Bahan Ajar Matematika Rekayasa i33

(1)

BAHAN AJAR

MATEMATIKA REKAYASA

I

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS WARMADEWA

DENPASAR

2011/2012

(2)

Matematika Rekayasa I | 1

BAHAN AJAR MATEMATIKA REKAYASA I

SILABUS

1. Aturan Dasar dan Hukum-hukum matematika

2. Turunan / Deferensial

3. Penerapan Deferensial

4. Deferensial Parsial

5. Integral

6. Integral Rangkap

7. Koordinat Kutub

ATURAN DASAR DAN HUKUM-HUKUM MATEMATIKA

1) Identitas Aljabar

( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) (

)

2) Identitas Trigonometri

a)

b)

( )

c)

d) Penjumlahan

(3)

e. ( ) ( )

( ) ( )

f. Sudut Negatif

( )

g. Kurva-kurva baku

1. garis Lurus

Kemiringan (slope) :

Sudut antar dua garis :

Persamaan Garis Lurus (kemiringan = m)

- yang memotong sumbu y rill di C

- yang melalui (

)

(

)

- yang melalui (

) (

)

2. Lingkaran

- Berpusat dititik asal dengan jari-jari

- Berpusat di (n,k) dengan jari-jari ( )

( )

Hukum-hukum matematika

a) Hokum Asosiatif ( untuk penjumlahan dan perkalian )

( ) ( )

b) Hukum kumulatif (untuk penjumlahan dan perkalian)

c) Hukum distribusi (untuk perkalian dan pembagian)

( )

(4)

TURUNAN/DEFERENSIAL

Koefisien Deferensial Baku

NO

( )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 Contoh :

1.

2.

3. √

√

Fungsi dari Suatu Fungsi

adalah fungsi , karena harga tergantung pada sudut , demikian pula

( ) adalah fungsi sudut ( ) yaitu ( ) adalah fungsi dari ( ), tetapi

( ) itu merupakan fungsi , karena harganya bergantung kepada . Jadi kedua pernyataan

ini, kita gabungkan dapat kita lakukan bahwa

( ) adalah fungsi dari ( ) dan

( ) adalah fungsi dari fungsi , jadi ( ) adalah fungsi dari fungsi dan secara

umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai fungsi sudut fungsi.

(5)

Contoh

( )

Jawab :

Missal :

=

( )

PERKALIAN DUA FUNGSI

Jika dengan adalah fungsi , maka :

Contoh :

1. , deferensialkan terhadap !

Jawab :

( )

Semua cara sama untuk mendeferensialkan suatu perkalian adalah :

1. Tuliskanlah fungsi yang pertama dan deferensialkanlah fungsi yang kedua,

2. Tuliskanlah fungsi yang kedua dan deferensialkalah fungsi yang pertama

PEMBAGIAN DUA FUNGSI

Dimana u dan v adalah fungsi x maka :

(6)

Contoh:

1. _{deferensialkan terhadap x!}

Jawab

( ) ( ) ( )( )

( )

Deferensial Logaritmik

Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien

deferensial, lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai Deferensial Logaritmik.

{

}

{

}

{

}

Contoh :

1. deferensialkanlah terhadap x!

Jawab

-

{

( )

+

*

+

(7)

*

+

FUNGSU IMPLISIT

Jika

dan terdeteksi sepenuhnya oleh dan disebut sebagai fungsi

eksplisit dari

. Jika kaitan antara dan sangat ketat, ada kalanya kita tidak dapat

memisahkan

di ruas kiri sendiri, misalnya , dalam hal semacam ini,

disebut fungsi implisit karena hubungannya dalam bentuk ( ) tersirat di dalamnya.

Contah

1. jika

, tentukanlah

dititik !

Jawab

( )

(8)

0 C

y

0 x

( ) ( ) ( ) (

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

PERSAMAAN PARAMETRIK

Dalam hal ini sebuah harga tertentu akan memberikan pasangan harga variable ketiga

yaitu

disebut parameter dan kedua pernyataan untuk dan disebut persamaan parametrik.

