SUDUT
Tujuan PembelajaranSetelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi sudut.
2. Memahami sudut koterminal.
3. Memahami defi nisi ukuran sudut dalam derajat. 4. Memahami defi nisi ukuran sudut dalam radian.
5. Dapat mengonversi satuan sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya. 6. Dapat menerapkan konsep sudut dalam kehidupan sehari-hari.
A. Defi nisi Sudut
Sudut didefi nisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Sudut juga dapat didefi nisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis yang bertemu pada suatu titik. Berdasarkan arah putarannya, sudut dibedakan menjadi dua, yaitu sudut positif dan sudut negatif. Sudut positif terjadi jika arah putarannya berlawanan dengan putaran jarum jam. Sementara sudut negatif terjadi jika arah putarannya searah dengan putaran jarum jam. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
matematika WAJIB
K
e
l
a
s X
Kurikulum 2013
Sisi akhir Sisi akhir Sisi awalSudut bertanda positif Sudut bertanda negatif Sisi awal
2
Dalam bidang Cartesius, sudut yang sisi awalnya berimpit dengan sumbu-X positif dan sisi akhirnya terletak pada salah satu kuadran disebut sebagai sudut standar (baku). Dari sudut-sudut standar, ada beberapa sudut yang sisi akhirnya terletak pada salah satu sumbu koordinat. Sudut ini dinamakan sebagai pembatas kuadran. Sudut yang termasuk pembatas kuadran yaitu 0o, 90o, 180o, 270o dan 360o.
270o
Besar sudut pada setiap kuadran Kuadran II 90o < a < 180o Kuadran I 0o < a < 90o 90o 0o 180o Kuadran IV 270o < a < 360o Kuadran III 180o < a < 270o
Pada umumnya, sudut dinyatakan dalam huruf Yunani, seperti a (alfa), β (beta), γ (gamma), dan θ (teta). Selain itu, sudut juga dapat dinyatakan dalam huruf kapital, seperti, A, B, C, dan D.
B. Sudut Koterminal
Sudut koterminal adalah dua sudut standar yang sisi-sisi akhirnya (terminal side) saling berimpit. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
Sudut standar dan sudut koterminal a
β
X Y
3
Sudut koterminal untuk suatu sudut a bisa bernilai positif atau negatif. Untuk sudut koterminal positif (β), berlaku:
β = k . 360o + a, k = 1, 2, 3, ...
Untuk sudut koterminal negatif (β), berlaku:
β = k . 360o + a, k = –1, –2, –3, ...
Contoh Soal 1
Tentukan sudut koterminal positif dari 120o.
Pembahasan:
Misalkan a = 120o
Berdasarkan rumus sudut koterminal positif, diperoleh: β = k . 360o + a dengan k = 1, 2, 3, ...
β = k . 360o + 120o
k = 1 → β = 480o
k = 2 → β = 840o
dan seterusnya
Jadi, sudut koterminal positif dari 120o adalah 480o, 840o dan seterusnya.
Contoh Soal 2
Tentukan sudut koterminal negatif dari 30o.
Pembahasan:
Misalkan a = 30o
Berdasarkan rumus sudut koterminal negatif, diperoleh: β = k . 360o + a dengan k = –1, –2, –3, ...
β = k . 360o + 30o
k = –1 → β = –330o
k = –2 → β = –690o
dan seterusnya
Jadi, sudut koterminal negatif dari 30o adalah –330o, –690o dan seterusnya.
y
x
O 30
4
C. Definisi Ukuran Sudut dalam Derajat
Satu derajat (ditulis: 1o) didefinisikan sebagai ukuran besar sudut yang disapu oleh
jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh 1
360 putaran. Definisi ini secara singkat dituliskan sebagai berikut.
1 = 1
360 putaran
o
1 putaran = 360o
Perhatikan ilustrasi sudut 1o, 90o, 180o, 270o, dan 360o dalam bentuk putaran berikut.
