T1 662011009 Full text

(1)

i

BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER MODEL KETAHANAN HIDUP PASIEN PENDERITA

JANTUNG KORONER

THE USE OF BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS TO ESTIMATE PARAMETERS OF SURVIVAL MODEL FOR CORONARY HEART

DISEASE’S PATIENTS

Oleh:

A. DEWI LUKITASARI 662011009

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains

(Matematika)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

v MOTTO

“Do your best and lets God do the rest” (Anonim)

“FULL TILT!” (James Gwee)

“It doesn’t matter how hard the obstacles are, you must finish what you started”

(Vivi Adeliana)

PERSEMBAHAN Tuhan Yesus Kristus

(8)

vi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas

berkatnya yang melimpah penulis dapat menyelesaikan skripsi ini tepat waktu.

Penulis menyadari, penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari

berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih

kepada :

1. Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku pembimbing I atas bimbingan, motivasi dan

kesabarannya dalam membimbing agar segera menyelesaikan skripsi ini.

2. Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si sebagai pembimbing II untuk bimbingan

dan koreksi yang diberikan dalam penyusunan skripsi ini.

3. Dosen pengajar, Dr. Bambang Susanto,MS, Dr. Hanna Arini Parhusip, Dra.

Lilik Linawati, M.Kom, Dr. Didit Budi Nugroho, dan Tundjung Mahatma,

M.Kom untuk ilmu dan bimbingan yang diberikan kepada penulis selama

belajar di Program Studi Matematika.

4. Staf TU dan Pak Edy untuk bantuannya saat kesulitan instal software.

5. Bapak, Ibuk, Kakak dan Adik atas segala dukungan, semangat dan doa yang

diberikan.

6. Mas Restu yang selalu memberikan semangat untuk tidak pernah putus asa

selama proses penyelesaian skripsi.

7. Freda, Dek Tina dan Mbak Nina yang selalu memberikan semangat dalam

penyelesaian skripsi ini.

8. Rekan seperjuangan Matematika 2011 Daivi, Titis, Priska, Purwoto, Dwi,

Malik dan Kevin.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh sebab itu,

penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga

skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Salatiga, 21 Januari 2015

(9)

vii DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL……… i

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR……….. ii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS………. iii

HALAMAN PENGESAHAN……….…. iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN………..……. v

KATA PENGANTAR……….…… vi

DAFTAR ISI………..…….. vii

ABSTRAK……….……….. viii

ABSTRACT………. ix

PENDAHULUAN……… x

MAKALAH 1 : Bayesian Survival Analysis untuk mengestimasi parameter model Cox-Regression pada kasus ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner. MAKALAH 2 : Bayesian Survival Analysis ntuk mengestimasi parameter model Weibull-Regression pada kasus ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner. PENUTUP………...……….………. ... xiii

DAFTAR PUSTAKA……….. xiv

LAMPIRAN 1 : Data survival pasien penderita jantung koroner………..… xvi

LAMPIRAN 2 : Program WINBUGS 1.4 untuk Bayesian Survival Analysis menggunakan Cox-Regression ………... xvii

LAMPIRAN 3 : Program WINBUGS 1.4 untuk Bayesian Survival Analysis menggunakan Weibull-Regression………...…… xx

LAMPIRAN 4 : Manual penggunaan WINBUGS 1.4………... xxi

LAMPIRAN 5 : Makalah 1 Publikasi………... xxi

(10)

viii

BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER MODEL KETAHANAN HIDUP PASIEN PENDERITA

JANTUNG KORONER

A. Dewi Lukitasari1, Adi Setiawan2, Leopoldus Ricky Sasongko3 1,2,3

Program Sudi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika,

Universitas Kristen Satya Wacana, Jl.Diponegoro No.52-60, Salatiga. 1

[email protected],[email protected],

3

[email protected]

ABSTRAK

Skripsi ini membahas mengenai analisis survival menggunakan

Cox-Regression dan Weibull-Regression untuk mengestimasi parameter model ketahanan

hidup pasien penderita jantung koroner dengan pendekatan Bayesian. Data yang

digunakan adalah data survival pasien penderita jantung koroner dan data tersensor

hasil simulasi meliputi waktu hidup pasien, status pasien (hidup/mati) dan treatment

yang dikenakan pada pasien yaitu ring dan bypass, dengan jumlah pasien sebanyak

40 orang. Pendekatan Bayesian (Bayesian approach) digunakan untuk mengestimasi

parameter yang belum diketahui dari model regresi yang digunakan. Metode Markov

Chain Monte Carlo (MCMC) menggunakan algoritma Gibbs Sampling digunakan

untuk membangkitkan Rantai Markov untuk mengestimasi distribusi posterior dari

parameter, meliputi koefisien regresi () dari masing-masing model dan parameter r

dari model survival Weibull. Parameter  dan r yang diperoleh digunakan untuk

menghitung fungsi survival tiap pasien sesuai dengan treatment yang dikenakan.

Fungsi survival menunjukkan probabilitas bertahan hidup pasien penderita jantung

koroner. Berdasarkan analisis kedua model regresi, pada kasus penderita jantung

koroner, Weibull-Regression kurang mampu memodelkan data survival pasien

penderita jantung koroner karena diperoleh nilai probabilitas yang kurang wajar yakni

(11)

ix

Kata Kunci : Survival Analysis, model Weibull-Regression, Bayesian, Markov Chain Monte Carlo (MCMC)

THE USE OF BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS TO ESTIMATE PARAMETERS OF SURVIVAL MODEL FOR CORONARY HEART

DISEASE’S PATIENTS

Mathematics Department, Faculty of Science and Mathematics,

Satya Wacana Christian University, Jl.Diponegoro No.52-60, Salatiga. 1

3

[email protected]

ABSTRACT

This study examined survival analysis using Cox and Weibull-Regression to estimate survival model for coronary heart disease’s patients. Survival and censored data simulation of coronary heart disease’s patients were used for data collection, including survival time, survival status (life or die) and custom treatment (ring and

bypass). The total number of patients was 40 patients. Bayesian approach was

applied to estimate unknown parameter from regression models. Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) method using Gibbs Sampling algorithm generated Markov

Chain to estimate posterior distribution of parameter that included regression

coefficient () from each models and r parameter from Weibull’s model. Parameter

that had been found was to count survival function from each patient in each treatment. This showed life probability of coronary heart disease’s patients. Regarding the analysis from the two models, in context of coronary heart’s diseases

Weibull-Regression not really good in modeling of survival data of coronary heart’s

diseases patients because the result of the probability were bad.

(12)

x

PENDAHULUAN Latar Belakang

Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang memunculkan inovasi di

berbagai aspek kehidupan, membawa dampak pada perubahan pola hidup masyarakat

yang cenderung serba instan. Pola hidup tersebut membawa dampak negatif.

Diantaranya muncul berbagai jenis penyakit yang berbahaya dan mematikan, salah

satunya adalah penyakit jantung koroner. Karena penyakit ini sangat berbahaya maka

seseorang yang terkena penyakit ini mungkin melakukan investasi/ asuransi sebagai

bentuk antisipasi apabila sewaktu-waktu penyakit ini kambuh dan harus menjalani

perawatan ,operasi atau meninggal dunia. Perusahaan asuransi perlu untuk

menentukan peluang waktu hidup pemegang polis yang menderita jantung koroner.

