BAB 5 Trigonometri - Bab 5 Trigonometri

(1)

BAB 5

Trigonometri

Standar Kompetensi:

_{Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri} dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar:

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri.

 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan

(2)

UKURAN SUDUT

1 360

1 = putaran

Ukuran Sudut dalam Derajat

Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran.1

(3)

Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran

derajat, dinyatakan dalam

ukuran menit

dan

ukuran detik

.

a.1 derajat = 60 menitatau 1 menit = derajat Ditulis:

1 = 60’ atau 1’ = 

1 60

b.1 menit = 60 detik atau 1 detik = menit Ditulis:

(4)

Ukuran Sudut dalam Radian

Nilai perbandingan dinyatakan dalam panjang busur PQ ukuran radian. MP

panjang busur PQ

MP MP

panjang busur P Q

=

Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

panjang busur PQ

MP = rr = 1

(5)

Besar sudut PMQ dalam ukuran radian

PMQ panjang busur PQ MP

=

PMQ

  r

r

sebab panjang busur PQ = setengah keliling lingkaran =

PMQ =  radian 

Kesimpulan:

a. 1 = radian

b. 1 radian =

 180  180 180 3,14159 ~

c. 1 = radian = 0,017453 radian

d. 1 radian = ~

180 3,14159

=

atau

57,296

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian

dan Sebaliknya



Q  r 

180

(6)

Perbandingan-perbandingan Trigonometri

A B C β a b c a

a) sin a

b) cos a

c) tan a

d) cot a

e) sec a

f) cosec a

a c b c a b b a c b c a sisi di hadapan sudut a

hipotenusa

sisi di hadapan sudut a sisi di dekat sudut a sisi di dekat sudut a

hipotenusa

sisi di dekat sudut a sisi di hadapan sudut a

hipotenusa

sisi di dekat sudut a hipotenusa

(7)

1. Rumus Kebalikan

a) tan a ₌sin a cos a

b) cot a ₌cos a sin a

2. Rumus Perbandingan

1 cosec a a) sin a ₌

b) cos a 1

sec a =

c) tan a 1

cot a =

d) cot a 1

tan a =

e) sec a 1

cos a= 

f) cosec a 1

(8)

Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut Khusus

Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat

ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator.

Sudut-sudut khusus : 0, 30, 45, 60, dan 90.

Lingkaran Satuan

a) sin 

b) cos 

c) tan 

= = = PP  OP OP OP OP  PP  y,

, dengan catatan x  0

1 y 1 x y x = = = =

= x, dan



(9)

1. Nilai Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut 0



a) sin 0

b) cos 0

c) tan 0

= =

= sin

0

y

0 1 = 1, dan

= 0

cos 0

x



(10)

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30



(OP)2 _{+ (}_PP₎2_{= (}_OP)2

 (OP)2_{= (}_OP₎2  ₍_PP₎2

 (OP)2_{= 1}2 _{( )}₁2 2

3 4

=

 OP = 1 2 3

OPmenyatakan absis titik P atau x =1

2 3 .

Untuk a = 30 maka koordinat titik P adalah ( ), sehingga diperoleh:1 2 3

sin 30

cos 30

tan 0

=

= _{cos 30}sin ₃₀_ _=

1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 = 3

(11)

3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45

(OP)2 _{+ (}_PP₎2_{= (}_OP)2

 x2 + y2 = 1

 2x2 _{= 1}

 x2₌ ₁ 2

3

 x = 1 = 1 3

3

Karena x = y, maka y =1 2

2 .

sin 45

cos 45

tan 0

=

= sin

45 = cos 45

1 2

1

2 2 , dan 1 2 1 2 3 = 1 2 2 x y   1

0 45

P(x,y)

y x _P_

Untuk = 45 maka koordinat titik P adalah ( ), sehingga diperoleh:1 2

2 , 1 2

2

(12)

4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut

60



sin 60

cos 60

tan 60 =

=

= sin

60 = cos 60 1 2 1 2 1 2 1 2 3 = 3 3 OP = OP = 1

2 x y   1 0 60

P(x,y)

y

x  

Q(1,0)

P

1 2

1

2 3 , =

1 2

1

2 3 (cos 60, sin 60)

Untuk  = 60 maka koordinat titik P adalah ( , ), sehingga

(13)

5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90



x y  1 0 90 P(0,1)

 Jika sudut _sudut_OP_{berimpit dengan sumbu}  = 90, maka kaki _Y

positif atau titik P berada pada sumbu Y positif.

Koordinat titik P adalah (0,1),

sehingga (0,1) = (cos 90, sin

90 )



sin 90

cos 90

tan 0

= 1

= 0, dan

= 1

0 sin

90 =

cos

90

(14)

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadrat x Y  0 A

P(x,y)



 

y (ordinat)

x (absis)



a) sin α ordinat jarak

= = _ry

jarak

b) cos α =absis = x_r

c) tan α ordinat absis

= = y x

d) cot α absis ordinat

= = x_y

e) sec α jarak ordinat

= =

xr

f) cosec α jarak ordinat

(15)

Tanda-Tanda Perbandingan

Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat

I

semua positif II

sin, positif cosec,

positif

III

tan, positif cot, positif

IV

cos, positif sec, positif

0 Y

(16)

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk

Sudut-sudut Berelasi

1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi

Misalkan suatu sudut besarnya α.