1 360putaran 1 4 putaran 1 2putaran 1 putaran
Contoh Soal 3
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ini dalam derajat. a. 1 3 putaran b. 2 3 putaran c. 3 4 putaran Pembahasan:
Oleh karena 1 putaran = 360°, maka: a. 1 3 putaran = 1 3 360 = 120 o o × Jadi, 1 3 putaran = 120 o
5
b. 2 3 putaran = 23 360 = 240 o o × Jadi, 2 3putaran = 240 o c. 3 4 putaran = 3 4 360 = 270 o o × Jadi, 3 4 putaran = 270 oContoh Soal 4
Nyatakan besar sudut-sudut berikut ini dalam putaran. a. 60o b. 140o c. 300o Pembahasan: Oleh karena 1 = 1 360 putaran o , maka: a. 60 = 60 1 360 putaran = 1 6 putaran o × Jadi, 60o 60 = 60 1 360 putaran = 1 6 putaran o × b. 140 = 140 1 360 putaran = 7 18 putaran o × Jadi, 140o = 140 = 140 1 360 putaran = 7 18 putaran o × c. 300 = 300 1 360 putaran = 5 6 putaran o × Jadi, 300o = 300 = 300 1 360 putaran = 5 6 putaran o ×
Contoh Soal 5
Pada suatu lingkaran, terdapat sebuah juring yang panjang busurnya 3
5 keliling lingkaran. Tentukan besar sudut yang terbentuk oleh juring tersebut dalam derajat.
6
Pembahasan:
Satu keliling lingkaran sama dengan satu putaran, sehingga besar sudut yang terbentuk adalah 360o. Dengan demikian, besar sudut yang terbentuk dari 3
5 keliling lingkaran adalah sebagai berikut.
3
5 sudut keliling lingkaran = 3 5 360 = 216 o o ×
Jadi, besar sudut yang terbentuk oleh sebuah juring yang panjang busurnya 3
5 keliling lingkaran adalah 216o.
Selain satuan (ukuran) sudut dalam derajat, ada pula ukuran-ukuran sudut lain yang lebih kecil, yaitu ukuran menit dan ukuran detik. Ukuran menit dan ukuran detik berturut-turut dilambangkan dengan ' dan ". Ukuran-ukuran sudut dalam derajat, menit, dan detik mengikuti aturan berikut.
1 derajat = 60 menit atau 1 menit = 1
60 derajat Ditulis:
1o = 60' atau ′1 = 1
60
o
1 menit = 60 detik atau 1 detik = 1 60 menit Ditulis: 1' = 60" atau 1 = 1 60’ ’’
Contoh Soal 6
Isilah titik-titik berikut. a. 30o = ...' = ..."
b. 2o135'245" = ...' ..."
c. 24,5'1.800" = ... o
d. 21,256o = ...o ...' ..."
Pembahasan:
7
a. 30o = 30 × 60' = 1.800'(menit) 1.800' = 1.800 × 60" = 108.000"(detik) Jadi, 30o = 1.800' = 108.000". b. 2o135'245" = (2 × 60') + 135'245" = 120' + 135'245" = 255'245" Jadi, 2o135'245" = 255'245" c. 24,5'1.800" = 24,5' + 1.800 1 60 ’ × = 24,5' + 30' = 54,5' = 54,5 × 1 60 o = 0.91o Jadi, 24,5'1.800" = 0.91o. d. 21,256o = 21o + 0,256o = 21o + 0,256 × 60' = 21o + 15,36' = 21o + 15' + 0,36' = 21o + 15' + 0,36 × 60" = 21o15'22" Jadi, 21,256o =21o15'22" .D. Definisi Ukuran Sudut dalam Radian
Satu radian (ditulis: 1 rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
8
O A r r r BJika besar ∠AOB = a, AB = OA = OB, nilai a = AB
r = 1 rad.
Jika panjang busur tidak sama dengan r, cara menentukan besar sudut dalam satuan radian dapat dilakukan dengan menggunakan perbandingan berikut.
∠AOB = AB r rad
Sementara itu, untuk menentukan panjang busurnya, perhatikan gambar berikut.
a
P1 = r r
a1
Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh: α
α1 1
= P P
Misal a1 = 1 rad, maka: α ⇔1 α = = P r P r
Dengan demikian, rumus untuk menentukan panjang busur lingkaran adalah sebagai berikut.
P = ar P
9
Keterangan:
P = panjang busur lingkaran; a = sudut pusat lingkaran; dan r = jari-jari lingkaran.
Contoh Soal 7
Tentukan panjang busur lingkaran yang memiliki jari-jari 2 meter dan sudut pusat 0,25 radian.
Pembahasan:
Panjang busur lingkaran dapat ditentukan dengan rumus berikut. P= r
= 0,25 . 2 meter = 0,5 meter
α
Jadi, panjang busur lingkaran tersebut adalah 0,5 meter.
