x = b cos A...(4)

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Dengan cara yang serupa dapat kita buktikan pula bahwa : b2 = a2 + c2 - 2ac cos B dan c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Aturan Cosinus :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A _b2

= a2 + c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC panjang AB = 7 cm,AC = 8 cm,dan BC = 5 cm besar sudut-sudut segitiga ABC.

Jawab :

Misal AB = c = 7 cm,AC = b = 8 cm, BC = a = 5 cm

= , = , =

Degan aturan cosinus diperoleh

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

= = 0,7857

Jadi = arc cos 0,7857 α= 38,21°

Sudut dapat ditentukan dengan cara berikut :

b2 = a2 + c2 – 2ac cos

Cos =

= = = 0, 1429

Jadi = arc cos 0,1429 β = 81,790

Dengan demikian, kita dapat menentukan yaitu :

= 1800 – 38,210 – 81,790 = 600

c. Luas Segitiga

Misal diketahui segitiga ABC sembarang

Jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui maka kita dapat menentukan luas daerah yaitu:

L =

2 1

x alas x tinggi

Rumus luas segitiga tersebut dapat dikembangkan menjadi luas segitiga yang lain dengan menggunakan

Unsur trigonometri.

• L = x alas x tinggi

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Pada segitiga ACP Sin A = t = b.sin A

Sehingga L = x c .b.sin A

• L = x alas x tinggi

L = x c x t

Pada segitiga BPC Sin B = t = a.sin B

Sehingga L = x c .a.sin B

• Pada aturan sinus berlaku :

Sin B =

L = x a.c.sin B L = x a.c.

Sehingga, L = x a.b.sin C

• Berdasarkan penjelasan diatas,Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan apabila panjang dua sisi dan satu sudut apitnya diketahui.

Luas ∆ABC = ₂1.a.b.sinC Luas ∆ABC = ₂1.a.c.sinB

Luas ∆ABC = ₂1.b.c.sinA

Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui L = s(s−a)(s−b)(s−c)

Dengan S = 2 1

keliling = 2 1

(a+b+c)

Contoh :

1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm,b = 6 cm,dan = 450 Jawab :

L = a.b. sin C = 3.6.sin 450 = 18 = cm2

2. Tentukan luas segitiga ABC bila diketahui panjang sisi- sisinya, masing-masing AB = 4 cm,AC = 5 cm dan BC = 7 cm!

Jawab :

Keliling segitiga = AB + AC + BC = 4 + 5 + 7 = 16 cm Sehingga :

S = x 16 = 8 cm

L =

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Latihan 2.

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Dari segitiga ABC , jika diketahui dengan panjang a = 2 cm, panjang b = 2 3 cm, dan besar sudut C = 30O. Tentukan Panjang sisi c = ....

2. Pada segitiga PQR sudut P = 300,p = 4 cm,dan q = 5 cm.Tentukan dan panjang sisi r !

3. Pada segita ABC,diketahui BC =4 cm,AC = 5cm dan = 450,Tentukan panjang AB dan besar sudut B!

4. Suatu segitiga ABC diketahui = 450, = 650 jika panjang c = 18 cm.Tentukan luas segitiga tersebut!

5. Tentukan luas segitiga ABC,jika diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 8 cm,dan AC = 6 cm.

6. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 6 cm dan PR = 10 cm jika luas segitiga PQR = 15 cm2,tentukan panjang QR tersebut!

7. Pada segitiga ABC diketahui = 500, = 700 ,dan panjang b = 12 Tentukan panjang sisi a dan c

IV. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumah dan Selisih Dua Sudut

a. cos

(

A+B

)

= cosA.cosB−sinA.sinB

b. cos

(

A−B

)

= cosA.cosB+sinA.sinB c. sin

(

A+B

)

= sinA.cosB+cosA.sinB

d. sin

(

A−B

)

= sinA.cosB−cosA.sinB

e. tan

(

A+B

)

=

B A

B A

tan . tan 1

tan tan

− +

f. tan

(

A−B

)

=

B A

B A

tan . tan 1

tan tan

+ −

Contoh

1. Hitunglah Cos 150 dan Cos 1050 tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator.

Jawab :

a.Cos 150 = Cos( 45 – 30)0

= cos 450.cos 300 + sin450 sin300 = ( )(. ( ) +( )( )

= +

= ( )

b. Cos 1050 = Cos ( 600 + 450 )

= cos 600cos 450 – sin 600 sin 450 = . ( ) - ( ) ( )

= -

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

2. Buktikan bahwa cos ( ) + cos ( ) = cos a

Bukti :

Ruas kiri = cos ( ) + cos ( )

=( cos cos a – sin sin a ) + ( cos cos a + sin sin a )

= 2 cos cos a

= 2( ) cos a

= cos a

= Ruas kanan (terbukti)

3. Hitung nilai Sin 750 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel matematika Jawab :

Sin 750 = Sin(450 + 300 )

= sin 450 cos 300 + cos 450sin 300 = ( )( ) + ( )( )

= +

= ( + )

4. Diketahui sin A = ,cos B = ,sudut A dan B lancip.Hitunglah nilai

tan( A – B )! Jawab :

AP =

= =

= = 4 tan A =

RS = = =

= = 5 tan B =

Tan (A – B ) =

=

=

= x

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

V.Rumus-Rumus Sudut Rangkap

a. sin2A=2sinA.cosA

b. cos2A=cos2 A−sin2 A

A 2 sin 2 1−

=

1 cos

2 2 −

= A

c.