Peluang hidupnya biasa direpresentasikan dengan tabel mortalitas.

Inovasi yang berkembang meliputi bidang aktuaria, engineering dan

biostatistik yaitu munculnya survival analysis yang digunakan untuk memodelkan

data survival Survival analysis bertujuan menduga probabilitas kelangsungan hidup,

kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu serta

menjelaskan pengaruh variabel independent terhadap waktu hidup. Teknik analisis

yang biasa digunakan antara lain parametric, semi-parametric dan non-parametric.

Salah satu teknik analisis parametric yang digunakan adalah Weibull-Regression

sedangkan teknik analisis non-parametric sederhana yang digunakan untuk

memodelkan data survival adalah model Cox-regression.

Kenyataannya, selama proses observasi dimungkinkan terdapat data yang

tidak terobservasi secara penuh (not completely observed) yang disebut data

tersensor. Oleh karena itu untuk mengolah data tersensor digunakan teknik analisis

parametric menggunakan model Weibull. Distribusi Weibull digunakan secara

efektif untuk menganalisis data waktu hidup khususnya untuk data tersensor.

Saat ini dikenal ada dua pendekatan model yaitu pendekatan klasik (classical

approach) dan pendekatan Bayesian (Bayesian approach). Keunggulan pendekatan

(13)

xi

secara analitis dan mampu menawarkan kemungkinan yang kaya dengan interferensia

serta mengeksplor perbedaan-perbedaan interpretasi data terhadap kriteria kinerja

prior. Pada proses pemodelannya menggunakan estimasi Bayesian dengan bantuan

Markov-Chain Monte-Carlo (MCMC) berdasarkan algoritma Gibbs Sampling.

Berdasarkan uraian di atas, pada skripsi ini dibahas analisis survival untuk

model dengan Cox-Regression dan Weibull-Regression menggunakan pendekatan

klasik kemudian dilanjutkan dengan menggunakan pendekatan Bayesian untuk

mengestimasi parameter dari model yang digunakan. Pada model Cox-Regression

digunakan data pasien penderita jantung koroner yang dikenakan pengobatan dengan

treatment Ring dan Bypass, sedangkan untuk model Weibull-Regression digunakan

data survival simulasi pasien penderita jantung koroner. Total pasien adalah sebanyak

40 pasien. Treatment Ring adalah teknik pengobatan jantung koroner dengan cara

memasangkan cincin pada jantung untuk melebarkan pembuluh darah yang

menyempit atau tersumbat di bagian jantung, sedangkan treatment Bypass adalah

teknik pengobatan dengan mengambil pembuluh darah vena yang diambil dari vena

lengan atau kaki.

Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang tersebut, permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana mengestimasi parameter pada model Cox-Regression dengan

Bayesian survival analisis pada kasus ketahanan hidup pasien penderita

jantung koroner?

2. Bagaimana mengestimasi parameter pada model Weibull-Regression dengan

Bayesian survival analisis pada kasus ketahanan hidup pasien penderita

(14)

xii Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Memperoleh nilai parameter pada model Cox-Regression dengan

menggunakan Bayesian survival analisis pada kasus ketahanan hidup pasien

penderita jantung koroner.

2. Memperoleh nilai parameter pada model Weibull-Regression dengan

menggunakan Bayesian survival analisis pada kasus ketahanan hidup pasien

penderita jantung koroner.

Batasan Masalah

Beberapa hal yang membatasi penelitian ini adalah :

 Diasumsikan bahwa tidak ada kegagalan yang dapat terjadi secara bersamaan.

 Diasumsikan data termasuk ke dalam tipe data Random Censoring.

Manfaat penelitian

Penelitian ini dapat bermanfaat untuk perusahaan asuransi jiwa kategori manfaat

penyakit kritis seperti asuransi operasi dalam membuat kalkulasi asuransi (insurance

calculations) seperti alat pengukur pembentuk rate premi yang akan digunakan untuk

membuat perhitungan asuransi sehubungan dengan orang-orang yang dipilih untuk

cakupan asuransi.

Untuk menyelesaikan rumusan masalah tersebut, maka dibuat dua makalah yaitu :

1. Bayesian Survival Analysis menggunakan Cox-Regression untuk

mengestimasi model ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner yang

telah diseminarkan di Universitas Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 29

November 2014.

2. Bayesian Survival Analysis untuk mengetimasi parameter model

(15)

xiii PENUTUP Kesimpulan

Berdasarkan analisis yang dilakukan, diperoleh nilai dari setiap parameter

yang diestimasi meliputi, koefisien regresi

 

 dan ₀ pada model Cox-Regression.

Parameter r dan koefisien regresi

 

 untuk model Weibull-Regression. Didapatkan

probabilitas pasien bertahan hidup untuk masing-masing treatment yakni treatment

Ring dan Bypass. Diperoleh adanya kelemahan untuk model Weibull-Regression

dalam memodelkan ketahanan hidup pasien penderita jatung koroner karena

menghasilkan nilai probabilitas yang kurang wajar dikarenakan pada analisis dengan

menggunakan Weibull-Regression diperoleh nilai probabilitas untuk treatment

Bypass sebesar nol.

Saran

Penelitian ini dapat diaplikasikan untuk perusahaan asuransi jiwa kategori

penyakit kritis seperti asuransi operasi dalam membuat kalkulasi asuransi (insurance

calculations) seperti alat pengukur pembentuk rate premi yakni menghitung nilai

probabiltas kematian pemegang polis yang akan digunakan untuk membuat

perhitungan asuransi sehubungan dengan orang-orang yang dipilih untuk cakupan

(16)

xiv

DAFTAR PUSTAKA

[1] Hendrajaya, Yani, Adi Setiawan dan Hanna Arini Parhusip.2008. Penerapan Analisis Survival untuk Menaksir Waktu Bertahan Hidup bagi Penderita Penyakit Jantung. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga.

[2] Departemen Kesehatan Republik Indonesia.2007.Profil Kesehatan Indonesia 2005. Jakarta.

[3] World Health Organization. 2014. The top 10 causes of death. Swiss: WHO. diakses pada Senin,15 September 2014 pukul 9.41.

http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs310/en/.

[4] London,Dick FSA. 1997.Survival Model and Their Estimation. ACTEX Publication : USA.

[5] Reskianti,Kiki, Nuriti Sunusi dan Nasrah Sirajang.2014.Estimasi Bayesian pada Analisis Data Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial melalui Pendekatan SELF. Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores.Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.Universitas Harsanudin : Makassar.

[6] Subanar.2013.Statistika Matematika.Graha Ilmu: Yogyakarta.

[7] Perra, Silvia.2013. Objective Bayesian Variable Selection for Censored Data. Universitas Cagliari: Italia.

[8] Hidayah, Eny. 1994. Analisis Ketahanan Hidup dengan Metode Gehan

Mantel-Haenszel dan Tarone-Ware untuk 2 Sampel Sampai K Sampel. Universitas

Diponegoro : Semarang.

