Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012
Simplex Algorithm (Algoritma
Simpleks)
Dapat diterapkan apabila
permasalah LP sudah dirubah ke
dalam bentuk standar (
standard
form
)
Bentuk standar suatu LP:
◦
Jika semua kedala berupa
persamaan dan semua peubah non
negatif
Mencari solusi simultan dari
m
Bagaimana merubah LP ke
Bentuk Standar (
Standard Form
)
Kas
us
1
≤
la
enda
Untuk k
•
•
T am
ba
hka
n n
on
ck v
sla
f
ati
neg
ari
abl
e
Kas
us
2
an
≥
ng
la
n de
enda
ka
ang
Untuk k
Kur
•
•
non ne
ga
tif
exc
Contoh pada kasus Maksimum:
LP Leather Limited
Leather Limited memproduksi 2 tipe
sabuk
◦
Deluxe model
◦
Regular model
Produksi kedua tipe tersebut
membutuhkan bahan baku dari kulit
dan jam kerja pembuatan
Bahan baku dan jam kerja terbatas
Ingin ditentukan jumlah produksi
LP Leather Limited dalam Tabel
# Deluxe Belt # Regular Belt Persediaan/minggu Leather (sq
yard) 1 1 40
Skilled Labour
(Hour) 2 1 60
Profit/belt ($) 4 3
Peubah
Keputusan? :#Regular belt/ minggu
minggu belt/
Deluxe :#
2 1
x x
1
1
x x2
Batasan
Leather (sq
yard) 1 1 40
Skilled Labour
(Hour) 2 1 60
Profit/belt ($) 4 3
0 ,
0
(Labour) 60
2
(Leather)
40 .
.
3
4 max
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
t s
x x
z
Semua kendala adalah ≤,
digunakan slack variabel
2 , 1 ,
0
i
si Untuk masing-masing
kendala
0 , 0 (Labour) 60 2 (Leather) 40 . . 3 4 max 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x t s x x z Leather
constraint: x1 x2 40 x1 x2 s1 40
Labour constraint: 2x1 x2 60 2x1 x2 s3 60
Contoh pada kasus Minimum: LP
Diet Problem
10 4
4 2
2x1 x2 x3 x4
8 5
4
2x1 x2 x3 x4
0 ,
,
, 2 3 4
1 x x x
x
4 3
2
1 20 30 80
50
minz x x x x
500 500
150 200
400x1 x2 x3 x4
6 2
3x1 x2
s.t. (Calorie
constraint) (Chocolate constraint)
(Sugar constraint)
(Fat constraint)
Semua kendala adalah ≥,
digunakan
excess variabel
4 ,..., 1 ,
0
i
ei Untuk masing-masing
kendala
Calorie constraint
500 500
150 200
400x1 x2 x3 x4 400x1 200x2 150x3 500x4 e1 500
Chocolate constraint
6 2
3x1 x2 3x1 2x2 e2 6
Sugar constraint
10 4
4 2
2x1 x2 x3 x4 2x1 2x2 4x3 4x4 e3 10
Fat constraint
8 5
4
Bentuk Standar LP Diet Problem
10
4 4
2
2x1 x2 x3 x4 e3
8
5 4
2x1 x2 x3 x4 e4
0 ,
, , , , ,
, 2 3 4 1 2 3 4
1 x x x e e e e
x
4 3
2
1 20 30 80
50
minz x x x x
500
500
150 200
400x1 x2 x3 x4 e1
6
2
3x1 x2 e2
Beberapa Definisi
Basic Solution
bagi
Ax
b
Membuat jadi nol n-m peubah dan
mencari solusi bagi m peubah sisanya
Definisi 1:
Definisi 2:
Basic Feasibel Solution (bfs): Sembarang solusi dari LP, dengan seluruh peubah ≥ 0
Basic Variable (BV): Peubah yang bernilai > 0 di dalam bfs
Teorema-teorema
Teorema 1:
Daerah feasibel dari LP adalah convex set. Jika LP mempunyai solusi optimal, solusi tsb
adalah salah satu dari titik ekstrim dari daerah feasibel.
Teorema 2:
• Untuk sembarang LP, terdapat satu titik
ekstrim dari daerah feasibel LP yang unik, yang bersesuaian dengan masing-masing bfs.
• Terdapat paling sedikit satu bfs yang
Contoh Kasus Leather Limited
0 ,
, ,
60
2
40
. .
3
4 max
2 1 2 1
2 2
1
1 2
1
2 1
s s x x
s x
x
s x
x t s
x x
z
Dengan metode grafis, hanya pada sumbu x1 dan x2
Garis AB: x2 40 x1 Titik: A (40,0) & B (0,40)
Garis CD: x2 60 2x1 Titik: C (30,0) & D (0,60)
Titik E, perpotongan AB dan CD: Solusi dari
1 1 60 2
40 x x
Contoh Kasus Leather Limited
Daerah feasibel: FCEB, dengan titik F-C-E-B sebagai titik-titik ekstrim TitikEkstrim BFS BV NBV
F (0, 0)
C (30, 0)
E (20,
20)
B (0, 40)
D (0, 60)
A (40, 0)
60 ,
40 ,
0 1 2
2
1 x s s
x 0 , , , 60 2 40 . . 3 4 max 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 s s x x s x x s x x t s x x z 2 1,s
s x1,x2
0 , 10 , 0 ,
30 2 1 2
1 x s s
x x1,s1 x2,s2
0 , 0 , 20 ,
20 2 1 2
1 x s s
x x1,x2 s1,s2
20 , 0 , 40 ,
0 2 1 2
1 x s s
x x2,s2 x1,s1
0 , 20 , 60 ,
0 2 1 2
1 x s s
x Bkn BFS s1 0
20 , 40 , 0 ,
40 2 1 2
1 x s s
Setiap titik ekstrim di dalam
daerah feasibel adalah BFS (BV
dan NBV)
Solusi optimal adalah salah satu
dari BFS
BFS dengan nilai z terbesar
(terkecil) pada kasus maks (min)
Algoritma Simpleks: bergerak dari satu BFS ke BFS
berikutnya sampai diperoleh BFS yang menjadi solusi