Contoh :

1. !

( )

PENERAPAN DEFERENSIAL

(9)

Matematika Rekayasa I | 8 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 x y P

Persamaan dasar sudut garis lurus : dengan : kemiringan d d

C = Perpotongan dengan sumbu riil Jika skala identik, maka

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,2) dan Q(-2,1)!

Jawab

( ) ( ) ( ) Persamaan (1) dan (2) dieliminasi

Untuk substitusikan ke persamaan (1)

Sebagai persamaan garisnya : ( )

Bila harga m tertentu dan titik yang dilalui (x,y) tertentu maka persamaan garisnya: ( )

Contoh

Garis melalui titik (5,3) dengan kemiringan 2, maka persamaan garisnya adalah : (

( )

(10)

P

T

y=f(x)

Persamaan garis yang melalui titik yang sama dn saling tegak lurus :

Contoh :

Garis melalui titik (4,3) dengan m=2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis tersebut! Jawab Persamaan garisnya : ( ) ( ( )

Garis Singgung Dan Garis Normal

 Kemiringan kurva ( ) disebuah titik p pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis singgung di titik p

 Kemiringan di tentukan oleh harga di titik p yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui.

(11)

Matematika Rekayasa I | 10 Contoh

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik P(1,0) Jawab: Kemiringan (m) = P(1,0)= m = Persamaan garis ( ) ( )

Menentukan garis normal di P

Didefenisikan sebagai garis yang melalui titik P dan tegak lurus kepada garis singgung di P Kemiringan garis normal

Unutk soal di atas Persamaan garis normalnya

( ) 6

2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik untuk persamaan parametric kurva : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Untuk M garis singgung

(12)

Matematika Rekayasa I | 11 M garis normal

Menentukan garis singgung dan garis normalnya :

Untuk memperoleh persamaan garis singgung dan garis normal kita harus mengetahui harga x dan y yang di lalui :

Persamaan garis singgung ( ) ( )

Persamaan garis normal : ( ) ( )

Harga maksimum dan minimum (titik balik)

Contoh : Titik balik terjadi bila :

(13)

Matematika Rekayasa I | 12 ( )( )

Untuk menentukan jenis masing-masing titk balik substitusikan nilai x kedalam

Dititik dititik Titik belok Contoh ( )

untuk titik belok

( )

Uji perubahan tanda untuk ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) untuk ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

(14)

Matematika Rekayasa I | 13 jadi satu-satunya titik belok yang ada terjadi pada yaitu pada titik

DIDEFERENSIAL PARSIAL

Contoh Tinjaulah hubungan

Pernyataan sendiri masih merupakan fungsi x dan y karena itu kita dapat mencari koefisien diferensial parsialnya terhadap x maupun y.

i. Jika bila dideferensialkan secara parsial terhadap x kita peroleh {

} ( )

ii. Jikat kita deferensialkan secara parsial terhadap y, kita peroleh : {

} ( )

Tentu saja kita dapat juga melakukuan hal yang sama terhadap hasil

diatas dan ini memberikan

: ( ) ( )

PERTAMBAHAN KECIL

Contoh :

1. Jika dengan V 250 volt dan R 50Ω. Tentukan perubahan I jika V bertambah sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 5Ω

( )

Sehingga untuk ( ) ( )

(15)

Yakni turun sebesar 0,03 ampere.

2. Jika , tentukanlah presentasi pertambahan , jika bertambah 2 persen, berkurang 3 persen, dan bertambah 1 persen.

Jawab: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } Jadi, turun sebesar 11 persen.