Setelah kamu belajar tentang ukuran sudut dalam derajat dan radian, bagaimana hubungan antara kedua ukuran sudut tersebut? Hubungan antara kedua ukuran sudut tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
P = ar
Jika a = 1 putaran, nilai panjang busur lingkaran akan sama dengan keliling lingkaran. Dengan demikian, diperoleh:
2πr = ra ⇔ 2π radian = 1 putaran ⇔ 2π radian = 360° ⇔ 1 radian = 180o π ⇔ 1° = π 180radian
Dengan demikian, hubungan antara ukuran sudut dalam derajat dan radian dapat dinyatakan sebagai berikut.
• 1 radian = 180o π • 1° = π
10
Jika π = 3,14159, hubungan antara ukuran sudut tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai berikut.
• 1 radian = 57,296° • 1° = 0,017453 radian
Contoh Soal 8
Nyatakan ukuran sudut-sudut berikut ini dalam bentuk radian. a. 30o b. 110o c. 60o d. –45° e. 45o20' Pembahasan: Oleh karena 1° = π 180 radian, maka: a. 30 = 30 1 = 30 180 radian = 1 6 radian o × o × π π Jadi, 30o = 30 = 30 1 = 30 180 radian = 1 6 radian o × o × π π b. 110 = 110 1 = 110 180 radian = 11 18 radian o × o × π π Jadi, 110o = 110 = 110 1 = 110 180 radian = 11 18 radian o × o × π π c. 60 = 60 1 = 60 180 radian = 1 3 radian o × o × π π Jadi, 60o = 60 = 60 1 = 60 180 radian = 1 3 radian o × o × π π d. −45 = 45 1 = 45− × − × − 180 radian = 1 4 radian o o π π Jadi, –45o = −45 = 45 1 = 45− × − × − 180 radian = 1 4 radian o o π π
11
e. 45o20' = (45 × 1o) + (20 × 1') = 45 180 radian + 20 1 60 = 1 4 radian + 1 3 1 o o × × × π π = 1 4 radian + 1 3 180 radian = 1 4 radian + 1 540 radia π π π π × nn =135 540 radian + 1 540 radian =136 540 radian π π π Jadi, 45o20' = = 45 180 radian + 20 1 60 = 1 4 radian + 1 3 1 o o × × × π π = 1 4 radian + 1 3 180 radian = 1 4 radian + 1 540 radia π π π π × nn =135 540 radian + 1 540 radian =136 540 radian π π π .Contoh Soal 9
Nyatakan ukuran sudut-sudut berikut ini dalam bentuk derajat. a. π 12 radian b. π 6 radian c. 7 3 radian π d. 5 3 radian π Pembahasan:
Oleh karena 1 radian = 180
o π , maka: a. π π π 12 radian =12 180o = 15 o × Jadi, π 12 radian = 15 o. b. π π π 6 radian = 6 180o = 30 o × Jadi, π 6 radian = 30o.
12
c. 7 3 radian = 7 3 180o = 420 o π π π × Jadi, 7 3 radian π = 420o . d. 5 3 radian = 5 3 180o = 300 o π π π × Jadi, 5 3 radian π = 300o.Contoh Soal 10
Isilah titik-titik berikut. a. 1 5π radian = ... putaran = ... o b. 1 6 putaran = 1 3 radian = 60 . o π putaran = ... radian = ...o c. 135o = ... radian = ... putaran Pembahasan:
Oleh karena 1 putaran = 360° = 2π radian, maka: a. 1 5 radian = 1 5 1 2 putaran = 1 10 putaran = 1 10 360 = 36 o o π × × Jadi, 15 radian = 1 10 putaran = 36 . o π b. 1 6 putaran = 1 6 2 radian = 1 3 radian = 1 3 180o = 60 o × π π π× π Jadi, 1 6 putaran = 1 3 radian = 60 . o π c. 135 = 135 180 radian = 3 4 radian = 3 4 1 2 putaran = 3 8 putaran o × π π × Jadi, 135 =3 4 radian = 3 8 putaran. o π
13
Contoh Soal 11
Diketahui besar sudut a = 127o24'.
a. Nyatakan besar sudut a tersebut dalam notasi desimal.
b. Hitunglah (nyatakan hasilnya dalam ukuran derajat, menit, dan detik) untuk sudut berikut. 1.) 1 2a 2.) 1 5a Pembahasan:
a. Untuk menyatakan sudut a dalam notasi desimal, bagian yang berukuran menit harus diubah ke dalam ukuran derajat. Oleh karena ′1 = 1
60 o , maka: 127 24 = 127 + 24’ = 127 + 24 1 60 = 127 + 0, 4 = 127, 4 ’ o o o o o o o ×
Jadi, notasi desimal dari a = 127o24' adalah a = 127,4o.
