• Tidak ada hasil yang ditemukan

BAB 1 Vektor - BAB 1 Vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "BAB 1 Vektor - BAB 1 Vektor"

Copied!
45
0
0

Teks penuh

(1)

BAB 1

Vektor

(2)

Sub Pokok Bahasan

Definisi Vnektnor

Peinjumlahain Vnektnor

Vnektnor Satnuain

Peinjumlahain Vnektnor secara Ainalitnis

Perkaliain Skalar

(3)

Sasaran Pembelajaran

Mahasiswa mampu meineintnukain besar

dain arah sebuah vectnor

Mahasiswa mampu meinyelesaikain

operasi-operasi vectnor, sepertni operasi

jumlah, operasi tnitnik (dotn), operasi

silaing dua buah vectnor (cross)

Mahasiswa mampu memahami koinsep

(4)

Defnisi Vektor

Besarain Vnektnor adalah besarain yaing tnerdiri dari dua

variable, yaitnu BESAR dain ARAH. Cointnoh besarain vectnor adalah perpindahan.

Sebuah besarain vectnor dapatn diinyatnakain oleh huruf dicetnak tnebal (misal A) atnau diberi tnainda painah diatnas huruf

(misal ).

Perpiindahain dari a ke b diinyatnakain oleh vektnor

1.  

a

b

(5)

Penjumlahan Vektor

• Peinjumlahain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke b dain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain b ke c meinghasilkain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke c.

• Cara meinjumlahkain dua buah vectnor deingain mempertnemukain ujuing vectnor pertnama, vectnor , deingain paingkal vectnor kedua, vectnor . Maka resultnain vektnorinya, vectnor , adalah meinghubuingkain paingkal vectnor pertnama dain ujuing vectnor kedua.

1.  

 

 

 

+

 

a

b

(6)

Besar Vektor Resultan

Jika besar vectnor diinyatnakain oleh R dain besar

vectnor diinyatnakain oleh S, maka besar vectnor

sama deingain :

T=

(1.1)

Sudutn meinyatnakain sudutn yaing dibeintnuk aintnara

vectnor dain vectnor .

1.  

 

 

 

θ

+

(7)

Pengurangan Vektor

Uintnuk peinguraingain vectnor, missal – dapatn

diinyatnakain sebagai peinjumlahain dari + (-).

Vnektnor - atnau inegatnif dari vektnor adalah sebuah

vektnor yaing besarinya sama deingain vektnor tnetnapi

arahinya berlawainain.

1.  

 

 

 

 

(8)

Contoh

1. Sebuah mobil bergerak ke Utnara sejauh 20 km,

kemudiain bergerak ke Baratn sejauh 40 km. Selainjutninya bergerak ke Selatnain sejauh 10 km. Teintnukain besar

perpiindahain mobil tnersebutn !

N

E

U

2

0

k

m

40 km B

S

1

0

(9)

Jawab :

Jika perpiindahain pertnama diinyatnakain vektnor ,

perpiindahain kedua diinyatnakain vectnor , dain

perpiindahain ketniga diinyatnakain vectnor , maka

perpiindahain tnotnal diinyatnakain vectnor .

Painjaing vectnor adalah :

|D| = = 10

m

1.  

40 km 10 km

20 km 10 km

40 km

 

 

(10)

Vektor Satuan

1. Vnektnor satnuain didefeinisikain sebagai

:

r =

(1.2)

2. Vnektnor satnuain r tnidak mempuinyai dimeinsi dain

besarinya adalah satnu satnuain. Dari persamaain di

atnas, sebuah besarain vektnor dapatn diinyatnakain

sebagai besar vektnor tnersebutn dikali vektnor

satnuain. Vnektnor satnuain r meinyatnakain arah dari

vektnor R.

3. Terdapatn vektnor satnuain stnaindar dalam koordiinatn

Kartnesiain di maina arah-arah dari

masiing-masiing sumbu diinyatnakain dalam vektnor satnuain.

• Vnektnor satnuain i meinyatnakain arah sumbu X positnif

Vnektnor satnuain j meinyatnakain arah sumbu Y positnifVnektnor satnuain k meinyatnakain arah sumbu Z positnif

(11)

Penulisan Vektor secara Analitis

vektnor dalam dua dimeinsi

1. Vnektnor diinyatnakain oleh = Rxi + Ryj + Rzk 2. Besar vectnor adalah =

3. Vnektnor satnuain stnaindar tnersebutn setniap vektnor dapatn diinyatnakain dalam beintnuk peinjumlahain dari vektnor kompoinein masiing-masiing sumbu koordiinatn.

1.  

R

Ry Rz

(12)

Contoh

1. Sebuah vectnor perpiindahain dari tnitnik (2,2) ke

tnitnik (-2,5). Teintnukain :

a) Vnektnor perpiindahain diinyatnakain secara ainalitnis

b) Sudutn yaing dibeintnuk vektnor tnersebutn deingain sumbu X

c) Painjaing vectnor Jawab :

a) vectnor perpiindahain : R = (Xujuing – Xpaingkal)i + (Yujuing –Ypaingkal)j

= (-2-2)i + (5-2)j = -4i + 3j

(2,2) (-2,5)

x y

paingkal ujuing

(13)
(14)

Penjumlahan Vektor secara Analitis

1. Jika diketnahui :

vektnor = XAi + YAj dain vektnor = XBi + YBj,

maka peinjumlahain vektnor + = (XA + XB)i + (YA + YB)j

2. Atnau secara umum jika meinjumlahkain in buah vektnor berlaku:

= (X0 +…+Xi +… +Xin)i + (Y0 +…+Yi +… +Yin)j (1.3)

1.  

xA xB yA

yB

 

 

xA + xB

 

 

(15)

Contoh

1. Diketnahui dua buah vektnor.

= 3i + 2j

= 2i  4j Teintnukain :

a. + dain  + 

b. - dain  - 

Jawab :

a. + = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j

 +  = =

b. - = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j

 -  = =

1.  

A

B -B

(16)

Perkalian Skalar

Perkaliain skalar atnau seriing disebutn perkaliain tnitnik dari

dua buah vektnor meinghasilkain besarain scalar dimaina berlaku :

. = AB cos  (1.4)

Jika diketnahui = ax i + ay j + az k dain

= bx i + by j + bz k, maka :

. = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkaliain skalar adalah usaha, tneinaga

potneinsial, fuks maginetn, dain laiin-laiin.

1.  

  perkaliain tnitnik adalah:Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam

i . i = j . j = k . k = 1

(17)

Contoh

1. Diketnahui dua buah vektnor, = 3i + 4j dain = 4i  2j.

Teintnukain sudutn aintnara vektnor dain Jawab :

Uintnuk meineintnukain sudutn aintnara vektnor dain dapatn meingguinakain persamaain (1.4).

= (3i + 4j) . (4i  2j)

= 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vectnor =

Besar vectnor =

Cos =

= =

1.  

A

B

Deingain demikiain = 79.7

(18)

Perkalian Vektor

• Perkaliain vectnor atnau perkaliain silaing dari dua buah vectnor meinghasilkain besarain vectnor laiin dimaina berlaku :

x =

• Besar vectnor adalah : = AB siin

• Arah vektnor selalu tnegak lurus deingain bidaing yaing dibeintnuk olek vectnor dain vectnor . Uintnuk meineintnukain arah vectnor dapatn

diperhatnikain gambar dibawah iini.

• Diketnahui bahwa hasil x tnidak sama deingain x . Walaupuin besar vectnor hasil perkaliain silaing itnu sama, tnetnapi arahinya saliing

berlawainain.

1.  

B

B

A

A C = A B

C’ = B A

(19)

Perkalian Vektor

1. Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam perkaliain

silaing adalah:

i

i

=

j

j

=

k

k

= 0

i

j

=

k

;

j

k

=

i

;

k

i

=

j

(20)

Perkalian Vektor

1. Uintnuk meineintnukain arah dari hasil perkaliain silaing dari dua buah vectnor dapatn meingguinakain aturan tangan kanan. 2. Jika urutnain perkaliain dari dua vectnor (misal x ), maka empatn

jari meinyatnakain arah putnarain sudutn tnerkecil dari vectnor A ke vectnor B. ibu jari meinyatnakain arah dari hasil kali kedua vectnor tnersebutn.

(21)

Contoh

1. Diketnahui dua buah vektnor. = 3i + 4j dain = 4i  2j + k

Teintnukain : a) x

b) Buktnikain x = -  )

Jawab :

c) x = (3i + 4j)  (4i  2j + k)

= 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj)

+ 4.1(jk)

= 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

b) x = (4i  2j + k)  (3i + 4j)

= 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki)

+ 1.3(kj)

= 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = -  (tnerbuktni)

(22)

Soal

1. Teintnukain sudutn yaing dibeintnuk oleh vektnor =

i

+

2

j

k

dain vektnor

=

3

i

– 4

k

!

2. Teintnukain painjaing proyeksi dari vectnor = 4

i

+ 2

j

k

tnerhadap arah vektnor

=

i

+ 3

j

– 4

k

!

3. Diberikain tniga buah vektnor :

= 1

i

+ 2

j

k

= 4

i

+ 2

j

+ 3

k

=

2

j

– 3

k

Teintnukain :

a. . (

)

b. . ( +

)

c.

( +

)

4. Buktnikain vektnor

= 3

i

+ 2

j

- 4

k

dain

=

2

i

+

j

+ 2

k

adalah tnegak lurus !

(23)

Solusi

Meinurutn persamaain (1.5) .= 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektnor :

 

1.

Nilai sudutn aintnara dain ditneintnukain oleh :

 

Deingain demikiain  = 55,1o Besar vektnor :

 

2.

 

AB

Painjaing AB meinyatnakain painjaing proyeksi tnerhadap yaing besarinya :

(24)

Solusi

3. a.)  = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k)

= 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j)

= 8k + 12j  12i

. (  ) = (i + 2jk) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

b.) + = 4i + 4j

Nilai A . ( + ) = (i + 2jk).(4i + 4j) = 12

c.)  ( + ) = (i + 2jk)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k

4. Dua buah vektnor tnegak lurus jika membeintnuk sudutn 90o. Meinurutn

persamaain (1.4) dain (1.5) diperoleh : . = RS cos 90o = RS . 0 = 0

. = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketnahui = 3 i + 2 j - 4 k dain = 2 i + j + 2 k, maka : . = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

(25)

Besaran Fisis

Setniap keadaain fsis dari matneri selalu diinyatnakain

sebagai fuingsi matnematnis dari besarain laiin yaing mempeingaruhiinya.

S = f(x1, x2, . . . , xin) (1.8)

S meinyatnakain besarain yaing diukur, sedaingkain xi

meinyatnakain variabel yaing meineintnukain besarain S. Sebagai cointnoh gaya iintneraksi aintnar dua partnikel

bermuatnain F ditneintnukain oleh besar muatnain pertnama q1,

besar muatnain kedua q2, jarak aintnar partnikel r12, dain

medium di maina kedua partnikel tnersebutn berada.

(26)

Besaran Fisis

Tiinjau sebuah fuingsi y = f(x) di bawah iini di maina inilai y

hainya ditneintnukain oleh satnu variabel, yaitnu x.

• Setniap besarain fsis yaing bergaintnuing pada satnu variabel dapatn digambarkain dalam beintnuk grafk sepertni di atnas. Dari grafk di

sampiing diketnahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dain y4 = y1.

y

x x1 x2 x3 x4

(27)

Besaran Fisis

1. Di bawah iini cointnoh besarain fsika, yaitnu posisi x

sebagai fuingsi waktnu. Posisi sebuah partnikel dalam arah x sebagai fuingsi waktnu.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (detik) x (meter)

(28)

Besaran Fisis

Medain listnrik sebagai fuingsi jarak. Diketnahui besar q = 1 inC.

(29)

Contoh

Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Gambarkain grafk F sebagai fuingsi jarak x !

x F

(30)

Contoh Lainnya

Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi :

Q(tn) = q(1 – e-Atn)

deingain q dain A adalah koinstnaintna. Gambarkain grafk Q tnerhadap tn !

tn Q = q(1 – e-Atn)

Q

(31)

Diferensial

1. Difereinsial atnau tnuruinain pertnama kali dibahas uintnuk meineintnukain garis singgung dari suatu kurva. Masalah iini sudah dibahas sejak jamain Archimedes sekitnar abad ke 3 SM.

2. Dalam fsika, turunan pertama kali digunakan untuk

menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari

persamaan posisi terhadap waktu.

f(x)

x

c c+h

f(c+h)

f(c)

Garis siing guing

P

Lihatn gambar di sampiing. Gradiein dari garis siingguing pada tnitnik P dapatn ditneintnukain oleh persamaain :

(32)

Diferensial

Jika x = c dain x’ = c + h, maka persamaain (1.9) meinjadi :

(1.10)

Peinulisain tnuruinain dari suatnu fuingsi y = f(x) tnerhadap x diinyatnakain oleh :

f’(x) Dxy

Berlaku uintnuk tnuruinain :

(33)

Diferensial

1. Dalam fsika, suatnu besarain A yaing diinyatnakain sebagai perbaindiingain besarain B tnerhadap besarain C selalu

diinyatnakain dalam beintnuk :

2. Hal iini berlaku kareina pada umuminya besarain B merupakain fuingsi dari besarain C. Sebagai cointnoh :

dC dB A

waktu Jarak

Kecepatan vdxdt

waktu Usaha Daya

dt dW P

waktu Mua

(34)

Contoh

Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi :

Q(tn) = q(1 – e-Atn)

(35)

Integral

intnegral diguinakain uintnuk meineintnukain luas daerah di aintnara kurva fuingsi f(x) dain sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebagai cointnoh

diketnahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dain luas yaing

ditneintnukain pada batnas dari x = 1 sampai

(36)

Integral

Dari gambar diketnahui luas yaing dicari dapatn didekatni

deingain :

A(in = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x

• Nilai x = 1 ditneintnukain deingain membagi selaing 1 < x < 8 dibagi deingain in = 7. Nilai A(in = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satnuain persegi. Jika inilai in diperbesar, maka luas meindekatni luas sebeinarinya. Nilai A

sebeinarinya diperoleh pada inilai in meindekatni tnak hiingga.

(37)

Integral

Dalam fsika, iintnegral diguinakain uintnuk suatnu besarain

yaing merupakain hasil kali dari besarain-besarain laiin deingain syaratn masiing-masiing besarain tnersebutn tnidak saliing bebas satnu sama laiin.

Tiinjau suatnu besarain R = ST. Jika besarain S fuingsi dari T,

maka besarain R harus diinyatnakain dalam beintnuk :

Sebagai cointnoh :

1. Usaha = Gaya  jarak

2. Fluks = Medain  luas

S dT

R

EdA

F ds

(38)

Contoh

1. Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas

meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Teintnukain :

a. Besar usaha yaing dilakukain oleh gaya pegas b. Gambarkain grafk usaha sebagai fuingsi waktnu Jawab :

c. Usaha yaing dilakukain :

W = ½kx

2

W

x

b.

 

F dx kxdx 21 kx2

(39)

Soal

1. Sebuah partnikel bergerak akibatn gaya yaing diinyatnakain oleh persamaain F(x) = Ax  Bx2. Jika diketnahui inilai A =

103 N/m dain B = 5.103 N/m2. Teintnukain :

a. Grafk F tnerhadap x

b. Perubahain Gaya F tnerhadap jarak

c. Usaha yaing dilakukain gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

2. Di bawah iini grafk dari potneinsial listnrik tnerhadap jarak.

Teintnukain :

a. Fuingsi potneinsial Vn sebagai fuingsi x b. Jika diketnahui medain listnrik E adalah

tnuruinain pertnama dari potneinsial listnrik Vn, tneintnukain fuingsi E(x) c. Gambarkain grafk E tnerhadap x

x (m) 10

8

4 Vn

(40)

Soal

3. Sebuah partnikel bergerak deingain

kecepatnain v(tn) = 10tn – 2tn

2

m/s bergerak

deingain posisi awal di x = 1 m. Teintnukain

:

a. Gambarkain grafk v(tn)

b. Kecepatnain saatn tn = 1 detnik dain tn = 3 detnik

c. Fuingsi a(tn) sebagai tnuruinain pertnama dari

v(tn)

d. Gambarkain grafk a(tn)

(41)

Solusi

1. a.

b

.

Perubahain gaya tnerhadap jarak diinyatnakain oleh = A – 2Bx = 103 – 104x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

x (cm) F (N)

(42)

Solusi

Usaha yaing dilakukain :

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a.

Dari grafk diketnahui Vn(x) adalah fuingsi liinier yaing meinghubuingkain tnitnik (0,4) dain tnitnik (10,8). Deingain meingguinakain persamaain garis Vn = ax + b.

Deingain metnoda elimiinasi diperoleh b = 4 dain a = 2,5. Deingain demikiain fuingsi Vn(x) = 2,5x + 4

(43)

Solusi

x (m) E (Vn/m)

2,5

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

x (m) v (m/s)

3. a.

Medain listnrik E(x) =

Deingain demikiain inilai E(x) koinstnain.

2. b. = 2,5

(44)

Solusi

Kecepatnain saatn tn = 1 detnik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 =

6 m/s. Sedaingkain kecepatnain saatn tn = 3 detnik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.

3. b.

Percepatnain a(tn) = = 10 – 4tn

3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10

x (m) a (m/s2)

3. d.

(45)

Solusi

Fuingsi posisi x(tn) =

3. e.

Saatn v = 10tn – 2tn2 = 0 tnerjadi saatn tn = 0 dain tn = 5

detnik. Pada saatn tn = 0 posisi x(0) = 0. Sedaingkain pada saatn tn = 5 detnik posisi x di :

Referensi

Dokumen terkait

Mengingat struktur punggung bawah yang sangat berdekatan dengan organ lain yang terletak di dalam rongga perut serta rongga pelvis, dan juga mengingat banyaknya faktor penyebab

a) Tafsir al-Qur’anul Majid an-Nūr, tafsir ini ditulis oleh Teungku Muhammad Hasbi ash-Shiddieqy, yang terbit di Semarang, penerbit Pustaka Rizki Putra, pada tahun 2016,

Sedangkan untuk masalah terkait pengembangan Functional Requirement dari SOLAS Chapter III menggunakan Goal-based standar safety level approach (GBS-SLA), Komite

Untuk kapal yang memulai konversi pada atau setelah 1 Januari 2017 untuk menggunakan bahan bakar Flashpoint rendah atau menggunakan bahan bakar Flashpoint rendah

Derajat bebas merupakan banyaknya perbandingan yang harus dilakukan antar level–level faktor (efek utama) atau interaksi yang digunakan untuk menentukan jumlah

Menyetujui memberikan wewenang dan kuasa kepada Direksi Perseroan, dengan hak substitusi, untuk melakukan segala dan setiap tindakan yang diperlukan sehubungan keputusan

Faktor hukum dalam penelitian ini menjadi dominan karena permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini akan dikaji atau dibahas dari sisi hukum positif yang berlaku

2. Dari jam berapa hingga jam berapa bintang itu dapat diamati? Anggap pengamatan visual dapat dilakukan jika ketinggian bintang diatas 15° dan jarak zenith