[9] Candra Siska, Ade. 2011. Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Universitas Diponegoro: Semarang.

http://eprints.undip.ac.id/29153/1/ade_candra.pdf

[10] Klein, J.P dan Moeschberger, M.L.1997. Survival Analysis : Techniques for

Censored and Truncated Data. New York. Springer-Verlag New York Inc.

[11] Andrew E Long. 1999. Leuk: survival analysis using Cox regression. Diakses pada Selasa 16 September 2014 pukul 20.12.

(17)

xv

[12] Rahayu, Ninuk, Adi Setiawan, Tundjung Mahatma.2013. Analisis Regresi Cox Proporsional Hazards pada Ketahanan Hidup Pasien Diabetes Mellitus. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga.

[13] Hidayah,Entin.2013.Model Disagregasi Data Hujan Temporal dengan

Pendekatan Bayesian sebagai Input Permodelan Banjir.ITS:Surabaya.

(18)

1

BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGETIMASI PARAMETER MODEL COX-REGRESSION PADA KASUS KETAHANAN HIDUP

PASIEN PENDERITA JANTUNG KORONER

3

[email protected]

ABSTRAK

Penerapan model Cox-Regression dalam konteks survival analysis dengan

pendekatan Bayesian untuk memodelkan ketahanan hidup pasien penderita jantung

koroner dibahas dalam paper ini. Data yang digunakan adalah waktu hidup pasien,

status pasien (hidup/mati) dan treatment yang dikenakan. Diambil dua treatment yang

digunakan oleh pasien penderita jantung koroner yaitu ring dan bypass. Pendekatan

yang digunakan adalah pendekatan Bayesian (Bayesian approach) untuk mencari

distribusi posterior parameter. Updating data menggunakan metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) dengan algoritma Gibbs Sampling. Software winBUGS 1.4

membantu dalam mengestimasi nilai setiap parameter yaitu koefisien regresi .

Parameter yang diestimasi dari model Cox-Regression digunakan untuk menghitung

probabilitas bertahan hidup pasien penderita jantung koroner.

(19)

2 PENDAHULUAN

Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang kian pesat menuntut berbagai

aspek untuk menemukan inovasi guna mempermudah kehidupan manusia. Inovasi

teknologi yang serba canggih membawa dampak pada perubahan pola hidup

masyarakat yang cenderung serba instan. Tidak dapat dipungkiri pola hidup tersebut

membawa dampak negatif. Diantaranya muncul berbagai jenis penyakit yang

berbahaya dan mematikan, salah satunya adalah penyakit jantung koroner [1].

Menurut World Health Organization (WHO) atau Badan Kesehatan Dunia, penyakit

jantung koroner merupakan penyakit dengan urutan pertama penyebab kematian dan

tersebar di seluruh dunia. Pada tahun 2012 tercatat 7,2 juta orang di seluruh dunia

meninggal setiap tahunnya akibat penyakit ini. Banyaknya orang yang meninggal

akibat ini diperkirakan akan terus meningkat hingga 23,3 juta di tahun 2030 [2].

Karena penyakit ini sangat berbahaya maka seseorang yang terkena penyakit ini akan

melakukan investasi sebagai bentuk antisipasi apabila sewaktu-waktu penyakit ini

kambuh dan harus menjalani perawatan atau operasi. Perusahaan asuransi perlu untuk

menentukan peluang waktu hidup seseorang yang akan melakukan asuransi. Peluang

hidupnya biasa direpresentasikan dengan membuat tabel mortalitas.

Angka kematian yang tinggi akibat penyakit jantung koroner menimbulkan

perkembangan inovasi di bidang aktuaria, engineering dan biostatistik yaitu

munculnya survival analysis yang digunakan untuk memodelkan data survival [3].

Survival analysis bertujuan menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan,

kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu serta

mejelaskan pengaruh variabel independent terhadap waktu survive [4]. Teknik

analisis yang biasa digunakan antara lain parametric, semi-parametric dan

non-parametric [5]. Salah satu teknik analisis non-non-parametric sederhana yang digunakan

untuk memodelkan data survival adalah model Cox-regression. Sedangkan untuk

permodelan data dikenal ada dua pendekatan yaitu pendekatan klasik (classical

(20)

3

memandang parameter bernilai tetap, sedangkan pada pendekatan bayesian parameter

dipandang sebagai variabel random yang memiliki distribusi (distribusi Prior).

Keunggulan pendekatan Bayesian diantaranya mampu menyelesaikan masalah yang

tidak dapat diselesaikan secara analitis dan mampu menawarkan kemungkinan yang

kaya dengan interferensia serta mengeksplor perbedaan-perbedaan interpretasi data

terhadap kriteria kinerja prior [7]. Estimasi parameter model menggunakan estimasi

Bayesian dengan metode Markov-Chain Monte-Carlo (MCMC) berdasarkan

algoritma Gibbs Sampling. Salah satu kontribusi yang dapat bermanfaat bagi

perusahaan asuransi kejiwaan untuk penyakit kritis seperti asuransi operasi dalam

membuat kalkulasi asuransi (insurance calculations) yang akan digunakan untuk

membuat perhitungan asuransi sehubungan dengan orang-orang yang dipilih untuk

cakupan asuransi.

Berdasarkan uraian di atas, pada paper ini dibahas terlebih dahulu cara

mengestimasi parameter menggunakan pendekatan klasik dengan menggunakan

model regresi Cox-Proporsional Hazard pada kasus ketahanan hidup pasien

penderita jantung koroner, kemudian dilanjutkan dengan menggunakan pendekatan

Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Tujuan dari penelitian ini

untuk memperoleh model ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan

Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Dalam proses estimasi

diasumsikan bahwa tidak ada kegagalan yang dapat terjadi secara bersamaan. Hal

tersebut berarti terdapat asumsi bahwa satu pasien hanya dapat mengalami satu kali

kegagalan dan satu pasien hanya dikenakan satu treatment saja. Alat bantu

perhitungan menggunakan paket program winBUGS 1.4 yang telah memuat

(21)

4 DASAR TEORI

Fungsi Survival

Fungsi survival S(t) merupakan probabilitas dari seseorang untuk bertahan

hidup setelah waktu yang ditetapkan sebut t. Fungsi survival merupakan merupakan

komplemen dari variabel random fungsi distribusi kumulatif F(t) maka ditulis

dengan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) f(t), diperoleh

dengan cara mengintegralkan fungsi kepadatan probabilitas sehingga diperoleh

t

failure time atau waktu bertahan hidup sampai munculnya kejadian tertetu. Kejadian

yang dimaksud adalah kematian [9].

Fungsi Hazard

Fungsi Hazard 0(t) menunjukkan laju kegagalan individu untuk mampu

bertahan hidup setelah melewati waktu yang ditetapkan, t. Didefinisikan sebagai

berikut :

dengan T asumsikan kontinu sehingga memiliki fungsi kepadatan probabilitas dan

kejadian berlangsung untuk rentang waktu [t,t dt)[10]. Untuk fungsi Hazard

kumulatif yaitu

Proses Intensitas dan model regresi Cox

Data survival yang ada perlu dilakukan proses menghitung jumlah kegagalan

(22)

5

data yang ada sebelum waktu t. Jika nilai i masuk di interval waktu maka diambil

nilai dNi(t) 1dan sebaliknya jika tidak maka diambil nilai dNi(t) 0.

Jika nilai dt 0 untuk D {N_i(t),Y_i(t),z_i(t)}, probabilitas pada proses

intensitas berubah menjadi instantaneous hazard untuk waktu t dan subjek i

ditunjukkan pada persamaan di bawah ini

Ii(t) Yi(t) 0(t)exp( 'zi) (4) dengan D mencerminkan data, Y_i(t) adalah indikator risiko yang ditunjukkan dari

status hidup pasien terdiri dari 0 atau 1 dan z_i(t) adalah vektor covariate. Model

Cox-Regression ditunjukkan dari ₀(t)exp( 'z_i) yang menunjukan skor risiko untuk

individu ke-i . Parameter menunjukkan koefisien regresi.

Fungsi eksponensial menjamin I_i(t) bernilai positif. Probabilitas fungsi

survival dirumuskan sebagai berikut :

t

0( ) ( ) yang akan diestimasi dengan estimasi

non-parametric yang akan digunakan untuk mengestimasi model survival [11].

Distribusi Prior

Distribusi prior mencerminkan kepercayaan subyektif parameter sebelum sampel

(23)

6

hazard yang belum diketahui dan c_{menujukkan derajat konfidensi [11].}

Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood yang biasa digunakan adalah :

L(D| , 0(t))) Li(D| , 0(t)) (6)

Mengganti nilai I_i(t) dengan persamaan (4) diperoleh persamaan likelihoodsebagai

berikut:

Dalam estimasi Bayes, setelah informasi tentang sampel dan prior dapat

ditentukan maka distribusi posteriornya dicari dengan mengalikan priornya dengan

informasi sampel yang diperoleh dari likelihoodnya [7]. Dituliskan sebagai berikut:

P( , ₀(t)|D) L(D| , ₀(t)P( )P( ₀(t)). (9)

Akan difokuskan dalam mengestimasi parameter dan ₀(t). Karena model cukup kompleks distribusi posterior susah untuk dicari secara langsung maka perlu adanya

suatu pendekatan menggunakan metode simulasi dengan MCMC (Markov Chain

(24)

7

Kemudahan yang diperoleh dari penggunaan metode MCMC pada analisis

Bayesian antara lain metode MCMC dapat menyederhanakan bentuk integral yang

kompleks dengan dimensi besar menjadi bentuk integral yang sederhana dengan satu

dimensi. MCMC dapat mengestimasi densitas data dengan cara membangkitkan suatu

rantai Markov yang berurutan sebanyak N yang cukup besar sampai diperoleh

konvergen [12]. Salah satu keunggulan MCMC terletak pada performa yang tidak

terlalu sensitif pada penggunaan nilai awal.

Proses penyusunan algoritma Gibbs Sampling perlu ditentukan nilai awal dari

parameter yang akan diestimasi yaitu ₀

~

Normal

(

0 ,

2

)

dan ₀ (t). Manual penyusunan algoritma Gibbs Sampling mengikuti prosedur penentuan

))

Langkah pada persamaan (10) dan (11) diulang sebanyak B yang cukup besar, dengan

B merupakan banyaknya update pada penyusunan rantai Markov hingga diperoleh

deret rantai Markov yang konvergen.

Gibbs Sampling termasuk ke dalam dua kategori algoritma utama

dalam MCMC selain algoritma Metropolis. Gibbs Sampling adalah teknik

membangkitkan variabel acak dari distribusi marginal secara tidak langsung tanpa

(25)

8 METODE PENELITIAN

Profil data

Data yang digunakan adalah data waktu bertahan hidup, status hidup pasien dan

treatment yang digunakan pasien penderita jantung koroner [4]. Data ditunjukkan

pada Tabel 1. Pasien sebanyak 40 pasien dan pasien yang mengalami kegagalan

(meninggal) saat menjalani treatment sebanyak 8 pasien.

Langkah-langkah penelitian

Pengolahan data dengan menggunakan software winBUGS 1.4. Software

winBUGS 1.4 adalah paket program yang dirancang khusus untuk memfasilitasi

permodelan data Bayesian menggunakan implementasi MCMC yang bekerja dalam

sistem operasi windows. Pengolahan data survival dilakukan dengan tahapan dan

spesifikasi model meliputi pengecekan terhadap syntax model, loading data,

compiling model, inisialisasi, menentukan iterasi MCMC sebanyak 10.000 kali guna

membangkitkan Rantai-Markov. Penyusunan parameter dan node Ring serta node

Bypass. Updating data parameter sebanyak 10.000. Dalam ploting masing-masing

node dan parameter beta nilai Markov dilakukan burn in sebanyak 5000 data, dan

diambil bangkitan rantai dari data ke 5001 sampai dengan 10.000.

Tabel 1. Data waktu bertahan hidup pasien penderita jantung koroner

No Waktu

(bulan) Status Treatment No

Waktu

(bulan) Status Treatment

(26)

9

T , dengan n menyatakan total pasien dan T menunjukkan pasien yang mengalami

kegagalan dalam proses treatment. Digunakan dan diselidiki terlebih dahulu dengan

pendektan klasik yaitu Regresi Cox-Proporsional Hazard dengan load packages

survival yang ada pada software R i386 3.0.1. Waktu hidup dan status sebagai

variabel yang dependent terhadap treatment. Hal tersebut berarti treatment sebagai

variabel independent dan probabilitas survival tergantung pada jenis treatment yang

digunakan. Diperoleh gambaran hasil yang dinyatakan pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil estimasi node Ring dengan metode klasik non-parametrik

Node Waktu Survival Standard Error

Tabel 3. Hasil estimasi node Bypass dengan metode klasik non- parametric

(27)

10

Bypass[5] 178 0.212 0.1833 0.0391 1

Bypass[6] 182 0.000 - - -

Tabel 4. Hasil estimasi parameter Beta dengan metode klasik

Node Survival Estimasi Titik

Batas minimum

Batas Maksimum

Beta 0.408 -0.6851 0.0778 0.9053

Tabel 4. menunjukkan nilai estimasi titik yang sekaligus menunjukkan nilai

koefisien regresi yakni sebesar -0.6851. Tingkat signifikansi alfa sebesar 0.5%.

Estimasi interval diambil dengan mengambil exponensial dari minus lower.95 dan

minus upper.95. Batas bawah dan batas atas diperoleh (0.0778, 0.9053) dengan

probabilitas 0.408 yang sudah signifikan karena nilai probabilitasnya lebih besar dari

0.05. Dengan estimasi non parametrik gambaran nilai probabilitas pasien bertahan

hidup untuk masing-masing treatment yang dikenakan terdapat pada Tabel 2 dan

Tabel 3. Ditunjukkan bahwa nilai probabilitas tertinggi ada dalam kelompok bypass

dengan nilai probabilitas sebesar 0.929 hanya selisih cukup kecil yaitu 0.005

signifikan dengan pasien dengan ring yang memiliki probabilitas tertinggi 0.923.