A A

A ₂

tan 1

tan 2 2 tan

− =

Contoh

1.Diketahui Sin A = dan sudut A lancip

Hitunglah sin 2A,cos 2A,tan 2A

Jawab :

Perhatikan gambar disamping

Sin A = maka BC = 4,dan AC = 5

AB = =

= = 3 Sehingga Cos A = =

Tan A =

Dengan demikian :

Sin 2A = 2 sin A.cos A = 2( )( )

=

Cos 2A = - =( )2 – ( 2

= – = –

A

A A

Tan ₂

tan 1

tan 2 2

− =

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

VI. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus

a. 2.cosA.cosB = cos

(

A+B

)

+cos

(

A−B

)

b. 2.sinA.sinB = cos

(

A+B

)

−cos

(

A−B

)

c. 2.sinA.cosB = sin

(

A+B

)

+sin

(

A−B

)

d. 2.cosA.sinB = sin

(

A+B

)

−sin

(

A−B

)

Contoh

1.Hitunglah nilai dari (cos 750 sin 150),tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator.

Jawab :

2 cos A.sin B = sin(A+B) – sin(A – B) Cos A.sin B =

Sehingga :

Cos 750.sin 150 =

= (sin 900 - sin 600 )

= ( 1 - )

= 3 4 1 2

1₋

VII. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus

a. cosC+cosD =

(

)

(

)

2 cos . 2 cos

2 C+D C−D

b. cosC−cosD =

(

)

(

)

2 cos . 2 cos

2 C+D C−D

−

c. sinC+sinD =

(

)

(

)

2 cos . 2 sin

2 C+D C−D

d. sinC−sinD =

(

)

(

)

2 sin . 2 cos

2 C+D C−D

Contoh

1. Nyatakan bentuk perkalian berikut dan sederhanakan jika mungkin a. Sin 750 + Sin 150

Jawab :

Sin C + Sin D = 2 sin (C + D).cos (C – D).maka

Sin 750 + Sin 150 = 2 sin ( ).cos ( ).

= 2 sin 450.cos 300 = 2( )( )

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

b.Sin 3x – sin x Jawab :

Sin C – sin D = 2 cos (C + D).sin (C – D ) maka

Sin 3x – sin x = 2 cos (3x+ x).sin (3x – x )

= 2 cos 2x .sin x Latihan 3

Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang tepat! 1. sin 3A =....

2. sin 4A =....

3. 2 sin 500 cos 400 + 2 cos 200 sin 100 =...

4. Jika

6 π β

α+ = dan

4 3 cos .

cosα β = , maka cos

(

α

−

β

)

=....

5. Jika tan = a , maka cos 2 = ... 6. sin4x.sin3x−cos4x.cos3x=....

7. Untuk semua nilai A, bentuk sin (A + 30O) + cos (A + 60O) sama dengan ....

8. sin3x+sin7x=.... 9. Tan 700 + tan 200 =...

10. 4 cos (15 + a)0 cos( 15 – a )0 =....

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Bagaimana Mendapatkan Modul Ini

Di Internet Secara GRATIS?

Modul ini bersama modul-modul yang lain, serta semua informasi tentang E-Learning matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS .

Semua modul merupakan hasil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan. Mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan. Tahun pelajaran 2010/2011 merupakan tahun pertama

kami merintis. Akan kami revisi di tahun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat

E-mail : mgmpmtk_smkpasuruan@yahoo.co.id

Bagaimana caranya memanfaatkannya :

A. Weblog : www.matematika-pas.blogspot.com

(i) Buka browser internet (contoh : Mozilla Firefox, Opera, Internet Explorer, Google Crome, dll)

(ii) Pada Addres (alamat) gantilah dengan : www.matematika-pas.blogspot.com lalu tekan Enter

(iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pilih menu Modul, lalu pilih Modul yang sesuai & klik

(iv)Terhubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintahnya. Ulangi beberapa kali jika gagal. B. Facebook

(i) Masuk akun facebook

(ii) Pada menu Search, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter

(iii) Klik (Pilih) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning (iv)Terhubung ke Page (halaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like)

(v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian.

(vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini.

Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami sudah dapat membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook.