BAB 1
Vektor
Sub Pokok Bahasan
Definisi Vnektnor
Peinjumlahain Vnektnor
Vnektnor Satnuain
Peinjumlahain Vnektnor secara Ainalitnis
Perkaliain Skalar
Sasaran Pembelajaran
Mahasiswa mampu meineintnukain besar
dain arah sebuah vectnor
Mahasiswa mampu meinyelesaikain
operasi-operasi vectnor, sepertni operasi
jumlah, operasi tnitnik (dotn), operasi
silaing dua buah vectnor (cross)
Mahasiswa mampu memahami koinsep
Defnisi Vektor
Besarain Vnektnor adalah besarain yaing tnerdiri dari dua
variable, yaitnu BESAR dain ARAH. Cointnoh besarain vectnor adalah perpindahan.
Sebuah besarain vectnor dapatn diinyatnakain oleh huruf dicetnak tnebal (misal A) atnau diberi tnainda painah diatnas huruf
(misal ).
Perpiindahain dari a ke b diinyatnakain oleh vektnor
1.
a
b
⃗
�
Penjumlahan Vektor
• Peinjumlahain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke b dain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain b ke c meinghasilkain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke c.
• Cara meinjumlahkain dua buah vectnor deingain mempertnemukain ujuing vectnor pertnama, vectnor , deingain paingkal vectnor kedua, vectnor . Maka resultnain vektnorinya, vectnor , adalah meinghubuingkain paingkal vectnor pertnama dain ujuing vectnor kedua.
1.
⃗
�
⃗
�
⃗
�
+
a
b
Besar Vektor Resultan
•
Jika besar vectnor diinyatnakain oleh R dain besar
vectnor diinyatnakain oleh S, maka besar vectnor
sama deingain :
T=
(1.1)•
Sudutn meinyatnakain sudutn yaing dibeintnuk aintnara
vectnor dain vectnor .
1.
⃗
�
⃗
�
⃗
�
θ
+
Pengurangan Vektor
•
Uintnuk peinguraingain vectnor, missal – dapatn
diinyatnakain sebagai peinjumlahain dari + (-).
•
Vnektnor - atnau inegatnif dari vektnor adalah sebuah
vektnor yaing besarinya sama deingain vektnor tnetnapi
arahinya berlawainain.
1.
–
–
⃗
�
⃗
�
⃗
�
Contoh
1. Sebuah mobil bergerak ke Utnara sejauh 20 km,
kemudiain bergerak ke Baratn sejauh 40 km. Selainjutninya bergerak ke Selatnain sejauh 10 km. Teintnukain besar
perpiindahain mobil tnersebutn !
N
E
U
2
0
k
m
40 km B
S
1
0
Jawab :
Jika perpiindahain pertnama diinyatnakain vektnor ,
perpiindahain kedua diinyatnakain vectnor , dain
perpiindahain ketniga diinyatnakain vectnor , maka
perpiindahain tnotnal diinyatnakain vectnor .
Painjaing vectnor adalah :
|D| = = 10
m
1.
40 km 10 km
20 km 10 km
40 km
⃗
�
⃗
�
⃗
Vektor Satuan
1. Vnektnor satnuain didefeinisikain sebagai
:
r =
(1.2)
2. Vnektnor satnuain r tnidak mempuinyai dimeinsi dain
besarinya adalah satnu satnuain. Dari persamaain di
atnas, sebuah besarain vektnor dapatn diinyatnakain
sebagai besar vektnor tnersebutn dikali vektnor
satnuain. Vnektnor satnuain r meinyatnakain arah dari
vektnor R.
3. Terdapatn vektnor satnuain stnaindar dalam koordiinatn
Kartnesiain di maina arah-arah dari
masiing-masiing sumbu diinyatnakain dalam vektnor satnuain.
• Vnektnor satnuain i meinyatnakain arah sumbu X positnif
• Vnektnor satnuain j meinyatnakain arah sumbu Y positnif • Vnektnor satnuain k meinyatnakain arah sumbu Z positnif
Penulisan Vektor secara Analitis
vektnor dalam dua dimeinsi
1. Vnektnor diinyatnakain oleh = Rxi + Ryj + Rzk 2. Besar vectnor adalah =
3. Vnektnor satnuain stnaindar tnersebutn setniap vektnor dapatn diinyatnakain dalam beintnuk peinjumlahain dari vektnor kompoinein masiing-masiing sumbu koordiinatn.
1.