Gambaran grafik estimasi mean dari fungsi survival ditunjukan pada

Gambar 1. Pada Gambar 1. Sumbu horizontal menunjukkan waktu bertahan hidup

pasien penderita jantung koroner dalam satuan bulan , sedangkan sumbu vertical

menunjukkan presentase subjek yang masih bertahan hidup. Garis putus-putus pada

Gambar 1. menunjukkan garis survival untuk treatment Ring dan Bypass. Grafik

memiliki kecenderungan mengalami penurunan secara bertahap, tidak dapat

dipungkiri probabilitas pasien untuk bertahan hidup juga semakin kecil. Pada Gambar

1. Terlihat bahwa probabilitas bertahan hidup penderita dengan treatment ring jauh

lebih besar karena penurunan probabilitas tidak sesignifikan jika dengan

menggunakan bypass

(28)

11

Gambar 1. Estimasi mean fungsi survival untuk treatment Ring dan Bypass

Hasil nilai estimasi dan karakteristik untuk masing-masing parameter

ditunjukkan pada Tabel 5, Tabel 6, dan Tabel 7.

Tabel 5. Hasil estimasi Bayesian node Ring

(29)

12

Tabel 6. Hasil estimasi Bayesian node Bypass

Node Mean Standard

Tabel 7. Hasil estimasi Bayesian parameter Beta

titik. Rata-rata dari parameter dalam Tabel 5 dan Tabel 6 merepresentasikan estimasi

nilai rata-rata posterior untuk pasien yang menggunakan treatment ring dan bypass

yang sekaligus mencerminkan peluang pasien untuk bertahan hidup jika

menggunakan treatment tersebut. Nilai mean yang tertinggi untuk pasien dengan treatment ring adalah 0.9771 sedangkan dengan bypass 0.953 menunjukkan peluang

bertahan hidup seseorang bertahan dengan menggunakan treatment ring akan

menghasilkan nilai peluang bertahan hidup lebih besar dibandingkan dengan

menggunakan bypass yakni sebesar 0.9771. Nilai error dalam penyusunan MCMC

dengan algoritma Gibbs Sampling ditunjukkan dari MC error, diperoleh nilai error

yang kecil karena mendekati 0. Estimator interval untuk parameter ditunjukkan dari

interval konfidensi yakni batas minimum dan maksimum dengan pengambilan nilai

(30)

13

parameter terletak dalam batas interval konfidensi pada posisi antara 2,50% dan

97,50% dan nilainya signifikan yang tidak melewati nilai nol. Adanya interval

konfidensi tersebut menjamin pencakupan dari parameter yang diselidiki. Nilai

rata-rata posterior yaitu standar error sekaligus menunjukkan koefisien regresi,

diperoleh ditunjukkan pada Tabel 7 sebesar -0.8789.

Gambar 2. Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel Ring[1], Bypass[1], dan beta

Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel ditujukkan dalam

Gambar 2. Rantai Markov yang terbentuk ditunjukkan dari garis hitam untuk

MCMC-Ring[1], MCMC-Bypass[1] dan MCMC-Beta. Plot dari time series

menunjukkan gambaran rantai Markov yang dibangkitkan. Updating rantai Markov

sebanyak 10.000 iterasi. Plot Gambar 2. menunjukkan nilai MCMC selalu positif,

hasil plot nampak rapat dan dapat merespon keseluruhan variabel berarti didapati

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.7

De nsita s Ke rne l-Ring[1]

N = 5000 Bandw idth = 0.00302

Ri

ng

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.6

De nsita s Ke rne l-Bypa ss[1]

N = 5000 Bandw idth = 0.006248

By

pa

ss

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

(31)

14

model telah konvergen. Nilai estimasi densitas posterior dapat dilihat dari plot

dnsitas kernel. Estimasi densitas kernel memberikan plot yang bagus karena

dihasilkan densitas yang cenderung halus. Plot dari parameter beta menunjukkan

bahwa distribusi gambar yang dihasilkan berdistribusi normal. Gambaran MCMC

mengindikasikan bahwa nilai yang ditunjukkan berasal dari sebaran posterior yang

dibentuk oleh rantai Markov.

Gambar 3. Gambaran running quantiles dan autokorelasi

Ring[1]

Gambar 3. menunjukkan plot dari running quantiles yang merepresentasikan

gambaran mengenai nilai dari gambaran kinerja dari sampel yang bagus karena

ditunjukkan dari posisi plot garis berada di tengah dari batas atas dan bawah. Pada

gambaran running quantiles sumbu horizontal menunjukkan bangkitan rantai

Markov, sedangkan sumbu vertikal menunjukkan nilai estimasi titik nya. Nilai

autokorelasi untuk tiap node dan parameter ditunjukkan pula pada Gambar 3. Nilai

autokorelasi menunjukkan bahwa data yang dibangkitkan memenuhi sifar rantai

0 10 20 30

Se rie s Ring1[5001:10000]

0 10 20 30

Se rie s Bypa ss1[5001:10000

(32)

15

Markov. Untuk menggambar nilai autokorelasi digunakan fungsi acf pada R i386

3.0.1.

Berdasarkan analisis yang dilakukan diperoleh estimasi parameter beta dari

model Cox-Regresion untuk pasien penderita jantung koroner dengan estimasi

Bayesian menggunakan dua treatment yakni ring dan bypass sebesar -0.8789

Dalam paper ini diperoleh parameter dari model Cox-Regression untuk data

ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian survival analysis.

Penelitian ini dapat dikembangkan untuk analisis survival model Weibul dengan

metode Bayesian.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Departemen Kesehatan Republik Indonesia.2007.Profil Kesehatan Indonesia 2005. Jakarta

[2] World Health Organization. 2014. The top 10 causes of death. Swiss: WHO. diakses pada Senin 15 September 2014 pukul 9.41. http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs310/en/

[3] Reskianti,Kiki, Nuriti Sunusi dan Nasrah Sirajang.2014.Estimasi Bayesian pada Analisis Data Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial melalui Pendekatan SELF. Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores.Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.UNHAS:Makassar.

(33)

16

[5] Perra, Silvia.2013. Objective Bayesian Variable Selection for Censored Data. Universitas Cagliari: Italia.

[6] Subanar,Prof.,Ph.D.2013.Statistika Matematika.Graha Ilmu: Yogyakarta

[7] Candra Siska, Ade. 2011. Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Universitas Diponegoro: Semarang.

http://eprints.undip.ac.id/29153/1/ade_candra.pdf

[9] Hidayah, Eny. 1994. Analisis Ketahanan Hidup dengan Metode Gehan

Mantel-Haenszel dan Tarone-Ware untuk 2 Sampel Sampai K Sampel. Universitas

Diponegoro : Semarang.

[10] Mustafa, Ayman dan Anis Ben Ghorbal.2011. Using WinBUGS to Cox Model with Changing from the Ba seline Hazard Function. Fakultas Matematika. Universitas Islam Al-Imam Muhammad Ibn Saud : Saudi Arabia.

[11] Andrew E Long. 1999. Leuk: survival analysis using Cox regression. Diakses

pada Selasa 16 September 2014 pukul 20.12 .

http://users.aims.ac.za/~mackay/BUGS/Manual05/Examples1/node29.html

[12] Hidayah,Entin. Model Disagregasi Data Hujan Temporal dengan Pendekatan Bayesian sebagai Input Permodelan Banjir.ITS:Surabaya.