b. Dengan mengoperasikan sudut dan bilangan yang dikalikan, serta menyederhanakannya, diperoleh: 1.) 1 2 = 1 2 127 24’ =1 2 126 84’ = 63 42’ o o o α
(
)
(
)
Jadi, 1 2a = 63o42'.14
2.) 1 5 = 1 5 127 24’ =1 5 125 144 =1 5 125 140’240" = 25 28’48’’ ’ o o o o α(
)
(
)
(
)
1 5 = 1 5 127 24’ = 1 5 125 144 = 1 5 125 140’240" = 25 28’48’’ ’ o o o o α(
)
(
)
(
)
Jadi, 1 5a = 25o28'48".Contoh Soal 12
Tentukan ukuran sudut pusat (dalam radian) jika diketahui: a. panjang busur 49 cm dan jari-jari 7 cm; dan
b. panjang busur 81 cm dan jari-jari 9 cm.
Pembahasan:
a. Oleh karena panjang busur P = 49 cm dan jari-jari r = 7 cm, maka:
α = radian =49 7 radian = 7 radian P r
Jadi, ukuran sudut pusatnya adalah 7 radian.
b. Oleh karena panjang busur P = 81 cm dan jari-jari r = 9 cm, maka: α = radian =81 9 radian = 9 radian P r
15
Contoh Soal 13
Perhatikan gambar berikut.
A B
C D O
Jika OA = 5 cm, CD = 2 cm, dan ∠BOD = 13 radian, tentukan: a. panjang busur BD; dan
b. panjang bususr AC.
Pembahasan:
a. Oleh karena OA = 5 cm dan CD = 2 cm, maka OB = OD = OA + CD = 5 + 2 = 7 cm. Dengan demikian, diperoleh:
Panjang busur BD = BOD OB = 13 7 = 91 cm
∠ ×
×
Jadi, panjang busur BD adalah 91 cm.
b. Oleh karena besar sudut yang seletak sama besar, maka ∠AOC = ∠BOD = 13 radian. Dengan demikian, diperoleh:
Panjang busur AC = AOC OA = 13 5 = 65 cm
∠ ×
×
16
E. Penerapan Sudut dalam Kehidupan Sehari-hari
Untuk menyelesaikan persoalan mengenai sudut, kamu harus selalu ingat konversi satuan sudut dari derajat ke radian, dan sebaliknya sebagai berikut.
• Konversi satuan sudut dari derajat ke radian: ao =a
180 radian
× π
• Konversi satuan sudut dari radian ke derajat: a radian =a×180o π
Contoh Soal 14
Berapa radiankah sudut yang dibentuk oleh jarum yang menunjukkan jam dan menit pada pukul 10.00?
Pembahasan:
Sudut yang terbentuk pada pukul 10.00 adalah . Oleh karena ao=a
180 radian × π , maka: 60 = 60 180 radian = 1 3 radian o × π π
Jadi, sudut yang dibentuk oleh jarum yang menunjukkan jam dan menit pada pukul 10.00 adalah 60 = 60 180 radian = 1 3 radian o × π π .
Contoh Soal 15
Sebuah roda berputar dengan laju sudut 36 rpm (rotasi per menit). Nyatakan laju sudut roda tersebut dalam satuan radian per detik.
Pembahasan:
Laju sudut 36 rpm artinya dalam 1 menit roda berputar sebanyak 36 putaran. Dengan demikian, banyaknya putaran dalam 1 detik adalah sebagai berikut.
36 putaran 1 60= 6 10 putaran ×
Jika dinyatakan dalam bentuk radian, diperoleh: 6
10×2 radian = 1,2 radianπ π
17
Contoh Soal 16
Derajat lintang suatu lokasi adalah ukuran sudut yang dinyatakan oleh garis dari pusat Bumi ke ekuator dan garis dari pusat Bumi ke lokasi tersebut. Suatu negara A memiliki derajat 48°9' LU, sedangkan negara B memiliki derajat 35°5' LU. Jika negara A tepat di utara negara B, jarak keduanya adalah ... km (r Bumi ≈ 6356 km).
Pembahasan:
Permasalahan pada soal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
equator
A B 35o5'
48o9'
Ini berarti, a = 48°9' - 35°5' = 13°4' = 0,228 radian. Dengan demikian, diperoleh:
P= r = 0,228 6356 km = 1449,168 km α ×
Jadi, jarak kedua negara tersebut adalah 1449,168 km. L