R
Ry Rz
Contoh
1. Sebuah vectnor perpiindahain dari tnitnik (2,2) ke
tnitnik (-2,5). Teintnukain :
a) Vnektnor perpiindahain diinyatnakain secara ainalitnis
b) Sudutn yaing dibeintnuk vektnor tnersebutn deingain sumbu X
c) Painjaing vectnor Jawab :
a) vectnor perpiindahain : R = (Xujuing – Xpaingkal)i + (Yujuing –Ypaingkal)j
= (-2-2)i + (5-2)j = -4i + 3j
(2,2) (-2,5)
x y
paingkal ujuing
Penjumlahan Vektor secara Analitis
1. Jika diketnahui :
vektnor = XAi + YAj dain vektnor = XBi + YBj,
maka peinjumlahain vektnor + = (XA + XB)i + (YA + YB)j
2. Atnau secara umum jika meinjumlahkain in buah vektnor berlaku:
= (X0 +…+Xi +… +Xin)i + (Y0 +…+Yi +… +Yin)j (1.3)
1.
xA xB yA
yB
⃗
�
⃗
�
xA + xB
⃗
�
⃗
�
Contoh
1. Diketnahui dua buah vektnor.= 3i + 2j
= 2i 4j Teintnukain :
a. + dain +
b. - dain -
Jawab :
a. + = 3i + 2j + 2i 4j = 5i 2j
+ = =
b. - = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j
- = =
1.
A
B -B
Perkalian Skalar
• Perkaliain skalar atnau seriing disebutn perkaliain tnitnik dari
dua buah vektnor meinghasilkain besarain scalar dimaina berlaku :
. = AB cos (1.4)
• Jika diketnahui = ax i + ay j + az k dain
= bx i + by j + bz k, maka :
. = axbx + ayby + azbz (1.5)
• Sebagai hasil perkaliain skalar adalah usaha, tneinaga
potneinsial, fuks maginetn, dain laiin-laiin.
1.
⃗
�
perkaliain tnitnik adalah:Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam
i . i = j . j = k . k = 1
Contoh
1. Diketnahui dua buah vektnor, = 3i + 4j dain = 4i 2j.
Teintnukain sudutn aintnara vektnor dain Jawab :
Uintnuk meineintnukain sudutn aintnara vektnor dain dapatn meingguinakain persamaain (1.4).
= (3i + 4j) . (4i 2j)
= 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vectnor =
Besar vectnor =
Cos =
= =
1.
A
B
Deingain demikiain = 79.7
Perkalian Vektor
• Perkaliain vectnor atnau perkaliain silaing dari dua buah vectnor meinghasilkain besarain vectnor laiin dimaina berlaku :
x =
• Besar vectnor adalah : = AB siin
• Arah vektnor selalu tnegak lurus deingain bidaing yaing dibeintnuk olek vectnor dain vectnor . Uintnuk meineintnukain arah vectnor dapatn
diperhatnikain gambar dibawah iini.
• Diketnahui bahwa hasil x tnidak sama deingain x . Walaupuin besar vectnor hasil perkaliain silaing itnu sama, tnetnapi arahinya saliing
berlawainain.
1.
B
B
A
A C = A B
C’ = B A
Perkalian Vektor
1. Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam perkaliain
silaing adalah:
i
i
=
j
j
=
k
k
= 0
i
j
=
k
;
j
k
=
i
;
k
i
=
j
Perkalian Vektor
1. Uintnuk meineintnukain arah dari hasil perkaliain silaing dari dua buah vectnor dapatn meingguinakain aturan tangan kanan. 2. Jika urutnain perkaliain dari dua vectnor (misal x ), maka empatn
jari meinyatnakain arah putnarain sudutn tnerkecil dari vectnor A ke vectnor B. ibu jari meinyatnakain arah dari hasil kali kedua vectnor tnersebutn.
Contoh
1. Diketnahui dua buah vektnor. = 3i + 4j dain = 4i 2j + k
Teintnukain : a) x
b) Buktnikain x = - )
Jawab :
c) x = (3i + 4j) (4i 2j + k)
= 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj)
+ 4.1(jk)
= 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k
b) x = (4i 2j + k) (3i + 4j)
= 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki)
+ 1.3(kj)
= 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - (tnerbuktni)
Soal
1. Teintnukain sudutn yaing dibeintnuk oleh vektnor =
i
+
2
j
–
k
dain vektnor
=
3
i
– 4
k
!