(34)

1

BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER MODEL WEIBULL-REGRESSION PADA KASUS KETAHANAN HIDUP

PASIEN PENDERITA JANTUNG KORONER

3

[email protected]

ABSTRAK

Paper ini membahas mengenai estimasi parameter model Weibull-Regression

untuk data tersensor pada kasus ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner

dengan pendekatan Bayesian survival analysis. Data yang digunakan adalah data

simulasi waktu hidup pasien, status pasien (hidup/mati) dan treatment yang

dikenakan yaitu ring dan bypass. Pendekatan Bayesian (Bayesian approach)

digunakan untuk mencari distribusi posterior parameter. Metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) digunakan untuk membangkitkan Rantai Markov guna

mengestimasi parameter meliputi koefisien regresi () dan parameter r dari model

survival Weibull. Parameter  dan r yang diperoleh digunakan untuk menghitung

fungsi survival tiap pasien untuk tiap treatment yang sekaligus menunjukkan

probabilitas bertahan hidup pasien penderita jantung koroner.

(35)

2 PENDAHULUAN

Pada makalah [1] telah dibahas cara mengestimasi parameter model

Cox-Regression pada kasus ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner [1].

Permodelan data survival dengan menggunakan Bayesian survival analysis

menggunakan Cox-Regression tidak memperhatikan adanya data tersensor.

Kenyataannya, selama proses pengamatan berlangsung terdapat data tersensor

(censored data) yaitu data yang tidak terobservasi secara penuh (not completely

observable) dalam waktu pengamatan [2]. Hal ini berarti selama proses pengamatan

dalam rentang waktu yang ditentukan, terdapat pasien yang belum selesai menjalani

treatment dan waktu hidupnya tetap dicatat dalam pengamatan. Oleh karena itu

untuk mengolah data tersensor digunakan analisis model survival parametrik. Model

yang sering digunakan adalah model Weibull [2]. Distribusi Weibull digunakan

secara efektif untuk menganalisis data waktu hidup khususnya untuk data tersensor

[3]. Fungsi survival distribusi Weibull diestimasi dan digunakan sebagai distribusi

probabilitas untuk data waktu bertahan hidup pasien penderita jantung koroner.

Diasumsikan data yang digunakan termasuk ke dalam Random Censoring.

DASAR TEORI Data Tersensor

Data tersensor adalah data yang tidak teramati secara penuh (not completely

observable). Biasanya data tersensor ini dijumpai untuk studi observasi dan penelitian

dengan adanya batasan waktu. Terdapat 3 tipe data tersensor yaitu Tersensor tipe I,

Tersensor tipe II dan Random Censoring. Data tersensor tipe I terjadi apabila subjek

berhenti sebelum pemberian waktu sensor. Data tersensor tipe II terjadi apabila

subjek melampaui batas waktu pengamatan dan waktu survivenya catat jika subjek

telah mengalami kegagalan. Random Censoring adalah tipe data tersensor yang sering

(36)

3

Distribusi Weibull Distribusi Weibull merupakan distribusi yang sering digunakan dalam analisis

parametrik untuk fungsi survival. Distibusi Weibull banyak digunakan pada aplikasi

di bidang industri maupun biomedis. Realitas yang ditemui untuk bidang engineering

digunakan untuk menggambarkan waktu kegagalan (time to failure) pada barang

elektronik dan sistem mekanik serta untuk memodelkan ketahanan barang elektronik

[3]. Secara umum fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) dari

distribusi Weibull adalah:

Shape parameter dan scale parameter berurutan ditunjukkan oleh nilai r dan . Scale

parameter (parameter skala) adalah jenis khusus dari parameter numerik yang

menunjukkan besarnya distribusi data. Semakin kecil nilai dari scale arameter maka

distribusi data akan menyebar. Scale parameter (parameter bentuk) adalah jenis

khusus dari parameter numerik yang menunjukkan bentuk dari kurva. Fungsi

survival untuk distribusi Weibull dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi

kepadatan probabilitas pada persamaan (1) sehingga

( ) ( ) exp( r).

Laju kegagalan pasien ditunjukkan oleh fungsi hazard (hazard function) dari

distribusi Weibull yaitu:

Fungsi hazard kumulatifnya (cumulative hazard function) ditunjukkan seperti di

(37)

4

Model regresi Weibull untuk distribusi dari fungsi survival dapat dirumuskan

sebagai berikut:

dengan mengganti zi

i e ' 

  maka persamaan (6) berubah menjadi:

f(t_i,_i)r_it_ir1exp(_it_ir)

(7)

dengan t_i menunjukkan waktu bertahan hidup untuk data pasien yang tersensor

dengan vektor covariate z_i [5]. Dalam hal ini r sebagai parameter yang akan

diestimasi nilainya. Distribusi Weibull digunakan karena fleksibel meliputi bentuk

dan model sederhana yang memungkinkan perubahan kenaikan r 1, penurunan

1



r dan laju kegagalan yang konstan untuk r 1 [6]. Koefisien regresi dari model

Weibull adalah  yang diperoleh dengan mengasumsikannya sebagai prior yang

berdistribusi normal  ~N(0,0.0001). Parameterisasinya Ti ~Weibull(ri,i).

Distribusi Prior Model Weibull

Penentuan distribusi prior model Weibull ditentukan dengan mengambil

distribusi yang sering digunakan sebagai standar yaitu Normal N(0,2) dengan nilai

2

 diambil nilai 0.0001 sebagai vague precision untuk model regresi Weibull. Penentuan distribusi Prior untuk penentuan shape parameter r menggunakan

distribusi Gamma(1,0.0001) untuk fungsi distribusi survival yang turun perlahan pada

(38)

5 Fungsi Likelihood Model Weibull

Fungsi likelihood yang biasa digunakan untuk menganalisis data tersensor adalah

 

(1 )

persamaan (3) maka diperoleh fungsi likelihood untuk Model Weibull yaitu:









(1 )

Dalam estimasi Bayes, setelah informasi tentang sampel dan prior dapat

ditentukan maka distribusi posteriornya dicari dengan cara mengalikan priornya

dengan informasi sampel yang diperoleh dari likelihoodnya [7]. Dituliskan sebagai

berikut:

P(r,



|D)  L(D|r,



)P(r)P(



). (11)

Akan difokuskan dalam mengestimasi parameter r dan . Karena model rumit

karena mengandung banyak parameter maka distribusi posterior susah untuk

diestimasi secara langsung, maka perlu adanya suatu pendekatan menggunakan

metode simulasi dengan MCMC (Markov Chain Monte Carlo). Pada proses MCMC

dipilih menggunakan algoritma Gibbs Sampling.