(16)

Integral

Integral integral baku:

Deferensial Integral ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) _√( ₎ ∫ _√( ₎ ( ) _√( ₎ ∫_√( ₎ ( ) ∫ ( ) _√( ₎ ∫_√( ₎ ( ) _√( ₎ ∫_√( ₎ ( ) ∫ Contoh soal: 1.∫ √ ∫ 3. ∫ √( ₎ = 2 2. ∫ 4. ∫ _{+ c}

(17)

Matematika Rekayasa I | 16 ∫( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + C ∫

Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x:

∫ ( ) ( ) Serupa juga dengan:

1. ∫ ∫ 2. ∫ ∫ ( ) 3. ∫ ∫ ( ) ( ) ( )+ c 4. ∫ ∫ 5. ∫ ∫ Contoh soal: 1. ∫_{( )} 2. ∫ ( ) ( ) 3. ∫ ( ) ( ) 4. ∫ ( ) ( ) 5. ∫( ) ( ) ( )

Integral dalam bentuk ∫_{( )}( ) Contoh:

∫ ( ) ( ) ∫

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ Integral dalam bentuk ∫ ( ) ( )

∫

∫( )( ) ( ) Integral suatu perkalian integral per bagian (parsial) ∫ ∫

(18)

Matematika Rekayasa I | 17 1. ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2. ∫ ∫ ∫ ∫ _∫ ∫ * ∫ + _* _∫ _+in * + _* ₊ { }

INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL Kaidah pecahan parsial :

 Pembilang dari fungsi yang di berikan harus lebih rendahderajadnya dari pada derajad penyebutnya. Jika tidak demikian maka kita harus membaginya dahulu dengan pembagian biasa.

(19)

Matematika Rekayasa I | 18  Faktorkanlah penyebutnya menjadi factor-faktor prima.

 Factor linear ( ) akan memberikan pecahan parsial yang berbentuk  Factor ( ) akan memberikan pecahan parsial : +_{( )}

 Factor ( ) akan memberikan pecahan parsial _{( )} + _{( )}  Factor kuadrat ( ) akan memberikan pecahan parsial

Contoh ∫ ∫ Missal : U= dV= 1. ∫ ∫ _∫ = ₍ ₎ = _{( )}

Integral Fungsi Trigonometri 1

Pokok bahasan materi ini adalah tentang Integran fungsi trigonometri. Kita masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini :

No f(x) f ‘( )

1 sin x cos x

2 cos x - sin x

3 tan x sec2x

4 cot x -csc2x

5 sec x tan x sec x 6 csc x -cot x csc x

Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa :

1. sin x dx = - cos x + C 2. cos x dx = sin x + C

3. sec2x dx = tan x + C 4. csc2x dx = - cot x+ C

5. tan x . sec x dx = sec x + C 6. cot x. csc x dx = - csc x + C

(20)

Matematika Rekayasa I | 19 Ingat juga bahwa tan2A = sec2A – 1 dan cot2x = csc2x - 1

Contoh 1

Tentukanlah ( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx Jawab :

( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx = 8x – 4 cos x – 3 sec x + C

Contoh 2

Tentukanlah ( 3 sin x – 4 tan2x – 6)dx Jawab :

1 + tan 2 x = sec 2x sehingga tan2x = sec2x – 1

( 3 sin x – 4 tan2x – 6)dx = (3 sin x – 4(sec2x – 1) – 6)dx

= (3 sin x – 4 sec2x + 4 – 6) dx

= (3 sin x – 4 sec2x – 2) dx = - 3 cos x – 4 tan x – 2x + C

Turunan Fungsi Trigonometri 2

Selain bentuk – bentuk di atas kita juga masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini :

F(x) f ’( ) f( )

sin (ax + b) a cos (ax + b) cos (ax + b) - a sin (ax + b) tan (ax + b) a sec2(ax + b)

(21)

Matematika Rekayasa I | 20 cotg (ax + b) - a cosec2(ax + b)

sec (ax + b) a tan (ax + b) sec (ax + b) cosec (ax + b) - a cotg (ax + b) cosec (ax + b)

Dari tabel tersebut dapat diperoleh bahwa :