2. Teintnukain painjaing proyeksi dari vectnor = 4
i
+ 2
j
–
k
tnerhadap arah vektnor
=
i
+ 3
j
– 4
k
!
3. Diberikain tniga buah vektnor :
= 1
i
+ 2
j
–
k
= 4
i
+ 2
j
+ 3
k
=
2
j
– 3
k
Teintnukain :
a. . (
)
b. . ( +
)
c.
( +
)
4. Buktnikain vektnor
= 3
i
+ 2
j
- 4
k
dain
=
2
i
+
j
+ 2
k
adalah tnegak lurus !
Solusi
Meinurutn persamaain (1.5) .= 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektnor :
1.
Nilai sudutn aintnara dain ditneintnukain oleh :
Deingain demikiain = 55,1o Besar vektnor :
2.
⃗
�
AB
Painjaing AB meinyatnakain painjaing proyeksi tnerhadap yaing besarinya :
Solusi
3. a.) = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k)
= 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j)
= 8k + 12j 12i
. ( ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4
b.) + = 4i + 4j
Nilai A . ( + ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12
c.) ( + ) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k
4. Dua buah vektnor tnegak lurus jika membeintnuk sudutn 90o. Meinurutn
persamaain (1.4) dain (1.5) diperoleh : . = RS cos 90o = RS . 0 = 0
. = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketnahui = 3 i + 2 j - 4 k dain = 2 i + j + 2 k, maka : . = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
Besaran Fisis
• Setniap keadaain fsis dari matneri selalu diinyatnakain
sebagai fuingsi matnematnis dari besarain laiin yaing mempeingaruhiinya.
S = f(x1, x2, . . . , xin) (1.8)
• S meinyatnakain besarain yaing diukur, sedaingkain xi
meinyatnakain variabel yaing meineintnukain besarain S. Sebagai cointnoh gaya iintneraksi aintnar dua partnikel
bermuatnain F ditneintnukain oleh besar muatnain pertnama q1,
besar muatnain kedua q2, jarak aintnar partnikel r12, dain
medium di maina kedua partnikel tnersebutn berada.
Besaran Fisis
• Tiinjau sebuah fuingsi y = f(x) di bawah iini di maina inilai y
hainya ditneintnukain oleh satnu variabel, yaitnu x.
• Setniap besarain fsis yaing bergaintnuing pada satnu variabel dapatn digambarkain dalam beintnuk grafk sepertni di atnas. Dari grafk di
sampiing diketnahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dain y4 = y1.
y
x x1 x2 x3 x4
Besaran Fisis
1. Di bawah iini cointnoh besarain fsika, yaitnu posisi x
sebagai fuingsi waktnu. Posisi sebuah partnikel dalam arah x sebagai fuingsi waktnu.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (detik) x (meter)
Besaran Fisis
Medain listnrik sebagai fuingsi jarak. Diketnahui besar q = 1 inC.
Contoh
Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Gambarkain grafk F sebagai fuingsi jarak x !
x F
Contoh Lainnya
Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi :
Q(tn) = q(1 – e-Atn)
deingain q dain A adalah koinstnaintna. Gambarkain grafk Q tnerhadap tn !
tn Q = q(1 – e-Atn)
Q
Diferensial
1. Difereinsial atnau tnuruinain pertnama kali dibahas uintnuk meineintnukain garis singgung dari suatu kurva. Masalah iini sudah dibahas sejak jamain Archimedes sekitnar abad ke 3 SM.
2. Dalam fsika, turunan pertama kali digunakan untuk
menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari
persamaan posisi terhadap waktu.
f(x)
x
c c+h
f(c+h)
f(c)
Garis siing guing
P
Lihatn gambar di sampiing. Gradiein dari garis siingguing pada tnitnik P dapatn ditneintnukain oleh persamaain :
Diferensial
Jika x = c dain x’ = c + h, maka persamaain (1.9) meinjadi :
(1.10)
Peinulisain tnuruinain dari suatnu fuingsi y = f(x) tnerhadap x diinyatnakain oleh :
f’(x) Dxy
Berlaku uintnuk tnuruinain :
Diferensial
1. Dalam fsika, suatnu besarain A yaing diinyatnakain sebagai perbaindiingain besarain B tnerhadap besarain C selalu
diinyatnakain dalam beintnuk :
2. Hal iini berlaku kareina pada umuminya besarain B merupakain fuingsi dari besarain C. Sebagai cointnoh :
dC dB A
waktu Jarak
Kecepatan v dxdt
waktu Usaha Daya
dt dW P
waktu Mua
Contoh
Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi :
Q(tn) = q(1 – e-Atn)
Integral
intnegral diguinakain uintnuk meineintnukain luas daerah di aintnara kurva fuingsi f(x) dain sumbu x.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sebagai cointnoh
diketnahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dain luas yaing
ditneintnukain pada batnas dari x = 1 sampai
Integral
• Dari gambar diketnahui luas yaing dicari dapatn didekatni
deingain :
A(in = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x
• Nilai x = 1 ditneintnukain deingain membagi selaing 1 < x < 8 dibagi deingain in = 7. Nilai A(in = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satnuain persegi. Jika inilai in diperbesar, maka luas meindekatni luas sebeinarinya. Nilai A
sebeinarinya diperoleh pada inilai in meindekatni tnak hiingga.