Algoritma Gibbs Sampling dalam winBUGS membutuhkan nilai awal dari

parameter yang akan di estimasi. Nilai awal ditentukan yaitu



~ Normal(0,0.0001)

dan r ~Ga mma1,0.0001( ). Langkah manual penyusunan algoritma Gibbs Sampling dibuat dengan prosedur penentuan (P(r|D,



),P(r|D,



)) dengan langkah pada

persamaan (12) dan (13) yaitu:

P(



|D,r)P(



)L(D|r,



) (12)

(39)

6

P(r|D,



)P(r)L(D|r,



). (13)

Langkah pada persamaan (12) dan (13) diulang sebanyak bilangan B yang cukup

besar, dengan B merupakan banyaknya update pada software WinBUGS 1.4 yaitu

proses iterasi guna menyusun rantai Markov hingga diperoleh deret rantai Markov

yang konvergen.

METODE PENELITIAN Profil data

Data yang digunakan adalah data waktu bertahan hidup, status hidup pasien dan

treatment yang digunakan pasien penderita jantung koroner [4]. Kemudian dilakukan

simulasi dengan menambah data yang tersensor. Data survival ditunjukkan pada

Tabel 1 dengan banyaknya pasien sejumlah 40 pasien dan dua treatment yang

dikenakan yaitu treatment Ring dan Bypass. Dalam hal ini tanda * menunjukkan data yang tersensor. Banyaknya data yang tersensor untuk treatment Ring sebanyak 1

pasien dan untuk treatment Bypass sebanyak 7 pasien. Status hidup pasien bernilai 0

menunjukkan pasien tetap bertahan hidup saat menjalani treatment dan bernilai 1

menunjukkan pasien meninggal saat proses treatment berlangsung

Langkah-langkah penelitian

Pengolahan data dengan menggunakan winBUGS 1.4. Sspesifikasi model

meliputi pengecekan terhadap syntax model, loading data, compiling model,

inisialisasi model, menentukan iterasi MCMC sebanyak 200.000 kali guna

membangkitkan Rantai-Markov hingga mencapai konvergen. Parameter yang

akan diestimasi meliputi treatment ring, bypass serta parameter distribusi Weibull r.

Updating data parameter ditentukan sebanyak 200.000 titik sampel. Dalam ploting

masing-masing node dan parameter beta nilai rantai Markov dilakukan burn in

sebanyak 100.000 data, dan diambil bangkitan rantai dari data ke 100.001 sampai

(40)

7

Tabel 1. Data survival pasien penderita jantung koroner

No Waktu

Waktu

1 26 0 Ring 21 32 0 Bypass

menyatakan total pasien penderita penyakit jantung koroner dan M menunjukkan

banyaknya treatment yang digunakan oleh pasien meliputi metode pengobatan Ring

dan Bypass.

Weibull-Regresion menggunakan pendekatan Bayesian dilakukan dengan

update untuk menyusun MCMC dengan iterasi sebanyak 200.000 titik sampel. Hasil

nilai estimasi dan karakteristik untuk masing-masing parameter ditunjukkan pada

(41)

8

Tabel 2. Hasil estimasi Bayesian untuk parameter  node Ring dan Bypass

Deviasi

MC error

Batas

minimum 2,5% Median

Batas maksimum

97,5%

Ring -8.936 1.248 0.02904 -11.51 -8.889 -6.627

Bypass -0.7868 0.3685 0.00155 -1.524 -0.7821 -0.07581

Tabel 3. Hasil estimasi Bayesian untuk parameter r

Tabel 4. Probabilitas tiap pasien untuk masing-masing treatment

(42)

9

Pada [1] telah diperoleh satu nilai estimasi parameter  model

Cox-Regression untuk kedua teknik pengobatan Ring dan Bypass yaitu sebesar -0.8789

[1]. Pada model Weibull-Regression didapatkan dua nilai parameter  untuk

treatment Ring dan Bypass berurutan sebesar -8.936 dan -0.7868. Probabilitas tiap

pasien untuk masing-masing treatment ditunjukkan pada Tabel 4. Nilai probabiitas

tertinggi untuk pasien menggunakan treatment Ring adalah 0.9200 dan yang terendah

adalah 0.0189. Sedangkan untuk treatment bypass diperoleh nilai probabilitas yang

sangat kecil. Pebandingan nilai probabilitas ketahanan hidup pasien penderita jantung

koroner untuk model Cox-Regression dan Weibull-Regression ditunjukkan pada

Tabel 5. Dari Tabel 5. Terlihat nilai probabilitas bertahan hidup pasien dengan

menggunakan Weibull-Regression jauh lebih kecil jika dibandingkan dengan model

Cox-Regression. Nilai probabilitas fungsi survival yang bernilai 0 diduga karena

model Weibull-Regression kurang sesuai untuk mengestimasi parameter ktahanan

hidup pasien penderita jantung koroner.

Tabel 5. Probabilitas survival untuk model Cox-Regression dan Weibull-Regression

Pasien ke - Waktu

Mean dan Median dalam Tabel 2 menunjukkan nilai estimasi titik untuk nilai

parameter . Rata-rata dari parameter dalam Tabel 2 merepresentasikan estimasi

nilai rata-rata posterior untuk pasien yang menggunakan ring dan bypass

menggunakan kedua treatment tersebut. Nilai mean untuk pasien dengan ring adalah

-8.936 sedangkan dengan bypass -0.7868. Nilai error dalam penyusunan MCMC

(43)

10

yang cukup kecil karena mendekati nol. Estimator interval untuk parameter

ditunjukkan dari interval konfidensi yakni batas minimum dan maksimum dengan

pengambilan nilai



0,5. Estimasi parameter menunjukkan bahwa semua parameter

terletak dalam batas interval konfidensi pada posisi antara 2,50% dan 97,50% dan

nilainya signifikan karena tidak melewati nilai nol. Adanya interval konfidensi tersebut menjamin pencakupan dari parameter yang diselidiki. Nilai dari koefisien

regresi  ditunjukkan dari nilai mean dari ring dan bypass.

Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel ditujukkan dalam

Gambar 1. Plot dari time series menunjukkan gambaran rantai Markov yang

dibangkitkan dari data dengan updating sebanyak 200.000 iterasi.

Gambar 1. Plotime series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel node Ring, node

(44)

11

Plot Gambar 1. menunjukkan nilai MCMC tidak selalu positif, hasil plot

nampak rapat dan dapat merespon keseluruhan sampel berarti didapati model telah

konvergen. Nilai estimasi densitas posterior dapat dilihat dari plot densitas kernel.

Estimasi densitas kernel memberikan plot yang bagus karena dihasilkan densitas yang

cenderung halus. Plot dari densitas kernel untuk setiap node Ring dan Bypass

mengikuti densitas prior yakni berdistribusi normal sedangkan untuk parameter r juga

cenderung normal. Gambaran MCMC mengindikasikan bahwa nilai yang

ditunjukkan berasal dari sebaran posterior yang dibentuk oleh rantai Markov.

Gambar 3. Gambaran running quantiles dan autokorelasi

ring

Gambar 3. menunjukkan plot dari running quantiles yang merepresentasikan

gambaran mengenai nilai dari kinerja sampel yang cukup bagus. Hal tersebut

ditunjukkan dari posisi plot garis yang masih terletak di dalam rentang interval yaitu

(45)

12

parameter ditunjukkan pula pada Gambar 3. Nilai autokorelasi menunjukkan bahwa

data yang dibangkitkan memenuhi sifar rantai Markov [8]. Plot nilai autokorelasi

dengan menggunakan fungsi acf pada R i386 3.0.1. ACF merupakan singkatan dari

Auto Corelation Function. Nilai autokorelasi untuk ring dan r kuat ditunjukkan dari

plot autokorelasi yang turun secra perlahanan, Sedangkan untuk node bypass tidak

sekuat nilai autokorelasi untuk ring dan r. Hal tersebut terlihat dari plot autokorelasi

yang turun tajam.