1. ∫ cos (a + b) d sin (ax + b) + C

2. ∫ sin (a + b) d - cos (ax + b) + C

3. ∫ sec2(ax + b) dx = tan (ax + b) + C

4 ∫ cosec2(ax + b) dx = - cotg (ax + b) + C

5. ∫ tan (a + b) sec (a + b) d sec (ax + b) + C

6. ∫ cotg (a + b) cosec (a + b) d – cosec (ax + b) + C

Seringkali dalam menyelesaikan integral fungsi trigonometri, bagian integrannya perlu diubah dengan menggunakan identitas trigonometri agar bentuknya lebih sederhana dan integralnya segera dapat ditemukan.Oleh karena itu perlu diingat bahwa :

2 sin A . sin B = cos (A – B) – cos (A + B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)

sin2A = , cos2A = , sin 2x = 2 sin x cos x

Ada 4 Identitas yang perlu digunakan : 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A+B) + sin (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B) – cos (A+B)

Contoh : ∫ = ∫( ) = ∫* ( ) ( )+ = ∫* + = { - + } + c

(22)

Matematika Rekayasa I | 21 = - + c ∫ = ∫( ) = ∫* ( ) ( )+ = ∫* + = { + } + c = - + c

- Untuk mengintegrasikan sin2x dan cos2x, dinyatakan dengan cosinus sudut rangkap. Contoh : ∫ ∫( )

∫ ∫( )

- Mengintegrasikan ∫ ∫ ∫( ₎

∫ ∫

-Mengintegrasi sin5x dan cos5x Contoh :

Cos5x dx = ∫ 4x . cos x dx = ∫( 2x)2 cos x dx = ∫( 2

x + sin4x) cos x dx

= ∫ x dx - 2∫ 2_{x . cos x dx + ∫}4

x . cos x dx = sin x – + + c

Contoh soal penerapan Integral

1) Carilah luas di bawah kurva y= x2+2x+1 di antara x = 1 dan x = 2 Jawab : ∫ ∫ ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2) Harga Mean

Tentukanlah harga mean dari diantara x= -1 dan x = 2 Jawab :

∫

_—∫ ( ) , -

(23)

Matematika Rekayasa I | 22 ,( ) ( )-

, -

3) Harga RMS

Tentukan harga RMS dari y = - cos sin 200πt diantara t 0 dan t Jawab : ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) [ ] [ ] √ √ Sentroid suatu bentuk bidang

Contoh :

Tentukanlah posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x, sumbu x, dan ordinat pada x = 0 dan x =

Jawab : I1 = ∫ = 5 ∫ Cari ̅ = = 5 [ ( ) ∫ = 5 [ - ) = 5 [ - . . + √ ] I1 = 5 [ √ - ] = [ √ - ] I2 = ∫ = 5 [ - ) - = - [ – 1] =

(24)

Matematika Rekayasa I | 23 ̅ = [√ - ] . = [√ - ] = 0,8660 – 0,5236 ̅ Cari ӯ I3 = ∫ = ∫ ( ) = [ x – = [ . / ] => sin = sin = √ = 0 √ 1 = , - = , - ( ) = ( )

Integral lipat dua :

Contoh : Hitungan :

(25)

Matematika Rekayasa I | 24 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 ∫ ( ) 0 1 2. Hitunglah ∫ ∫ ( ) ∫ , - ∫ {( )— ) ∫ ( ) ,( ) ( )( )

Integral lipat tiga : Contoh: 1. Hitunglah ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ 0 1 ∫ ∫ ( ) ∫ , - ∫ *( ) ( + ∫ ( ) , - ( ) ( ) 2. Hitunglah ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . / ∫ ∫ . / ∫ ∫ . / ∫ ∫ ∫ . / ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ . / = ( ) ( ) ( )

(26)

Matematika Rekayasa I | 25 ( ) ( )

Contoh Soal Lain :

1. Garis dan parabola berpotong di . Tentukan luas daerah yang dilingkupi oleh dan ordinat dengan menggunakan integral lipat dua?

Jawab: Dik : √ √ Dij : ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ . / ∫ . / . / . / . / . /