Sudut lain yang besarnya (90 α) dikatakan berelasi dengan

sudut α dan sebaliknya.

Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya:

a. (90 + α )

b. (180α)

c. (270α)

d. (360α)

.

(17)

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α)

a) sin (90  α) = y

r = cos α

b) cos (90  α) = y

1 = sin α c) tan (90  α) ₌ x

y = cot α

= y

x = tan α

d) cot (90 α)

e) sec (90 α) = 1

y = cosec α

f) cosec (90  α) = 1

x = sec α

x Y Q P α α x y  

P(x,y)

Q(x,y)

0 

(18)

Rumus Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut (90



+

α



)

f) cosec (90 + α) = 1_{x =}sec α b) cos (90 + α) ₌ 

y1 =  = _y₁  sin α c) tan (90 + α) = __yx = _ = x_y _cot α

= y_{x =}_ = _tan α d) cot (90 + α) x

y e) sec (90 + α) ₌ 1



(19)

Rumus Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut (180





α



)

f) cosec (180 α) = 1_{y =}cosec α

a) sin (180 α) ₌ y = sin α

1

1 1

b) cos (180 α) ₌  =  = x cos α

x

y

c) tan (180 α) ₌ x =  = x tan α

y y

= = _ = _cot α d) cot (180 α) y

x -x

1 1

e) sec (180 α) ₌



(20)

untuk Sudut (180



+

α



)

a) sin (180 + α) = _sin α

b) cos (180 + α) ₌__cos_α

c) tan (180 + α) = tan α

= cot α

d) cot (180 + α)

e) sec (180 + α) ₌__sec_α

(21)

Rumus Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut (270





α



)

a) sin (270 α) =  cos α b) cos (270 α) =  sin α

c) tan (270 α) = cot α d) cot (270 α) = tan α

(22)

untuk Sudut (270



+

α



)

a) sin (270 + α) =  cos α b) cos (270 + α) = sin α c) tan (270 + α) =  cot α d) cot (270 + α) =  tan α

(23)

Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut

(



α



)

x

b) cos ( α) =

1 = cos α

e) sec ( α) = 1

x =  sec α

a) sin ( α) = y

1 =  = ₁  sin α

y

c) tan ( α) =

x



y

= _ = y _tan α

x



y x

= _ = _ cot α

d) cot ( α) = x

y

f) cosec ( α) = 1



y =  = y  cosec α

(24)

Rumus Perbandingan Trigonometri

untuk Sudut (n



360





α



)

a) sin (n  360 α) = sin (  α) =  sin α b) cos (n  360 α) = cos ( α) = cos α c) tan (n  360 α) = tan ( α) =  tan α

d) cot (n  360 α) = cot ( α) =  cot α e) sec (n  360 α) = sec ( α) = sec α

(25)

a) sin (n 360 + α) = sin α b) cos (n  360 + α) = cos α c) tan (n  360 + α) = tan α d) cot (n  360 + α) = cot α e) sec (n  360 + α) = sec α

f) cosec (n  360 + α) = cosec α

(26)

Identitas Trigonometri

a) sin α = _{atau cosec}_α_₌

cosec α

1

sin α

1

b) cos α =

sec α

1

cot α

1

atau sec α =

c) tan α = 1

cot α 1

tan α

atau cot α =

(27)

a) sin α



+ cos

2

α



= 1

b) 1 + tan

2

α



= sec

2

α



c) 1 + cot

2

α



= cosec

2

α



Identitas Trigonometri

(28)

1. Grafik Fungsi y = sin x (0  x  360)

(29)

(30)

(31)

Aturan Sinus

Persamaan ini disebut aturan sinus

atau dalil sinus.

a

sin A sin B sin C

b c

= =

Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.

A B

C

R b

c

P Q

a

sin A sin B sin C

b c

(32)

a2_{= b}2_{+ c}2 __{2bc cos A}

b2 = a2 + c2 _ 2ac cos B c2 = a2 + b2 _ 2ac cos C

Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.

(33)

a2₌_b2₊_c2 _₂_bc_cos_A

b2₌_a2₊_c2 _₂_ac_cos_B

c2 = a2 + b2 _ 2ac cos C

(34)

Jika dalam  ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c

(ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C

dapat ditentukan melalui persamaan:

cos A b2 + c2  a2

2bc

=

cos B a2 + c2  b2

2ac

=

cos C a2 + b2  c2

2ab

(35)

Luas Segitiga dengan Dua Sisi

dan Satu Sudut Diketahui

sin

A

bc

L

= 1

2

sin

B

ac

L

= 1

2

sin

C

ab

L

= 1

(36)

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan

Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui

Langkah 1:

Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus.

Langkah 2:

(37)

Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan

Satu Sisi Diketahui

Luas  ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang

satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut.

L

2 sin A

= a_{sin C}2  sin B 

L

2 sin B

= b_{sin C}2  sin A 

L

2 sin C

(38)

Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

Luas  ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi

a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus:

L = s(s _ a)(s  b)(s  c)

dengan s = (1 a + b + c) = setengah keliling  ABC.