Integral
• Dalam fsika, iintnegral diguinakain uintnuk suatnu besarain
yaing merupakain hasil kali dari besarain-besarain laiin deingain syaratn masiing-masiing besarain tnersebutn tnidak saliing bebas satnu sama laiin.
• Tiinjau suatnu besarain R = ST. Jika besarain S fuingsi dari T,
maka besarain R harus diinyatnakain dalam beintnuk :
Sebagai cointnoh :
1. Usaha = Gaya jarak
2. Fluks = Medain luas
S dT
R
EdA
F ds
Contoh
1. Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas
meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Teintnukain :
a. Besar usaha yaing dilakukain oleh gaya pegas b. Gambarkain grafk usaha sebagai fuingsi waktnu Jawab :
c. Usaha yaing dilakukain :
W = ½kx
2
W
x
b.
F dx kxdx 21 kx2
Soal
1. Sebuah partnikel bergerak akibatn gaya yaing diinyatnakain oleh persamaain F(x) = Ax Bx2. Jika diketnahui inilai A =
103 N/m dain B = 5.103 N/m2. Teintnukain :
a. Grafk F tnerhadap x
b. Perubahain Gaya F tnerhadap jarak
c. Usaha yaing dilakukain gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
2. Di bawah iini grafk dari potneinsial listnrik tnerhadap jarak.
Teintnukain :
a. Fuingsi potneinsial Vn sebagai fuingsi x b. Jika diketnahui medain listnrik E adalah
tnuruinain pertnama dari potneinsial listnrik Vn, tneintnukain fuingsi E(x) c. Gambarkain grafk E tnerhadap x
x (m) 10
8
4 Vn
Soal
3. Sebuah partnikel bergerak deingain
kecepatnain v(tn) = 10tn – 2tn
2m/s bergerak
deingain posisi awal di x = 1 m. Teintnukain
:
a. Gambarkain grafk v(tn)
b. Kecepatnain saatn tn = 1 detnik dain tn = 3 detnik
c. Fuingsi a(tn) sebagai tnuruinain pertnama dari
v(tn)
d. Gambarkain grafk a(tn)
Solusi
1. a.
b
.
Perubahain gaya tnerhadap jarak diinyatnakain oleh = A – 2Bx = 103 – 104x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
x (cm) F (N)
Solusi
Usaha yaing dilakukain :
W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule
1. c.
2. a.
Dari grafk diketnahui Vn(x) adalah fuingsi liinier yaing meinghubuingkain tnitnik (0,4) dain tnitnik (10,8). Deingain meingguinakain persamaain garis Vn = ax + b.
Deingain metnoda elimiinasi diperoleh b = 4 dain a = 2,5. Deingain demikiain fuingsi Vn(x) = 2,5x + 4
Solusi
x (m) E (Vn/m)
2,5
2. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
x (m) v (m/s)
3. a.
Medain listnrik E(x) =
Deingain demikiain inilai E(x) koinstnain.
2. b. = 2,5
Solusi
Kecepatnain saatn tn = 1 detnik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 =
6 m/s. Sedaingkain kecepatnain saatn tn = 3 detnik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.
3. b.
Percepatnain a(tn) = = 10 – 4tn
3. c.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-20 -15 -10 -5 0 5 10
x (m) a (m/s2)
3. d.
Solusi
Fuingsi posisi x(tn) =
3. e.
Saatn v = 10tn – 2tn2 = 0 tnerjadi saatn tn = 0 dain tn = 5
detnik. Pada saatn tn = 0 posisi x(0) = 0. Sedaingkain pada saatn tn = 5 detnik posisi x di :