Berdasarkan analisis yang dilakukan diperoleh nilai estimasi parameter 

dan r dari model Weibull-Regresion untuk pasien penderita jantung koroner.

Kesimpulan

Dalam paper ini diperoleh nilai parameter  dan r serta nilai probabilitas

bertahan hidup pada model Weibull-Regression untuk mengolah data tersensor

ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian survival analysis.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Lukitasari, A.Dewi, Adi Setiawan dan Leopoldus Ricky Sasongko.2014. Bayesian Survival Analysis menggunakan Cox-Regression untuk Mengestimasi

Model Ketahanan Hidup Pasien Penderita Jantung Koroner. Prosiding Seminar

Nasional Sains dan Pendidikan Sains. Universitas Muhammadiyah : Purworejo.

[2] Perra, Silvia.2013. Objective Bayesian Variable Selection for Censored Data. Fakultas Matematika dan Informatika. Universitas Cagliari: Italia.

[3] Klein, J.P dan Moeschberger, M.L.1997. Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. New York. Springer-Verlag New York Inc.

[4] Hendrajaya, Yani, Adi Setiawan dan Hanna Arini Parhusip.2008. Penerapan Analisis Survival untuk Menaksir Waktu Bertahan Hidup bagi Penderita Penyakit Jantung. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga.

[5] Andrew E Long. 1999. Weibull Regression in Censored Survival Analysis. Diakses pada Selasa, 16 Desember 2014 pukul 14:02.

(46)

13

[6] Thamrin, Sri Astuti.2013.Bayesian Survival Analysis Using Gene Expression.Fakultas Sains dan Teknik.Universitas Teknologi Queensland : Australia.

[7] Subanar.2013.Statistika Matematika.Graha Ilmu: Yogyakarta.

[8] Hidayah,Entin.2013.Model Disagregasi Data Hujan Temporal dengan

Pendekatan Bayesian sebagai Input Permodelan Banjir.ITS:Surabaya.

[9] Candra Siska, Ade. 2011. Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Universitas Diponegoro: Semarang. http://eprints.undip.ac.id/29153/1/ade_candra.pdf

(47)

xvi Lampiran 1

Data survival pasien penderita jantung koroner

No Waktu

Waktu

1 26 0 Ring 21 32 0 Bypass

2 26 0 Ring 22 33 0 Bypass

3 38 0 Ring 23 42 0 Bypass

4 51 0 Ring 24 42 0 Bypass

5 52 0 Ring 25 56 0 Bypass

6 56 0 Ring 26 56* 0 Bypass

7 57 0 Ring 27 60* 1 Bypass

8 61 1 Ring 28 65 0 Bypass

9 62 0 Ring 29 78 0 Bypass

10 62 0 Ring 30 87 0 Bypass

11 66 0 Ring 31 87* 0 Bypass

12 71 1 Ring 32 93 0 Bypass

13 71 0 Ring 33 102* 0 Bypass

14 75 0 Ring 34 116* 0 Bypass

15 83 0 Ring 35 116* 1 Bypass

16 106 0 Ring 36 146* 1 Bypass

17 123 0 Ring 37 161 0 Bypass

18 128* 0 Ring 38 173 1 Bypass

19 156 0 Ring 39 178 1 Bypass

(48)

xvii Lampiran 2

Program WINBUGS 1.4 untuk Bayesian Survival Analysis menggunakan Cox-Regression

#Program WINBUGS 1.4 untuk model Cox-Regression data survival pasien penderita jantung koroner

dL0.star[T], # prior guess at hazard function

(49)

xviii

# beta0[j] ~ dnorm(0,0.001); # include this when using Poisson trick

for(i in 1:N) {

dN[i,j] ~ dpois(Idt[i,j]); # Likelihood Idt[i,j] <- Y[i,j]*exp(beta*Z[i])*dL0[j]; # Intensity

# Try Poisson trick - independent log-normal hazard increments

# - enables dL0, c, r, mu to be dropped from model

# Idt[i,j] <- Y[i,j]*exp(beta0[j]+beta*Z[i]); # Intensity

Integral{l0(u)du})^exp(beta*z)

Ring[j] <- pow(exp(-sum(dL0[1:j])), exp(beta * -0.5)); Bypass[j] <- pow(exp(-sum(dL0[1:j])), exp(beta * 0.5));

}

c <- 0.001; r <-0.1; for (j in 1:T) {

(50)

xix

}

beta ~ dnorm(0.0,0.000001); }

#List data pasien penderita jantung koroner

list(N=60, T=8, eps = 1.0E-10,

obs.t=c(6,7,7,8,11,17,20,21,21,25,26,26,38,51,52,56, 57,61,62,62,66,71,71,75,83,106,123,128,156,183,6,6,7,12,1 2,16,17,17,21,26,32,33,42,42,56,56,60,65,78,87,87,93,102, 116,116,146,161,173,178,182),

fail=c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0 ,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0, 0,0,0,1,1,0,1,1,1),

Z=c(0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5, 0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0 .5,0.5,0.5,0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-

0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,

-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5),t=c(60,61,71,116,146,173,178,182,183))

#inisialisasi untuk treatment ring dan bypass

list( beta = 0.0,

(51)

xx Lampiran 3

Program WINBUGS 1.4 untuk Bayesian Survival Analysis menggunakan Weibull-Regression

#Program WINBUGS 1.4 untuk model Weibull-Regression data survival pasien penderita jantung koroner

model {

for(i in 1 : M) {

for(j in 1 : N) { t[i, j] ~ dweib(r, mu[i])I(t.cen[i, j],)

}

mu[i] <- exp(beta[i])

beta[i] ~ dnorm(0.0, 0.001)

median[i] <- pow(log(2) * exp(-beta[i]), 1/r)

#List untuk data simulasi pasien penderita jantung koroner

(52)

xxi Lampiran 4

Manual penggunaan WINBUGS 1.4

1. Buka software WINBUGS 1.4 sehingga muncul tampilan sebagai berikut

2. Open file yang akan dirunning dengan klik file  open, dilanjutkan dengan

(53)

xxii

3. Mengecek model dengan klik model  specification sehinga muncul kotak dialog sebagai berikut

(54)

xxiii

5. Loading data dilakukan dengan cara blok list data kemudian pilih load data

(55)

xxiv

7. Lakukan inisialisasi dengan cara blok list inisialisasi data kemudian pilih load inits dan klik gene inits

(56)

xxv

9. Lakukan paramerisasi dengan cara set parameter . meliputi ring, bypass dan r

(57)

xxvi

11.Pada kolom node di sample monitor tool, isi dengan * (untuk memunculkan semua node yang telah di set). Untuk mencari statistik dari parameter pilih stats maka akan muncul statistik dari keseluruhan parameter yang telah di set.

(58)

(59)

xxviii Lampiran 6